Wyk lady z topologii I
Wies Kubiś
law
Akademia Świ�
etokrzyska
ul. Świ�
etokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland
E-mail:[e-mail]
1 maja 2006
Spis treści
1 Przestrzenie metryczne 3
1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ciagi i zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ciag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
lość

1.4 Odwzorowania lipschitzowskie i izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Kule, zbiory otwarte i domkniete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Wprowadzenie do topologii 9
2.1 Topologia na zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Domkniecie i wnetrze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Systemy otoczeń, bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Przestrzenie metryzowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Generowanie topologii  podbazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Odwzorowania ciag homeomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
le,

2.7 Zbiory geste, ośrodkowość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Aksjomaty oddzielania 19
3.1 Definicje i proste w
lasności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Lemat Urysohna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Twierdzenie o metryzowalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
4 Zwartość 25
4.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Charakteryzacje zwartości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Zwarte przestrzenie Hausdorffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Twierdzenie Tichonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Zwartość w przestrzeniach metrycznych 33
5.1 Ciagowa zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Ca ograniczoność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
lkowita
5.3 Charakteryzacja zwartości przestrzeni metryzowalnych . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Zupe 36
lność
6.1 Definicje i proste w
lasności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Zwartość a zupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
lność
6.3 Inne ważne twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.4 Twierdzenie Baire a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Dodatek I: Zbieżność jednostajna 42
8 Dodatek II: Uzupe 46
lnienie
2
1 Przestrzenie metryczne
W rozdziale tym omawiamy krótko przestrzenie metryczne i ich podstawowe w
lasności, a także
ciag odwzorowań.
lość

1.1 Definicje
Metryka na zbiorze X nazywamy funkcje d: X � X [0, +") spe
lniajaca warunki:

(M1) d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
(M2) d(x, y) = d(y, x),
(M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z),
dla każdych x, y, z " X. Warunek (M3) nazywa sie zwykle warunkiem trójkata lub nierówno-

ścia trójkata. Pare X, d nazywamy przestrzenia metryczna.

Pojecie metryki jest uogólnieniem zwyk odleg punktów na prostej w Rm danej wzorem
lej lości


2
d(x, y) = |x1 - y1|2 + |x2 - y2|2 + � � � + |xm - ym|2,
gdzie x = (x1, . . . , xm), y = (y1, . . . , ym). Odleg ta nazywana bywa metryka euklidesowa.
lość

Poniżej podajemy kilka typowych przyk przestrzeni metrycznych.
ladów
Przyk 1.1. Trzy metryki na p laszczyzne R2 z nastepujacymi
lad laszczyz
nie. Rozważmy p

odleg
lościami
( x1, y1 , x2, y2 ) = |x1 - x2| + |y1 - y2|,
�( x1, y1 , x2, y2 ) = max{|x1 - x2|, |y1 - y2|}.
Nietrudno sprawdzić, że , � sa metrykami. Odleg � zwana jest czasem metryka miejska,
lość

gdyż można ja interpretować jako d najkrótszej drogi od punktu x1, y1 do punktu
lugość
x2, y2 przy warunku, gdy poruszać sie można tylko pionowo (góra  dó lub poziomo (lewo
l)

 prawo). Zdefiniujmy jeszcze

|y2 - y1|, jeśli x1 = x2,
�( x1, x2 , x2, y2 ) =
|y1| + |x2 - x1| + |y2|, jeśli x1 = x2.

Wzór ten można interpretować nastepujaco: p
laszczyzne traktujemy jako gesta dżungle przez

która przep prosta rzeka o równaniu y = 0. Jedyne istniejace ścieżki, to linie pionowe,
lywa

czyli prostopad do rzeki. Można też poruszać sie po rzece w obie strony. Tak wiec � opisuje
le

d najkrótszej drogi od punktu x1, y1 do punktu x2, y2 w tak opisanym świecie . Z
lugość

tego wynika, że � jest metryka (co można też oczywiście udowodnić formalnie). Metryka �
nazywana bywa metryka rzeka .

3
Fakt 1.2. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Wówczas

(a) d(x1, xn) d(x1, x2) + d(x2, x3) + � � � + d(xn-1, xn),
(b) |d(x1, x2) - d(x2, x3)| d(x1, x3)
dla dowolnych x1, x2, . . . , xn " X.
Dowód. Nierówność (a) dowodzi sie przez latwa indukcje. Dla dowodu (b) zauważmy, że z


warunku trójkata mamy

d(x1, x2) d(x1, x3) + d(x2, x3) oraz d(x2, x3) d(x1, x2) + d(x1, x3),
zatem d(x1, x2) - d(x2, x3) d(x1, x3) oraz d(x2, x3) - d(x1, x2) d(x1, x3). Stad wynika

nierówność (b).
1.2 Ciagi i zbieżność

Przypomnijmy, że ciagiem w zbiorze X nazywamy dowolna funkcje postaci x: N X; piszemy

zwykle x = (xn)n"N. Majac dana przestrzeń metryczna X, d , można latwo zdefiniować


zbieżność ciagów: mówimy, że ciag (xn)n"N ą" X jest zbieżny do x w przestrzeni X, d jeżeli

x " X oraz
(" � > 0)(" n0)(" n n0) d(xn, x) < �.
Piszemy wtedy x = limn" xn. Punkt x nazywa sie granica ciagu (xn)n"N.

Fakt 1.3. W dowolnej przestrzeni metrycznej granica ciagu jest wyznaczona jednoznacznie,

tzn. jeżeli ciag (xn)n"N w przestrzeni metrycznej X, d jest zbieżny jednocześnie do y oraz z,

to y = z.
Dowód. Ustalmy � > 0 i z definicji granicy znajdz
my n1, n2 takie, że
(" n n1) d(xn, y) < � oraz (" n n2) d(xn, z) < �.
Niech n " N bedzie takie, że n n1 i n n2. Wówczas korzystajac z warunku trójkata

otrzymujemy
d(y, z) d(y, xn) + d(xn, z) = d(xn, y) + d(xn, z) < 2�.
Skoro � by ustalone dowolnie, to dowodzi, że d(y, z) = 0. Z pierwszego warunku metryki
lo
wnioskujemy, iż y = z.
4
1.3 Ciag
lość

Ustalmy dwie przestrzenie metryczne X, d i Y, . Niech f : X Y bedzie odwzorowaniem.

Przypomnijmy dwie (równoważne!) definicje ciag w punkcie:
lości

Mówimy, że funkcja f jest ciag w sensie Heinego w punkcie p " X, jeśli dla każdego ciagu
la

(xn)n"N ą" X takiego, że p = limn" xn zachodzi f(p) = limn" f(xn). Z kolei, f jest
ciag w sensie Cauchy ego w punkcie p " X, jeżeli dla każdego � > 0 istnieje � > 0 taka, że
la

(f(x), f(p)) < � dla każdego x " X takiego, że d(x, p) < �. Symbolicznie:

(" � > 0)(" � > 0)(" x " X) d(x, p) < � =�! (f(x), f(p)) < � .
Bedziemy mówić krócej, że f jest ciag w punkcie p. Odwzorowanie f jest ciag jeśli jest
la le,

ciag w każdym punkcie swojej dziedziny. Poniżej przypominamy dowód równoważności obu
le

definicji ciag
lości.

Fakt 1.4. Ciag w sensie Heinego jest równoważna ciag w sensie Cauchy ego.
lość lości

Dowód. Ustalmy przestrzenie metryczne X, d , Y, oraz odwzorowanie f : X Y i punkt
p " X. Za óżmy najpierw, że f jest ciag w sensie Heinego w punkcie p. Przypuśćmy, że f
l la

nie jest ciag w sensie Cauchy ego w p. To oznacza:
la


(" � > 0)(" � > 0)(" x " X) d(x, p) < � '" (f(x), f(p)) � .
Przyjmujac � = 1/n, możemy znalez
ć x = xn " X takie, że

d(xn, p) < 1/n oraz (f(xn), f(p)) �.
W istocie, korzystamy tu z pewnika wyboru, otzymujac (xn)n"N ą" X. Zauważmy, że jest to

ciag zbieżny do p w X, d , zaś ciag (f(xn))n"N nie jest zbieżny do f(p). To jest sprzeczne z

ciag w sensie Heinego.
lościa

Za óżmy teraz, że f jest ciag w sensie Cauchy ego w p. Ustalmy ciag (xn)n"N ą" X taki,
l la

że p = limn" xn. Mamy pokazać, że f(p) = limn" f(xn). Ustalmy w tym celu � > 0 i
dobierzmy � > 0 takie, że zachodzi

" x " X d(x, p) < � =�! (f(x), f(p)) < � .
Istnieje n0 takie, że d(xn, p) < � dla n n0 (bo p jest granica ciagu (xn)n"N). Wówczas

(f(xn), f(p)) < � dla n n0. Zatem f(p) = limn" f(xn), czyli f jest ciag w sensie
la

Heinego w p.
5
1.4 Odwzorowania lipschitzowskie i izometrie
Ustalmy przestrzenie metryczne X, d i Y, . Mówimy, że odwzorowanie f : X Y spe
lnia
warunek Lipschitza ze sta a L 0, jeżeli zachodzi
l
(f(x), f(y)) Ld(x, y)
dla każdych x, y " X. Mówimy wówczas, że f jest odwzorowaniem lipschitzowskim. Majac

do czynienia z odwzorowaniami ciag lub lipschitzowskimi pomiedzy przestrzeniami me-
lymi

trycznymi piszemy czesto f : X, d Y, majac na myśli odwzorowanie f : X Y oraz

metryki d, odpowiednio na X i Y .
Fakt 1.5. Każde odwzorowanie lipschitzowskie jest ciag
le.

Dowód. Niech f : X, d Y, bedzie odwzorowaniem spe
lniajacym warunek Lipschitza ze

sta a L. Ustalmy p " X, � > 0. Niech � = �/L. Wówczas jeśli d(x, p) < �, to
l
(f(x), f(p)) Ld(x, p) < L�/L = �.
Tak wiec f jest ciag w p.
le

Przyk 1.6. Naturalne przyk funkcji lipschitzowskich pochodza z rachunku różnicz-
lad lady
kowego. Niech a < b beda liczbami rzeczywistymi i za óżmy, że f : [a, b] R jest funkcja
l

różniczkowalna na [a, b] i taka, że pochodna f jest ograniczona na (a, b), to znaczy istnieje

L < +" takie, że |f (t)| L dla t " (a, b). Wówczas f spe warunek Lipschitza ze sta a
lnia l
L. Istotnie, dla x, y " [a, b], x < y, stosujac twierdzenie Lagrange a otrzymujemy, że

f(y) - f(x)
= f (�) dla pewnego � " (x, y).
y - x
Stad |f(y) - f(x)| = |f (�)| � |y - x| L � |y - x|.

Typowym przyk funkcji ciag która nie jest lipschitzowska jest f : [0, 1] [0, 1] dana
ladem lej,

"
wzorem f(x) = x.
Odwzorowanie f : X, d Y, nazywa sie izometria, jeśli spe warunki
lnia

(I1) f jest bijekcja,

(I2) (f(x), f(y)) = d(x, y) dla każdych x, y " X.
Mówimy, że przestrzenie X, d i Y, sa izometryczne, jeżeli istnieje izometria f : X, d
Y, . Przestrzenie izometryczne sa, z punktu widzenia teorii przestrzeni metrycznych, takimi

samymi (nierozróżnialnymi) obiektami.
Zauważmy, że warunek (I2) pociaga różnowartościowość f, zatem w warunku (I1) wystarczy

wymagać, że f jest surjekcja, tzn. Y = f[X]. Odwzorowanie f : X, d Y, spe
lniajace

tylko warunek (I2) nazywa sie zanurzeniem izometrycznym. Każde zanurzenie izometryczne

(jak również każda izometria) spe warunek Lipschitza ze sta a 1, zatem w szczególności
lnia l
jest ciag
le.

6
Przyk 1.7. Niech d oznacza zwyk a metryke na zbiorze liczb naturalnych N, tzn. d(k, l) =
lad l

|k-l|. Wówczas f : N, d N, d dane wzorem f(n) = n+1 jest zanurzeniem izometrycznym,
ale nie izometria, bo przyjmujac N = {1, 2, 3, . . . } mamy f[N] = {2, 3, 4, . . . }.

Zadanie 1. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Odleg punktu p " X od zbioru
lościa

niepustego A ą" X nazywamy liczbe dist(p, A) = infx"A d(p, x). Dowieść, że dla niepustego

zbioru A ą" X funkcja f : X R, dana wzorem f(x) = dist(x, A), spe warunek Lipschitza
lnia
ze sta a 1.
l
1.5 Kule, zbiory otwarte i domkniete

Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Kula otwarta o środku w p " X i promieniu r > 0

nazywamy zbiór
K(p, r) = {x " X : d(p, x) < r}.
Czasami piszemy Kd(p, r) zamiast K(p, r), gdy nie jest jasne jaka metryke mamy na myśli.

Kula domknieta o środku w p i promieniu r 0 bedziemy nazywać zbiór

K(p, r) = {x " X : d(p, x) r}.
Zbiór U ą" X nazywamy otwartym w X, d , jeśli dla każdego x " U istnieje � > 0 takie, że
K(x, �) ą" U. Rodzine wszystkich zbiorów otwartych w X, d bedziemy oznaczać przez Td.

Zbiór A ą" X nazywamy domknietym, jeżeli X \ A jest otwarty.

Fakt 1.8. W każdej przestrzeni metrycznej kule otwarte sa zbiorami otwartymi, zaś kule
domkniete sa zbiorami domknietymi. Ponadto zbiory skończone sa domkniete.

Dowód. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Ustalmy p " X, r > 0. Musimy spraw-

dzić, że dla każdego x " K(p, r) istnieje � > 0 takie, że K(x, �) ą" K(p, r). Ustalmy x " K(p, r).
Wówczas d(x, p) < r. Wybierzmy � > 0 takie, że d(x, p) + � < r. Jeśli y " K(x, �), to
d(y, x) < �, zatem
d(y, p) d(y, x) + d(x, p) < � + d(x, p) < r.
Stad K(x, �) ą" K(p, r). Tak wiec K(p, r) jest zbiorem otwartym.

Rozważmy teraz zbiór K(p, r), gdzie r 0. Mamy pokazać, że X \K(p, r) jest otwarty. Ustalmy
zatem x " X \ K(p, r). Wówczas � = d(x, p) - r jest liczba dodatnia. Jeśli y " K(x, �), to

wobec warunku trójkata d(p, y) + d(y, x) d(p, x) otrzymujemy

d(p, y) d(p, x) - d(y, x) d(p, x) - � = d(p, x) - (d(x, p) - r) = r,
zatem y " K(p, r). To dowodzi, że K(x, �) ą" X \ K(p, r).
/
Dalej, niech S = {p1, . . . , pk} ą" X bedzie zbiorem skończonym. Ustalmy x " X \ S. Wówczas

r = mini k d(x, pi) jest liczba dodatnia. Ponadto K(x, r) )" S = ". To dowodzi, że X \ S jest

otwarty, zatem S jest domkniety.

