Wajch E Wstęp do topologii Wykłady i ćwiczenia

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Eliza Wajch
Wykłady i ćwiczenia ze wstępu do topologii w UPH w Siedlcach w
semestrze zimowym roku akad. 2013/2014.
Literatura podstawowa:
1. A. W. Archangielski, W. I. Ponomariow, Podstawy Topologii Ogólnej w Zadaniach,
PWN Warszawa 1986.
2. R. Duda, Wprowadzenie do Topologii, PWN Warszawa 1986.
3. R. Engelking, Topologia Ogólna, PWN Warszawa 1989.
4. K. Kuratowski, Wstęp do Teorii Mnogości i Topologii, PWN Warszawa 1980.
Literatura dodatkowa:
5. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do Topologii, PWN Warszawa 1986.
6. K. Kunen, Set Theory, North-Holland, Amsterdam 1980.
7. K. Kunen, The Foundations of Mathematics, College Publications, London 2009.
8. K. Kuratowski, A Mostowski, Teoria Mnogości, PWN Warszawa 1966.
9. H. Herrlich, Axiom of Choice, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006.
Polecam także, niestety, mniej dostępne, ale bardzo dobrze opracowane Wykłady z Topologii prof.
Jerzego Mioduszewskiego z Uniwersytetu Śląskiego.
Uwaga. Mo\na korzystać z innych dostępnych wydań zalecanej literatury oraz skorzystać z innych
pozycji, nie wspomnianych powy\ej. W Siedlcach dostępny jest skrypt z wykładami z topologii S.
Godlewskiego.
Wykłady będą realizowane według programu podanego w sylabusie tego przedmiotu:
1. Rys historyczny topologii. Kilka zdań o historii topologii i teorii przestrzeni metrycznych.
2. Układ ZFC hipoteza nieskończoności. Wzmianka o układzie ZFC i konieczności jego u\ywania.
Twierdzenie o nieudowadnialności istnienia zbiorów nieskończonych.
3. Pojęcia wstępne. Topologia w zbiorze, zbiory otwarte, domknięte, baza otwarta, domknięcie,
wnętrze i brzeg zbioru w przestrzeni topologicznej. Zbiory gęste, brzegowe i nigdziegęste.
Przestrzenie z bazą przeliczalną. Przestrzenie ośrodkowe.
4. Przestrzenie metryczne i ich niektóre uogólnienia. Definicje metryk i ich niektórych uogólnień, w
tym quasi-metryk. Metryki wyznaczone przez normy i iloczyny skalarne. Kule otwarte i domknięte w
przestrzeniach metrycznych. Topologie wprowadzona przez funkcje odległości. Przestrzenie
metryzowalne. Topologia naturalna n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie o
nieudowadnialności istnienia przestrzeni metryzowalnych.
5. Operacje na przestrzeniach metrycznych i topologicznych. Podprzestrzenie metryczne i
podprzestrzenie przestrzeni topologicznych. Produkty skończenie wielu przestrzeni metrycznych i
skończenie wielu przestrzeni topologicznych.
6. Przekształcenia ciągłe. Pojęcia przekształcenia ciągłego w punkcie oraz ciągłego globalnie
względem pary topologii. Przekształcenia ciągłe w punkcie w sensie Heine go i w sensie Cauchy ego
1
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
względem pary metryk. Homeomorfizmy i zanurzenia homeomorficzne. Izometrie przestrzeni
metrycznych.
7. Warunki oddzielania. Oddzielanie par punktów i warunek Hausdorffa dla przestrzeni
metryzowalnych. Oddzielanie punktów od zbiorów domkniętych i regularność przestrzeni
metryzowalnych, Oddzielanie par zbiorów domkniętych i normalność przestrzeni metryzowalnych.
6. Zwartość. Przestrzenie zwarte, lokalnie zwarte, przeliczalnie zwarte, ciągowo zwarte i
pseudozwarte zwłaszcza w klasie przestrzeni metryzowalnych. Twierdzenie Borela-Cousina-
Lebesgue a.
7. Metryzowalność w sposób zupełny. Metryki zupełne i całkowicie ograniczone. Twierdzenie
Cantora o charakteryzacji metryk zupełnych, Twierdzenie Baire a o kategorii. Uzupełnienie Hausdorffa
przestrzeni metrycznej. Zwartość w klasie przestrzeni metryzowalnych, a metryzowalność w sposób
całkowicie ograniczony i zupełny.
8. Przestrzenie spójne. Zbiory domknięto-otwarte, pary zbiorów rozgraniczonych. Przestrzenie
topologiczne spójne. Zbiory spójne w przestrzeniach topologicznych. Składowe spójności. Auki i drogi.
Aukowa i drogowa spójność. Continua. Lokalna spójność. Spójność w przestrzeniach euklidesowych.
Ostrzeżenie. W pliku tym mogą nadal występować drobne błędy drukarskie i powstałe
podczas kopiowania części materiału z innych plików, ale mam nadzieję, że błędy takie
nie będą utrudniać zapoznawania się z prezentowanym materiałem. Dbałość o stronę
graficzną tego pliku jest raczej zaniechana, ale jego treść jest cenna.
Wykład 1.
Wprowadzenie.
Każdą porządną teorię powinno się rozpocząć od ustalenia jej układu aksjomatów. Zakładamy zatem
na ogół dogodną interpretację układu ZFC zapoczątkowanego w 1907/1908 przez E. Zermelo [1871-
1953], uzupełnionego o aksjomat zastępowania przez A. A. Fraenkela [1891-1965] , o aksjomat
ufundowania przez J. von Neumanna [1903-1957] i niezależnie od von Neumanna przez Zermelo,
dokładniej przeanalizowanego np. w [6] -[9]. Jednym z aksjomatów tego układu jest pochodzący od E.
Zermelo pewnik wyboru (AC) orzekający, że dla każdej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów
niepustych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie
wspólnym. Aksjomat ten nie jest powszechnie akceptowany w tym sensie, że nie ma pewności, iż
jest absolutnie prawdziwy. W teorii ZFC czyni się jedynie hipotetyczne założenie, iż aksjomat ten
orzeka prawdę. Od pewnego czasu na przykład w Niemczech, Portugalii, Francji i USA prowadzone są
badania matematyki opartej o aksjomaty ZF bez użycia pewnika wyboru (zob.[6]- [9] ). Innym
kontrowersyjnym aksjomatem teorii ZFC jest tak zwany aksjomat nieskończoności (oznaczany Inf) o
tym, że istnieje zbiór nieskończony, choć nie może być pewności, że zbiory nieskończone istnieją we
wszechświecie. W teorii ZFC-Inf+ŹInf każdy zbiór jest skończony, natomiast w teorii ZFC-Inf
istnienie zbiorów nieskończonych jest niedowodliwe i żaden wiarygodny przykład zbioru
nieskończonego zaistnieć nie może. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest konsekwencją
hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną.
Podsumowując, przyjmujemy umowę dotyczącą wszystkich naszych zajęć:
2
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Umowa. Jeśli nie zaznaczymy, że jest inaczej, zakładamy układ ZFC i jego dogodną dla nas
interpretację. Od czasu do czasu, będziemy badać niektóre problemy w podteoriach teorii ZFC, na
przykład w ZF lub ZFC-Inf.
Ustalamy zbiór ! wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert
[1862-1943], E. V. Huntington [1874-1952]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało
algebraiczne (!,+, ", d"), którego każdy niepusty ograniczony z góry ze względu na d" podzbiór ma w !
kres górny względem d". W ZFC takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział
będziemy rozumieć taki podzbiór zbioru !, że dla dowolnej pary elementów , zbioru i
dowolnego elementu zbioru !, jeśli < < , to " . Przedziały w ! będziemy oznaczać tradycyjnie:
(-"; ), (-"; ], ( ; ), ( ; ], [ ; b), [ ; ], [ ; +"), ( ;+"). Warto przyjąć, że liczbami całkowitymi
nieujemnymi w ! są: 0=� (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}}, & , +1={0,1,& ., }= , & ., gdy jest już
określoną liczbą naturalną ( należy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo z 1912
roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej
został wyeksponowany po raz pierwszy). Już tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych
nieujemnych oznacza się , a != \{0} jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich
(naturalnych).
Zwykle, dla zbiorów , , symbol oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na , o
wartościach w . Zatem, dla " , ! jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze , o
wszystkich swoich wartościach w !, przy czym, gdy "! , możemy pisać: =( (0),& , ( -1)) lub na
przykład: =( ,& , ).
Przestrzenie metryczne, wiadomości wstępne.
Właściwy rozwój teorii przestrzeni metrycznych oraz topologicznych został zapoczątkowany pracą M.
Fr�cheta [1878-1973] wydrukowaną w 1906 roku oraz monografią F. Hausdorffa [1868-1942] z 1914
roku, ale już w wieku XIX matematyk niemiecki J. B. Listing[1808-1882] użył terminu topologia w
swoim artykule z 1847 roku, a wcześniej w korespondencji. Zajmiemy się na razie głównie
przestrzeniami metrycznymi.
Definicja metryki. Metryką lub odległością w zbiorze nazywamy funkcję : ! mającą
następujące własności:
(m1) [ ( , )=0ś' = ];
, "
(m2 warunek symetrii) ( , )= ( , );
, "
(m3- warunek trójkąta) ( , )d" ( , )+ ( , ).
, , "
Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną
( , ), gdzie jest zbiorem, a jest metryką w zbiorze .
Definicje odległości między punktami i między zbiorami. Niech będzie metryką w zbiorze .
Wówczas:
3
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
(i) gdy , " , liczbę ( , ) nazywamy odległością lub -odległością punktu od ;
(ii) jeżeli " oraz jest niepustym podzbiorem zbioru , liczbę
( , )=inf{ ( , ): " }
nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością punktu od
zbioru ;
(iii) jeżeli , jest parą niepustych podzbiorów zbioru , to liczbę
( , )=inf{ ( , ): " i " }
nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością między
zbiorami i .
Stwierdzenie o nieujemności wartości metryk. Wszystkie wartości każdej metryki są liczbami
rzeczywistymi nieujemnymi.
Dowód. Niech , będzie parą punktów zbioru , a metryką w . Korzystając po kolei z (m1),
(m3), (m2) otrzymujemy: 0= ( , )d" ( , )+ ( , )=2 ( , ), skąd wnioskujemy, że 0d" ( , ). %
Inne funkcje odległości (np. quasi-metryki, pseudometryki). W artykule z roku 1931, Wilson nazwał
quasi-metryką w zbiorze funkcję : [0; +") mającą własności (m1) i (m3). Nie każda
quasi-metryka musi być metryką. Funkcja : ! mająca własności (m1) i (m3) nie musi
być quasi-metryką. Funkcję : ! mającą własności (m2) i (m3) oraz spełniającą
( )
jednocześnie warunek , = 0 dla nazywa się zwykle pseudometryką.
Uwaga o quasi-odległościach w rzeczywistym wszechświecie. W praktyce, przy mierzeniu odległości
między obiektami materialnymi, zatraca się symetrię pomiarów i posługujemy się w pomiarach raczej
niesymetrycznymi funkcjami odległości niż metrykami. Między innymi dlatego niektórzy naukowcy
badają quasi-metryki, ale powinni oni uświadomić sobie, że w ZFC-Inf nie może zaistnieć żaden
wiarygodny przykład quasi-metryki. Pojęcie quasi-metryki wprowadził W. A. Wilson w 1931.
Niemożność dokładnego mierzenia odległości w fizyce. Gdy R. Feynman przygotowywał swoje
wykłady QED, osobliwa teoria światła i materii ( wyd. w 1985 roku), za najmniejszą mierzalną przez
fizyków odległość uznawano w przybliżeniu 10 cm. Dokonywanie doskonale dokładnych
pomiarów odległości między wszelkimi parami różnych obiektów w fizyce nie jest możliwe. Ze
względu na uogólnioną zasadę nieoznaczoności, teoretycznie żadnej długości w fizyce mniejszej niż
długość Plancka, która wynosi w przybliżeniu 1.616 1999(97) 10 m nie można zmierzyć (zob.
Wikipedia), a długość Plancka to w jakimś przybliżeniu 10 średnicy protonu.
R. Feynman [1918-1988] amerykański fizyk teoretyk, nagrodzony wraz z J. Schwingerem (USA) i S. I.
Tomonagą (Japonia) w 1965 Nagrodą Nobla za badania w dziedzinie elektordynamiki kwantowej.
M. Planck [1858-1947]-fizyk niemiecki, w 1918 roku uhonorowany Nagrodą Nobla za wkład w rozwój
fizyki dzięki odkryciu przez niego kwantów energii, elementarnych kwantów działania .
Definicja metryki dyskretnej . Metryką dyskretną lub zero-jedynkową w zbiorze niepustym
.
.
.
nazywamy funkcję : {0,1} określoną jak następuje: ( , )=0 dla każdego " , natomiast
( , )=1 dla każdej pary różnych punktów , zbioru .
Uwaga o metrykach dyskretnych i niedowodliwości istnienia przestrzeni metrycznych. W teorii
ZFC każda metryka dyskretna jest metryką. W teorii ZFC-Inf , nie można udowodnić, że metryka
dyskretna jest metryką, bo nie wiadomo w takiej teorii, czy zbiór ! istnieje. W teorii ZFC-Inf istnienie
4
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
przestrzeni metrycznych jest nieudowadnialne, nie ma w tej teorii żadnych wiarygodnych przykładów
przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC-Inf+ŹInf, żadna metryka dyskretna w zbiorze niepustym nie
jest metryką i w tej teorii nie istnieją przestrzenie metryczne. Przestrzeniami metrycznymi będziemy
zajmować się przede wszystkim w teorii ZFC.
Przykłady metryk w przestrzeni ! .
. Niech "!. Dla , "! możemy określić:
.
.
" " ( )
(i) metrykę taksówkową (miejską) wzorem: ( , )= ( )
(ii) metrykę maksimum (szachową) wzorem: ( , )=max " ( )- ( )
" " ( ) ( )
(iii) metrykę euklidesową (pitagorejską) wzorem: ( , )= ( ) .
(iv) Standardową metryką w ! jest metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną:
( , )= - , gdzie , "!.
Ciekawymi metrykami w ! są również metryka kolejowa i metryka rzeka. Metrykę kolejową o
( )
węzle w punkcie 0=(0, 0) ! możemy określić, dla , ! , wzorem: , = ( , ), gdy
( ) ( )
punkty , , 0 są współliniowe, natomiast , = , 0 ( , 0), gdy punkty , , 0 nie są
współliniowe.