7
Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Mówimy, że p " X należy do domkniecia zbioru

A ą" X jeżeli
(" � > 0) K(p, �) )" A = ".

Zbiór wszystkich takich punktów p nazywamy domknieciem zbioru A i oznaczać bedziemy

przez cl (A). Oczywiste jest, że A ą" cl (A).
Fakt 1.9. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna, A ą" X. Wówczas x " cl (A) �!�!

istnieje ciag (an)n"N ą" A taki, że x = limn" an.

Dowód. (=�!) Za óżmy, że x " cl (A). Dla każdego n " N wybierzmy an " A )" K(x, 1/n).
l
Wówczas x = limn" an i (an)n"N ą" A.
(�!=) Za óżmy, że x = limn" an i (an)n"N ą" A. Ustalmy � > 0. Z definicji granicy istnieje
l
n0 takie, że d(an, x) < �. Wówczas an0 " A )" K(x, �), czyli K(x, �) )" A = ".

Fakt 1.10. Zbiór A w przestrzeni metrycznej X, d jest domkniety �!�! cl (A) = A.

Dowód. (=�!) Za óżmy, że A ą" X jest domkniety i ustalmy x " cl (A). Gdyby x " A, to wobec
l /

faktu, iż X \ A jest otwarty, istnia promień r > 0 taki, że K(x, r) ą" X \ A; wówczas jednak
lby
K(x, r) )" A = ". Tak wiec x " A, co dowodzi, że cl (A) ą" A. Zawsze zachodzi A ą" cl (A).

(�!=) Za óżmy, że A = cl (A). Ustalmy x " X \ A. Wówczas x " cl (A), zatem istnieje r > 0
l /
takie, że K(x, r) ą" X \ A. To dowodzi, że zbiór X \ A jest otwarty, czyli A jest domkniety.

Domkniecie kuli K(x, r) w przestrzeni metrycznej może nie być równe kuli domknietej K(x, r).

Świadczy o tym poniższy przyk
lad.
Przyk 1.11 (Metryka zero-jedynkowa). Niech X bedzie dowolnym zbiorem i zdefiniujmy
lad


0, gdy x = y
(x, y) =
1, gdy x = y.

Funkcja nazywa sie metryka zero-jedynkowa. Sprawdzimy, że jest to istotnie metryka. Tylko

warunek trójkata wymaga dowodu. Ustalmy x, y, z " X. Jeśli x = y lub y = z, to (x, y) = 1


lub (y, z) = 1, zatem (x, y) + (y, z) 1 (x, z). Za óżmy wiec, że x = y i y = z.
l

Wówczas także x = z, zatem (x, z) = 0 = (x, y) + (y, z). W obu przypadkach zachodzi
(x, z) (x, y) + (y, z).
Za óżmy teraz, że X zawiera co najmniej dwa punkty. Wówczas K(x, 1) = {x} = X dla x " X.
l
Zbiory jednopunktowe sa zawsze domkniete, zatem cl (K(x, 1)) = cl ({x}) = {x}. Z drugiej

strony K(x, 1) = X. Tak wiec cl (K(x, 1)) = K(x, 1).


8
2 Wprowadzenie do topologii
W rozdziale tym wprowadzamy i omawiamy pojecie topologii na zbiorze oraz zwiazane z tym

pojecia systemów otoczeń, bazy, itp.

2.1 Topologia na zbiorze
Majac dana przestrzeń metryczna X, d , zauważmy, że:

(1) " i X sa zbiorami otwartymi w X, d ,
(2) Przekrój dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
(3) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Powyższe w l
lasności sa latwe do wykazania. Topologia jako dzia matematyki zajmuje sie obiek-

tami (zwanymi przestrzeniami topologicznymi), w których pojecie zbioru otwartego definiuje

sie aksjomatycznie. Jako aksjomaty przyjmuje sie powyższe w
lasności:

Topologia na zbiorze X nazywamy dowolna rodzine zbiorów T ą" P(X) spe
lniajaca warunki

(O1) ", X " T ,
(O2) U, V " T =�! U )" V " T ,

(O3) U ą" T =�! U " T .
Pare X, T nazywamy przestrzenia topologiczna, zaś elementy rodziny T nazywamy zbiorami

otwartymi w X, T . Zbiór A ą" X nazywamy domknietym, jeżeli X \ A jest otwarty. Otocze-

niem punktu p w X, T nazywamy każdy zbiór otwarty zawierajacy p. Rodzine wszystkich

otoczeń punktu p oznaczamy przez otT (p). Tak wiec

otT (p) = {U " T : p " U}.
Przyk 2.1 (Przestrzeń dyskretna). Niech X bedzie dowolnym zbiorem. Wówczas T =
lad

P(X) jest topologia na X, gdzie P(X) oznacza zbiór potegowy X, czyli rodzine wszytkich

podzbiorów zbioru X. W przestrzeni X, P(X) każdy podzbiór jest jednocześnie otwarty i
domkniety. Przestrzeń ta nazywa sie przestrzenia dyskretna.

Przyk 2.2 (Przestrzeń antydyskretna). Niech X bedzie zbiorem. Przyjmijmy T = {", X}.
lad

Wówczas T jest topologia na X. Jest to najuboższa możliwa topologia na zbiorze. Przestrzeń

X, {", X} nazywa sie przestrzenia antydyskretna.

Przyk 2.3 (Podprzestrzenie). Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna i ustalmy
lad

M ą" X. Zdefiniujmy
T | M = {U )" M : U " T }.
Nietrudno sprawdzić, że T | M jest topologia na zbiorze M. Przestrzeń M, T | M nazywamy
podprzestrzenia przestrzeni X, T , zaś T | M nazywamy topologia indukowana z X, T .
9
2.2 Domkniecie i wnetrze

Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna. Stosujac prawo de Morgana dla zbiorów, wi-

dzimy, że przekrój dowolnej rodziny zbiorów domknietych jest zbiorem domknietym. Tak wiec

możemy zdefiniować domkniecie zbioru A ą" X przyjmujac


cl (A) = {F ą" X : A ą" F i X \ F " T }.
Bedziemy czasem pisać clT (A) zamiast cl (A), żeby zaznaczyć o jaka topologie chodzi. Z

powyższej uwagi wynika, że domkniecie zbioru jest zbiorem domknietym. W szczególności,

A = cl (A) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest domkniety w X, T . Pokażemy póz
niej (zob.

Twierdzenie 2.8), że powyższa definicja domkniecia zgadza sie z analogiczna definicja dla

przestrzeni metrycznych.
Twierdzenie 2.4. Domkniecie zbioru spe nastepujace warunki:
lnia

(D1) cl (") = ",
(D2) A ą" cl (A),
(D3) cl (cl (A)) = cl (A),
(D4) cl (A *" B) = cl (A) *" cl (B).
Dowód. Ustalmy przestrzeń topologiczna X, T .
(D1) Zbiór pusty jest domkniety, bo X \ " = X " T .

(D2) Oczywiste.
(D3) Zbiór B = cl (A) jest domkniety, zatem cl (B) = B.

(D4) Zbiór F = cl (A) *" cl (B) jest domkniety (jako suma dwóch zbiorów domknietych) oraz

A *" B ą" F , zatem cl (A *" B) ą" F . Z drugiej strony, A ą" A *" B ą" cl (A *" B), zatem z
definicji domkniecia cl (A) ą" cl (A *" B), bo cl (A *" B) jest zbiorem domknietym. Podobnie

cl (B) ą" cl (A *" B), zatem ostatecznie F = cl (A) *" cl (B) ą" cl (A *" B).
Wnetrzem zbioru A w przestrzeni topologicznej X nazywamy sume wszystkich zbiorów otwar-

tych zawartych w A. Wnetrze zbioru A oznaczamy przez int (A). Tak wiec


int (A) = {U " T : U ą" A}.
Stosujac prawa de Morgana dla zbiorów otrzymujemy

int (A) = X \ cl (X \ A) .

Istotnie, X \ int (A) = {X \ U : U " T i X \ U �" X \ A} = cl (X \ A). Podobnie można
wykazać, korzystajac z Twierdzenia 2.4, że wnetrze zbioru spe nastepujace warunki:
lnia

10
(W1) int (X) = X,
(W2) int (A) ą" A,
(W3) int (int (A)) = int (A),
(W4) int (A )" B) = int (A) )" int (B).
Okazuje sie, że topologie na zbiorze X można wprowadzić definiujac operator na zbiorach

c: P(X) P(X) spe
lniajacy warunki (D1) (D4) z Twierdzenia 2.4. Wówczas przyjmujemy

Tc = {U ą" X : c(X \ U) = X \ U}.
Nietrudno sprawdzić, że T jest topologia na X. Ponadto clTc (A) = c(A) dla każdego A ą" X.
Ten sposób wprowadzania topologii na zbiorze pochodzi od Kuratowskiego (zob. [3]). Jasne
jest, że podobnie można wprowadzić topologie definiujac w abstrakcyjny sposób operator

wnetrza spe
lniajacy (W1) (W4).

Zadanie 2. Niech c: P(X) P(X) bedzie operatorem spe
lniajacym warunki (D1) (D4).

Wykazać, że rodzina Tc zdefiniowana powyżej jest topologia na X oraz clTc (A) = c(A) dla
A ą" X.
2.3 Systemy otoczeń, bazy
Niech X bedzie ustalonym zbiorem. Systemem otoczeń na X nazywamy funkcje Ś: X

P(P(X)), przypisujaca punktowi x " X rodzine zbiorów Ś(x), spe
lniajaca dla każdego x " X

nastepujace warunki:

(SO1) Ś(x) = " oraz x " U dla każdego U " Ś(x).

(SO2) Dla każdych U, V " Ś(x) istnieje W " Ś(x) takie, że W ą" U )" V .
(SO3) Dla każdego U " Ś(x) oraz y " U istnieje V ą" Ś(y) takie, że V ą" U.
Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna. Naturalnym przyk systemu otoczeń w X
ladem

jest system otT , zdefiniowany jako otT (x) = {U " T : x " U}. System ten nazywa sie czasem

pe systemem otoczeń w przestrzeni X, T . Poniżej podajemy inny naturalny przyk
lnym lad.
Przyk 2.5. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Wówczas
lad

Ś(x) = {K(x, 1/n): n " N}
jest systemem otoczeń w X. Istotnie, tylko warunek (SO3) wymaga dowodu. Ustalmy wiec

x " X, n " N oraz y " K(x, 1/n). Istnieje m " N takie, że d(x, y) + 1/m < 1/n. Wówczas
K(y, 1/m) " Ś(y) oraz K(y, 1/m) ą" K(x, 1/n), ponieważ jeśli z " K(y, 1/m), to d(z, x)
d(z, y) + d(y, x) < 1/m + d(x, y) < 1/n, czyli z " K(x, 1/n).
11
Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna. Rodzine B nazywamy baza przestrzeni X, T ,

jeśli
(B1) B ą" T ,
(B2) Dla każdego U " T oraz x " U istnieje V " B takie, że x " V ą" U.

Rodzine B nazywamy baza w punkcie x " X jeśli B ą" T , x " B oraz dla każdego otoczenia

U punktu x istnieje V " B takie, że V ą" U. Wprost z definicji bazy wynika, że jeśli B jest
baza przestrzeni X, T , to B(x) = {U " B : x " U} jest baza w punkcie x " X. Poniżej
pokazujemy zwiazek (a raczej równoważność) pojeć bazy w punktach i systemów otoczeń.

Majac dany system otoczeń Ś w zbiorze X, przyjmujemy oznaczenie

TŚ = {U ą" X : " x " U " V " Ś(x) (V ą" U)}.
Stwierdzenie 2.6. Niech Ś bedzie systemem otoczeń na zbiorze X. Wówczas rodzina TŚ jest

topologia na zbiorze X. Ponadto, dla każdego x " X rodzina Ś(x) jest baza w punkcie x w
przestrzeni X, TŚ .
Dowód. Zbiór pusty spe każdy warunek postaci " x " " (. . . ), zatem " " TŚ. Oczywiście
lnia
X " TŚ, co dowodzi pierwszego aksjomatu topologii.
Ustalmy U, V " TŚ oraz x " U )" V . Wówczas istnieja W1, W2 " Ś(x) takie, że W1 ą" U i
W2 ą" V . Z definicji systemu otoczeń istnieje W " Ś(x) takie, że W ą" W1 )" W2. Wówczas
W ą" U )" V . To dowodzi, że U )" V " TŚ (drugi aksjomat topologii).

Ustalmy teraz U ą" TŚ i x " U. Wówczas x " U dla jakiegoś U " U. Z kolei U " TŚ, zatem

istnieje W " Ś(x) takie, że W ą" U. Wówczas W ą" U. To dowodzi, że U " TŚ (trzeci
aksjomat topologii).
Fakt, iż Ś(x) jest baza w x wynika z definicji TŚ.
Powyższe stwierdzenie mówi w szczególności, że elementy rodziny Ś(x) sa zbiorami otwartymi
w X, TŚ . Nastepny fakt wynika wprost z definicji bazy.

Fakt 2.7. Niech B bedzie baza przestrzeni topologicznej X, T . Wówczas odwzorowanie Ś

dane wzorem Ś(x) = {U " B : x " U} jest systemem otoczeń w zbiorze X oraz T = TŚ.
Mówimy, że Ś jest systemem otoczeń w przestrzeni topologicznej X, T , jeśli T = TŚ. Sys-
temy otoczeń w przestrzeniach topologicznych sa przydatne w badaniu ciag odwzorowań.
lości

Poniżej podajemy ważne kryterium dotyczace domkniecia zbioru, przy użyciu systemu oto-

czeń.
Twierdzenie 2.8. Niech Ś bedzie systemem otoczeń w przestrzeni topologicznej X i niech

A ą" X. Wówczas
x " cl (A) �!�! " U " Ś(x) (U )" A = ").

12
Dowód. Stosujac prawo logiki mówiace, że zdanie p �!�! q jest równoważne z Źp �!�! Źq,

wystarczy udowodnić równoważność
x " cl (A) �!�! " U " Ś(x) (U )" A = ").
/
(=�!) Za óżmy, że x " cl (A). Zbiór X \ cl (A) jest otwarty i zawiera punkt x, zatem istnieje
l /
U " Ś(x) takie, że U ą" X \ cl (A). Wówczas U )" A = ", bo A ą" cl (A).
(�!=) Za óżmy, że U )" A = " dla pewnego U " Ś(x). Zbiór U jest otwarty, zatem cl (A) ą"
l
cl (X \ U) = X \ U. Z kolei x " U, skad wynika, że x " cl (A).
/

Z powyższego twierdzenia wynika, że w przypadku przestrzeni metrycznej operator domkniecie

zbioru jest tym samym co domkniecie zdefiniowane w Rozdziale 1.

Zadanie 3. Niech X bedzie zbiorem. Systemem pseudootoczeń na X nazywamy odwzorowanie

Ś spe
lniajace warunki (SO1) i (SO2) definicji systemu otoczeń. Pokazać, że majac dany system

pseudootoczeń Ś, rodzina
TŚ = {U ą" X : " x " U "V " Ś(x) (V ą" U)}
jest topologia na X. Podać przyk systemu pseudootoczeń Ś takiego, że elementy rodziny
lad
Ś(x) nie sa zbiorami otwartymi w X, TŚ .
2.4 Przestrzenie metryzowalne
Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Definiujemy

Td = {U ą" X : " x " U " r > 0 K(x, r) ą" U}.
Wiemy już (patrz Przyk 2.5), że Ś(x) = {K(x, 1/n): x " X, n " N} jest systemem
lad
otoczeń w X, zatem na mocy Stwierdzenia 2.6 rodzina Td = TŚ jest topologia na zbiorze X.
Jak widać, abstrakcyjne pojecie zbioru otwartego jest uogólnieniem pojecia zbioru otwartego

w przestrzeni metrycznej wprowadzonego w Rozdziale 1.
Przestrzeń topologiczna X, T nazywa sie metryzowalna, jeśli istnieje metryka d na zbiorze

X taka, że T = Td. Zauważmy od razu, że dana przestrzeń topologiczna X, T może być
metryzowalna przez różne metryki, na przyk p l
lad laszczyzna R2 ze zwyk a topologia jest me-
tryzowalna poprzez metryke euklidesowa jak również poprzez metryki , � zdefiniowane w

Przyk 1.1.
ladzie
Fakt 2.9. Przestrzeń dyskretna jest metryzowalna poprzez metryke zero-jedynkowa.

Dowód. Niech bedzie metryka zero-jedynkowa na zbiorze X (patrz Przyk 1.11). Wówczas
lad

K(x, 1) = {x}, zatem dla każdego x " U ą" X mamy K(x, 1) ą" U. Tak wiec T = P(X).

Zauważmy, że w przypadku, gdy X zawiera co najmniej dwa punkty, przestrzeń antydyskretna
X, {", X} nie jest metryzowalna, bo w przestrzeni metrycznej zbiory jednopunktowe sa do-
mkniete, zaś zbiór {x} = X nie jest domkniety w X, {", X} dla x " X.


13
2.5 Generowanie topologii  podbazy
Niech X bedzie ustalonym zbiorem i niech A ą" P(X). Definiujemy


top(A, X) = {T ą" P(X): A ą" T oraz T jest topologia na X}.
Rodzina top(A, X) jest topologia na zbiorze X (co mówi poniższy fakt). Nazywać ja bedziemy

topologia generowana przez rodzine A. Rodzine A nazywamy podbaza przestrzeni X, T , jeżeli

T = top(A, X).
Fakt 2.10. Przekrój dowolnej rodziny topologii na ustalonym zbiorze X jest topologia na X.

Dowód. Niech A bedzie rodzina topologii na zbiorze X i niech TA = A. Sprawdzimy ak-

sjomaty topologii. Fakt, iż ", X " TA wynika z tego, że ", X " T dla każdego T " A. Jeśli
U, V " A, to U, V " T i w konsekwencji U )" V " T dla każdego T " A, zatem U )" V " TA.

Podobnie, jeśli U ą" TA, to U ą" T zatem także U " T , dla każdego T " A, co dowodzi, że

U " TA.
Dalej podajemy użyteczna charakteryzacje podbazy.

Stwierdzenie 2.11. Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna i niech A ą" P(X) bedzie


takie, że X = A. Wówczas A jest podbaza X, T wtedy i tylko wtedy, gdy zachodza
nastepujace warunki

(1) A ą" T .
(2) Dla każdego U " T oraz x " U istnieja zbiory V1, . . . , Vn " A (n " N) takie, że
x " V1 )" � � � )" Vn ą" U.
Dowód. (=�!) Za óżmy, że A jest podbaza, czyli T = top(A, X). Wówczas oczywiście zachodzi
l

(1). Niech
n

R = {U ą" X : (" x " U) (" V1, . . . , Vn " A) x " Vi ą" U}.
i=1
Wówczas A ą" R. Wystarczy wiec wykazać, że R jest topologia na X; wtedy T = top(A, X) ą"

R i otrzymamy warunek (2).
Sprawdz
my, że ", X " R. Zbiór pusty spe w próżni każdy warunek postaci " x " " (. . . ),
lnia


zatem istotnie " " R. Fakt, iż X " R wynika z za że X = A, tzn. dla każdego x " X
lożenia,
istnieje V " A takie, że x " V ą" X.
Drugi aksjomat topologii: Ustalmy U, V " R i ustalmy x " U )" V . Istnieja W1, . . . , Wn " A
oraz Wn+1, . . . , Wm " A takie, że
x " W1 )" � � � )" Wn ą" U oraz x " Wn+1 )" � � � )" Wm ą" V.
14
 m
Wówczas x " Wi ą" U )" V , czyli U )" V " R.
i=1

Trzeci aksjomat topologii: Ustalmy U ą" R oraz x " U. Wówczas
nistnieje U " U że
takie,
x " U. Skoro U " R, to istnieja V1, . . . , Vn " A takie, że x " Vi ą" U ą" U. Stad
i=1

U " R. Tak wiec R jest topologia na X.

(�!=) Za óżmy, że spe sa warunki (1) i (2). Z (1) wynika, że top(A, X) ą" T , pozostaje
l lnione
wiec wykazać, iż T ą" top(A, X). Ustalmy w tym celu U " T .

n
Ustalmy x " U. Na mocy (2) istnieja zbiory V1, . . . , Vn " A takie, że przyjmujac Wx = Vi,
i=1
mamy x " Wx ą" U. Z drugiego aksjomatu topologii wynika, że Wx " top(A, X), ponieważ

A ą" top(A, X). Zauważmy, że U = Wx, zatem na mocy trzeciego aksjomatu topologii,
x"U
wnioskujemy, iż U " top(A, X).
Przyk 2.12. Podbaza na prostej i na p
lad laszczyz
nie. Niech
A = {(r, +"): r " Q} *" {(-", r): r " Q}.
Wówczas A jest podbaza przestrzeni R, TR , czyli prostej rzeczywistej z topologia naturalna.

Przyjmijmy oznaczenia Ui+(r) = { xi, x2 " R2 : xi > r} i Ui-(r) = { x1, x2 " R2 : xi < r},
gdzie i = 1, 2. Wówczas rodzina
B = {Ui+(r): r " Q, i " {1, 2}} *" {Ui-(r): r " Q, i " {1, 2}}
jest podbaza p
laszczyzny z topologia naturalna.

Przyk 2.13 (Topologia na produkcie). Niech X, TX i Y, TY beda przestrzeniami to-
lad

pologicznymi. Wówczas rodzina
B = {U � V : U " TX, V " TY }
tworzy baze topologii na iloczynie kartezjańskim X � Y . Topologia ta nazywana jest topologia

produktowa lub topologia Tichonowa. Użyteczna podbaza topologii produktowej jest rodzina
P = {U � Y : U " TX} *" {X � V : V " TY }.
2.6 Odwzorowania ciag homeomorfizmy
le,

Niech X, TX , Y, TY beda przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie f : X Y jest

ciag jeśli f-1[U] " TX dla każdego U " TY , to znaczy przeciwobraz każdego zbioru otwar-
le,

tego poprzez f jest zbiorem otwartym. Rozważajac odwzorowanie ciag piszemy czasem
le

f : X, TX Y, TY zamiast f : X Y , aby nie by watpliwości o jakie topologie cho-
lo

dzi.
Niech teraz p " X. Mówimy, że f jest ciag w punkcie p, jeśli dla każdego V " TY takiego,
le

że f(p) " V istnieje W " TX takie, że p " W oraz f[W ] ą" V (równoważnie: W ą" f-1[V ]).
Poniżej wykażemy, że powyższe definicje zgadzaja sie ze znanymi definicjami ciag w przy-
lości

padku przestrzeni metrycznych.
15
Stwierdzenie 2.14. Niech Ś, � beda systemami otoczeń odpowiednio w przestrzeniach X, TX ,

Y, TY i niech f : X Y . Wówczas f jest ciag w p " X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
le

V " �(f(p)) istnieje W " Ś(p) takie, że f[W ] ą" V .
Dowód. (=�!) Ustalmy V " �(f(p)). Wówczas V jest otoczeniem f(p), zatem z ciag f
lości

w punkcie p wynika, iż istnieje otoczenie U " TX takie, że p " U oraz f[U] ą" V . Wybierzmy
W " Ś(p) takie, że W ą" U. Wówczas f[W ] ą" V .
(�!=) Ustalmy V " TY takie, że f(p) " V . Wybierzmy V1 " �(f(p)) takie, że V1 ą" V . Z
za istnieje W " Ś(p) takie, że f[W ] ą" V1. Wówczas W " TX, p " W oraz f[W ] ą"
lożenia
V .
Stwierdzenie 2.15. Niech A bedzie podbaza przestrzeni Y, TY i niech X, TX bedzie prze-

strzenia topologiczna. Odwzorowanie f : X Y jest ciag wtedy i tylko wtedy, gdy f-1[U] "
le

TX dla każdego U " A.
Dowód. Niech
T = {U ą" Y : f-1[U] " TX}.
Wówczas A ą" T . Wystarczy wiec sprawdzić, że T jest topologia na Y . Oczywiście ", Y " T .

Jeśli U, V " T to f-1[U )" V ] = f-1[U] )" f-1[V ] " TX, zatem U )" V " T . Dla U ą" T mamy
,
f-1[ U] = f-1[U] " TX, zatem U " T .
U"U
Twierdzenie 2.16. Odwzorowanie f : X, TX Y, TY jest ciag wtedy i tylko wtedy, gdy
le

jest ciag w każdym punkcie zbioru X.
le

Dowód. (=�!) Za óżmy, że f jest ciag i ustalmy p " X oraz V " otTY (f(p)). Wówczas zbiór
l le

W = f-1[V ] jest otwarty i p " W . Ponadto f[W ] = f[f-1[V ]] ą" V . To dowodzi, że f jest
ciag w p.
le

(�!=) Za óżmy, że f jest ciag w każdym punkcie i ustalmy V " TY . Ustalmy p " f-1[V ].
l le

Wówczas V jest otoczeniem f(p), zatem z ciag f w punkcie p możemy
lości

znalez
ć otoczenie
Wp punktu p takie, że f[Wp] ą" V , czyli Wp ą" f-1[V ]. Tak wiec f-1[V ] = Wp, czyli
p"f-1[V ]
f-1[V ] jest zbiorem otwartym w X, TX .
Niech X, TX , Y, TY beda przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie h: X Y jest

homeomorfizmem, jeśli spe warunki:
lnia
(H1) h jest bijekcja,

(H2) h jest ciag
le,

(H3) h-1 jest ciag
le.

16
Mówimy, że przestrzenie X, TX , Y, TY sa homeomorficzne, jeżeli istnieje homeomorfizm
h: X, TX Y, TY . Przestrzenie homeomorficzne sa nierozróżnialne z punktu widzenia
w ladniej: lasność
lasności topologicznych. Dok każda w przestrzeni topologicznych Ś wyrażona
w terminach teorii mnogości oraz zbiorów otwartych, domknietych, itp. jest niezmiennicza ze

wzgledu na homeomorfizmy. To znaczy: jeśli przestrzenie X, TX , Y, TY sa homeomorficzne,

to X, TX ma w Ś wtedy i tylko wtedy, gdy Y, TY ma w Ś.
lasność lasność
Nastepujacy fakt wynika wprost z definicji:

Fakt 2.17. Z dwóch odwzorowań ciag jest ciag zaś z dwóch homeomor-
lożenie lych le, lożenie

fizmów jest homeomorfizmem.
Przyk 2.18. Zbiór liczb rzeczywistych R jest homeomorficzny z każdym niepustym prze-
lad
dzia otwartym (a, b) ą" R. Istotnie, funkcja t arctg(t) jest homeomorfizmem pomiedzy
lem

R i przedzia (-Ą/2, Ą/2). Z kolei odpowiednia funkcja liniowa jest homeomorfizmem
lem
pomiedzy (-Ą/2, Ą/2) a dowolnym ustalonym przedzia (a, b).
lem

Przyk 2.19. Przedzia (0, 1) i [0, 1) nie sa homeomorficzne. Aby to wykazać, najwy-
lad ly
godniej wykorzystać ważne pojecie spójności i rozcinania. Intuicyjnie, punkt 0 jest jedynym

punktem w [0, 1), który nie rozcina tego przedzia na dwie cześci, tzn. na dwa zbiory
lu


otwarte roz aczne. Z drugiej strony każdy punkt przedzia (0, 1) rozcina go na dwie cześci
l lu

otwarte. Jest to w topologiczna, która rozróżnia przedzia [0, 1) i (0, 1).
lasność ly
Intuicyjnie jasne jest, że zbiór liczb rzeczywistych R nie jest homeomorficzny z p
laszczyzna
R2. Dowodzi sie tego podajac w rozcinania, podobnie jak w powyższym przyk
lasność ladzie.

Ogólniej, prawda jest, że przestrzenie Rn i Rm nie sa homeomorficzne gdy n = m. Dowód dla

n, m > 1 jest jednak dość trudny i wymaga znacznego rozbudowania teorii.
2.7 Zbiory geste, ośrodkowość

Zbiór D w przestrzeni topologicznej X, T jest gesty, jeśli cl (D) = X. W dowolnej prze-

strzeni X, T zbiór X jest gesty. Dobra i użyteczna w
lasnościa jest istnienie zbiorów gestych

o możliwie ma mocy. Stad ważna definicja:
lej

Przestrzeń topologiczna nazywa sie ośrodkowa, jeśli zawiera zbiór przeliczalny gesty.

Fakt 2.20. Niech B bedzie baza przestrzeni topologicznej X, T . Wówczas zbiór D ą" X jest

gesty w X, T wtedy i tylko wtedy, gdy U )" D = " dla każdego niepustego U " B.


Dowód. (=�!) Za óżmy, że cl (D) = X i ustalmy U " B, U = ". Wówczas X \ U jest zbiorem
l
domknietym różnym od X, zatem D ą" X \ U, bo w przeciwnym razie mielibyśmy cl (D) ą"

X \ U = X. Stad D )" U = ".


(�!=) Przypuśćmy, że D nie jest gesty, to znaczy cl (D) = X. Wówczas zbiór V = X \ cl (D)


jest otwarty i niepusty. Wybierzmy x " V . Z definicji bazy, istnieje U " B takie, że x " U ą" V .
Wówczas U ą" X \ cl (D) ą" X \ D, zatem U )" D = ".
17
Fakt 2.21. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Wówczas zbiór D ą" X jest gesty w

X, Td wtedy i tylko wtedy, gdy
(" � > 0) (" x " X) (" y " D) d(x, y) < �.
Dowód. W ta wynika z Faktu 2.20, gdyż rodzina B = {K(x, �): x " X, � > 0} jest
lasność
baza X, Td , a powyższy warunek można napisać równoważnie jako (" U " B) U )"D = ".

Twierdzenie 2.22. Każda przestrzeń topologiczna z baza przeliczalna jest ośrodkowa.
Dowód. Niech B bedzie przeliczalna baza w przestrzeni X, T . Możemy za że B sk
lożyć, lada

sie ze zbiorów niepustych (w razie potrzeby wyrzucajac zbiór pusty z rodziny B). Korzystajac

z pewnika wyboru, znajdujemy funkcje �: B X taka, że �(B) " B dla każdego B " B.