Metrykę rzekę w ! o rzece będącej prostą = ( , ) ! : = 0 określamy , dla
( ) | |
= ( , ) ! i = , ! , wzorem: ( , ) = , gdy = , natomiast
( ) | | | | | |
, = , gdy .
Ważną rolę w matematyce odgrywają metryki wyznaczone przez normy i przez iloczyny skalarne.
Definicja normy. Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem , gdzie = ! lub = . Normą
w przestrzeni nazywamy funkcję � : ! spełniającą następujące warunki:
(i) ( = 0 = 0 );
| |
(ii) = ;
(iii) .
,
Twierdzenie o metryce wyznaczonej przez normę. Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem ,
gdzie = ! lub = . Jeżeli funkcja � : ! jest normą w przestrzeni , to funkcja : !
( )
określona wzorem , = dla , jest metryką w zbiorze .
Definicja metryki wyznaczonej przez normę. Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem , gdzie
= ! lub = , natomiast � : ! niech będzie normą w przestrzeni . Wówczas metrykę
( )
: ! określoną wzorem , = dla , metryką w zbiorze wyznaczoną
przez normę � .
Uwaga. Nie każda metryka w przestrzeni liniowej nad ciałem wszystkich liczb rzeczywistych lub
zespolonych jest wyznaczona przez jakąś normę.
Definicja iloczynu skalarnego. Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem !. Iloczynem
|
skalarnym w przestrzeni nazywamy funkcję � � : ! mającą następujące własności:
| | |
(i) = ;
, , , !
| |
(ii) = ;
,
5
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
|
(iii) ( 0 0).
Innymi słowy, iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej nad ciałem wszystkich liczb rzeczywistych, to
funkcjonał dwuliniowy, symetryczny i dodatnio określony tej przestrzeni.
Twierdzenie o normie wyznaczonej przez iloczyn skalarny. Niech będzie przestrzenią liniową nad
|
ciałem !, a funkcja � � : iloczynem skalarnym w przestrzeni . Wówczas funkcja
� : określona wzorem dla każdego jest normą w przestrzeni (zwaną
|
|
normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny skalarny � � .
Uwaga. Nie każda norma musi być wyznaczona przez iloczyn skalarny.
Definicja metryki wyznaczonej przez iloczyn skalarny. Niech będzie przestrzenią liniową nad
|
ciałem , a funkcja � � : iloczynem skalarnym w przestrzeni . Wówczas funkcję
|
: określoną wzorem , dla , nazywamy metryką w
|
zbiorze wyznaczoną przez iloczyn skalarny � � .
Standardowy iloczyn skalarny w i jego związek z metryką euklidesową. Dla , ,
| "
określamy standardowy iloczyn skalarny wektorów , wzorem: . Metryka w
wyznaczona przez ten iloczyn skalarny jest metryką euklidesową.
Kule w przestrzeni metrycznej. Niech , będzie przestrzenią metryczną. Wtedy nazywamy
przestrzenią lub całą przestrzenią, a elementy zbioru punktami tej przestrzeni. Gdy " oraz
" 0; +"), to kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej
nazywamy zbiór:
( ,r)= ( , )={ " : ( , )< },
natomiast zbiór ( , )= ( , )={ " : ( , )d" } nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie i
promieniu w tej przestrzeni metrycznej.
Zadania.
Zadanie 1. Sprawdzić, że funkcje zwane metryką dyskretną, metryką taksówkową, metryką
maksimum, metryką kolejową, metryką rzeka są rzeczywiście metrykami.
Zadanie 2. Korzystając z następującej nierówności Schwarza:
| | |
d"
udowodnić, że funkcja zwana metryką wyznaczoną przez iloczyn skalarny jest rzeczywiście metryką.
Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyznie narysować 0,0 , 1 , gdzie
jest metryką w zwaną:
(i) dyskretna;
(ii) maksimum;
(iii) taksówkowa;
(iv) euklidesowa;
6
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
(v) kolejowa o węzle (0,0);
(vi) rzeka o rzece będącej prostą o równaniu 0.
Wykład 2.
Topologia przestrzeni metrycznej. Pojęcie przestrzeni topologicznej oraz
przestrzeni metryzowalnej.
Definicje zbioru otwartego i topologii przestrzeni metrycznej. Zbiór ą" nazywamy otwartym w
przestrzeni metrycznej ( , ) dokładnie wtedy, gdy:
( ,r)ą" ,
" " ; )
natomiast rodzinę (oznaczaną też ) wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni
metrycznej ( , ) nazywamy topologią tej przestrzeni metrycznej lub topologią w zbiorze
wprowadzoną lub wyznaczoną przez metrykę .
Definicja metryk równoważnych. Metryki w zbiorze nazywamy równoważnymi, gdy topologie
w wyznaczone przez te metryki są identyczne.
Metryki , , określone powyżej w przykładach metryk w są równoważne, ale nie są
równoważne metryce dyskretnej w .
Twierdzenie o topologii przestrzeni metrycznej. Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w
przestrzeni metrycznej ( , ) ma następujące własności:
(T1) " " i " (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi),
(T2) " (suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem
ą" "
otwartym w tej przestrzeni),
(T3) " (część wspólna dwu zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem
, "
otwartym w tej przestrzeni.
(T4) ( ,r) " ( każda kula otwarta w danej przestrzeni metrycznej jest zbiorem
" "( ; )
otwartym w tej przestrzeni),
(H) ( warunek Hausdorffa) dla każdej pary , różnych punktów zbioru , istnieje para ,
rozłącznych zbiorów otwartych w ( , ) taka, że " i " .
Dowody powyższych faktów pozostawiam jako ćwiczenie.
Definicje topologii i przestrzeni topologicznej, zbiorów otwartych i domkniętych w przestrzeni
topologicznej. Niech będzie rodziną podzbiorów jakiegoś zbioru mającą własności (T1)-(T3).
Wówczas nazywamy topologią w zbiorze , a parę ( , ) przestrzenią topologiczną, przy czym
zbiorami otwartymi w przestrzeni topologicznej ( , ) nazywamy zbiory należące do topologii tej
przestrzeni, a zbiór ą" nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej ( , ), gdy
\ " .
7
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Definicja przestrzeni metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną , nazywamy przestrzenią
metryzowalną, gdy istnieje metryka w zbiorze taka, że jest topologią przestrzeni metrycznej
, .
Przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej. Gdy jest zbiorem mającym co najmniej dwa
różne punkty, np. gdy 2 0,1 , to rodzina ={", } jest topologią w zwaną antydyskretną,
ale nie istnieje metryka w wyznaczająca topologię . Zatem nie każda topologia jest wyznaczona
przez metrykę.
Topologia naturalna w . Topologię w wyznaczoną przez metrykę euklidesową w tej przestrzeni
zwie się topologią naturalną. W szczególności, topologia naturalna w jest wyznaczona przez
metrykę standardową (wyznaczoną przez wartość bezwzględną w ).
Topologia dyskretna. Dla dowolnego zbioru , rodzina ( ) wszystkich podzbiorów zbioru jest
topologią w zbiorze zwaną topologią dyskretną, a parę ( , nazywamy przestrzenią
topologiczną dyskretną lub krócej: przestrzenią dyskretną.
Przestrzeń metryczna dyskretna. Taka przestrzeń metryczna, której topologia jest dyskretna bywa
nazywana przestrzenią metryczną dyskretną.
Twierdzenie o wyznaczaniu topologii dyskretnej przez metrykę zero-jedynkową. W teorii ZF
topologia dyskretna w zbiorze jest wyznaczona przez metrykę dyskretną, więc w ZF przestrzeń
topologiczna dyskretna jest metryzowalna, a przestrzeń metryczna , jest dyskretna wtedy i tylko
wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez metrykę dyskretną w zbiorze , choć być może nie
jest metryką zero-jedynkową w . W teorii ZF-Inf nie można udowodnić, że przestrzeń topologiczna
dyskretna jest metryzowalna, a w teorii ZF-Inf+ Inf na pewno przestrzenie topologiczne dyskretne
nie są metryzowalne.
Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej. Zbiór ą" nazywamy domkniętym w
przestrzeni metrycznej ( , ), gdy dopełnienie do zbioru jest zbiorem otwartym w ( , ).
Uwaga o części wspólnej skończonej ilości zbiorów otwartych. Wykorzystując zasadę indukcji
matematycznej oraz warunek (T3), można udowodnić, że część wspólna skończonej ilości zbiorów
otwartych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej, topologicznej) jest zbiorem otwartym w tej
przestrzeni. Stąd, z własności (T1)-(T3) oraz z praw de Morgana wnioskujemy, że prawdziwe jest
następujące:
Twierdzenie o rodzinie wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni. Rodzina wszystkich
zbiorów domkniętych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej: w przestrzeni topologicznej ) ma
następujące podstawowe własności:
(D1) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi w tej przestrzeni,
(D2) część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest też zbiorem
domkniętym w tej przestrzeni,
(D3) suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest zbiorem
domkniętym w tej przestrzeni.
8
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadania.
Zadanie 4. Niech będzie metryką w zbiorze , a metryką w zbiorze . Sprawdzić, że funkcja
określona wzorem:
a) (( , , , )= , )+ , ,
b) (( , , , )=max , ), , }
jest metryką w zbiorze taką, że = ą" : , ą" .
,
Zadanie 5. Uzasadnić, że na przykład w ! z topologią naturalną część wspólna przeliczalnie
wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie
wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.
.Zadanie 6. Uzasadnić, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w
tej przestrzeni.
Zadanie 7. Niech będzie metryką w zbiorze . Udowodnić, że funkcja : ! jest
metryką w równoważną metryce , gdy dla , mamy:
a , = min d x,y , 1 ,
,
b , = .
,
Zadanie 8. Pokazać, że nie każda quasi-metryka musi być metryką.
Zadanie 9. Uzasadnić, że funkcja : ! mająca własności m1 i m3 nie musi być quasi-
metryką.
Zadanie 10. Załóżmy, że jest quasi-metryką w zbiorze .
a Sprawdzić, że funkcja =max , , gdzie , = , dla każdego , ,
jest metryką w zbiorze .
b Dla oraz 0;+" , niech ( ,r)={ : ( , )< }. Udowodnić, że rodzina ={ ą" :
( , )ą" } jest topologią w zbiorze (zwaną wprowadzoną przez quasi-metrykę
) taką, że ( ,r) dla każdego i każdego 0;+" .
c Zauważyć, że równość = nie musi zachodzić.
d Uzasadnić, że topologia nie musi spełniać warunku Hausdorffa.
Wykład 3.
Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.
Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Niech będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej
(ogólniej: topologicznej). Wówczas:
9
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
(i) wnętrzem zbioru w tej przestrzeni nazywamy zbiór int będący sumą mnogościową
wszystkich tych zbiorów otwartych w tej przestrzeni, które są zawarte w ;
(ii) domknięciem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór cl będący częścią wspólną
wszystkich tych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni, w których zawarty jest zbiór ;
(iii) brzegiem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór bd cl \ int .
Dokładniejsze oznaczenia. Gdy ą" , natomiast jest metryką w lub jest topologią w , bywają
stosowane oznaczenia: int , int , int , , cl itd.
Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.:
domknięcia, brzegu ) zbioru w przestrzeni metrycznej. Jeżeli jest podzbiorem przestrzeni
metrycznej ( , ) oraz " , to:
(i) "int ś' " ; , ą" ;
(ii) "cl ś' " ; , )" ;
(iii) "bd ś' " ; , )" , \ .
Definicja otoczenia punktu. Otoczeniem punktu " w przestrzeni metrycznej ( , ) nazywamy
zbiór ą" taki, że istnieje "(0,+"), dla którego ( , )ą" . Otoczeniem punktu " w przestrzeni
topologicznej , nazywamy zbiór ą" taki, że istnieje zbiór taki, iż ą" .
Dla przestrzeni topologicznych analogiczne twierdzenie do ostatniego można sformułować
następująco:
Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.
domknięcia, brzegu) zbioru w przestrzeni topologicznej. Niech , będzie przestrzenią
topologiczną oraz niech ą" . Załóżmy, że jest rodziną wszystkich otoczeń punktu w
przestrzeni topologicznej , . Wówczas prawdą jest, że:
(i) "int ś' ą" ;
(ii) "cl ś' )" ;
(iii) "bd ś' )" \ .
Dowód. (i) Jeżeli "int , to int i int A ą" . Jeżeli natomiast istnieje takie,
że ą" , to istnieje zbiór taki, że ą" ą" . Wtedy ą" int , więc int .
ii . Przypuśćmy teraz, że istnieje takie, że ą" . Wtedy istnieje zbiór taki,
że ą" . Wówczas ą" i zbiór jest domknięty w przestrzeni , , zatem
cl ą" , a stąd wnioskujemy, że wówczas cl . Załóżmy teraz, że cl . Wtedy
cl i )" . Wobec tego ii zachodzi. Warunek iii wynika z definicji
brzegu zbioru oraz z i i ii . �%
Definicje punktu skupienia i punktu izolowanego. Punkt " nazywamy punktem skupienia zbioru
ą" w przestrzeni metrycznej , (lub topologicznej , , gdy każde otoczenie punktu w tej
przestrzeni ma różny od element ze zbioru . Punkty zbioru , które nie są punktami skupienia
zbioru w przestrzeni ( , ) (odp. , nazywamy punktami izolowanymi tej przestrzeni.
10
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste.
Definicje (zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste). Podzbiór przestrzeni metrycznej ( , ) (odp.
topologicznej ( , )) nazywamy:
(i) gęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś
element ze zbioru ;
(ii) brzegowym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś
element nie należący do ;
(iii) nigdziegęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni
zawiera pewien niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni rozłączny ze zbiorem .
Zauważmy, że zbiór jest gęsty w danej przestrzeni metrycznej lub topologicznej wtedy i tylko
wtedy, gdy jego domknięcie w tej przestrzeni jest równe całej przestrzeni. Zbiór jest brzegowy w
danej przestrzeni metrycznej lub topologicznej wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest
zbiorem gęstym w tej przestrzeni. Natomiast zbiory nigdziegęste w danej przestrzeni metrycznej lub
topologicznej to takie podzbiory tej przestrzeni, których domknięcia mają puste wnętrza w tej
przestrzeni.
Zbiór trójkowy Cantora. Zbiór "
: 0,2 nazywamy zbiorem trójkowym
Cantora lub krócej zbiorem Cantora. Jest on podzbiorem przedziału [0; 1]. Moc zbioru Cantora jest
równa continuum, zbiór trójkowy Cantora jest nigdziegęsty w z topologią naturalną. Każdy punkt
zbioru Cantora jest punktem skupienia tego zbioru w z topologią naturalną.
Podprzestrzenie.
Definicja podprzestrzeni metrycznej. Załóżmy, że ą" , a dla metryki w zbiorze , metryka w
zbiorze jest obcięciem do . Wówczas parę ( , oznaczamy krótko literą i nazywamy
podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej , ).
Definicja podprzestrzeni topologicznej. Gdy jest topologią w zbiorze , a ą" , to topologię
={ : " } nazywamy topologią w indukowaną z , a parę ( , ), oznaczaną krótko ,
nazywamy podprzestrzenią (topologiczną) przestrzeni topologicznej ( , ).
Twierdzenie o topologii podprzestrzeni przestrzeni metrycznej. Dla każdej podprzestrzeni
przestrzeni metrycznej ( , ) zachodzi równość: ={ �" : " }.
Topologia naturalna w podzbiorze przestrzeni . Gdy ą" , a jest metryką euklidesową w ,
topologię będziemy nazywać naturalną w . Gdy nie zaznaczymy inaczej, podzbiory
będziemy rozważać z topologią naturalną w nich.
Zadania.
Zadanie 11. Uzasadnić, że każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i
domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń.
11
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadanie 12. Niech będzie metryką w zbiorze . Czy dla " i "(0;+"), domknięcie w ( , )
kuli otwartej ( , ) musi być kulą domkniętą ( , )?
Zadanie 13. Uzasadnić, że każdy podzbiór skończony przestrzeni metrycznej jest domknięty w
tej przestrzeni.
Zadanie 14. Wskazać wnętrze, domknięcie i brzeg następującego zbioru w przestrzeni ! z
topologią naturalną:
[ ) (
a) = 0; 1 1; 2 ;
[
b) = 0; 1 ;
c) = ( 1; 1) !.
Zadanie 15. Uzasadnić, że w ! z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną zbiór
{ + : , {0}} nie jest domknięty ani otwarty. Znalezć domknięcie oraz wnętrze tego
zbioru w tej przestrzeni metrycznej.
Zadanie 16. Niech będzie metryką w zbiorze , a metryką w zbiorze . W zbiorze
rozważmy metrykę określoną wzorem: (( , ), ( , ))= ( , )+ ( , ), gdzie
, i , . Załóżmy, że i . Sprawdzić, czy muszą zachodzić równości:
( ) ( )
cl = cl cl oraz int = int int .
Zadanie 17. W ! z metryką euklidesową wskazać wszystkie te punkty domknięcia zbioru =
{ }
{sin : ! 0 }, które nie należą do .
Zadanie 18. Czy w ! z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną istnieje zbiór nieprzeliczalny
nigdziegęsty?
Wykład 4.
Iloczyny kartezjańskie skończenie wielu przestrzeni.
"
Niech 1 oraz, dla , niech dane będą zbiory . Wówczas zbiór = wszystkich
funkcji : takich, że ( ) dla każdego utożsamiamy z iloczynem kartezjańskim
& .
Produkt skończenie wielu przestrzeni topologicznych. Załóżmy, że ( , ) jest przestrzenią
"
topologiczną dla każdego oraz = . Wówczas rodzina
= { : }
jest topologią w zbiorze , a parę ( , ) nazywamy wtedy iloczynem kartezjańskim lub produktem
( )
wszystkich przestrzeni rodziny { , : }.
Produkt skończenie wielu przestrzeni metrycznych. Załóżmy, że ( , ) jest przestrzenią metryczną
"
dla każdego oraz = . Wówczas funkcja : ! określona wzorem:
12
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
"
, , ,
gdzie , , jest metryką w zbiorze , a przestrzeń metryczną , będziemy nazywać iloczynem
kartezjańskim lub produktem wszystkich przestrzeni rodziny { , : . Zauważmy, że wtedy
ą" : " ( )
( , ą" ,
( ; )
gdzie jest topologią produktu wszystkich przestrzeni topologicznych rodziny { , : .
Przestrzenie ośrodkowe i przestrzenie z bazą przeliczalną.
Uwaga o pojęciu zbioru przeliczalnego. Dla wygody, przez zbiór przeliczalny będziemy rozumieć
zbiór równoliczny z jakimś podzbiorem klasy . Zbiory przeliczalne w tym sensie bywają nazywane co
najwyżej przeliczalnymi, a niektórzy przez zbiór przeliczalny rozumieją zbiór równoliczny ze zbiorem
wszystkich liczb naturalnych. Istnieje też następująca definicja zbioru przeliczalnego:
Definicja zbioru przeliczalnego (Wajch). Zbiorem przeliczalnym nazywamy taki i tylko taki zbiór,
który jest równoliczny z każdym ze swoich nieskończonych podzbiorów.
Uwaga. Nie można udowodnić, że w teorii ZF ta definicja zbioru przeliczalnego jest równoważna
podanej powyżej definicji zbioru co najwyżej przeliczalnego.
Definicje (ośrodki, przestrzenie ośrodkowe). Przestrzeń metryczną (odp. topologiczną) nazywamy
przestrzenią ośrodkową, gdy istnieje jej przeliczalny podzbiór gęsty w tej przestrzeni . Każdy
przeliczalny zbiór gęsty w danej przestrzeni nazywamy jej ośrodkiem.
Uwaga o ośrodkowości przestrzeni . Przestrzeń z nadaną jej topologią naturalną jest
przestrzenią ośrodkową. Jej ośrodkiem jest na przykład zbiór wszystkich " takich, że jest
liczbą wymierną dla każdego " . W szczególności, zbiór wszystkich liczby wymiernych w ! jest
ośrodkiem przestrzeni ! wszystkich liczb rzeczywistych wyposażonej w jej topologię naturalną.
Definicja bazy przestrzeni topologicznej. Bazą przestrzeni topologicznej ( , ) nazywamy każdą
taką rodzinę , która spełnia warunek: .
Definicja bazy przestrzeni metrycznej. Bazą przestrzeni metrycznej ( , ) nazywamy bazę
przestrzeni topologicznej ( , ).
Rodzina kul jako baza przestrzeni metrycznej. Dla każdej przestrzeni metrycznej ( , ) rodzina
wszystkich kul postaci ( , ), gdzie i , jest bazą przestrzeni ( , ). W przypadku, gdy
jest metryką dyskretną, rodzina wszystkich jednoelementowych podzbiorów zbioru jest bazą
( )
przestrzeni metrycznej dyskretnej , .
"
Baza przeliczalna przestrzeni ! . Rodzina wszystkich zbiorów postaci ( ; ), gdzie ( ; ) są
przedziałami otwartymi w ! o końcach , będących liczbami wymiernymi, jest przeliczalną bazą
przestrzeni ! z topologią naturalną.
13
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Twierdzenie o równoważności ośrodkowości z posiadaniem bazy przeliczalnej w klasie przestrzeni
metrycznych w ZFC. Przestrzeń metryczna , jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona
bazę przeliczalną.
Dowód. Dostateczność. Załóżmy, że ,! jest bazą przeliczaną przestrzeni , , a ,! ,! .
Wobec pewnika przeliczalnego wyboru (CC), istnieje funkcja : ,! taka, że ( ) dla
,!
( )
każdego ,! . Zbiór : ,! jest przeliczalny i gęsty w , .
Konieczność. Załóżmy teraz, że jest przeliczalnym zbiorem gęstym w przestrzeni metrycznej , .
Nietrudno jest sprawdzić, że wówczas rodzina ,! , : i jest przeliczalną bazą
tej przestrzeni metrycznej.�%
Uwaga. Podobnie jak wyżej dowodzi się, że jeśli przestrzeń topologiczna ma bazę przeliczalną, to w
teorii ZFC przestrzeń ta jest ośrodkowa. Jednakże, w pewnych modelach teorii ZF istnieją
nieośrodkowe przestrzenie metryczne mające bazę przeliczalną. W teorii ZFC nie każda przestrzeń
topologiczna ośrodkowa ma bazę przeliczalną.
Zadania.
Zadanie 19. Uzasadnić, że przestrzeń wszystkich liczb niewymiernych z metryką wyznaczoną przez
wartość bezwzględną w tym zbiorze jest ośrodkowa w teorii ZFC.
Zadanie 20. Udowodnić, że w teorii ZFC podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest
ośrodkowa.
Zadanie 21*. Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że ą" jest zbiorem nierównolicznym z
żadną liczbą należącą do , ale skończonym w sensie Dedekinda, to znaczy nierównolicznym z
żadnym ze swoich podzbiorów właściwych. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna , nie ma
żadnego równolicznego z podzbiorem klasy zbioru gęstego, więc nie jest ośrodkowa .
Zadanie 22. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy
jest przeliczalna.
Zadanie 23. Uzasadnić, że produkt skończenie wielu przestrzeni topologicznych ośrodkowych jest
przestrzenią topologiczną ośrodkową.
Zadanie 24. Sprawdzić, czy przestrzeń metryczna , jest ośrodkowa, gdzie:
a) jest metryką rzeka ;
b) jest metryką kolejową;
c) jest metryką maksimum.
14
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Wykład 5.
Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie zupełne.
Niech ( , ) będzie przestrzenią metryczną.
Definicje ciągu zbieżnego i ciągu Cauchy ego w przestrzeni metrycznej. Ciąg punktów
"
zbioru nazywamy:
(i) zbieżnym w przestrzeni metrycznej ( , ) do punktu " , zwanego wtedy granicą tego
ciągu w ( , ), gdy:
[ ą" ł' ( , )< ];
" ; ) " "
(ii) zbieżnym w przestrzeni metrycznej ( , ), gdy jest on zbieżny w tej przestrzeni do
pewnego jej punktu;
(iii) ciągiem Cauchy ego w przestrzeni metrycznej ( , ), gdy :
"( ; ) " , " [ ą" �" ł' ( , )< ].
Stwierdzenie. Każdy ciąg zbieżny w danej przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy ego w tej
przestrzeni.
Twierdzenie o warunkach koniecznych i wystarczających na to, aby punkt należał do domknięcia
zbioru w przestrzeni metrycznej w ZFC. Dla dowolnego zbioru ą" oraz punktu przestrzeni
metrycznej , ), następujące warunki są równoważne:
(i) "cl ;
(ii) istnieje ciąg ( ) punktów zbioru zbieżny w przestrzeni ( , ) do punktu ;
(iii) oraz ( , )=0.
Dowód. Załóżmy (i). Korzystając z pewnika wyboru, każdej liczbie naturalnej można
przyporządkować punkt ( , ), otrzymując ciąg ( ) punktów zbioru zbieżny w
przestrzeni ( , ) do punktu . Zatem w ZFC z (i) wynika (ii). Oczywiście, gdy ( ) jest ciągiem
punktów zbioru zbieżnym w przestrzeni ( , ) do punktu , to dla każdej liczby rzeczywistej
dodatniej istnieje takie, że ( , )< , więc również ( , )< , a stąd i z dowolności
wnioskujemy, że ( , )=0. Wobec tego z (ii) wynika (iii). Gdy spełniony jest warunek (iii), to dla
dowolnego >0 musi istnieć takie, że ( , ) , skąd wnioskujemy, że wtedy również
warunek (i) jest spełniony. %
Uwaga o niemożności dowodu istnienia ciągu punktów pewnego zbioru, zbieżnego do punktu z
domknięcia tego zbioru w teorii ZF. Okazuje się, że w teorii ZF nie można wykluczyć istnienia zbioru
ą" , który nie jest domknięty w z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną, lecz nie
zawiera żadnego zbioru, którego elementy są ustawialne w ciąg nieskończony różnowartościowy.
Zatem warunku (ii) powyższego twierdzenia nie można traktować jako warunku koniecznego dla (i) w
teorii ZF, ale można w teorii ZFC.
W fizyce ustawianie obiektów w ciągi nieskończone jest niewykonalne (Wajch). %
%
%
%
15
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Uwaga. To, że ciąg ( ) punktów przestrzeni metrycznej jest zbieżny w tej przestrzeni do punktu
znaczy dokładnie, że w każdym otoczeniu punktu tej przestrzeni są prawie wszystkie (a więc
wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością) wyrazy ciągu ( ). Podobnie można określić zbieżność
ciągu punktów przestrzeni topologicznej do punktu tej przestrzeni.
Definicja punktu skupienia ciągu. Mówimy, że punkt " jest punktem skupienia ciągu
"
punktów zbioru w przestrzeni metrycznej ( , ), gdy:
[ ą" ( , )< ].
" ; ) " "
Uwaga. Każdy ciąg punktów przestrzeni metrycznej ma co najwyżej jedną granicę w tej przestrzeni,
ale w niektórych przestrzeniach topologicznych pewne ciągi mogą być zbieżne do więcej niż jednego
punktu. Granica ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej jest punktem skupienia tego ciągu w tej
przestrzeni. Ogólnie, w ZFC nie jest prawdą, że ciąg punktów przestrzeni metrycznej musi mieć w tej
przestrzeni punkt skupienia. Jeżeli ciąg punktów przestrzeni metrycznej ma w tej przestrzeni punkt
skupienia, to zawiera on podciąg zbieżny w tej przestrzeni metrycznej.
Definicja metryki zupełnej. Metrykę w zbiorze nazywamy metryką zupełną, gdy każdy ciąg
Cauchy ego w przestrzeni metrycznej ( , ) jest zbieżny w tej przestrzeni.
Definicja przestrzeni metrycznej zupełnej. Przestrzeń metryczną ( , ) nazywamy przestrzenią
zupełną, gdy jest metryką zupełną.
Uwaga o zupełności metryki euklidesowej. Uznajemy, że w teorii ZFC metryka euklidesowa w
jest zupełna. Można mieć wątpliwości, czy jest ona zupełna również w teorii ZF, ale przy, mówiąc
nieformalnie, dogodnej do tego celu interpretacji ZF uznaje się, że metryka wyznaczona przez
wartość bezwzględną w jest zupełna, a więc i metryka euklidesowa w jest zupełna.
Warunek konieczny i wystarczający na to, aby podprzestrzeń przestrzeni metrycznej zupełnej była
zupełna w ZFC. Podprzestrzeń ( , ) przestrzeni metrycznej zupełnej ( , ) jest zupełna wtedy i
tylko wtedy, gdy jest zbiorem domkniętym w ( , ).