Wówczas zbiór D = �[B] jest gesty w X, T (Fakt 2.20).

Twierdzenie 2.23. Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna ośrodkowa. Wówczas każda

rodzina U ą" T z ze zbiorów parami roz acznych jest przeliczalna.
lożona l

Dowód. Ustalmy zbiór przeliczalny gesty D ą" X. Niech U ą" T bedzie rodzina zbiorów

niepustych parami roz acznych. Zauważmy, że U )" D = " dla U " U. Korzystajac z pewnika
l

wyboru, możemy wiec znalez
ć funkcje � : U X take, że �(U) " U )" D dla każdego U " U.

Zauważmy, że � jest różnowartościowa, bo zbiory U )" D, gdzie U " U, sa parami roz aczne.
l

Stad |U| |D| 5!0, czyli rodzina U jest przeliczalna.

Twierdzenie 2.24. Niech D bedzie zbiorem gestym w przestrzeni metrycznej X, d . Wówczas

rodzina
B = {K(x, 1/n): x " D, n " N}
jest baza przestrzeni X, Td .
Dowód. Ustalmy W ą" Td i x " W . Niech r > 0 bedzie takie, że K(x, 2r) ą" W . Wez
my n " N

takie, że 1/n r. Wybierzmy y " D takie, że d(x, y) < r. Wówczas x " K(y, 1/n) oraz dla
z " K(y, 1/n) mamy
d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < 1/n + r 2r.
Tak wiec K(y, 1/n) ą" K(x, 2r) ą" W .

Wniosek 2.25. Każda ośrodkowa przestrzeń metryzowalna ma przeliczalna baze.

Ważna uwaga: istnieja przestrzenie topologiczne ośrodkowe, które nie maja bazy przeliczalnej.
Zadanie 4. Dla x " R zdefiniujmy
Ś(x) = {[x, y): y > x}.
Sprawdzić, że Ś jest systemem otoczeń na R. Wykazać, że przestrzeń R, TŚ jest ośrodkowa,
ale nie ma bazy przeliczalnej.
Przestrzeń opisana w powyższym zadaniu nazywana jest prosta Sorgenfrey a lub strza
lka.

18
3 Aksjomaty oddzielania
W rozdziale tym rozważamy pewne naturalne w
lasności przestrzeni topologicznych, zwane
aksjomatami oddzielania. Dowodzimy ważny Lemat Urysohna oraz twierdzenie o metryzo-
walności (pochodzace również od Urysohna).

3.1 Definicje i proste w
lasności
Niech X, T bedzie ustalona przestrzenia topologiczna. Poniższe w
lasności nazywamy aksjo-

matami oddzielania.
(T0) Dla każdych x, y " X istnieje U " T takie, że zbiór {x, y} )" U jest jednoelementowy.
(T1) Dla każdych x, y " X takich, że x = y istnieja U, V " T takie, że x " U, y " U oraz
/
x " V , y " V .
/
(T2) Dla każdych x, y " X takich, że x = y istnieja U, V " T takie, że x " U, y " V oraz

U )" V = ".
(T3) Dla każdego x " X oraz dla każdego zbioru domknietego B ą" X takiego, że x " B
/

istnieja U, V " T takie, że x " U, B ą" V oraz U )" V = ".
(T4) Dla każdych dwóch zbiorów domknietych A, B ą" X takich, że A )" B = " istnieja

U, V " T takie, że A ą" U, B ą" V oraz U )" V = ".
Przestrzeń spe lniajaca jedno-
lniajaca T2 nazywa sie przestrzenia Hausdorffa. Przestrzeń spe

cześnie T1 i T3 nazywa sie przestrzenia regularna. Przestrzenia normalna nazywamy przestrzeń

topologiczna, która spe jednocześnie T1 oraz T4.
lnia

Fakt 3.1. Przestrzeń topologiczna X, T spe T1 �!�! zbiór {x} jest domkniety dla
lnia

każdego x " X.
Dowód. (=�!) Ustalmy y = x. Stosujac T1 dostajemy w szczególności otoczenie U punktu y


takie, że x " U, czyli U )" {x} = ". Stad y " cl ({x}). To dowodzi, że cl ({x}) = {x}.
/ /

(�!=) Ustalmy x = y. Niech U = X \ {y}, V = X \ {x}. Wówczas z za zbiory U, V sa
lożenia
otwarte oraz x " U, y " U, x " V i y " V .
/ /
Nastepujacy fakt jest dość oczywisty.

Fakt 3.2. Nastepujace implikacje sa prawdziwe: T2 =�! T1 =�! T0. Ponadto T1 '" T4 =�!

T1 '" T3 =�! T2 (gdzie '" oznacza koniunkcje).

Stwierdzenie 3.3. Niech X, T bedzie przestrzenia topologiczna. Wówczas

(a) X, T spe T3 �!�! dla każdego x " X oraz dla każdego U " otT (x) istnieje
lnia
V " otT (x) takie, że cl (V ) ą" U.
19
(b) X, T spe T4 �!�! dla każdego zbioru domknietego A ą" X oraz dla każdego U " T
lnia

takiego, że A ą" U istnieje V " T takie, że A ą" V oraz cl (V ) ą" U.
Dowód. Dowody obu cześci sa podobne, zatem udowodnimy tylko (a).

(=�!) Za óżmy, że X, T spe T3 i ustalmy x " X oraz U " otT (x). Wówczas X \ U jest
l lnia
zbiorem domknietym i x " X \ U. Stosujac T3 dostajemy zbiory V, W " T takie, że
/

x " V, X \ U ą" W i V )" W = ".
Wówczas V ą" X \ W ą" U i zbiór X \ W jest domkniety, zatem cl (V ) ą" X \ W ą" U. Tak

wiec V " otT (x) i cl (V ) ą" U.

(�!=) Za óżmy, że X, T spe warunek w (b) i ustalmy x " X oraz zbiór domkniety B ą" X
l lnia

taki, że x " B. Wówczas U = X \ B jest otoczeniem x, zatem istnieje V " otT (x) takie, że
/
cl (V ) ą" U. Przyjmijmy W = X \ cl (V ). Wówczas B = X \ U ą" X \ cl (V ) = W . Tak wiec

V, W " T oraz
x " V, B ą" W, V )" W = ".
Z tego wynika, że X, T spe T3.
lnia
Stwierdzenie 3.4. Każda przestrzeń metryzowalna jest normalna.
Dowód. Ustalmy przestrzeń metryczna X, d . Zbiory skończone sa domkniete w X, Td (Fakt

1.8), zatem X, Td spe T1 na mocy Faktu 3.1. Ustalmy zbiory domkniete roz aczne A, B ą"
lnia l

X. Dla każdego x " A zdefiniujmy
1
f(x) = inf d(x, y).
2 y"B
Wówczas f(x) > 0, bo w przeciwnym razie dla każdego n " N istnia punkt bn " B taki,
lby
że d(x, bn) < 1/n i w konsekwencji x = limn" bn " cl (B) = B. Podobnie, dla x " B
zdefiniujmy
1
g(x) = inf d(x, y).
2 y"A
Wówczas g(x) > 0. Przyjmijmy

U = K(x, f(x)), V = K(x, g(x)).
x"A x"B
Wówczas zbiory U, V sa otwarte oraz A ą" U, B ą" V . Pozostaje sprawdzić, że U )" V = ".
Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas istnieje z " U )" V . Z definicji zbiorów U, V , istnieja
x " A, y " B takie, że z " K(x, f(x)) )" K(y, g(y)). To oznacza, że d(x, z) < f(x) i d(y, z) <
1 1
g(y). Z drugiej strony, z definicji funkcji f otrzymujemy, że f(x) infp"B d(x, p) d(x, y).
2 2
1
Podobnie g(y) d(y, x). Tak wiec
2
1 1
d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < f(x) + g(y) d(x, y) + d(x, y) = d(x, y),
2 2
co daje sprzeczność.
20
3.2 Lemat Urysohna
Twierdzenie 3.5 (Lemat Urysohna). Niech X bedzie przestrzenia normalna, niech A, B beda

roz acznymi zbiorami domknietymi w X. Wówczas istnieje funkcja ciag f : X [0, 1] taka,
l la

że A ą" f-1(0) oraz B ą" f-1(1).
Dowód. Niech Q )" [0, 1] = {qn : n " N}, gdzie q0 = 0, q1 = 1. Zbudujemy ciag zbiorów

otwartych {Un}n"N taki, że
(a) A ą" Un ą" X \ B oraz
(b) cl (Un) ą" Um dla każdych n, m takich, że qn < qm.
Przyjmijmy U1 = X \ B. Przypuśćmy, że zbiory U0, . . . , Un zosta już zbudowane. Niech
ly
l, r " N beda takie, że ql < qn+1 < qr oraz dla każdego i n zachodzi albo qi ql albo

qi qr. Z za
lożenia, cl (Ul) ą" Ur. Korzystajac z normalności przestrzeni X (Stwierdzenie

3.3(b)), możemy znalez
ć zbiór otwarty U taki, że
cl (Ul) ą" U ą" cl (U) ą" Ur.
Przyjmijmy Un+1 := U. Wówczas Un+1 spe nasze za (a), (b). Konstrukcja zbiorów
lnia lożenia
Un jest wiec wykonalna. Przyjmijmy Uq := Un dla q = qn " Q.

Zdefiniujmy
f(x) = sup{q " Q: x " Uq}.
/
Powyższy wzór definiuje funkcje f : X [0, 1] take, że A ą" f-1(0) i B ą" f-1(1). Pozostaje

sprawdzić, że f jest ciag
la.

Ustalmy liczbe rzeczywista r. Zauważmy, że


f(x) < r �!�! (" q < r) x " Uq �!�! x " Uq
qoraz

f(x) > r �!�! (" q > r) x " cl (Uq) �!�! x " (X \ cl (Uq)),
/
q>r, q"Q
z czego wynika, że f jest ciag
la.

Zadanie 5. Udowodnić, że przestrzenie metryzowalne spe silniejsza wersje Lematu Ury-
lniaja

sohna, mianowicie: dla każdych dwóch zbiorów domknietych roz acznych A, B ą" X istnieje
l

funkcja ciag f : X [0, 1] taka, że A = f-1(0) i B = f-1(1).
la

21
3.3 Twierdzenie o metryzowalności
Twierdzenie 3.6. Każda przestrzeń regularna posiadajaca baze przeliczalna jest metryzo-

walna.
Dowód. Niech X, T bedzie przestrzenia regularna i niech B bedzie baza przeliczalna w

X, T . Aby unikna ć problemów z niepustościa pewnych zbiorów, za óżmy, że X zawiera
l
przynajmniej dwa punkty. Dowód podzielimy na kilka kroków.
Krok 1: Dowodzimy, że X, T jest przestrzenia normalna (czyli spe T4).
lnia
Ustalmy w tym celu zbiory roz aczne domkniete A, B ą" X. Ustalmy a " A. Z regularności,
l

istnieja zbiory otwarte roz aczne Ua, Wa takie, że a " Ua oraz B ą" Wa. Zmniejszajac w
l

razie potrzeby zbiór Ua, możemy za że Ua " B. Zauważmy, że cl (Ua) ą" cl (X \ Wa) =
lożyć,
X \ Wa ą" X \ B. Mamy zatem
a " Ua " B oraz cl (Ua) ą" X \ B.

Zauważmy, że A ą" Ua. Rodzina {Ua : a " A} ą" B jest przeliczalna, zatem możemy ja
a"A
ponumerować, tzn. {Ua : a " A} = {Un : n " N}. Zatem

(a) A ą" Un oraz cl (Un) ą" X \ B.
n"N n"N
Podobnie, dla każdego b " B możemy znalez
ć zbiór otwarty Vb taki, że
b " Vb " B oraz cl (Vb) ą" X \ A.
Rodzina {Vb : b " B} ą" B jest przeliczalna, zatem {Vb : b " B} = {Vn : n " N}. Mamy zatem

(b) B ą" Vn oraz cl (Vn) ą" X \ A.
n"N n"N

Zdefiniujmy Un = Un \ (cl (V1) *" � � � *" cl (Vn)) oraz Vn = Vn \ (cl (U1) *" � � � *" cl (Un)). Wówczas

zbiory Un, Vn sa otwarte. Niech


U = Un oraz V = Vn.
n"N n"N
Z (a) i (b) wynika, że A ą" U i B ą" V . Ponadto zbiory U, V sa otwarte, bo każdy ze zbiorów

Un, Vn jest otwarty. Pozostaje wykazać, że U )" V = ".


Zauważmy w tym celu, że U )"V = (Uk )"Vl ), zatem wystarczy sprawdzić, że Uk )"Vl = "
k,l"N

dla każdych k, l " N. Ustalmy k, l. Jeśli k l, to Vl )" cl (Uk) = " i Uk ą" Uk, zatem w

szczególności Uk )" Vl = ". Podobnie, jeśli l k, to Uk )" Vl = ".
Krok 2: Twierdzimy, że dla każdego x " X i jego otoczenia W " T istnieja zbiory U, V " B
takie, że x " U ą" cl (U) ą" V ą" W .
22
Istotnie, istnieje V " B takie, że x " V ą" W (bo B jest baza). Nastepnie, korzystajac z T3

znajdujemy zbiory otwarte roz aczne G, H takie, że x " G i X \ V ą" H. Niech U " B bedzie
l

takie, że x " U ą" G. Wówczas cl (U) ą" cl (G) ą" cl (X \ H) = X \ H ą" V .
Krok 3: Oznaczmy przez P zbiór wszystkich par U, V , gdzie U, V " B sa takie, że cl (U) ą" V .
Krok 2 pokazuje, że zbiór P jest niepusty. Z kolei, zbiór P jest przeliczalny, bo rodzina B jest
przeliczalna. Możemy zatem napisać P = { Un, Vn : n " N}. Ustalmy n " N. Wówczas zbiory
cl (Un) i X \ Vn sa domkniete i roz aczne, zatem na mocy Lematu Urysohna istnieje funkcja
l

ciag fn : X [0, 1] taka, że
la

-1 -1
cl (Un) ą" fn (0) i X \ Vn ą" fn (1).
Niech F = {fn : n " N}.
Krok 4: Zdefiniujmy

1
f
(x, y) = max (x) - fn(y) , x, y " X.

n
n"N n
Pokażemy, że
(1) jest metryka na zbiorze X,
(2) T ą" T ,
(3) T ą" T .
To zakończy dowód twierdzenia.
Ad (1): Sprawdzamy warunki metryki. Oczywiście (x, x) = 0 oraz (x, y) 0. Ustalmy
x = y. Wówczas zbiór {y} jest domkniety i nie zawiera x, zatem na mocy kroku 2 istnieje


U, V " P takie, że x " U oraz V ą" X \ {y}. Niech n " N bedzie takie, że U, V = Un, Vn .

Wówczas fn(x) = 1 i fn(y) = 0, zatem (x, y) 1/n > 0. Tak wiec spe pierwszy
lnia

aksjomat metryki. Oczywiste jest, że (x, y) = (y, x). Pozostaje sprawdzić trzeci aksjomat
metryki, czyli warunek trójkata. Ustalmy w tym celu x, y, z " X. Niech n " N bedzie takie,

1
że (x, z) = |fn(x) - fn(z)|. Wówczas
n
1 1
(x, z) = |fn(x) - fn(z)| = |fn(x) - fn(y) + fn(y) - fn(z)|
n n
1 1
|fn(x) - fn(y)| + |fn(y) - fn(z)| (x, y) + (y, z).
n n
Ad (2): Ustalmy W " T oraz x " W . Niech Un, Vn " P beda takie, że x " U ą" cl (U) ą"

V ą" W . Wówczas fn(x) = 1 i fn(y) = 0 dla y " X \ V . Tak wiec, dla y " X \ V mamy

1 1
(x, y) |fn(x) - fn(y)| = .
n n
23
1 1
Innymi s (x, y) < implikuje y " V . Zatem K (x, ) ą" V ą" W . To dowodzi, że
lowy,
n n
W " T .
Ad (3): Ustalmy p " X i n " N. Zauważmy, że
1 1
x " K(p, 1/n) �!�! (" i n) |fi(x) - fi(p)| < ,
i n
1 1 1 1
ponieważ dla i > n mamy |fi(x)-fi(p)| < . Niech hi(x) = |fi(x)-fi(p)|. Wówczas
i n+1 n i
hi jest funkcja ciag a, jako z funkcji ciag Ponadto, z powyższej równoważności
l lożenie lych.

wynika, że


1
K (p, 1/n) = h-1 -", ,
i
n
i n
zatem K (p, 1/n) " T . Zbiory postaci K (p, 1/n) tworza baze topologii T , z czego wynika, że

T ą" T .
24
4 Zwartość
Zwartość jest najważniejszym pojeciem topologii ogólnej. Klasa przestrzeni zwartych ma bar-

dzo dobre w lach
lasności i jest użyteczna w różnych dzia matematyki.
4.1 Definicje
Przestrzeń topologiczna X, T nazywamy zwarta, jeśli dla każdej rodziny U ą" T takiej,


że U = X istnieje podrodzina skończona U0 ą" U taka, że U0 = X. Aby uprościć
sformu
lowania różnych twierdzeń, wprowadza sie nastepujace pojecia. Rodzine A nazywamy


pokryciem przestrzeni X, jeśli X = A. Jeśli zachodzi A ą" A, to mówimy, że A jest po-
kryciem zbioru A. Pokrycie A nazywamy otwartym, jeśli sk sie ze zbiorów otwartych.
lada

Podpokryciem pokrycia A nazywamy dowolna podrodzine A, która jest również pokryciem.

Teraz możemy definicje zwartości wyrazić krótko: Przestrzeń X jest zwarta, jeżeli z każdego

pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać podpokrycie skończone.
Podzbiór A przestrzeni topologicznej X nazywamy zbiorem zwartym, jeśli A wraz z topologia
indukowana jest przestrzenia zwarta.

Fakt 4.1. (a) Każda przestrzeń topologiczna skończona jest zwarta.
(b) Podzbiór domkniety przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód. Zdanie (a) jest oczywiste, wykażemy zatem tylko (b). Ustalmy przestrzeń zwarta
X, T i zbiór domkniety A ą" X. Niech U bedzie pokryciem otwartym A. Wówczas U =

{V )" A: V " V}, gdzie V ą" T . Niech V = V *" {X \ A}. Wówczas V jest pokryciem otwartym

X. Ze zwartości, istnieje podrodzina skończona V0 ą" V taka, że X = V0 *" (X \ A). Rodzina
U0 = {V )" A: V " V0} jest podpokryciem skończonym pokrycia U.
1
Przyk 4.2. Niech X = {0}*"{n : n " N} bedzie podprzestrzenia zbioru liczb rzeczywistych
lad

ze zwyk a topologia. Wówczas X jest zwarta. Istotnie, majac dane pokrycie otwarte U zbioru
l

1
X i ustalajac U0 " U takie, że 0 " U, możemy znalez
ć k " N takie, że " U0 dla n k (z
n
1
definicji granicy ciagu). Dalej, wybieramy dla każdego i < k zbiór Ui " U taki, że " Ui.
i
Wówczas {U0, U1, . . . , Uk-1} jest skończonym podpokryciem pokrycia U.
4.2 Charakteryzacje zwartości
Rodzine zbiorów F nazywamy scentrowana, jeśli F = " oraz dla każdego skończonego F0 ą" F



zachodzi F0 = tzn. każda skończona podrodzina rodziny F ma niepusty przekrój. Dla

",
F " F mamy {F } = F , zatem rodzina scentrowana sk sie ze zbiorów niepustych.
lada

Wykorzystujac prawa de Morgana, dostajemy nastepujaca równoważna definicje zwartości:

Fakt 4.3. Przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana
rodzina jej podzbiorów domknietych ma niepusty przekrój.

25
Dowód. Ustalmy przestrzeń topologiczna X, T . Dla A ą" P(X) zdefiniujmy A" = {X \
U : U " A}. Wówczas A = (A")" oraz A sk sie ze zbiorów otwartych �!�! rodzina A"
lada

sk sie ze zbiorów domknietych.
lada


Z de Morgana X \ A = A" wynika, że A jest pokryciem wtedy i tylko wtedy, gdy
prawa
A" = ". Z kolei, A zawiera podpokrycie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina A" nie
jest scentrowana.
Tak wiec zdanie każde pokrycie otwarte zawiera podpokrycie skończone jest równoważne


zdaniu żadna rodzina zbiorów domknietych o pustym przekroju nie jest scentrowana .


Wniosek 4.4. Niech X bedzie przestrzenia zwarta. Wówczas każdy zstepujacy ciag

F1 �" F2 �" F3 �" . . .
z z niepustych podzbiorów domknietych w X ma przekrój niepusty.
lożony

Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeśli ciag (Fn)n"N jest zstepujacy i sk sie ze zbiorów
lada

niepustych, to rodzina {F1, F2, . . . } jest scentrowana.
Stwierdzenie 4.5. Niech B bedzie baza przestrzeni topologicznej X, T i za óżmy, że każde
l

pokrycie otwarte zbioru X z ze zbiorów z bazy B zawiera podpokrycie skończone. Wów-
lożone
czas X, T jest przestrzenia zwarta.

Dowód. Ustalmy pokrycie otwarte U zbioru X. Rozważmy
V = {V " B : (" U " U) V ą" U}.
Ustalmy x " X. Wówczas x " U dla pewnego U " U, zatem x " V ą" U dla pewnego
V " B, ponieważ B jest baza. To dowodzi, że V ą" B jest pokryciem X. Z za
lożenia, istnieja

V1, . . . , Vn " V takie, że X = V1 *" � � � *" Vn. Z definicji rodziny V, dla każdego i n możemy
wybrać Ui " U takie, że Vi ą" Ui. Wówczas {U1, . . . , Un} jest skończonym podpokryciem
pokrycia U.
Powyższe kryterium zwartości jest prawdziwe przy s lożeniu, dowód jest jednak
labszym za
znacznie trudniejszy:
Twierdzenie 4.6 (Lemat Alexandera). Niech A bedzie podbaza przestrzeni topologicznej


X, T taka, że A = X. Za óżmy, że każde pokrycie U zbioru X takie, że U ą" A zawiera
l

podpokrycie skończone. Wówczas X, T jest przestrzenia zwarta.

Dowód. Przypuśćmy, że X, T nie jest zwarta i ustalmy pokrycie W ą" T , które nie za-
wiera podpokrycia skończonego. Niech G �" W bedzie maksymalnym (ze wzgledu na inkluzje)

pokryciem otwartym X, które nie ma podpokrycia skończonego. Istnienie takiego pokrycia
26
wynika z Lematu Kuratowskiego-Zorna: G jest elementem maksymalnym zbioru cześciowo

uporzadkowanego

P = {H ą" T : H �" W i H nie zawiera podpokrycia skończonego}

z relacja inkluzji ą". Istotnie, jeśli C jest lańcuchem w P, ą" , to C jest ograniczeniem górnym

dla C.
Niech U = G )"A. Zauważmy, że U ą" A nie jest pokryciem X, ponieważ w przeciwnym razie U
zawiera podpokrycie skończone U0, ale wówczas U0 by też skończonym podpokryciem
loby loby
pokrycia G.

Ustalmy x " X \ U. Istnieje Wx " W takie, że x " Wx (ponieważ W = X). Z w
lasności
podbazy (Stwierdzenie 2.11), istnieja zbiory V1, . . . , Vn " A takie, że x " V1 )" � � � )" Vn ą" Wx.

Zauważmy, że Vi " G, bo w przeciwnym razie mielibyśmy, że x " Vi " U, ale x " U.
/ /
Ustalmy i n. Jaki jest powód, że Vi " G? Otóż, rodzina Wi := G *" {Vi} jest pokryciem
/
otwartym X, zatem z maksymalności G wynika, że Wi " P, czyli że Wi zawiera podpokrycie
/

skończone. To z kolei oznacza, że istnieje rodzina skończona Vi ą" G taka, że X = Vi *" Vi.
Niech teraz V = V1 *" � � � *" Vn. Wówczas rodzina V ą" G jest skończona i zachodzi równość

X = Vi *" V
dla każdego i = 1, . . . , n. Ostatecznie, wykorzystujac prawo rozdzielności, dostajemy

n


X �" Wx *" V �" (V1 )" � � � )" Vn) *" V = Vi *" V = X.
i=1
Z tego wynika, że rodzina {Wx} *" V jest skończonym podpokryciem pokrycia G. To daje
sprzeczność z faktem, że G " P.
Przyk 4.7. Przedzia [0, 1] jest przestrzenia zwarta. Istotnie, rodzina
lad l

A = {[0, t): t " (0, 1)} *" {(t, 1]: t " (0, 1)}
jest podbaza [0, 1] i z każdego pokrycia zbiorami z rodziny A można wybrać podpokrycie
dwuelementowe. Poniżej podajemy bezpośredni dowód zwartości [0, 1], nie wykorzystujacy

Lematu Alexandera.
Ustalmy pokrycie otwarte U zbioru [0, 1] i rozważmy zbiór

S = {t 1: (" U0 ą" U) U0 jest skończone oraz [0, t] ą" U0}.
Niech b = sup S. Po pierwsze, zauważmy, że b > 0, bo 0 " U dla pewnego U " U, zatem
istnieje r > 0 takie, że [0, r] ą" U co oznacza, że r " S. Przypuśćmy, że b < 1. Niech W " U
bedzie takie, że b " W . Istnieja c < b < d takie, że [c, d] ą" W . Wówczas c " S, zatem

przedzia [0, d] = [0, c] *" [c, d] jest pokryty skończona ilościa zbiorów z rodziny U. Stad d " S,
l

sprzeczność. To dowodzi, że b = 1. Ten sam argument pokazuje, że b " S, czyli U zawiera
podpokrycie skończone.
27
4.3 Zwarte przestrzenie Hausdorffa
Lemat 4.8. Niech X bedzie przestrzenia Hausdorffa. Wówczas każde dwa zbiory zwarte

roz aczne w X można oddzielić zbiorami otwartymi.
l

Dowód. Ustalmy zbiory zwarte roz aczne A, B ą" X. Korzystajac z T2, dla każdej pary
l

punktów a, b takiej, że a " A oraz b " B ustalmy zbiory otwarte roz aczne Ua,b, Va,b ta-
l


kie, że a " Ua,b i b " Va,b. Ustalmy b " B. Wówczas A ą" Ua,b zatem korzystajac ze
a"A
k
zwartości zbioru A znajdujemy a1, . . . , ak " A takie, że A ą" Uai,b. Niech
i=1
Ub := Ua1,b *" � � � *" Uak,b oraz Vb := Va1,b )" � � � )" Vak,b.
Wówczas zbiory Ub, Vb sa otwarte, A ą" Ub, b " Vb i Ub Vb = ". Korzystajac ze zwartości

l)"
zbioru B możemy znalez
ć b1, . . . , bl " B takie, że B ą" Vbi. Przyjmijmy
i=1
U := Ub1 )" � � � )" Ubl oraz V := Vb1 *" � � � *" Vbl.
Wówczas zbiory U, V sa otwarte, A ą" U, B ą" V i U )" V = ".
Twierdzenie 4.9. Każdy zbiór zwarty w przestrzeni Hausdorffa jest domkniety.

Dowód. Niech X bedzie przestrzenia Hausdorffa i niech A ą" X bedzie zwarty. Ustalmy x "

X \A. Wówczas {x} jest zbiorem zwartym roz acznym z A, zatem na mocy Lematu 4.8 istnieja
l

zbiory otwarte roz aczne U, V takie, że x " U i A ą" V . W szczególności U )" A = ", zatem
l

x " cl (A). Z tego wynika, że A = cl (A).
/
Twierdzenie 4.10. Każda przestrzeń zwarta Hausdorffa jest normalna.
Dowód. Niech X bedzie przestrzenia zwarta spe
lniajaca T2. Ustalmy zbiory domkniete roz-


laczne A, B ą" X. Wówczas A, B sa zwarte, zatem na mocy Lematu 4.8 istnieja zbiory otwarte

roz aczne oddzielajace A, B. To dowodzi T4.
l

Twierdzenie 4.11. Niech X bedzie przestrzenia zwarta, zaś Y niech bedzie przestrzenia

Hausdorffa. Niech f : X Y bedzie odwzorowaniem ciag Wówczas f[X] jest zbiorem
lym.

zwartym oraz f jest przekszta
lceniem domknietym, tzn. zbiór f[A] jest domkniety dla każdego

zbioru domknietego A ą" X.

Dowód. Ustalmy pokrycie otwarte U zbioru f[X]. Wówczas V = {f-1[U]: U " U} jest po-
kryciem otwartym X, zatem na mocy zwartości istnieje podpokrycie skończone V0 ą" V. Niech
U0 ą" U bedzie takie, że V0 = {f-1[U]: U " U0}. Wówczas U0 jest pokryciem f[X], bo w

przeciwnym razie mielibyśmy

" = f-1[f[X] \ U0] = X \ f-1[U] = X \ V0 = ".

U"U0
28
Tak wiec f[X] jest zbiorem zwartym. Każdy zbiór domkniety w przestrzeni zwartej jest zwarty,

zatem na mocy udowodnionej cześci wnioskujemy, że obraz f[A] jest zwarty dla każdego zbioru

domknietego A ą" X. Twierdzenie 4.9 mówi zatem, że f jest odwzorowaniem domknietym.

Wniosek 4.12. Niech X, T bedzie przestrzenia zwarta Hausdorffa i za óżmy, że T1 ą" T
l

jest topologia na X taka, że X, T1 jest przestrzenia Hausdorffa. Wówczas T1 = T .