Ostrzeżenie o kłopotach z domkniętością podprzestrzeni zupełnych w ZF. Przypuśćmy, że jest
udowodnione, że metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną w jest zupełna w teorii ZF
oraz przypuśćmy, że ą" nie jest zbiorem domkniętym, ale każdy ciąg Cauchy ego punktów zbioru
jest, począwszy od pewnego wyrazu tego ciągu, stały . Wtedy , ) jest przestrzenią metryczna
zupełną, która nie spełnia warunku koniecznego na to, aby podprzestrzeń przestrzeni metrycznej
zupełnej była zupełna. W pewnych modelach teorii ZF takie zbiory istnieją.
Zadania.
Zadanie 25*. Wykorzystując ideę Cantora-Heine go-M�ray a konstrukcji liczb rzeczywistych ze
zbioru liczb wymiernych, uzasadnić, że metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną w jest
zupełna w ZFC.
Zadanie 26. Uzasadnić, że metryka euklidesowa w jest zupełna w ZFC.
Zadanie 27. Czy metryka równoważna metryce zupełnej musi być zupełna?
16
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadanie 28. Uzasadnić, że metryka dyskretna jest zupełna.
Zadanie 29. Dla , " , niech ( , )=#"arctg arctg #". Udowodnić, że tak określona funkcja jest
metryką w ! równoważną metryce standardowej i sprawdzić, czy jest zupełna.
( ) | |
Zadanie 30. Niech , = dla , 0; 1 . Wskazać jakiś ciąg Cauchy ego w przestrzeni
metrycznej 0; 1), ), który nie jest zbieżny w tej przestrzeni.
Zadanie 31. Załóżmy, że jest metryką zupełną w zbiorze . Czy wtedy metryka w zbiorze też
( , )
( )
jest zupełna, gdy , = dla dowolnych , ?
( , )
Zadanie 32. Uzasadnić, że produkt skończenie wielu przestrzeni metrycznych zupełnych jest
przestrzenią metryczną zupełną.
Wykład 6.
Twierdzenia Cantora i Baire a o przestrzeniach zupełnych.
Definicja średnicy zbioru. Niech będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej ( , ).
Średnicą diam ( ) zbioru w tej przestrzeni metrycznej nazywamy kres górny zbioru { ( , ): "
'" " }. Ponadto przyjmujemy, że średnica zbioru pustego jest równa -".
Definicja zbioru ograniczonego ze względu na metrykę. Zbiór ą" nazywamy ograniczonym ze
względu na metrykę w zbiorze , gdy diam ( ) ".
Twierdzenie Cantora o metrykach zupełnych. Metryka w zbiorze jest zupełna wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy ciąg ( ) niepustych zbiorów domkniętych w ( , ) taki, że ą" dla każdego
" oraz ciąg (diam ( )) jest zbieżny w ! z metryką standardową do zera, ma następującą
własność: .
"
Zarys dowodu. Konieczność. Załóżmy najpierw, że jest metryką zupełną w , natomiast ( ) jest
ciągiem niepustych zbiorów domkniętych w ( , ) takim, że ą" dla każdego " oraz ciąg
(diam ( )) jest zbieżny w ! z metryką standardową do zera. Korzystając z aksjomatu przeliczalnego
wyboru (CC), wnioskujemy, że istnieje ciąg ( ) taki, że dla każdego " . Skoro ą"
dla każdego " oraz lim diam ( ) = 0, to ( ) jest ciągiem Cauchy ego w ( , ). Zatem ciąg
ten jest zbieżny w ( , ) do jakiegoś punktu . Z domkniętości zbiorów wnioskujemy, że
. Można ponadto zauważyć, że jest jedynym punktem przecięcia , gdyż średnice
" "
zbiorów dążą do zera.
Dostateczność. Załóżmy teraz, że jest taką metryką w zbiorze , iż każdy ciąg ( ) niepustych
zbiorów domkniętych w ( , ) taki, że ą" dla każdego " oraz ciąg (diam ( )) jest zbieżny w
! z metryką standardową do zera, ma następującą własność: . Niech ( ) będzie
"
ciągiem Cauchy ego w ( , ) i niech = cl : i ą" . Wobec założenia, istnieje punkt
. Ciąg ( ) jest zbieżny w ( , ) do . %
"
17
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Twierdzenie Baire a o kategorii . Jeżeli jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów nigdziegęstych w
przestrzeni metrycznej zupełnej ( , ), to jest zbiorem brzegowym w ( , ).
Zarys dowodu w ZFC. Niech będzie ciągiem zbiorów nigdziegęstych w niepustej przestrzeni
metrycznej zupełnej ( , ) takim, że . Rozważmy dowolny niepusty zbiór otwarty w
( , ). Skoro zbiór jest nigdziegęsty, to zbiór zawiera niepusty zbiór otwarty w ( , ) i rozłączny z
. Istnieją zatem punkt oraz liczba takie, że ( , oraz
( , ą" . Niech , . Przypuśćmy, że dla liczby naturalnej 0, znalezliśmy
już niepusty zbiór otwarty , punkt i liczbę naturalną taką, że ( ,
oraz ( , ą" . Przyjmujemy , i wykorzystując nigdziegęstość zbioru ,
ustalamy punkt oraz liczbę naturalną taką, że ( , oraz
( , ą" . Zasada indukcji kończy określanie ciągów ( ) i ( ), przy czym dbamy o to,
aby ciąg ( ) był sciśle rosnący. Niech oraz ( , dla liczb całkowitych 0.
Otrzymujemy ciąg ( ) niepustych zbiorów domkniętych w ( , ) taki, że ą" dla każdego "
oraz lim diam 0. Wobec twierdzenia Cantora, istnieje punkt . Oczywiście,
"
, zatem jest zbiorem brzegowym w ( , ). W dowodzie tym jest wykorzystany pewnik
przeliczalnego wyboru przy wyborze punktów . %
Określenie zbiorów pierwszej i drugiej kategorii. Zbiory w przestrzeni topologicznej, które są
przedstawialne w postaci sumy mnogościowej przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych w tej
przestrzeni są zwane zbiorami pierwszej kategorii w tej przestrzeni, a te zbiory w przestrzeni
topologicznej, które nie są w niej pierwszej kategorii są zwane zbiorami drugiej kategorii. Wobec
twierdzenia Baire a o kategorii, w teorii ZFC każda przestrzeń metryczna zupełna jest zbiorem drugiej
kategorii w sobie, a zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni metrycznej zupełnej są w niej brzegowe.
Ostrzeżenie o niedowodliwości w ZF twierdzenia Baire a o kategorii i twierdzenia Cantora o
metrykach zupełnych . Okazuje się, że w teorii ZF nie może zaistnieć żaden wiarygodny dowód
twierdzenia Baire a o kategorii. W pewnych modelach teorii ZF, w których pewnik przeliczalnego
wyboru jest fałszywy, są przestrzenie metryczne zupełne, w których jakieś zbiory pierwszej kategorii
nie są brzegowe. Jeżeli ą"! nie jest zbiorem domkniętym w !, a żaden nieskończony ciąg
punktów zbioru nie jest różnowartościowy, to metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną
w jest zupełna, ale, gdy cl! , to ciąg zbiorów , , gdzie ,
świadczy o tym, że warunek konieczny zupełności metryki dany w twierdzeniu Cantora nie jest
spełniony. Zatem twierdzenie Cantora o metrykach zupełnych nie jest dowodliwe w ZF.
G. Cantor [1845-1918], R. Baire [1874-1932], A. L. Cauchy [1789-1857].
Zadania.
Zadanie 33. Korzystając z twierdzenia Baire a , uzasadnić, że nie istnieje metryka zupełna w zbiorze !
wszystkich liczb wymiernych wyznaczająca topologię naturalną tego zbioru.
18
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadanie 34. Wykorzystując twierdzenie Baire a o kategorii, uzasadnić, że zbiór wszystkich liczb
niewymiernych nie jest typu w z topologią naturalną.
Wykład 7.
Pojęcia ciągłości przekształceń.
Definicje (ciągłość ze względu na parę topologii). Niech będzie topologią w zbiorze , natomiast
topologią w zbiorze . Przekształcenie : nazywamy:
(i) ciągłym ze względu na parę ( , ) lub względem pary , ) w punkcie , gdy:
[ ą" ;
(ii) ciągłym (na ze względu na parę ( , ) lub, równoważnie, względem pary ( , )
gdy jest ciągłe względem pary ( , ) w każdym punkcie zbioru ;
(iii) homeomorfizmem przestrzeni topologicznej , na przestrzeń topologiczną , ,
gdy jest wzajemnie jednoznaczne, ciągłe względem pary ( , ), natomiast
przekształcenie odwrotne do jest ciągłe względem pary ( , ).
Umowa. Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, przekształcenia ciągłe względem pary topologii
nazywamy krótko ciągłymi.
Podstawowy warunek konieczny i wystarczający na ciągłość przekształcenia. Niech będzie
topologią w zbiorze , natomiast topologią w zbiorze . Przekształcenie : jest ciągłe
względem pary , ) wtedy i tylko wtedy, gdy:
.
Definicje (ciągłość ze względu na parę metryk). Załóżmy, że jest metryką w zbiorze , a
metryką w zbiorze . Przekształcenie : �' nazywamy:
(i) ciągłym w sensie Cauchy ego w punkcie * " względem pary metryk ( , ) (lub
przestrzeni metrycznej ( , ) w przestrzeń metryczną ( , )), gdy:
[ ( *, )< * , < ;
" ; " ; "
(ii) ciągłym w sensie Heine go (lub ciągowo ciągłym) w punkcie * " względem pary
metryk ( , ) (lub przestrzeni metrycznej ( , ) w przestrzeń metryczną ( , )), gdy
dla każdego ciągu ( ) punktów zbioru , zbieżnego w przestrzeni ( , ) do *, ciąg
( ( )) jest zbieżny w przestrzeni ( , ) do ( *);
(iii) przekształceniem (odwzorowaniem) przestrzeni metrycznej ( , ) w przestrzeń
metryczną ( , ), ciągłym w sensie Cauchy ego lub, odpowiednio, Heine go, gdy jest
ciągłe w sensie Cauchy ego lub, odpowiednio, Heine go względem ( , ) w każdym
punkcie zbioru , przy czym przekształcenia ciągłe w sensie Heine go bywają nazywane
ciągowo ciągłymi;
19
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
(iv) homeomorfizmem (w sensie Cauchy ego) przestrzeni ( , ) na przestrzeń ( , ) gdy
jest wzajemnie jednoznaczne i ciągłe w sensie Cauchy ego względem , ), a
ponadto jest ciągłe w sensie Cauchy ego względem , );
(v) izometrią przestrzeni ( , ) w przestrzeń ( , ), gdy:
( , *)= ( , * ;
, "
vi przekształceniem jednostajnie ciągłym (ze względu na pare ( , ), gdy:
, < , < .
( ; ; ,
Uwaga o względnej równoważności ciągłości w sensie Cauchy ego i ciągowej ciągłości. Uznaje się,
że w ZFC ciągłość w sensie Cauchy ego jest równoważna ciągłości w sensie Heine go, ale to wcale nie
znaczy, że pojęcia te są na pewno równoważne. Na przykład, w teorii ZF nie są one równoważne.
Można powiedzieć, że równoważność pojęć ciągłości w sensie Cauchy ego i Heine go nie jest
absolutną równoważnością, ale względną, gdyż uzyskuje się ją względem jakiegoś dogodnego do jej
uzasadnienia układu aksjomatów. Umawiamy się jednak, że na ogół o przekształceniach ciągłych w
sensie Cauchy ego lub Heine go będziemy mówić krótko przekształcenia ciągłe, bo zakładamy układ
ZFC, gdy nie wskazujemy, że jest inaczej, a ponadto prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Twierdzenie o równoważności ciągłości względem pary metryk i względem pary topologii
wyznaczonych przez te metryki. Załóżmy, że jest metryką w zbiorze , a metryką w zbiorze
. Przekształcenie : �' jest ciągłe w sensie Cauchy ego w punkcie względem pary metryk
( , ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłe względem pary topologii ( , w punkcie .
Przekształcenie : �' jest ciągłe w sensie Cauchy ego względem pary metryk ( , ) wtedy
i tylko wtedy, gdy jest ciągłe względem pary topologii ( , .
Definicje przestrzeni metrycznych izometrycznych i homeomorficznych. Przestrzenie metryczne
( , ) i ( , ) nazywamy izometrycznymi (odpowiednio: homeomorficznymi), gdy istnieje
izometria (odp. homeomorfizm) przestrzeni ( , ) na ( , ).
Definicja przestrzeni topologicznych homeomorficznych. Przestrzeni topologiczne , i ,
nazywamy homeomorficznymi, gdy istnieje homeomorfizm przestrzeni , na przestrzeń , .
Związek między izometriami, a homeomorfizmami. Każda izometria, która jest przekształceniem
na jest homeomorfizmem. Nie każdy homeomorfizm jest izometrią. Każda izometria przestrzeni
! z metryką euklidesową w tę samą przestrzeń jest na , a więc jest homeomorfizmem tej
przestrzeni na siebie.
Definicja autoizometrii przestrzeni metrycznej. Autoizometrią przestrzeni metrycznej ,
nazywamy każdą izometrię przestrzeni , na przestrzeń , , to znaczy każde takie
przekształcenie zbioru na zbiór , że dla każdej pary , punktów zbioru zachodzi równość:
( )
, , .
Postać autoizometrii przestrzeni . Okazuje się, że przekształcenie : �' , gdzie >0, jest
izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna = stopnia , o wszystkich
wyrazach rzeczywistych taka, że macierz do niej transponowana jest macierzą odwrotną
do , a ponadto istnieją liczby rzeczywiste , & . , takie, że dla każdego , & , " !
zachodzi równość:
20
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
" "
+ , & , + .
Definicja autohomeomeorfizmu przestrzeni topologicznej. Autohomeomorfizmem przestrzeni
topologicznej , nazywamy każdy homeomorfizm przestrzeni , na przestrzeń , .
Definicja grupy przekształceń. Jeżeli jest ustalonym zbiorem, a jest zbiorem przekształceń
wzajemnie jednoznacznych zbioru na zbiór takim, że złożenie dowolnych dwu przekształceń
ze zbioru należy do , przekształcenie identycznościowe tożsamość na należy do oraz
dla jakiegokolwiek przekształcenia należącego do , przekształcenie odwrotne do niego też
należy do , to nazywamy grupą przekształceń.
Związek pojęcia grupy przekształceń z teorią grup. Jeżeli jest zbiorem wzajemnie jednoznacznych
przekształceń zbioru na , to jest grupą przekształceń wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
wyposażony w działanie superpozycji przekształceń ze zbioru jest grupą.