Dowód. Rozważmy odwzorowanie identycznościowe f : X, T X, T1 , f(x) = x. Wówczas
f jest ciag bo T1 ą" T , zatem na mocy Twierdzenia 4.11 f jest domkniete. To oznacza że
le,

f-1 jest ciag i w konsekwencji T1 = T .
le

Przyk 4.13. Jak opisać zwarte podzbiory zbioru liczb rzeczywistych? Otóż, jak wiemy
lad
z Przyk 4.7, przedzia [0, 1] jest zwarty, zatem także każdy przedzia postaci [a, b], gdzie
ladu l l
a, b " R jest zwarty. Fakt 4.1 daje zatem wniosek, że dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0,
każdy podzbiór domkniety przedzia [-r, r] jest zwarty. Z drugiej strony, zbiór zwarty w R
lu

musi być domkniety, na mocy Twierdzenia 4.9. Ponadto, rodzina {(-n, n)}n"N jest pokryciem

otwartym R, zatem jeśli X ą" R jest zwarty, to X ą" [-n, n] dla pewnego n " N. Ostatecznie:
podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety i

ograniczony.
Okazuje sie, że powyższy przyk można uogólnić na Rn (n " N), co wykażemy póz
niej.
lad

Twierdzenie 4.14. Każda funkcja ciag z przestrzeni zwartej w zbiór liczb rzeczywistych
la

jest ograniczona i przyjmuje zarówno swój kres górny jak i dolny.
Dowód. Niech X bedzie przestrzenia zwarta i niech f : X R bedzie ciag Na mocy Twier-
la.

dzenia 4.11 zbiór B = f[X] jest zwarty w R. Przyk 4.13 mówi, że B jest zbiorem do-
lad
mknietym i ograniczonym. W szczególności sup f[X] = max B " B i inf fX = min B " B.

4.4 Twierdzenie Tichonowa
Przypominamy, że majac dane przestrzenie topologiczne X, TX , Y, TY , topologia produk-

towa (zwana też topologia Tichonowa) na X � Y jest generowana przez wszystkie zbiory
postaci U � V , gdzie U " TX, V " TY . Ponadto, rodzina tychże zbiorów jest baza topologii,
ponieważ (U1 � V1) )" (U2 � V2) = (U1 )" U2) � (V1 )" V2).
Poniżej podajemy i dowodzimy ważne twierdzenie o zwartości produktu. Dla uproszczenia
rozważamy tu produkty dwóch przestrzeni topologicznych. Na koniec podamy uwagi dotyczace

dowolnych produktów.
Twierdzenie 4.15 (Twierdzenie Tichonowa). Niech X, TX , Y, TY beda przestrzeniami

zwartymi. Wówczas zbiór X � Y z topologia produktowa jest przestrzenia zwarta.

29
Dowód. Wykorzystamy Lemat Alexandera. Rodzina
P = {U � Y : U " TX} *" {X � V : V " TY }

jest podbaza topologii produktowej taka, że P = X � Y . Ustalmy pokrycie W ą" P i

zdefiniujmy
U = {U " TX : U � Y " W}, V = {V " TY : X � V " W}.

Twierdzimy, że X = U lub Y = V. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas istnieja x " X

oraz y " Y takie, że x " U i y " V. Z drugiej strony x, y " X � Y , zatem x, y " W
/ /
dla pewnego zbioru W " W. Z kolei W = U � Y lub W = X � V , zatem x " U " U lub
y " V " V, sprzeczność.
Tak wiec U jest pokryciem otwartym X lub V jest pokryciem otwartym Y . W pierwszym

przypadku, korzystajac ze zwartości X, wybieramy U1, . . . , Uk " U, takie, że X = U1*"� � �*"Uk.

Wówczas {U1 � Y, . . . , Uk � Y } ą" W oraz
X � Y = (U1 � Y ) *" � � � *" (Uk � Y ).
Podobnie w drugim przypadku, korzystajac ze zwartości Y , możemy wybrać V1, . . . , Vl " V

takie, że Y = V1 *" � � � *" Vl i w konsekwencji {X � V1, . . . , X � Vl} ą" W oraz
X � Y = (X � V1) *" � � � *" (X � Vl).
W obu przypadkach widzimy, że W zawiera podpokrycie skończone.
Proste zastosowanie indukcji matematycznej daje:
Wniosek 4.16. Produkt skończonej ilości przestrzeni zwartych jest zwarty.
Wniosek 4.17. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a < b oraz dla każdego m " N przestrzeń
[a, b]m jest zwarta.
Dowód. Aby zastosować Twierdzenie Tichonowa, trzeba tylko sprawdzić, że topologia produk-
towa zgadza sie ze zwyk a topologia na [a, b]m. Biorac metryke maksimum dana wzorem
l


(x, y) = max |xi - yi|,
i m
gdzie x = (x1, . . . , xm), y = (y1, . . . , ym), widzimy, że kule otwarte sa postaci U1 � � � � � Um,
gdzie U1, . . . Um sa przedzia otwartymi w R. Tak wiec topologia produktowa ma taka
lami

sama baze jak topologia wyznaczona przez .

Jako zastosowanie, możemy opisać zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowych.
Twierdzenie 4.18. Niech m " N. Podzbiór przestrzeni Rm (ze zwyk a topologia) jest zwarty
l

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety i ograniczony.

30
Dowód. (=�!) Za óżmy, że X ą" Rm jest zwarty. Wówczas
l

X ą" K(0, n),
n"N
gdzie kule sa rozważane np. w metryce euklidesowej. Ze zwartości, istnieje n " N takie, że
X ą" K(0, n). Stad X jest ograniczony. Z kolei X jest domkniety, bo Rm jest przestrzenia

Hausdorffa.
(�!=) Za óżmy, że X jest domkniety i ograniczony. Wówczas X ą" [-n, n]m dla pewnego
l

n " N, a z Twierdzenia Tichonowa wynika, że zbiór [-n, n]m jest zwarty. Stad X jest zwarty

jako domkniety podzbiór przestrzeni zwartej.

Twierdzenie Tichonowa jest prawdziwe dla dowolnych produktów. Dowód, z użyciem Lematu
Alexandera, przebiega analogicznie jak w przypadku produktu dwóch przestrzeni. Dotychczas
jednak nie zdefiniowaliśmy topologii produktowej w przypadku nieskończonych produktów.
Majac dany zbiór indeksów S oraz przestrzenie topologiczne Xs, Ts dla s " S, definiuje sie

topologie produktowa na produkcie


Xs
s"S
podajac jej podbaze jako rodzine wszystkich zbiorów postaci


-1
Ąt [U] = {x " Xs : x(t) " U},
s"S

gdzie t " S oraz U " Ts. Pamietajmy, że produkt Xs sk sie z wszystkich funkcji
lada
s"S

x o dziedzinie S, takich, że x(s) " Xs dla każdego s " S. Funkcja Ąt : Xs Xt jest
s"S
rzutowaniem, które staje sie ciag przy topologii produktowej.
le

Warto wspomnieć, że w przypadku, gdy S = {1, 2, . . . } oraz Xn, dn sa przestrzeniami me-
"
trycznymi z metrykami ograniczonymi przez 1, topologia produktowa na Xn zgadza sie
n=1
z topologia wyznaczona przez metryke dana wzorem

1
(x, y) = max dn(x(n), y(n)).
n"N n

Baza topologii na nieskończonym produkcie Xs tworza zbiory postaci
s"S

Us,
s"S
gdzie dla każdego s " S zbiór Us jest otwarty w Xs oraz Us = Xs dla prawie wszystkich s " S,
tzn. Us = Xs dla s " S \ T , gdzie T jest zbiorem skończonym.
31
Twierdzenie 4.19 (Twierdzenie Tichonowa). Niech S bedzie niepustym zbiorem indeksów i

niech Xs bedzie przestrzenia zwarta dla każdego s " S. Wówczas produkt


Xs
s"S
wraz z topologia produktowa jest przestrzenia zwarta.

Zadanie 6. Udowodnić powyższe twierdzenie.
32
5 Zwartość w przestrzeniach metrycznych
W rozdziale tym badamy zwarte przestrzenie metryzowalne i charakteryzujemy je przy użyciu
ciagów.

5.1 Ciagowa zwartość

Przypomnijmy, że podciagiem ciagu (xn)n"N nazywamy każdy ciag postaci (xn)n"M , gdzie M

jest nieskończonym podzbiorem zbioru wskaz
ników N.
Przestrzeń topologiczna X nazywamy ciagowo zwarta, jeżeli każdy ciag (xn)n"N ą" X zawiera

podciag zbieżny w X.

Stwierdzenie 5.1. Niech X bedzie przestrzenia ciagowo zwarta. Wówczas każde przeliczalne

pokrycie otwarte przestrzeni X zawiera podpokrycie skończone.
Dowód. Niech U = {Un}n"N bedzie pokryciem otwartym X. Przypuśćmy, że U nie zawiera

podpokrycia skończonego. Dojdziemy do sprzeczności, znajdujac ciag w X, który nie zawiera

podciagu zbieżnego. Dla każdego n " N wybierzmy xn " X \ (U1 *" � � � *" Un). Jest to możliwe,

gdyż {U1, . . . , Un} nie jest pokryciem X. Ustalmy x " X. Wówczas x " Un dla pewnego n " N
oraz xk " Un dla k n. Z tego wynika, że x ma otoczenie zawierajace tylko skończenie wiele
/

wyrazów ciagu (xn)n"N, czyli x nie jest granica żadnego podciagu ciagu (xn)n"N. Punkt x by
l

ustalony dowolnie, zatem ciag (xn)n"N nie zawiera podciagu zbieżnego w X.

T lo
lumaczac powyższe stwierdzenie na jezyk zbiorów domknietych, tak jak by to robione w

dowodzie Faktu 4.3, otrzymujemy wniosek analogiczny do Wniosku 4.4:
Wniosek 5.2. Każdy zstepujacy ciag zbiorów domknietych niepustych w przestrzeni ciagowo

zwartej ma przekrój niepusty.
Powstaje naturalne pytanie: jaki jest zwiazek zwartości z ciagowa zwartościa? Okazuje sie, że

istnieja przestrzenie Hausdorffa zwarte, które nie sa ciagowo zwarte; istnieja też przestrzenie

Hausdorffa ciagowo zwarte, które nie sa zwarte.

5.2 Ca
lkowita ograniczoność
Przestrzeń metryczna X, d nazywamy ca
lkowicie ograniczona, jeśli dla każdego � > 0 istnieje

zbiór skończony S ą" X taki, że
(" x " X) (" y " S) d(x, y) < �.
Zbiór S nazywamy �-siecia w X, d .
Stwierdzenie 5.3. Każda przestrzeń metryczna ca
lkowicie ograniczona ma przeliczalna baze.

33
Dowód. Niech X, d bedzie przestrzenia ca
lkowicie ograniczona. Wobec Wniosku 2.25, wy-

starczy sprawdzić, że X jest ośrodkowa. W tym celu, dla każdego n " N wybierzmy zbiór

skończony Dn ą" X, który jest (1/n)-siecia w X, d . Wówczas zbiór D = Dn jest prze-
n"N
liczalny i gesty w X.

Stwierdzenie 5.4. Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ca
lkowicie ograniczona.
Dowód. Ustalmy przestrzeń metryczna zwarta X, d i ustalmy � > 0. Rodzina
U = {K(x, �): x " X}
jest pokryciem otwartym X, zatem ze zwartości możemy znalez
ć x1, . . . , xn " X takie, że
X = K(x1, �)*"� � �*"K(xn, �). Wówczas zbiór {x1, . . . , xn} jest skończona �-siecia w X, d .
5.3 Charakteryzacja zwartości przestrzeni metryzowalnych
Twierdzenie 5.5. Przestrzeń metryzowalna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciagowo

zwarta.
Dowód. Ustalmy przestrzeń metryzowalna X, T i ustalmy metryke d na zbiorze X wyzna-

czajaca topologie T .

(=�!) Zak
ladamy, że X, T jest zwarta. Ustalmy ciag (xn)n"N ą" X. Niech

Fn = cl ({xk : k n}) .
Wówczas F1 �" F2 �" . . . i zbiory sa domkniete niepuste. Ze zwartości X wnioskujemy,

Fn
iż Fn = ". Ustalmy x " Fn. Ustalmy n " N. Wówczas x " Fn, zatem kula

n"N n"N
K(x, 1/n) przecina zbiór {xk : k n} (z w
lasności domkniecia  Twierdzenie 2.8). Wybierzmy

kn n takie, że d(x, xkn) < 1/n. Wówczas (xkn)n"N jest podciagiem ciagu (xn)n"N oraz

limn" xkn = x. Tak wiec X, T jest ciagowo zwarta.

(�!=) Zak lkowicie
ladamy, że X, T jest ciagowo zwarta. Pokażemy najpierw, że X, d jest ca

ograniczona.
Ustalmy � > 0. Próbujemy konstruować indukcyjnie ciag nieskończony x1, x2, . . . punktów

zbioru X, w taki sposób, aby d(xi, xj) � dla i = j. Zaczynamy wybierajac dowolne x1 " X.


Majac już wybrane x1, . . . , xn takie, że d(xi, xj) � dla i < j n, szukamy x " X takiego,

że d(x, xi) � dla każdego i n. Przyjmujemy wtedy xn+1 := x.
Jeśli powyższa konstrukcja sie uda, to otrzymamy ciag (xn)n"N, który nie zawiera podciagu

zbieżnego, bo odleg różnych punktów sa ograniczone z do przez �. To jednak przeczy
lości lu
ciagowej zwartości przestrzeni X, T . Tak wiec powyższa konstrukcja nie jest wykonalna,

czyli dla pewnego n " N nie istnieje x " X takie, że d(x, xi) � dla każdego i n. To
oznacza, że zbiór S = {x1, x2, . . . , xn} jest skończona �-siecia w X, d .
Tak wiec X, T jest ca
lkowicie ograniczona. Stwierdzenie 5.3 mówi zatem, że X, T ma

przeliczalna baze B. Z kolei na mocy Stwierdzenia 5.1 wnioskujemy, iż każde pokrycie otwarte

34
X z ze zbiorów rodziny B zawiera podpokrycie skończone. Stad X, T jest zwarta, na
lożone

mocy Stwierdzenia 4.5.
35
6 Zupe
lność
W rozdziale tym powracamy do przestrzeni metrycznych i zajmiemy sie ważnym pojeciem

zupe
lności.
6.1 Definicje i proste w
lasności
Mówimy, że (xn)n"N spe warunek Cauchy ego lub, że (xn)n"N jest ciagiem Cauchy ego,
lnia

jeśli
(" � > 0)(" n0)(" m n0)(" n n0) d(xm, xn) < �.
Z warunku trójkata wynika, że każdy ciag zbieżny spe warunek Cauchy ego. Istotnie,
lnia

majac dany ciag (xn)n"N zbieżny do x w X, d i ustalajac �, możemy znalez
ć n0 takie, że

d(xn, x) < �/2 dla n n0; wówczas mamy d(xn, xm) d(xn, x) + d(x, xm) < � dla wszystkich
m, n n0. Przestrzeń metryczna X, d nazywamy zupe jeżeli każdy ciag Cauchy ego w
lna,

X, d jest zbieżny w X, d . Metryke d o tej w lna.
lasności nazywamy metryka zupe

Podstawowym i bazowym przyk przestrzeni zupe jest zbiór liczb rzeczywistych:
ladem lnej

Fakt 6.1. Zbiór liczb rzeczywistych ze zwyk a odleg jest przestrzenia metryczna zupe
l lościa lna.