Twierdzenie o zbiorze autoizometrii jako grupie przekształceń. Zbiór wszystkich autoizometrii
danej przestrzeni metrycznej jest grupą przekształceń.
Twierdzenie o zbiorze autohomeomorfizmów jako grupie przekształceń. Zbiór wszystkich
autohomeomorfizmów danej przestrzeni topologicznej jest grupą przekształceń.
Zadania.
Zadanie 35. Dla , "[-1;1], niech ( , )=#" - #", gdy oba punkty , należą do [-1;0) lub oba punkty
, należą do [0;1], a ponadto niech ( , )=1, gdy jeden z punktów , należy do [-1; 0), a drugi do
[0;1].
a Sprawdzić, że jest metryką w zbiorze -1; 1 .
b Sprawdzić, czy metryka jest zupełna.
c Sprawdzić, czy przekształcenie :[-1; 1 ! jest ciągłe względem pary ( , , gdzie jest
metryką standardową wyznaczoną przez wartość bezwzględną w , natomiast )=0
dla każdego "[-1; 0) oraz ( )=1 dla każdego "[0; 1].
d) Sprawdzić, czy zbiór [-1; 0) jest otwarty w ([-1; 1], ).
Zadanie 36. Uzasadnić, że izometria przestrzeni metrycznej w tę samą przestrzeń metryczną nie
musi być autoizometrią tej przestrzeni metrycznej.
Zadanie 37. Uzasadnić, że każde przekształcenie jednostajnie ciągłe jest ciągłe, ale nie na odwrót.
Zadanie 38. Załóżmy, że jest metryką w ! określoną, dla , !, jak następuje:
| |
min 1, , gdy , ( "; 0]

( ) min 1, , gdy , (0; ")
, = | |
1, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków.
Niech będzie metryką dyskretną w zbiorze 2 = 0,1 Sprawdzić, czy funkcja : ! 2 taka, że
( ) = 0 dla każdego ( "; 0] oraz = 1 dla każdego (0; ") jest ciągła w sensie
( )
Cauchy ego w zerze względem pary metryk ( , ). Naszkicować wykres tej funkcji.
21
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadanie 39 . Załóżmy, że jest metryką w określoną, dla , , jak następuje:
| |
min 1, , gdy , "; 0

| |
, min 1, , gdy , 0; "
1, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków.
Niech będzie metryką dyskretną w zbiorze !. Sprawdzić, czy funkcja : ! ! taka, że
1 dla każdego "; 0 oraz 1 dla każdego 0; " jest ciągła w sensie
Cauchy ego w zerze względem pary metryk ( , . Naszkicować wykres tej funkcji.
Zadanie 40. Sprawdzić, czy przekształcenie : ! ! jest autoizometrią przestrzeni ! , gdy dla
każdego punktu , ! zachodzi równość:
a) , 1 + 2 + , 3 ;
b) , 1 , 2 ;
c) , 2 cos sin , 1 + sin cos ;
d) , 1 + cos sin , 4 sin cos .
Zadanie 41. Niech będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Sprawdzić, czy przekształcenie : ! !
jest autoizometrią przestrzeni ! , gdy dla każdego punktu , , ! zachodzi równość:
a) , , 1 + cos sin , 2 sin cos , 1 ;
b) , , 3 cos sin , 1 + sin cos , 1 + ;
c) , , 1 + cos sin , 4 sin cos , 1 .
Zadanie 42. Uzasadnić, że przekształcenie : ! ! jest autoizometrią przestrzeni ! wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista taka, że prawdziwa jest alternatywa:
) ) .
! !
Zadanie 43. Niech , będą topologiami w zbiorze i niech id oznacza przekształcenie
tożsamościowe na . Uzasadnić, że:
a) id jest ciągłe względem pary ( , wtedy i tylko wtedy, gdy ą" ;
b) id jest homeomorfizmem przestrzeni topologicznej , na przestrzeń topologiczną
, wtedy i tylko wtedy, gdy .
Zadanie 44. Niech będzie metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną w !, natomiast
metryką dyskretną w !. Uzasadnić, że id! jest ciągłe względem pary , , ale nie jest ciągłe
względem pary , .
Zadanie 45. Uzasadnić, że dowolne dwa niezdegenerowane przedziały otwarte w ! są
homeomorficzne.
22
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Wykład 8.
Oddzielanie i twierdzenie Tietze go o przedłużaniu funkcji ciągłych.
Mówiliśmy już, że przestrzenie metryczne spełniają warunek Hausdorffa. Okazuje się, że mają one
silniejsze niż Hausdorffa własności oddzielania punktów i zbiorów.
Definicja przestrzeni regularnej. Przestrzeń topologiczną , nazywamy przestrzenią regularną,
gdy dla każdego zbioru domkniętego w tej przestrzeni i każdego punktu , istnieje para
, rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni taka, że ą" i .
Twierdzenie o regularności przestrzeni metrycznych. Dla każdej przestrzeni metrycznej , ,
przestrzeń topologiczna , jest regularna.
Dowód. Niech będzie niepustym zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej , i niech
. Funkcja : ! określona, dla każdego , wzorem: , , jest ciągła.
Ponadto, liczba jest dodatnia, gdyż punkt nie należy do zbioru domkniętego . Niech
: < oraz : . Zbiory , są oba otwarte w , , rozłączne,
ą" i . %
Twierdzenie o oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej. Niech ,
będzie parą niepustych rozłącznych zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej , oraz niech
, ! będą takie, że < . Istnieje wówczas funkcja ciągła : ; taka, że ą" i
ą" .
Dowód. Zauważmy, że funkcja : ! określona, dla każdego , wzorem:
,
, ,
]
jest ciągła. Niech : 0; 1 ; będzie funkcją liniową określoną równaniem: (
. Funkcja jest ciągła oraz ą" i ą" . %
Uwaga. Powyższe twierdzenie jest dowodzone w teorii ZF. Istnieje w teorii ZFC odpowiednik tego
twierdzenia dla przestrzeni topologicznych normalnych zwane Lematem Urysohna, który jest
niedowodliwy w ZF.
Definicja przestrzeni normalnej. Przestrzeń topologiczną , nazywamy normalną, gdy dla każdej
pary , rozłącznych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni istnieje para , rozłącznych zbiorów
otwartych w tej przestrzeni taka, że ą" i ą" .
Twierdzenie o normalności przestrzeni metrycznych. Jeżeli , jest przestrzenią metryczną, to
przestrzeń topologiczna , jest normalna.
Twierdzenie Tietze go . Niech będzie zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej , ,
natomiast : ! funkcją ciągłą względem i metryki standardowej w !. Istnieje wówczas ciągła
względem i metryki standardowej w ! funkcja : ! taka, że ( dla każdego .
23
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Dowód w ZF. Załóżmy najpierw dodatkowo, że funkcja jest ograniczona. Niech będzie liczbą
| |
rzeczywistą dodatnią taką, że d" dla każdego i niech dla 1.
Określamy . Przypuśćmy, że dla liczby 1 , określiliśmy już funkcję ciągłą
: 3 ; 3 . Niech
: i : .
Zbiory , są rozłączne oraz domknięte w . Skoro jest zbiorem domkniętym w , to zbiory
, są domknięte w . Z twierdzenia o oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych wynika, że
istnieje funkcja ciągła : ; taka, że ą" i ą" , którą można
określić według ustalonej reguły, omijając pewnik przeliczalnego wyboru. Niech
.
Zasada indukcji kończy konstrukcję ciągów funkcyjnych i . Zauważmy, że dla każdego
| |
zachodzi nierówność: 2 3 , więc lim 0. Skoro szereg liczbowy
" jest zbieżny, a , to szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na . Suma
| | "
"
jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych na jest funkcją ciągłą na . Niech
"
i niech będzie -tą sumą częściową szeregu liczbowego . Widać, że
, więc lim , co kończy dowód w przypadku, gdy funkcja
jest ograniczona.
Załóżmy teraz, że funkcja nie jest ograniczona. Rozważmy funkcję arc tg . Funkcja
: ; jest ograniczona, więc wobec pierwszej już zakończonej części dowodu, istnieje
funkcja ciągła : ! taka, że ( dla każdego . Niech " : .
Zbiór jest domknięty w oraz rozłączny ze zbiorem domkniętym . Wobec lematu o
oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej, istnieje funkcja ciągła
: 0; 1 taka, że 0 i 1 . Funkcja tg � jest ciągła na i taka, że
( dla każdego . %
Uwaga. Twierdzenie Tietze go dla przestrzeni metrycznych udowodnione jest w teorii ZF.
Twierdzenie to ma uogólnienie do Twierdzenia Tietze go-Urysohna dla przestrzeni topologicznych
normalnych, ale jego dowód przeprowadza się z użyciem pewnika przeliczalnego wyboru (CC) w teorii
ZF+(CC) ze względu na zastosowanie w dowodzie niedowodliwego w ZF lematu Urysohna.
Zadania.
Zadanie 46. Uzasadnić, że funkcja : 0; " nie jest przedłużana w sposób ciągły na całą
przestrzeń , gdy sin dla każdego 0; " .
Zadanie 47. Niech przestrzeń 0 będzie wyposażona w topologię naturalną. Uzasadnić, że
każdą funkcję ciągłą : 0; " można przedłużyć na całą przestrzeń do funkcji ciągłej.
Zadanie 48. Udowodnić, że dla każdego zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej , i dla
każdego punktu , istnieje funkcja ciągła : 0; 1 taka, że 0 i 1 .
24
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zadanie 49. Niech przestrzeń 0; 2 3; 5 będzie wyposażona w topologię naturalną. Dla
zbiorów 1; 2 i 3; 4 wskazać funkcję ciągłą : 0; 1] taką, że ą" 0 i
ą" 1 . Narysować wykres tej wskazanej funkcji.
Zadanie 50. Niech będzie metryką w wyznaczoną przez wartość bezwzględną. Narysować wykres
funkcji określonej wzorem: , dla każdego .
Wykład 9.
Zwartość w przestrzeniach metrycznych.
Uznaje się, że współczesne definicje przestrzeni zwartej i zbioru zwartego w przestrzeni pochodzą od
L. Vietorisa [1891-2002] oraz P. Aleksandrowa [1896-1982] i P. Urysohna [1898-1924] z lat
dwudziestych poprzedniego wieku. Do określenia zwartości pokryciowej potrzebne jest pojęcie
pokrycia otwartego.
Definicje pokrycia otwartego zbioru w przestrzeni i zwartości pokryciowej. Niech ( , ) (odp.
( , )) będzie przestrzenią metryczną (odp. topologiczną) i niech ą" .
(i) Pokryciem otwartym zbioru w przestrzeni ( , ) (odp. ( , )) nazywamy rodzinę
zbiorów otwartych w tej przestrzeni taką, że ą" .
"
(ii) Mówimy, że zbiór jest zwarty w przestrzeni ( , ) (odp. ( , )), gdy dla każdego
pokrycia otwartego zbioru w tej przestrzeni istnieje skończona rodzina taka, że
.
(iii) Przestrzeń ( , ) (odp. ( , )) nazywamy zwartą, gdy zbiór jest w niej zwarty.
Uwaga. Ponieważ zwartość zbioru w przestrzeni metrycznej ( , jest tym samym co zwartość tego
zbioru w przestrzeni topologicznej , ), gdy wyznaczenie topologii przez metrykę nie będzie
odgrywało żadnej istotnej roli w badaniu zwartości, będziemy rozważać zwartość w przestrzeni
topologicznej. Dla wygody, gdy nie doprowadzi to do nieporozumień, przestrzeń topologiczną ( , )
będziemy oznaczać krótko i zwać przestrzenią.
Umowa dotycząca pojęcia zbioru skończonego. Przez zbiór skończony lub prawdziwie skończony
będziemy tu rozumieć zbiór równoliczny z pewnym elementem klasy . Zbiór skończony lub
skończony w sensie Dedekinda to zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym ze swoich podzbiorów
właściwych. W teorii ZFC zbiór jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on skończony,
natomiast w teorii ZF nie można wykluczyć istnienia zbiorów skończonych, które nie są
prawdziwie skończone. Zatem przechodząc z teorii ZFC do ZF z pojęciem zwartości, należy nie mylić
pojęć zbioru skończonego i skończonego oraz postępować z nimi ostrożnie. W niektórych
pozycjach literatury zbiory - skończone bywały nazywane skończonymi. Niektórzy stosują inne
oznaczenie skończoności.
Trudności ze sprawdzaniem skończoności w fizyce. Według niektórych zródeł, na przykład według
Wikipedii, w widzialnym wszechświecie jest mniej więcej tylko 10 cząstek elementarnych, nie
włączając ciemnej materii. W praktyce, choć wiemy, że na pewno w pomieszczeniu, w którym teraz
25
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
przebywamy są na przykład elektrony, nie jesteśmy w stanie wskazać funkcji ustalającej
równoliczność jakiegoś elementu klasy z totalnością tych wszystkich i tylko tych elementów,
które są dzisiaj elektronami w tym pomieszczeniu. Nie jesteśmy w stanie w pełni wiarygodnie
udowodnić, że jeśli totalność jest zbiorem, to zbiór jest skończony w sensie Dedekinda, ale
możemy wykazać , że przedstawiciel tego zbioru w dogodnie do tego dobranym modelu
matematycznym jest zbiorem skończonym. W jakimś innym modelu, przedstawiciel kolekcji
wszystkich elektronów w tym pomieszczeniu może nie być wcale zbiorem tylko klasą właściwą, która
w teorii zawierającej dogodny aksjomat zastępowania (F) na pewno nie jest równoliczna z żadną
liczbą naturalną z klasy , a więc nie jest zbiorem prawdziwie skończonym.
Definicja rodziny pokrywającej zbiór. Mówimy, że rodzina podzbiorów zbioru pokrywa zbiór
ą" , gdy ą" .
"
Definicję zbioru zwartego w przestrzeni topologicznej możemy sformułować następująco:
Definicja zbioru zwartego. Zbiór ą" jest zwarty w przestrzeni topologicznej dokładnie wtedy,
gdy każda pokrywająca zbiór rodzina zbiorów otwartych w zawiera podrodzinę skończoną
pokrywającą zbiór .
Zwartość przedziału [0; 1] w teorii ZF. Niech , i . To, że przedział ; z topologią
naturalną jest przestrzenią zwartą można dowieść w teorii ZF, czyli bez użycia pewnika wyboru.