Dowód. Korzystamy z faktu, że zbiór liczb rzeczywistych jest uporzadkowany w sposób ciag
ly,

tzn. każdy zbiór ograniczony A ą" R ma kres górny i dolny.
Niech (xn)n"N bedzie ciagiem Cauchy ego w R. Przyjmijmy

an = inf xk i bn = sup xk.
k n
k n
Wówczas a1 a2 a3 . . . an bn . . . b3 b2 . . . b1. Z warunku Cauchy ego
wynika, że dla każdego � > 0 istnieje n0 takie, że bn0 - an0 �. To oznacza, że
lim (bn - an) = 0.
n"
Niech g = supn"N an. Wówczas także g = infn"N bn oraz g = limn" xn.
Poniżej podajemy kryterium u
latwiajace sprawdzanie warunku Cauchy ego.

Lemat 6.2. Niech (xn)n"N bedzie ciagiem w przestrzeni metrycznej X, d i niech ąn 0

"
beda liczbami rzeczywistymi takimi, że ąn < +" oraz d(xn, xn+1) ąn dla każdego
n=1
n " N. Wówczas (xn)n"N jest ciagiem Cauchy ego w X, d .

36
 "
Dowód. Ustalmy � > 0 i wybierzmy n0 takie, że ąn < �. Dla n n0, korzystajac
n=n0
indukcyjnie z warunku trójkata, otrzymujemy

d(xn, xn+k) d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+k)
d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + d(xn+2, xn+k)
. . .
n+k-1 n+k-1 " "

d(xi, xi+1) ąi ąi ąn < �.
n=n0
i=n i=n i=n
Tak wiec dla m, n n0 mamy d(xn, xm) < �.

Fakt 6.3. Niech (xn)n"N bedzie ciagiem Cauchy ego w przestrzeni metrycznej X, d . Jeżeli

istnieje podciag (xkn)n"N zbieżny do x " X, to również ciag (xn)n"N jest zbieżny do x.

Dowód. Ustalmy � > 0 i z warunku Cauchy ego wybierzmy n0 takie, że d(xn, xm) < �/2 dla
n, m n0. Z definicji granicy, istnieje m takie, że d(xkn, x) < �/2 dla n m. Ustalmy n n0.
Wybierzmy i m takie, że ki > n. Wówczas d(xn, xki) < �/2 oraz d(xki, x) < �/2, zatem
d(xn, x) d(xn, xki) + d(xki, x) < �/2 + �/2 = �.
Tak wiec d(xn, x) < � dla n n0.

Fakt 6.4. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna i niech Y ą" X. Jeśli Y, d jest prze-

strzenia zupe to Y jest zbiorem domknietym w X.
lna,

Dowód. Ustalmy x " cl (Y ). Wówczas istnieje ciag (yn)n"N ą" Y taki, że x = limn" yn. Ciag

(yn)n"N spe warunek Cauchy ego w Y, d , zatem jest zbieżny w Y, d . Z jedyności granicy
lnia
wynika, że x " Y .
Wniosek 6.5. Podzbiór przestrzeni metrycznej zupe z metryka indukowana jest prze-
lnej
strzenia zupe wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety.
lna

Dowód. Wobec powyższego faktu, wystarczy sprawdzić, że podzbiór domkniety Y przestrzeni

zupe X, d jest zupe Ustalmy ciag Cauchy ego (yn)n"N w Y . Z zupe X, d ,
lnej lny. lności

istnieje x " X takie, że x = limn" yn. Wówczas jednak x " cl (Y ) = Y .
6.2 Zwartość a zupe
lność
Lemat 6.6. Każdy ciag w przestrzeni metrycznej ca
lkowicie ograniczonej zawiera podciag

spe
lniajacy warunek Cauchy ego.

37
Dowód. Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna ca
lkowicie ograniczona. Ustalmy dla każ-

dego n " N skończona (1/n)-sieć Dn ą" X. Ustalmy ciag Cauchy ego (xn)n"N ą" X.


Zauważmy, że X = K(p, 1), ponieważ D1 jest 1-siecia. Zasada szufladkowa mówi zatem,
p"D1
że istnieje p1 " D1 takie, że zbiór
M1 = {n " N: d(xn, p1) < 1}
jest nieskończony.
Dalej, znajdujemy indukcyjnie nieskończone zbiory indeksów M1 �" M2 �" M3 �" . . . spe
lnia-
jace dla każdego n " N warunek:

(*) istnieje pn " Dn takie, że {xi : i " Mn} ą" K(pn, 1/n).
Majac dany zbiór Mn, możemy stosować zasade szufladkowa, ponieważ


{xi : i " Mn} ą" X = K(p, 1/(n + 1)).
p"Dn+1
Otrzymujemy zbiór nieskończony Mn+1 ą" Mn taki, że {xi : i " Mn+1} ą" K(pn+1, 1/(n + 1))
dla pewnego pn+1 " Dn+1.
Majac już znalezione zbiory Mn, wybierzmy k1 < k2 < k3 < . . . w taki sposób, aby kn " Mn.

Jest to możliwe, ponieważ zbiory Mn sa nieskończone. Pokażemy, że (xkn)n"N jest ciagiem

Cauchy ego, co zakończy dowód.
Ustalmy � > 0 i wybierzmy n0 takie, że 2/n0 �. Wówczas dla m, n n0 mamy xkn " Mn ą"
Mn0 i xkm " Mm ą" Mn0, zatem
d(xkn, xkm) d(xkn, pn0) + d(pn0, xkm) < 1/n0 + 1/n0 �.
Tak wiec d(xkn, xkm) < � dla m, n n0.

Fakt 6.7. Niech X, T bedzie przestrzenia zwarta metryzowalna. Wówczas każda metryka

wyznaczajaca topologie T jest zupe
lna.

Dowód. Niech bedzie metryka na X taka, że T = T . Ustalmy ciag Cauchy ego (xn)n"N

w X, . Na mocy Twierdzenia 5.5, ciag ten zawiera podciag zbieżny do pewnego x " X. Z

kolei Fakt 6.3 mówi, że ciag (xn)n"N jest też zbieżny do x.

Twierdzenie 6.8. Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupe i
lna
ca
lkowicie ograniczona.
Dowód. (=�!) Za óżmy, że X, d jest przestrzenia metryczna zwarta. Wówczas metryka d jest
l

zupe na mocy Faktu 6.7. Ponadto X, d jest ca
lna lkowicie ograniczona na mocy Stwierdzenia
5.4.
(�!=) Za óżmy, że X, d jest zupe i ca
l lna lkowicie ograniczona. Korzystajac z Twierdzenia 5.5,

wystarczy sprawdzić, że X jest ciagowo zwarta. Ustalmy ciag (xn)n"N ą" X. Lemat 6.6 mówi,

że ciag ten zawiera podciag (xkn)n"N spe lność
lniajacy warunek Cauchy ego. Zupe implikuje,

że ciag (xkn)n"N jest zbieżny w X.

38
6.3 Inne ważne twierdzenia
Niech X, d bedzie przestrzenia metryczna. Średnica zbioru A ą" X nazywamy liczbe

diam(A) = sup d(x, y),
x,y"A
przy czym przyjmujemy diam(") = 0. Zbiór A nazywamy ograniczonym w X, d , jeśli zachodzi
diam(A) < +".
Twierdzenie 6.9 (Twierdzenie Cantora). Niech F1 �" F2 �" F3 �" . . . bedzie zstepujacym

ciagiem zbiorów domknietych niepustych w przestrzeni metrycznej zupe X, d . Jeśli
lnej

lim diam(Fn) = 0,
n"

to Fn = ".

n"N
Dowód. Dla każdego n " N wybierzmy xn " Fn. Pokażemy, że (xn)n"N jest ciagiem Cau-

chy ego w X, d . Ustalmy � > 0. Niech n0 bedzie takie, że diam(Fn) < � dla n n0. Dla

m, n n0 mamy d(xn, xm) diam(Fn0) < �, ponieważ xn, xm " Fn0.
Korzystajac z zupe możemy znalez
ć x " X takie, że x = limn" xn, tzn.
lności,

lim d(x, xn) = 0.
n"
Pozostaje pokazać, że x " Fk dla każdego k " N. Ustalmy w tym celu k " N i � > 0. Niech n0
bedzie takie, że d(x, xn) < � dla n n0. Niech n = max{n0, k}. Wówczas d(x, xn) < � oraz

xn " Fn ą" Fk. Tak wiec K(x, �) )" Fk = ". To dowodzi, że x " cl (Fk) = Fk.


Niech X, bedzie przestrzenia metryczna. Odwzorowanie f : X X nazywamy zbliżajacym,

jeśli spe warunek Lipschitza ze sta a < 1, tzn. istnieje r < 1 takie, że
lnia l
(f(x), f(y)) r (x, y)
dla każdych x, y " X.
Twierdzenie 6.10 (Twierdzenie Banacha o punkcie sta Niech X, bedzie przestrzenia
lym).

metryczna zupe i niech f : X X bedzie odwzorowaniem zbliżajacym. Wówczas f ma
lna

dok jeden punkt sta p " X. Co wiecej, dla każdego x " X ciag
ladnie ly

x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), . . .
jest zbieżny do p.
39
Dowód. Niech r < 1 bedzie takie, że (f(x), f(y)) r (x, y) dla każdych x, y " X. Przypuść-

my, że f ma dwa punkty sta p, q " X, tzn. p = f(p) i q = f(q). Wówczas
le
(p, q) = (f(p), f(q)) r (p, q).
To jest możliwe tylko w przypadku, gdy (p, q) = 0, czyli p = q. Tak wiec f ma co najwyżej

jeden punkt sta
ly.
Ustalmy x " X. Za óżmy, że p = limn" fn(x), gdzie fn(x) oznacza n-ta iteracje f na punkcie
l

x, tzn. f1(x) = x i fn(x) = f(fn-1(x)) dla n > 1. Wówczas, z ciag f otrzymujemy, że
lości

f(p) = f( lim fn(x)) = lim fn+1(x) = lim fn(x) = p,
n" n" n"
zatem p jest (jedynym) punktem sta dla f. Pozostaje wiec wykazać, że ciag (fn(x))n"N
lym

jest zbieżny. Na mocy zupe wystarczy wykazać, że ciag ten spe warunek Cauchy ego.
lności, lnia

Zauważmy, że
(fn+1(x), fn(x)) r (fn(x), fn-1(x)) r2 (fn-1(x), fn-2(x)) . . . rn (f(x), x).
"
Z kolei szereg geometryczny rn jest zbieżny, zatem ciag (fn(x))n"N istotnie spe
lnia
n=1
warunek Cauchy ego na mocy Lematu 6.2. To kończy dowód.
6.4 Twierdzenie Baire a
Stwierdzenie 6.11. W dowolnej przestrzeni topologicznej, przekrój skończonej ilości zbiorów
otwartych i gestych jest gesty.

Dowód. No mocy zasady indukcji matematycznej, wystarczy udowodnić powyższa teze w

przypadku dwóch zbiorów.
Niech X bedzie przestrzenia topologiczna i ustalmy zbiory otwarte geste D1, D2 ą" X. Ustalmy

zbiór otwarty niepusty U ą" X. Z gestości zbioru D1 wnioskujemy, iż V = U )" D1 jest zbiorem

niepustym. Jest to też zbiór otwarty, jako przekrój dwóch zbiorów otwartych. Tak wiec, gestość

zbioru D2 implikuje, że V )" D2 = ". Ostatecznie U )" (D1 )" D2) = V )" D2 = ".

Twierdzenie 6.12 (Twierdzenie Baire a). Niech X bedzie ciagowo zwarta przestrzenia re-

gularna lub przestrzenia metryczna zupe Wówczas przekrój przeliczalnie wielu zbiorów
lna.

gestych i otwartych w X jest gesty w X.


Dowód. Niech {Gn}n"N bedzie ciagiem zbiorów otwartych gestych w X i niech G = Gn.
n"N
Przy drugim za lna
lożeniu, niech oznacza metryke zupe w przestrzeni X.

Mamy pokazać, że W )" G = " dla każdego niepustego zbioru otwartego W ą" X (por. Fakt

2.20). Ustalmy zbiór otwarty W ą" X.
Wybierzmy x1 " W )"G1. Korzystajac z regularności, możemy znalez
ć zbiór otwarty U1 taki, że

x1 " U1 oraz cl (U1) ą" W )" G1. Przy za zupe wymagamy dodatkowo, że średnica
lożeniu lności
40
zbioru U1 nie przekracza 2-1. Z gestości zbioru G2, istnieje x2 " U1 )" G2, zatem regularność

daje nam zbiór U2 taki, że x2 " U2 oraz cl (U2) ą" U1 )" G2. Przy za zupe wy-
lożeniu lonści
magamy dodatkowo, aby średnica U2 nie przekracza 2-2. Indukcyjnie, konstruujemy zbiory
la
otwarte Un takie, że cl (Un) ą" Un-1 )" Gn (przy za zupe wymagamy aby średnica
lożeniu lności
Un nie przekracza 2-n).
la

Za óżmy, że X jest ciagowo zwarta. Wówczas cl (Un) = ", bo {cl (Un)}n"N jest zstepu-
l
n"N
jacym ciagiem zbiorów domknietych niepustych (Wniosek 5.2).


Za óżmy teraz, że X jest zupe Wówczas także cl (Un) = ", ponieważ średnice zbiorów
l lna.
n"N
cl (Un) zmierzaja do zera (Twierdzenie Cantora).

W obu przypadkach możemy wybrać punkt x " cl (Un). Zauważmy, że x " cl (U1) ą" W .
n"N
Ponadto x " cl (Un) ą" Gn dla każdego n " N. Tak wiec x " W )" G.

41
7 Dodatek I: Zbieżność jednostajna
W tym rozdziale przedyskutujemy pojecie i w
lasności zbieżności jednostajnej ciagu funkcji.

Niech S bedzie dowolnym zbiorem niepustym. Mówimy, że ciag funkcji fn : S R jest jedno-

stajnie zbieżny do funkcji f : S R, jeśli
(" � > 0) (" n0) (" n n0) (" x " S) |fn(x) - f(x)| < �.
Piszemy wtedy fn �! f. Mówimy, że (fn)n"N spe jednostajny warunek Cauchy ego, jeżeli
lnia
(" � > 0) (" n0) (" m, n n0) (" x " S) |fn(x) - fm(x)| < �.
Oczywiste jest, że każdy jednostajnie zbieżny ciag funkcji spe jednostajny warunek Cau-
lnia

chy ego. Poniżej dowodzimy twierdzenie odwrotne, które jest prawdziwe dzieki temu, że zbiór

liczb rzeczywistych ze zwyk a metryka jest zupe
l lny.
Twierdzenie 7.1. Niech S bedzie dowolnym zbiorem i niech fn : S R bedzie ciagiem funk-

cji spe ladnie
lniajacym jednostajny warunek Cauchy ego. Wówczas istnieje dok jedna funkcja

f : S R taka, że fn �! f.
Dowód. Ustalmy x " S. Jednostajny warunek Cauchy ego mówi w szczególności, że
(" � > 0) (" n0) (" n, m n0) |fn(x) - fm(x)| < �,
co oznacza, że (fn(x))n"N jest ciagiem liczb rzeczywistych spe
lniajacym warunek Cauchy ego.