Mianowicie, niech będzie rodziną zbiorów otwartych w ! pokrywającą przedział ; i niech
będzie kresem górnym zbioru wszystkich tych ; , dla których istnieje skończona rodzina
ą" pokrywajaca przedział ; . Korzystając z definicji kresu górnego, sprawdza się, że ,
co dowodzi zwartości ; w ZF.
Poniższe twierdzenie charakteryzujące zwarte podzbiory przestrzeni ! z topologią naturalną bywa
w literaturze zwane twierdzeniem Borela-Heine go, ale według oryginalnych zródeł historycznych
należałoby je uznać za twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a, które uznaje się za prawdziwe w ZF.
Twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a. Zbiór ą"! jest zwarty w przestrzeni ! z topologią
naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w tej przestrzeni i ograniczony ze względu na
metrykę euklidesową w ! .
Twierdzenie o dziedziczeniu zwartości przez zbiory domknięte. Każdy zbiór domknięty w przestrzeni
zwartej jest zwarty w tej przestrzeni.
Dowód w ZF. Załóżmy, że jest zbiorem domkniętym w przestrzeni zwartej , natomiast jest
rodziną zbiorów otwartych w pokrywającą zbiór . Wtedy rodzina jest pokryciem
otwartym przestrzeni , więc, na mocy zwartości , istnieje skończona rodzina ą" taka, że
pokrywa zbiór . Wtedy rodzina pokrywa zbiór . %
Twierdzenie o domkniętości zbiorów zwartych w przestrzeniach spełniających warunek
Hausdorffa. Każdy zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej spełniającej warunek Hausdorffa jest
domknięty w tej przestrzeni; w szczególności, każdy zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest
domknięty w tej przestrzeni.
26
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Dowód w ZF. Załóżmy , że jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni topologicznej
spełniającej warunek Hausdorffa, natomiast . Niech będzie rodziną wszystkich tych
zbiorów otwartych w , których domknięcia w nie zawierają punktu . Skoro przestrzeń spełnia
warunek Hausdorffa, to rodzina pokrywa zbiór . Ponieważ jest zbiorem zwartym, istnieje
skończona rodzina ą" pokrywająca zbiór . Zbiór cl jest otwarty w przestrzeni ,
rozłączny z , ponadto . Zatem cl . Stąd wnioskujemy, że cl , więc jest zbiorem
domkniętym w . %
Zadania.
Zadanie 51. Wskazać jakieś pokrycie otwarte przestrzeni wszystkich liczb rzeczywistych z topologią
naturalną, które nie ma podpokrycia skończonego tej przestrzeni.
Zadanie 52. Udowodnić, że przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona
skończona.
Zadanie 53. Udowodnić, że zbiór : 0 jest zwarty w .
Zadanie 54. Udowodnić, że przedziały (0; 2], (0; +" , 0; +" nie są zbiorami zwartymi w
wskazując jakieś ich pokrycia otwarte, które nie zawierają rodzin skończonych pokrywających
te przedziały.
Zadanie 55. Uzasadnić, że każdy zbiór skończony w danej przestrzeni topologicznej jest zbiorem
zwartym w tej przestrzeni.
Zadanie 56. Wykorzystując twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a, odpowiedzieć z uzasadnieniem
na następujące pytanie: które ze zbiorów 0; 1 , 0; 1 , $! 0; 1 1 , 0; " są zwarte w
przestrzeni ! ?.
Wykład 10.
Ciąg dalszy zwartości.
Twierdzenie o obrazach ciągłych zbiorów zwartych. Niech i będą przestrzeniami
topologicznymi, a : przekształceniem ciągłym . Wówczas, dla każdego zbioru zwartego w ,
zbiór ( ) jest zwarty w .
Dowód. Niech ą" będzie zbiorem zwartym. Załóżmy, że jest pokrywającą zbiór rodziną
zbiorów otwartych w . Skoro jest ciągłe, to wszystkie zbiory , gdzie , są otwarte w
. Ponieważ, oczywiście, rodzina : pokrywa zbiór zwarty , istnieje skończona
rodzina ą" taka, że rodzina : pokrywa zbiór . Wówczas zbiór jest pokryty
przez rodzinę . %
Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłych na zbiorach zwartych. Niech , i ,
będą przestrzeniami metrycznymi, a : przekształceniem ciągłym (w sensie Cauchy ego) ze
27
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
względu na parę , . Jeżeli , jest przestrzenią zwartą, to jest jednostajnie ciągłe ze względu
na , .
Dowód w ZF. Niech 0; " . Ponieważ jest ciągłe w sensie Cauchy ego w każdym punkcie
przestrzeni , dla każdego , istnieje najmniejsza liczba naturalna 0 taka, że
, ą" , . Ze zwartości przestrzeni , wynika, że istnieje skończone
podpokrycie pokrycia , ; . Niech ą" będzie zbiorem skończonym takim,
że = , : . Przyjmijmy max : i . Niech , będą
( ) (
takie, że , . Istnieje takie, że ( , ). Wtedy , ,
( )
, , zatem , ( , ). Wobec tego , , .
( ) ( )
Stąd wnioskujemy, że , . %
Uwaga o twierdzeniu Heine go. Gdy jeszcze nie było dobrze ukształtowane pojęcie zwartości, w
1872 roku Heine udowodnił, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale ; , gdzie
, ! i , jest jednostajnie ciągła. Dlatego powyższe twierdzenie o jednostajnej ciągłości
funkcji ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych jest uogólnieniem twierdzenia Heine go.
Z powodu tego twierdzenia Heine go, twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a bywa uznawane za
twierdzenie Heine go-Borela.
E. Heine [1821-1881] ( Niemcy).
Twierdzenie o zwartości produktu dwu przestrzeni zwartych. Niech i będą przestrzeniami
topologicznymi zwartymi. Wówczas ich produkt jest przestrzenią zwartą.
Dowód. Niech : będzie rodziną zbiorów taką, że wszystkie zbiory są otwarte
w , wszystkie zbiory są otwarte w oraz . Załóżmy, że obie przestrzenie
, są niepuste. Niech będzie rodziną wszystkich tych zbiorów otwartych w , dla których
istnieje zbiór skończony ą" taki, że ą" . Pokażemy, że jest
pokryciem otwartym przestrzeni . Niech . Zbiór jest zwarty w , gdyż jest
przestrzenią zwartą. Istnieje więc zbiór skończony ą" taki, że ą" . Niech
: . Widać, że . Zatem rodzina pokrywa przestrzeń .
Skoro jest przestrzenią zwartą, to istnieje skończona rodzina ą" i pokrywająca zbiór . Wtedy
rodzina : } jest skończonym podpokryciem pokrycia . %
Korzystając z indukcji matematycznej, z powyższego twierdzenia wysnuwamy następujący wniosek:
Wniosek. Produkt skończenie wielu przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.
Uwaga o twierdzeniu Tichonowa. Ostatni wniosek, w którego dowodzie nie korzystaliśmy z pewnika
wyboru, ma uogólnienie w teorii ZFC do słynnego twierdzenia Tichonowa o tym, że produkt
dowolnie wielu (nawet nieskończenie wielu) przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą, ale do
dowodu twierdzenia Tichonowa niezbędny jest pewnik wyboru.
28
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Metryki całkowicie ograniczone, a ośrodkowość.
Definicja metryki całkowicie ograniczonej. Metrykę w zbiorze nazywamy całkowicie
ograniczoną, gdy dla każdego "(0; +") istnieje zbiór skończony ( )ą" taki, że dla każdego "
istnieje " ( ) takie, że ( , )< .
Definicja sieci. Jeżeli jest metryką w zbiorze , natomiast "(0; +"), to -siecią lub zbiorem
gęstym z dokładnością do w przestrzeni metrycznej ( , ) nazywamy każdy zbiór ą" taki, że:
( )
, .
Twierdzenie w ZFC o ośrodkowości przestrzeni z topologią wyznaczoną przez metrykę całkowicie
ograniczoną. Jeżeli jest metryką całkowicie ograniczoną w zbiorze , to w teorii ZFC przestrzeń
metryczna ( , ) jest ośrodkowa.
Dowód. Dla każdego , niech będzie rodziną wszystkich skończonych sieci przestrzeni
metrycznej ( , ). Wykorzystując pewnik przeliczalnego wyboru, każdemu
przyporządkowujemy jakiś jeden zbiór . W ZFC zbiór = jest przeliczalny.
( )
Oczywiście, jest zbiorem gęstym w , . %
Zadania.
Zadanie 57. Uzasadnić, że jednocześnie wzajemnie jednoznaczne i ciągłe przekształcenie przestrzeni
topologicznej zwartej na przestrzeń topologiczną spełniającą warunek Hausdorffa jest
homeomorfizmem.
Zadanie 58. Czy każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie ciągłe zwartej przestrzeni
topologicznej na zwartą przestrzeń topologiczną jest homeomorfizmem?
Zadanie 59. Czy każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie ciągłe zwartej przestrzeni
topologicznej na zwartą przestrzeń metryczną jest homeomorfizmem?
Zadanie 60. Uzasadnić, że metryka standardowa (wyznaczona przez wartość bezwzględną ) w ! nie
jest całkowicie ograniczona.
Zadanie 61. Dla , "!, niech ( , )=#"arctg arctg #". Sprawdzić, czy metryka w ! jest
całkowicie ograniczona.
Zadanie 62. Uzasadnić, że jeśli , jest przestrzenią metryczną, to metryka jest całkowicie
ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej 0 istnieje skończone pokrycie
tej przestrzeni zbiorami domkniętymi w niej o średnicach nie przekraczających .
Zadanie 63. Wykazać, że podprzestrzeń metryczna przestrzeni metrycznej całkowicie ograniczonej
jest całkowicie ograniczona.
29
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Wykład 11.
Przeliczalna i ciągowa zwartość w klasie przestrzeni metrycznych.
Równoważność pojęć zwartości, przeliczalnej zwartości i ciągowej zwartości podzbiorów
przestrzeni metrycznych w teorii ZFC. W teorii ZFC, dla każdego niepustego podzbioru przestrzeni
metrycznej ( , ), następujące warunki są równoważne:
(i) jest zbiorem zwartym w ( , );
(ii) dla każdej przeliczalnej pokrywającej zbiór rodziny zbiorów otwartych w ( , )
istnieje skończona podrodzina rodziny pokrywająca zbiór (tzn., jest przeliczalnie
zwartą podprzestrzenią przestrzeni ( , );
(iii) każdy ciąg punktów zbioru ma w przestrzeni ( , ) punkt skupienia należący do ;
(iv) każdy ciąg punktów zbioru zawiera podciąg zbieżny w ( , ) do jakiegoś punktu zbioru
(tzn. jest ciągowo zwartą podprzestrzenią przestrzeni ( , )) .
Dowód. Wynikanie (i) (ii) oraz równoważność (iii) (iv) są oczywiste. Załóżmy (ii) i przypuśćmy, że
warunek (iii) nie jest spełniony, a ( ), jest ciągiem punktów zbioru nie mającym punktu skupienia
należącego do . Dla , niech = cl : ą" oraz . Skoro ciąg nie ma
punktu skupienia w zbiorze , to ą" . Z (ii) wnioskujemy, że istnieje takie, że
ą" . Stąd wynika, że dla takiego zbiór jest pusty, co jest niemożliwe.
Zatem implikacja (ii) (iii) jest prawdziwa w ZFC.
Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek (iii). Przypuśćmy, że metryka nie jest całkowicie
ograniczona na zbiorze . Wtedy w ZFC, dla pewnego "(0; +"), indukcyjnie możemy określić ciąg
( punktów zbioru taki, że ( , dla wszystkich , takich, że oraz , . Ciąg
( nie ma punktu skupienia w przestrzeni metrycznej ( , ), co przeczy (iii). Wobec tego, gdy
zachodzi (iii), metryka jest całkowicie ograniczona, a zatem przestrzeń metryczna , jest
ośrodkowa w ZFC. Niech będzie przeliczalnym zbiorem gęstym w ( , i niech będzie
rodziną zbiorów otwartych w ( , pokrywającą zbiór . Niech ,!={ , : i oraz
,! ,!: ą" . Rodzina ,! jest przeliczalna. Dla każdego ,! , niech
: ą" . Wykorzystując pewnik przeliczalnego wyboru, każdemu ze zbiorów ,! ,
( )
przyporządkujmy po jednym zbiorze ( ) ( ) i zauważmy, że rodzina : ,! jest
przeliczalna, zawarta w i pokrywa zbiór . Wykażemy, że z niej można wybrać rodzinę skończoną
pokrywającą zbiór . W tym celu, przypuśćmy, że jakaś przeliczalna rodzina ={ : zbiorów
otwartych w , pokrywa zbiór , lecz żadna jej skończona podrodzina nie pokrywa zbioru .
Wykorystując pewnik przeliczalnego wyboru, znajdujemy ciąg ( punktów zbioru taki, że
. Taki ciąg ( nie ma żadnego punktu skupienia w przestrzeni metrycznej
( , ), wbrew (iii). Zatem w teorii ZFC implikacja (iii) (ii) jest prawdziwa oraz prawdziwa jest
implikacja (iii) (i).
Uwaga o twierdzeniu Bolzano-Weierstrassa . W rachunku różniczkowym podaje się jako
twierdzenie Bolzano-Weierstrassa to, że każdy ciąg ograniczony liczb rzeczywistych ma podciąg
30
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
zbieżny do jakiejś liczby rzeczywistej. Stąd i z własności ciągów liczbowych zbieżnych można
wywnioskować, że każdy przedział domknięty ; ą" !, gdzie jest przestrzenią ciągowo
zwartą, ale w teorii ZF, ciągowa zwartość w klasie przestrzeni metrycznych nie może być uznana za
na pewno równoważną zwartości w klasie przestrzeni metrycznych.
Całkowita ograniczoność i zupełność metryk, a zwartość.
Twierdzenie o całkowitej ograniczoności i zupełności metryk przestrzeni zwartych. Jeżeli przestrzeń
metryczna , jest zwarta, to metryka jest jednocześnie całkowicie ograniczona i zupełna.
Dowód w ZF. Niech , będzie przestrzenią metryczną zwartą. Niech "(0; +"). Rodzina
={ , : jest pokryciem otwartym przestrzeni , . Skoro przestrzeń ta jest zwarta, to
istnieje skończony zbiór ą" taki, że rodzina , : pokrywa zbiór . Taki zbiór jest
siecią w , .
Załóżmy teraz, że jest ciągiem Cauchy ego w przestrzeni , . Ponieważ przestrzeń ta jest
zwarta, ciąg ma w , punkt skupienia. Jednakże, ciąg Cauchy ego mający punkt skupienia
, jest zbieżny do punktu . Wobec tego, metryka jest zupełna. %
Warunki konieczne i wystarczające na zwartość przestrzeni metrycznej w terminach całkowitej
ograniczoności i zupełności metryki w teorii ZFC. Wiadomo, że w teorii ZFC warunkiem koniecznym
i wystarczającym na to, aby przestrzeń metryczna ( , ) była zwarta jest jednoczesna całkowita
ograniczoność i zupełność metryki . Ponadto, wiadomo że, w teorii ZFC prawdą jest, iż przestrzeń
metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda metryka wyznaczająca topologię tej przestrzeni
jest całkowicie ograniczona, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda metryka wyznaczająca
topologię tej przestrzeni jest zupełna.
Ostrzeżenie: wątpliwe w ZF warunki konieczne i wystarczające na zwartość przestrzeni metrycznej
w terminach całkowitej ograniczoności i zupełności metryki (Wajch) . Nie można wykluczyć w teorii
ZF, że istnieje przestrzeń metryczna niezwarta, której metryka jest jednocześnie całkowicie
ograniczona i zupełna. Mianowicie, gdy ą" 0; 1 , jest nieskończonym zbiorem -skończonym, to
zbiór nie jest domknięty w [0; 1] z topologią naturalną, a metryka wyznaczona przez wartość
bezwzględną w jest całkowicie ograniczona i zupełna, ale zbiór nie jest zwarty w !, bo nie jest
domknięty w przestrzeni spełniającej warunek Hausdorffa. Istnienie takiego zbioru jest
niesprzeczne z ZF. W literaturze podany jest fakt, że każdy ciąg (nieskończony) punktów takiego
zbioru ma tylko skończenie wiele wartości, więc zawiera podciąg zbieżny do punktu zbioru , a
przestrzeń z topologią naturalną nie jest ośrodkowa. Ponadto, każda metryka wyznaczająca
topologię naturalną takiego zbioru jest zupełna. Nie jest mi znana w ZF uzupełnionym o
zaprzeczenie pewnika wyboru przeliczalnego (CC) żadna idea konstrukcji niezwartej przestrzeni
metryzowalnej takiej, że każda metryka wyznaczająca topologię tej przestrzeni musiałaby być
całkowicie ograniczona. Ekspert w tej dziedzinie, K. Kunen potwierdził, że problem ten jest
interesujący, ale, podobnie jak ja, teraz nie wie jak go rozwiązać. Poprawnego rozwiązania tego
problemu nie zna też mistrz w tej dziedzinie matematyk niemiecki H. Herrlich. Możemy jednak
uzasadnić, że jeśli X jest przestrzenią metryzowalną taką, że każda metryka wyznaczająca jej
31
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
topologię jest całkowicie ograniczona, to każda taka metryka na jest też zupełna; ponadto, dla
każdej przestrzeni topologicznej , która jest podprzestrzenią przestrzeni metryzowalnej takiej, że
nie jest zbiorem domkniętym w , istnieje metryka nieograniczona w zbiorze wyznaczająca
topologię przestrzeni . Metrykę w zbiorze nazywamy metryką ograniczoną, gdy istnieją
oraz 0; " takie, że , .
Zadania.
Zadanie 64. Udowodnić w ZFC twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a.
Zadanie 65. Uzasadnić, że jeśli zbiór jest zwarty w przestrzeni metrycznej ( , ), natomiast zbiór
jest zwarty w przestrzeni metrycznej ( , ), to zbiór jest zwarty w przestrzeni metrycznej
( , ), gdzie (( , ), ( , ))= max ( , ), ( , )} dla dowolnych punktów
( , ), ( , ) przestrzeni .
Zadanie 66. Uzasadnić, że jeśli jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej ( , ),
( )
natomiast , to , 0.
Zadanie 67. Niech , będzie parą rozłącznych podzbiorów niepustych przestrzeni metrycznej ( , ).
Udowodnić, że jeśli jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej ( , ), natomiast
( )
jest niepustym zbiorem domkniętym w ( , ) rozłącznym z , to , 0.
Zadanie 68. Czy odległość między dwoma niepustymi rozłącznymi zbiorami domkniętymi w
przestrzeni metrycznej musi być dodatnia?
Zadanie 69. Udowodnić, że każda izometria przestrzeni metrycznej zwartej w siebie jest
autoizometrią tej przestrzeni.
Zadanie 70. Niech będzie metryką w zbiorze , a metryką w zbiorze , natomiast
(( , ), ( , ))= ( , )+ ( , ) dla dowolnych punktów ( , ), ( , ) zbioru
. Udowodnić, że:
a) metryka w zbiorze jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy metryki
i są całkowicie ograniczone;
b) metryka jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy metryki i są zupełne.
Zadanie 71. Sprawdzić, że funkcja : ! jest metryką w zbiorze wszystkich liczb
( )
całkowitych nieujemnych von Neumanna, gdy , = dla wszystkich , . Wskazać
( )
jakiś skończony gęsty z dokładnością do podzbiór przestrzeni metrycznej , . Sprawdzić, czy
( )
ciąg , gdzie = 2 dla każdego , jest ciągiem Cauchy ego w ( , ).
Problem dla chętnych. Rozstrzygnąć, czy na pewno twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue a
powinno się uznać za dowodliwe w ZF.
32
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Wykład 12.
Pseudozwartość w klasie przestrzeni metryzowalnych.
Do zrozumienia związku zwartości przestrzeni metrycznej z ograniczonością wszystkich
rzeczywistych funkcji ciągłych na tej przestrzeni, przyda nam się twierdzenie Tietze go o
przedłużaniu rzeczywistych funkcji ciągłych na domkniętych podprzestrzeniach przestrzeni
metrycznych.
Twierdzenie o równoważności w ZFC pojęć zwartości i pseudozwartości w klasie przestrzeni
metryzowalnych. W teorii ZFC, dla każdego niepustego podzbioru przestrzeni metrycznej ( , ),
następujące warunki są równoważne:
(i) jest zbiorem zwartym w ( , );
(ii) każda funkcja : ! ciągła względem i metryki standardowej w ! (krótko,
rzeczywista funkcja ciągła na ) jest ograniczona (tzn. jest pseudozwartą
podprzestrzenią przestrzeni ( , ));
(iii) dla każdej funkcji ciągłej : ! istnieją punkty , " takie, że dla każdego "
zachodzą nierówności: ( ) ( ) ( ).
Dowód. Załóżmy (i) oraz niech : ! będzie funkcją ciągłą względem i metryki standardowej w
( )
!. Rodzina ( ; ): jest pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej zwartej
( , ), więc ma podrodzinę skończoną pokrywającą zbiór . Istnieje zatem takie, że
( )
ą" ( ; ), co dowodzi, że jest funkcją ograniczoną. Istnieją zatem w ! liczby ,
takie, że = inf ( ) oraz = sup ( ). Wykorzystując definicje kresów i zwartość zbioru ,
( ) ( )
można teraz wynioskować, że istnieją punkty , " takie, że = i = . Zatem
prawdziwe są wynikania (i) (ii) oraz (i) (iii). Wynikanie (iii) (ii) jest oczywiste.
Załóżmy teraz (ii) oraz przypuśćmy, że zbiór nie jest zwarty w ( , ). Wiemy już, że wtedy w ZFC
istnieje ciąg ( ) punktów zbioru , który nie ma żadnego punktu skupienia w ( , ) należącego do
. Można założyć, że ciąg ten jest różnowartościowy, bo gdyby nie był on różnowartościowy,
moglibyśmy go zastąpić jego różnowartościowym podciągiem. Niech = : . Określamy
( )
funkcję : ! następująco: = dla każdego . Wobec twierdzenia Tietze go, istnieje
funkcja ciągła : ! taka, że ( ) = ( ) dla każdego . Funkcja jest nieograniczona
wbrew założeniu (ii).
Uwaga. Wynikania z ciągowej zwartości zbioru warunków (ii) i (iii) powyższego twierdzenia są
uznane za twierdzenia Weierstrassa, przy czym oryginalne twierdzenia Weierstrassa dotyczyły raczej
przypadku, gdy był przedziałem zwartym w ! (K. Weierstrass [1815-1897], Niemcy).
Niedowodliwość w ZF zdania, że każdy ciągowo zwarty podzbiór !
! jest pseudozwarty (Wajch).
!
!
Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że jest -skończonym zbiorem gęstym w !. Istnienie
( )
takiego zbioru nie jest sprzeczne z ZF. Funkcja : !, gdzie = dla każdego , jest
ciągła, ale nie jest ograniczona chociaż zbiór jest ciągowo zwarty w !. Zauważmy, że metryka
wyznaczona przez wartość bezwzględną w takim zbiorze nie jest całkowicie ograniczona.
33
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Spójność.
Szczególnie polecam książkę J. Mioduszewskiego Wykłady z Topologii. Zbiory spójne i kontinua ,
Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice 2011.
Definicja zbioru domknięto-otwartego. Zbiorem domknięto-otwartym w przestrzeni metrycznej
(odp. topologicznej) nazywamy zbiór jednocześnie otwarty i domknięty w tej przestrzeni. Zbiory
domknięto-otwarte bywają też nazywane otwarto-domkniętymi.
Definicja przestrzeni spójnej. Przestrzeń topologiczną ( , ) (odp. przestrzeń metryczną ( , ))
nazywamy przestrzenią spójną, gdy jedynymi zbiorami domknięto-otwartymi w tej przestrzeni są
zbiór pusty i .
Uwaga. Ponieważ spójność przestrzeni metrycznej ( , ) jest tym samym co spójność przestrzeni
topologicznej , , gdzie, zgodnie z wcześniejszą umową, jest topologią w wyznaczoną przez
metrykę , aby nie zaciemniać sobie obrazu metryką, będziemy mówić o spójności w przestrzeniach
topologicznych. Tak jak już wcześniej to robiliśmy, przestrzeń topologiczną , dla prostoty
będziemy zwać niekiedy przestrzenią i oznaczać symbolem .
Twierdzenie o spójności odcinka [0; 1]. Przedział [0; 1] z naturalną topologią jest przestrzenią
spójną.
Dowód. Załóżmy, że jest niepustym zbiorem domknięto-otwartym w przedziale [0; 1].
Przypuśćmy, iż 0; 1], natomiast 0; 1 . Wtedy zbiór jest też niepusty i domknięto-
otwarty w [0; 1]. Oczywiście, 0 lub 0 . Dla ustalenia uwagi, załóżmy, że 0 . Niech
inf B . Skoro zbiór jest domknięty, to . Ponieważ 0 , mamy 0 < . Rozważmy
dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią taką, że 0 < . Z określenia kresu dolnego zbioru
wynika, że ; ą" . Ponieważ zbiór jest domknięty, więc ; ą" , a stąd
wnioskujemy, że , co jest niemożliwe, gdyż 0; 1 . Wobec uzyskanej sprzeczności,
0; 1 . %
Zbiory spójne w !
!. Jedynymi zbiorami spójnymi w ! są przedziały, to znaczy zbiór pusty, !,
!
!
wszystkie jednoelementowe podzbiory !, przedziały postaci:
"; , "; , ; , ; , ; , ; , ; " , ; " . Dowód tego pozostawiam jako
ćwiczenie. %
Zadania.
Zadanie 72. Przedziałem w ! nazywamy taki zbiór ą" !, że dla dowolnych , i dla dowolnego
!, jeśli < < , to . Wykazać, że jeżeli jest spójną podprzestrzenią przestrzeni !
z topologią naturalną, to jest przedziałem.
Zadanie 73. Wskazać niepusty i różny od całej przestrzeni zbiór domknięto-otwarty w , gdy:
a) 0; 1 2; 3 z topologią naturalną;
34
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
b) z topologią naturalną;
c) 0; 1 z topologią dyskretną.
Zadanie 74. Sprawdzić, która z następujących przestrzeni topologicznych jest spójna:
a) przestrzeń antydyskretna;
b) (1, 2);
c) (3, 4);
d) (3, 4 1 .
Uwaga. Liczby całkowite występujące w tym zadaniu to liczby naturalne von Neumanna, a w
punktach (b) - (d) następniki par uporządkowanych są topologiami w poprzednikach tych par.
Zadanie 75. Uzasadnić, że przestrzeń dyskretna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona co
najwyżej jednoelementowa.
Zadanie 76. Korzystając z pewnika wyboru, uzasadnić w ZFC, że jeśli ą" ! jest zbiorem
nierównolicznym z !, to zbiór ! jest spójny.
Wykład 13.
Niektóre własności przestrzeni spójnych.
Twierdzenie ( elementarne warunki konieczne i wystarczające na spójność przestrzeni). Dla każdej
przestrzeni topologicznej , następujące warunki są równoważne:
(i) jest przestrzenią spójną;
(ii) nie istnieje para , niepustych rozłącznych zbiorów otwartych w taka, że = ;
iii nie istnieje para , niepustych rozłącznych zbiorów domkniętych w taka, że
= .
Dowód. Załóżmy, że , jest parą rozłącznych zbiorów otwartych w przestrzeni taką, że = .
Wtedy zbiory , są domknięto-otwarte w , gdyż każdy z nich jest dopełnieniem drugiego,
więc jest też domknięty w . Gdy jest przestrzenią spójną, co najmniej jeden ze zbiorów ,
jest pusty. Zatem z (i) wynika (ii). Podobnie wyjaśniamy, że jeśli , jest parą rozłącznych
zbiorów domkniętych w taką, iż = , skoro jest dopełnieniem , natomiast jest
dopełnieniem , to zbiory , są domknięto-otwarte, więc co najmniej jeden z nich jest pusty.
Wobec tego z (i) wynika (iii), a ponadto warunki (ii) oraz (iii) są równoważne. Na zakończenie
dowodu, załóżmy (iii) oraz niech będzie zbiorem domknięto-otwartym w . Wtedy zbiór =
jest domknięty w , rozłączny z , ale = , a to jest możliwe przy spełnieniu warunku (iii)
tylko wtedy, gdy lub jest zbiorem pustym, co zachodzi tylko wtedy, gdy = lub = .
Zatem z (iii) wynika (i). %
Definicja zbioru spójnego w przestrzeni. Zbiór ą" nazywamy spójnym w przestrzeni , gdy jako
podprzestrzeń przestrzeni jest przestrzenią spójną.