Z zupe R, ciag ten jest zbieżny. Możemy zatem zdefiniować f : S R przyjmujac
lności

f(x) = lim fn(x), x " S.
n"
Pozostaje wykazać, że fn �! f. Ustalmy w tym celu � > 0. Z jednostajnego warunku Cau-
chy ego możemy znalez
ć n0 takie, że
(" n, m n0) (" x " S) |fn(x) - fm(x)| < �/2.
Zauważmy, że n0 zależy tylko od �.
Ustalmy teraz punkt p " S. Z definicji granicy limn" fn(p) znajdujemy n1 (zależne od p)
takie, że
(" n n1) |fn(p) - f(p)| < �/2.
Niech m = max{n0, n1}. Wówczas |fm(p)-f(p)| < �/2 oraz |fm(p)-fn(p)| < �/2 dla n n0.
Tak wiec dla n n0 otrzymujemy

|fn(p) - f(p)| |fn(p) - fm(p)| + |fm(p) - f(p)| < �/2 + �/2 = �.
Zauważmy, że punkt p by ustalony dowolnie, a n0 nie zależy od p. Pokazaliśmy wiec, że
l

(" n n0) (" x " S) |fn(x) - f(x)| < �.
To dowodzi, że fn �! f.
42
Twierdzenie 7.2. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna i niech fn : X R bedzie ciagiem

funkcji ciag jednostajnie zbieżnym do f : X R. Wówczas funkcja f jest ciag
lych la.

Dowód. Pokażemy, że f jest ciag w każdym punkcie. Ustalmy w tym celu x0 " X oraz � > 0.
la

Mamy znalez
ć otoczenie U punktu x0 takie, że |f(x) - f(x0)| < � dla x " U. Korzystajac z

definicji jednostajnej zbieżności znajdujemy m " N takie, że
(1) (" x " X) |fm(x) - f(x)| < �/3.
(W rzeczywistości powyższy warunek zachodzi dla wszystkich n m.) Korzystajac z ciag
lości

funkcji fm, znajdujemy otoczenie U punktu x0 takie, że
(2) (" x " U) |fm(x) - fm(x0)| < �/3.
Ustalmy x " U. Wówczas, wobec warunków (1) i (2) otrzymujemy
|f(x) - f(x0)| |f(x) - fm(x)| + |fm(x) - fm(x0)| + |fm(x0) - f(x0)|
< �/3 + �/3 + �/3 = �.
Tak wiec |f(x) - f(x0)| < � dla wszystkich x " U.

Przyjmujemy nastepujace oznaczenia: przez RS bedziemy oznaczać zbiór wszystkich funkcji

typu f : S R (jest to standardowe oznaczenie). Ponadto, jeśli X jest przestrzenia topolo-
giczna, to przez C(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji ciag typu f : X R.
lych

Twierdzenie 7.3. Niech S bedzie dowolnym zbiorem niepustym. Wówczas istnieje metryka

na zbiorze RS wyznaczajaca zbieżność jednostajna. Dok dla ciagu (fn)n"N ą" RS oraz
ladniej:

f " RS zachodzi
(a) limn" (fn, f) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy fn �! f.
(b) (fn)n"N jest ciagiem Cauchy ego w RS, wtedy i tylko wtedy, gdy (fn)n"N spe
lnia

jednostajny warunek Cauchy ego.
Dowód. Zdefiniujmy
(f, g) = sup |f(x) - g(x)|.
x"S
Sprawdzimy warunki metryki. Oczywiście (f, g) = 0 �!�! f = g oraz (f, g) = (g, f).
Warunek trójkata:


(f, h) = sup |f(x) - h(x)| sup |f(x) - g(x)| + |g(x) - h(x)|
x"S x"S
sup |f(x) - g(x)| + sup |g(x) - h(x)| = (f, g) + (g, h).
x"S x"S
43
W powyższych nierównościach skorzystaliśmy z faktu, że supremum sumy nie przekracza sumy
supremów, tzn. sup(A + B) sup A + sup B dla A, B ą" R.
Niech (fn)n"N bedzie ciagiem w RS. Jednostajny warunek Cauchy ego możemy napisać rów-

noważnie jako
(" � > 0) (" n0) (" m, n n0) (" x " S) |fn(x) - fm(x)| �,
a z kolei formu (" x " S) |fn(x) - fm(x)| � jest równoważna warunkowi
la
sup |fn(x) - fm(x)| �,
x"S
czyli (fn, fm) �. Tak wiec jednostajny warunek Cauchy ego jest równoważny warun-

kowi Cauchy ego wzgledem . Podobnie, jednostajna zbieżność jest równoważna zbieżności

wzgledem .

Dowód by zakończony, gdyby nie fakt, że (f, g) może być równe +". Nie jest to wiec me-
lby

tryka. Problem ten można jednak latwo usuna ć, poprawiajac definicje w sposób nastepujacy:



(f, g) = min sup |f(x) - g(x)|, 1 = min{ (f, g), 1}.
x"S
Nietrudno sprawdzić, że jest metryka. Istotnie, tylko warunek trójkata wymaga dowodu.

Ustalmy zatem f, g, h " RS. Jeśli (f, g) = 1 lub (g, h) = 1 to z pewnościa (f, h)
(f, g) + (g, h), bo (f, h) 1. Możemy wiec za że (f, g) < 1 i (g, h) < 1, czyli
lożyć,

(f, g) = (f, g) i (g, h) = (g, h). Z udowodnionej cześci dostajemy

(f, h) (f, h) (f, g) + (g, h) = (f, g) + (g, h).
Zbieżność i warunek Cauchy ego wzgledem sa takie same jak powyżej, gdyż w obu defini-

cjach wystarczy rozważać tylko � < 1. Jeśli � < 1, to warunek (f, g) < � jest równoważny
warunkowi (f, g) < �.
Niech X bedzie przestrzenia topologiczna. Ważna podprzestrzenia przestrzeni C(X) jest zbiór

wszystkich funkcji ograniczonych, oznaczany przez Cogr(X). Tak wiec Cogr(X) sk sie
lada

z wszystkich funkcji ciag f : X R takich, że supx"X |f(x)| < +". Wobec dowodu
lych

powyższego twierdzenia, wzór (f, g) = supx"X |f(x) - g(x)| definiuje metryke na Cogr(X),

która wyznacza zbieżność jednostajna.

Twierdzenie 7.4. Niech X bedzie niepusta przestrzenia topologiczna. Wówczas przestrzeń

metryczna Cogr(X), , gdzie
(f, g) = sup |f(x) - g(x)|,
x"X
jest zupe
lna.
44
Dowód. Ustalmy ciag Cauchy ego (fn)n"N w Cogr(X). Wówczas (fn)n"N spe jednostajny
lnia

warunek Cauchy ego, zatem jest jednostajnie zbieżny do f : X R (Twierdzenie 7.1). Funkcja
f jest ciag na mocy Twierdzenia 7.2. Pozostaje sprawdzić, że f jest ograniczona. Ustalmy
la

m takie, że (fm, f) < 1. Wówczas, przyjmujac M = supy"X |fm(y)| < +" mamy

|f(x)| |f(x) - fm(x)| + |fm(x)| < 1 + sup |f(y)| = 1 + M.
y"X
Tak wiec supx"X |f(x)| < 1 + M < +".

45
8 Dodatek II: Uzupe
lnienie
W rozdziale tym dowodzimy istnienia uzupe przestrzeni metrycznej.
lnienia
Twierdzenie 8.1. Każda przestrzeń metryczna daje sie zanurzyć izometrycznie w prze-

strzeń metryczna zupe Dok
lna. ladniej, przestrzeń metryczna X, d zanurza sie izometrycznie

w Cogr(X), , gdzie (f, g) = supx"X |f(x) - g(x)|.
Dowód. Przestrzeń Cogr(X), jest zupe na mocy Twierdzenia 7.4. Ustalmy punkt p " X.
lna
Zdefiniujmy
�x(y) = d(y, x) - d(y, p).
Zauważmy, że �x : X R jest funkacja ciag a. Mamy
l

|�x(y)| = |d(y, x) - d(y, p)| d(x, p)
zatem �x jest ograniczona (bo d(x, p) nie zależy od argumentu funkcji �x). Tak wiec �x "

Cogr(X). Niech F : X Cogr(X) bedzie dane wzorem

F (x) = �x, x " X.
Zauważmy, że
(F (x1), F (x2)) = sup |�x1(y) - �x2(y)| = sup |d(y, x2) - d(y, x1)| d(x1, x2).
y"X y"X
Z drugiej strony
(F (x1), F (x2)) |�x1(x1) - �x2(x1)| = d(x1, x2).
Tak wiec (F (x1), F (x2)) = d(x1, x2) dla x1, x2 " X.

Lemat 8.2. Niech Y, bedzie przestrzenia metryczna zupe niech D bedzie zbiorem
lna,

gestym w przestrzeni metrycznej X, d i niech f : D Y bedzie zanurzeniem izometrycz-

nym. Wówczas f przed sie jednoznacznie do zanurzenia izometrycznego przestrzeni X, d
luża

w przestrzeń Y, . To znaczy, istnieje dok jedno zanurzenie izometryczne g : X Y
ladnie
takie, że g | X = f.
Dowód. Przyjmijmy g(x) = f(x) dla x " D. Ustalmy teraz x " X \ D. Wówczas x =
limn" dn, gdzie (dn)n"N ą" D. Zdefiniujmy
(*) g(x) = lim f(dn).
n"
Musimy pokazać, że ta definicja jest poprawna, czyli, że powyższa granica istnieje i nie zależy
od wyboru ciagu (dn)n"N. Ciag (dn)n"N spe warunek Cauchy ego w X, d , zatem również
lnia

ciag (f(dn))n"N spe warunek Cauchy ego w Y, , ponieważ (f(dn), f(dm)) = d(dn, dm)
lnia

dla n, m " N. Zupe przestrzeni Y, implikuje, że granica w równości (*) istnieje.
lność
46
Za óżmy teraz, że x = limn" en, gdzie (en)n"N ą" D. Z zupe Y, i z (1) istnieja
l lności
y = limn" f(dn) i z = limn" f(en). Musimy pokazać, że y = z. Mamy jednak
(y, z) = lim (f(dn), f(en)) = lim d(dn, en) = d(x, x) = 0.
n" n"
To dowodzi tego, że granica w równości (*) nie zależy od wyboru ciagu.

Pokazaliśmy zatem, że definicja (*) jest poprawna. Tak zdefiniowana funkcja g : X Y jest
przed lym lużeniem f, to
lużeniem f. Zauważmy, że jeśli h: X Y jest dowolnym ciag przed

zachodzi
h(x) = lim h(dn) = lim f(dn) = g(x),
n" n"
gdzie (dn)n"N ą" D jest jakimkolwiek ciagiem zbieżnym do x. Stad h = g. Pozostaje sprawdzić,

że g jest zanurzeniem izometrycznym.
Ustalmy x, y " X i wybierzmy (dn)n"N ą" D oraz (en)n"N ą" D takie, że x = limn" dn i
y = limn" en. Wówczas
(g(x), g(y)) = ( lim dn, lim en) = lim d(dn, en) = d(x, y).
n" n" n"
W powyższej równości skorzystaliśmy z ciag metryki.
lości

Twierdzenie 8.3. Dla każdej przestrzeni metrycznej X, d istnieje jedyna z dok
ladnościa do
Ć Ć Ć
izometrii przestrzeń metryczna zupe X, d taka, że X jest gestym podzbiorem zbioru X
lna

Ć Ć
oraz metryka d jest przed
lużeniem metryki d (tzn. d(x, y) = d(x, y) dla x, y " X).
Dowód. Niech �: X Cogr(X) bedzie zanurzeniem izometrycznym przestrzeni X, d w prze-

strzeń Cogr(X), , istniejacym na mocy Twierdzenia 8.1. Wówczas X można utożsamić z

obrazem �[X]. Przestrzeń Cogr(X), jest zupe (Twierdzenie 7.4), zatem, przyjmujac
lna

Ć Ć Ć Ć
X = cl (�: X ) otrzymujemy, że X, d jest przestrzenia zupe gdzie d(x, y) = (x, y) dla
lna,

Ć Ć
x, y " X. Oczywiście zbiór X utożsamiony z �[X] jest gesty w X. Jedyność wynika z Lematu

8.2.
Ć Ć
Przestrzeń X, d z powyższego twierdzenia nazywamy uzupe
lnieniem przestrzeni X, d .
Literatura
[1] R. Engelking, Topologia ogólna, PWN 1989 (2 tomy).
[2] R. Engelking, K. Sieklucki, Wstep do topologii, PWN.

[3] K. Kuratowski, Wstep do teorii mnogości i topologii, PWN.

47
Indeks
średnica zbioru, 39  zbliżajace, 39
�
otoczenie, 9
aksjomaty oddzielania, 19
podbaza, 14
baza
podciag, 33
�
 przestrzeni topologicznej, 12
podpokrycie, 25
 w punkcie, 12
podprzestrzeń, 9
pokrycie, 25
ca
lkowicie ograniczona (przestrzeń), 33
pokrycie otwarte, 25
ciag, 4
�
prosta Sorgenfrey a, 18
 Cauchy ego, 36
przestrzeń
 zbieżny, 4
 Hausdorffa, 19
ciag 5, 15
� lość,
 antydyskretna, 9
 w punkcie, 15
 dyskretna, 9
 metryczna, 3
domkni� zbioru, 8, 10
ecie
 ca
lkowicie ograniczona, 33
funkcja ciag 5
� la,
 zupe 36
lna,
 metryzowalna, 13
granica ciagu, 4
�
 normalna, 19
 ośrodkowa, 17
homeomorfizm, 16
 regularna, 19
 topologiczna, 9
izometria, 6
 zwarta, 25
jednostajny warunek Cauchy ego, 42
rodzina
kula, 7
 scentrowana, 25
kula domkni� 7
eta,
strza 18
lka,
metryka, 3
system otoczeń, 11
 euklidesowa, 3
 pelny, 11
 miejska, 3
 w przestrzeni topologicznej, 12
 rzeka, 3
system pseudootoczeń, 13
 zero-jedynkowa, 8
topologia, 9
 zupe 36
lna,
 Tichonowa, 15, 29, 31
nierówność trójk� 3
ata,
 generowana przez rodzin� zbiorów, 14
e
 indukowana, 9
ośrodkowa (przestrzeń), 17
 na produkcie nieskończonym, 31
odleg punktu od zbioru, 7
lość
 produktowa, 15, 29, 31
odwzorowanie
 ciag 5, 15 uzupelnienie, 47
� le,
48
warunek Cauchy ego, 36
 jednostajny, 42
warunek Lipschitza, 6
warunek trójk� 3
ata,
wn� zbioru, 10
etrze
zanurzenie
 izometryczne, 6
zbiór
 domkni� 7, 9
ety,
 g� 17
esty,
 ograniczony, 39
 otwarty, 7, 9
 zwarty, 25
zbieżność, 4
 jednostajna, 42
zwarta przestrzeń, 25
zwartość, 25
 ciagowa, 33
�
zwarty zbiór, 25
49