35
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Definicja pary zbiorów rozgraniczonych. Podzbiory , przestrzeni topologicznej nazywamy
rozgraniczonymi w , gdy cl cl .
Przykład pary zbiorów rozgraniczonych o nierozłącznych domknięciach. Przedziały [0; 1) i (1;2] są
rozgraniczone w !, ale ich domknięcia w ! nie są rozłączne.
Charakteryzacja zbiorów spójnych za pomocą zbiorów rozgraniczonych. Podzbiór przestrzeni
topologicznej jest zbiorem spójnym w wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary , zbiorów
rozgraniczonych w takiej, że ą" , zachodzi inkluzja ą" lub zachodzi inkluzja ą" .
Dowód. Konieczność. Załóżmy najpierw, że jest zbiorem spójnym w , natomiast , jest parą
zbiorów rozgraniczonych w taką, że ą" . Zauważmy, że cl
oraz cl , zatem zbiór jest domknięto-otwarty w . Ze spójności
wnioskujemy teraz, że lub . Gdy , to ą" ; gdy natomiast
, to ą" .
Dostateczność. Załóżmy teraz, że jest zbiorem domknięto-otwartym w i niech .
Zauważmy, że zbiory , są rozgraniczone w oraz ą" . Jeżeli ą" , to . Jeżeli
natomiast ą" , to . %
Twierdzenie o spójności domknięcia zbioru spójnego. Załóżmy, że jest zbiorem spójnym w
przestrzeni topologicznej . Wówczas zbiór cl jest też spójny w .
Dowód. Niech , będzie parą zbiorów rozgraniczonych w taką, że cl ą" . Skoro
ą" i jest zbiorem spójnym w , to ą" lub ą" . Jeżeli ą" , to również cl ą" ,
gdyż wtedy cl ą" cl , więc cl ą" cl ; jeżeli natomiast ą" , to cl ą" . %
Powyższe twierdzenie można udowodnić inaczej, nie posługując się pojęciem zbiorów
rozgraniczonych, a wykorzystując gęstość zbioru w swoim domknięciu i następujące twierdzenie:
Twierdzenie o spójności przestrzeni zawierającej gęsty zbiór spójny. Każda przestrzeń topologiczna
, która zawiera gęsty zbiór spójny w niej jest spójna.
Dowód. Niech , będzie parą rozłącznych zbiorów otwartych w przestrzeni topologicznej taką,
że . Załóżmy, że jest gęstym zbiorem spójnym w . Przypuśćmy, że oba zbiory , są
niepuste. Z gęstości zbioru wynika, że oba zbiory oraz są niepuste. Oczywiście, oba te
zbiory są otwarte w , a ich suma mnogościowa jest równa , a to wraz z niepustością zbiorów
i przeczy spójności zbioru . %
Twierdzenie o spójności sumy zbiorów spójnych nierozgraniczonych. Załóżmy, że jest rodziną
zbiorów spójnych w przestrzeni topologicznej taką, że pewien zbiór nie jest rozgraniczony w
z żadnym ze zbiorów rodziny . Wtedy jest zbiorem spójnym w .
Dowód. Niech , będzie parą zbiorów rozgraniczonych w taką, że ą" . Wtedy
ą" , a ze spójności wnioskujemy, że ą" lub ą" . Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
ą" . Jeśliby jakiś zbiór z rodziny zawarty był w , to zbiory i byłyby rozgraniczone, a nie
są. Zatem każdy zbiór z rodziny musi być zawarty w , bo jako zbiór spójny jest zawarty w lub
zawarty w , lecz w zawarty być nie może. Wobec tego ą" . %
36
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Składowe spójności. Składową spójności punktu przestrzeni topologicznej nazywamy sumę
mnogościową wszystkich tych zbiorów spójnych w przestrzeni , do których należy punkt . Wobec
dwu ostatnich twierdzeń, składowa spójności punktu przestrzeni topologicznej jest zbiorem spójnym
i domkniętym w tej przestrzeni. Można powiedzieć, że składowa spójności punktu przestrzeni
topologicznej jest to największy w sensie relacji inkluzji ą" zbiór spójny w przestrzeni zawierający
jako element punkt . Składowa spójności (zwana krótko składową) przestrzeni topologicznej to
składowa jakiegoś punktu tej przestrzeni lub zbiór pusty, gdy przestrzeń ta jest pusta. Skoro suma
dwu zbiorów spójnych nierozgraniczonych w danej przestrzeni topologicznej jest zbiorem spójnym,
to dwie różne składowe spójności danej przestrzeni topologicznej są zbiorami rozłącznymi.
Przestrzeń topologiczna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona dokładnie jedną składową
spójności.
Twierdzenie o spójności przestrzeni mającej własność spójnego łączenia jej punktów. Jeżeli dla
każdej pary , punktów przestrzeni topologicznej istnieje zbiór spójny w zawierający punkty i
, to jest przestrzenią spójną.
Dowód. Niech będzie składową spójności punktu przestrzeni topologicznej . Jeżeli dla każdego
istnieje zbiór spójny ą" taki, że , , to każdy taki zbiór zawarty jest w , a wtedy
, zatem jest przestrzenią spójną. %
Twierdzenie o spójności obrazu ciągłego zbioru spójnego. Załóżmy, że : jest
przekształceniem ciągłym przestrzeni topologicznej w przestrzeń topologiczną , a jest zbiorem
spójnym w . Wówczas zbiór jest spójny w .
Dowód. Niech i niech będzie zbiorem domknięto-otwartym w . Skoro :
jest przekształceniem ciągłym, to zbiór jest domknięto-otwarty w . Wobec spójności
przestrzeni , zbiór jest pusty lub równy . Stąd wynika, że jest pusty lub równy .
Zatem jest zbiorem spójnym w .
Twierdzenie o spójności produktu dwu przestrzeni spójnych. Niech , będą przestrzeniami
topologicznymi spójnymi. Wówczas ich produkt jest przestrzenią spójną.
Dowód. Niech będzie składową spójności punktu , . Pokażemy, że .
Rozważmy dowolny punkt , . Zbiory i są spójne w oraz ,
jest ich punktem wspólnym, zatem spójna jest ich suma ) . Ponieważ
ponadto , , więc ą" . Skoro , , to , . Zatem . %
Zadania.
Zadanie 77. Quasi-składową punktu przestrzeni topologicznej nazywamy część wspólną
wszystkich tych zbiorów domknięto-otwartych w , do których należy punkt . Uzasadnić, że
składowa spójności punktu jest zawarta w quasi-składowej tego punktu w przestrzeni , a następnie
pokazać na przykładzie, że quasi-składowa punktu nie musi być zawarta w składowej spójności tego
punktu.
Zadanie 78. Podać przykład podprzestrzeni przestrzeni ! z naturalną topologią takiej, że ma
dokładnie trzy składowe spójności i żadna z tych składowych nie jest zbiorem jednoelementowym.
37
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Wykłady 14 i 15.
Przestrzenie łukowo spójne, lokalnie spójne i kontinua.
Definicja drogi w przestrzeni topologicznej. Drogą w przestrzeni topologicznej nazywamy każde
przekształcenie ciągłe odcinka [0;1] w przestrzeń , przy czym jeśli : 0; 1 jest drogą w
przestrzeni to punkt 0 nazywamy początkiem tej drogi, a punkt 1 jej końcem.
Definicja przestrzeni drogowo spójnej. Przestrzeń topologiczną nazywamy drogowo spójną, gdy
dla każdej pary , punktów zbioru istnieje w droga o początku w punkcie i końcu w punkcie .
Twierdzenie o spójności przestrzeni drogowo spójnych. Każda przestrzeń drogowo spójna jest
spójna.
Przykład przestrzeni spójnej, która nie jest drogowo spójna. Domknięcie w ! zbioru
{sin : ! 0
jest przestrzenią spójną, ale nie jest drogowo spójną.
Definicja łuku i przestrzeni łukowo spójnej. Aukiem w przestrzeni topologicznej nazywamy obraz
homeomorficzny w przestrzeni odcinka [0; 1]. Przestrzeń topologiczną nazywamy łukowo
spójną, gdy dla każdej pary punktów , istnieje łuk w przestrzeni , do którego należą oba punkty
, .
Twierdzenie o spójności przestrzeni łukowo spójnych. Każda przestrzeń łukowo spójna jest
drogowo spójna, więc spójna.
Twierdzenie o równoważności pojęć drogowej i łukowej spójności w klasie przestrzeni
metryzowalnych. Przestrzeń metryzowalna jest łukowo spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona
drogowo spójna.
Twierdzenie o spójności produktu dwu przestrzeni spójnych (van Dantzig, 1930). Niech , będą
przestrzeniami topologicznymi spójnymi. Wówczas ich produkt jest przestrzenią spójną.
Dowód. Niech będzie składową spójności punktu , . Pokażemy, że .
Rozważmy dowolny punkt , . Zbiory i są spójne w oraz ,
jest ich punktem wspólnym, zatem spójna jest ich suma ) . Ponieważ
ponadto , , więc ą" . Skoro , , to , . Zatem . %
Definicja przestrzeni lokalnie spójnej. Przestrzeń topologiczną nazywamy lokalnie spójną, gdy dla
każdego punktu i każdego otoczenia punktu w przestrzeni istnieje w tej przestrzeni
jednocześnie otwarte i spójne otoczenie punktu zawarte w .
Definicja kontinuum. Przestrzeń topologiczną jednocześnie zwartą i spójną nazywamy kontinuum
lub continuum. Zbiór jednocześnie zwarty i spójny w danej przestrzeni topologicznej bywa nazywany
kontinuum w tej przestrzeni.
38
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Kontinua w !
!. Kontinuami w ! są jedynie zbiór pusty, wszystkie jednoelementowe podzbiory !
!
!
oraz przedziały postaci ; , gdzie , ! i .
Twierdzenie o produkcie skończenie wielu kontinuów. Produkt skończenie wielu kontinuów jest
kontinuum.
Zadania.
Zadanie 79. Niech będzie ciągiem niepustych kontinuów w przestrzeni metrycznej , takim,
że ą" dla każdego . Udowodnić, że zbiór jest kontinuum w , .
Zadanie 80. Wykazać, że suma dwu nierozgraniczonych kontinuów w przestrzeni topologicznej jest
kontinuum w tej przestrzeni.
Zadanie 81. Podać przykład kontinuum, które nie jest przestrzenią lokalnie spójną.
.
Dodatek konstruowanie uzupełnień przestrzeni metrycznych.
Załóżmy, że , jest przestrzenią metryczną. Oczywiście, ponieważ nie zaznaczamy na razie, że
czynimy inne założenia teorio-mnogościowe niż tradycyjne ZFC, zakładamy układ ZFC. Niech -! będzie
zbiorem wszystkich ciągów Cauchy ego tej przestrzeni metrycznej. Ciągi , -! nazywamy
równoważnymi , gdy lim , 0. Relacja równoważności ciągów Cauchy ego z -!
jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Dla ciągu -!, niech będzie klasą abstrakcji tej relacji
równoważności i niech = : -! . W zbiorze określa się metrykę wzorem:
, lim , .
Dowodzi się, że gdy , -!, to granica lim , w ! istnieje. Dla , niech
dla każdego oraz niech . Przekształcenie : jest zanurzeniem
izometrycznym przestrzeni metrycznej , w przestrzeń metryczną , , gdyż dla dowolnej pary
, punktów zbioru zachodzi równość: , , . Zbiór jest gęsty w
przestrzeni metrycznej , . Ponadto, jeśli ) jest ciągiem Cauchy ego w , , to -!
i ciąg ) jest zbieżny w , do [( . Stąd i z gęstości w , , używając pewnika
przeliczalniego wyboru, wnioskuje się, że przestrzeń metryczna , jest zupełna. Zatem każda
przestrzeń metryczna , jest izometryczna z pewną gęstą podprzestrzenią przestrzeni metrycznej
zupełnej zwanej uzupełnieniem metrycznym przestrzeni , . Zaprezentowana tu idea dowodu
zupełności metryki wymaga użycia pewnika przeliczalnego wyboru. Parę , ) nazywamy
uzupełnieniem Hausdorffa przestrzeni metrycznej , , gdyż ta idea konstrukcji uzupełnienia
metrycznego pochodzi z pracy F. Hausdorffa z 1914 roku, ale wcześniej w przełomowym dla
matematyki 1872 roku ukazała się w druku idea konstrukcji liczb rzeczywistych Cantora , Heine go
i M�ray a wykorzystana przez Hausdorffa.
39
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
Zarys konstrukcji liczb rzeczywistych Cantora, Heine go i M�ray a.
| |
Załóżmy, że dany jest zbiór wszystkich liczb wymiernych i , dla , . Ciąg )
liczb wymiernych jest zwany ciągiem Cauchy ego, gdy dla każdej liczby wymiernej dodatniej istnieje
liczba naturalna taka, że dla każdej pary , liczb naturalnych większych niż zachodzi
nierówność : , < . Ciąg Cauchy ego ) liczb wymiernych jest zwany zbieżnym do zera,
co zapisujemy, lim 0, gdy dla każdej liczby wymiernej dodatniej istnieje liczba naturalna
| |
taka, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi nierówność: < . Podobnie jak wyżej,
określamy relację równoważności ciągów Cauchy ego liczb wymiernych, która jest relacją
równoważności. Liczba rzeczywista w sensie Cantora, Heine go i M�ray a to klasa abstrakcji tej
relacji równoważności . Gdy ! jest zbiorem wszystkich utworzonych w ten sposób liczb
rzeczywistych w sensie Cantora, Heine go , M�ray a , dopiero teraz możemy określić metrykę w
|
zbiorze ! przyjmując, że dla ciągów Cauchy ego , liczb wymiernych ([ ], [ ])=[(
, sprawdzając, że jest wtedy też ciągiem Cauchy ego liczb wymiernych.
Wykorzystując teorię pierścieni, można zauważyć, że zbiór -! ! wszystkich ciągów Cauchy ego liczb
wymiernych jest pierścieniem ze względu na zwykłe dodawanie i mnożenie ciągów, a zbiór !
wszystkich zbieżnych do zera ciągów Cauchy ego liczb wymiernych jest ideałem maksymalnym
pierścienia -!(!), natomiast elementami pierścienia ilorazowego -! ! /! są liczby rzeczywiste w
sensie Cantora, Heine go, M�ray a (zob. W. Więsław, Matematyka i Jej Historia ). Zatem ciało
!= -! ! /! można nazwać ciałem wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Cantora, Heine go,
M�ray a.
Inną ideę konstrukcji liczb rzeczywistych roku podał R. Dedekind też w 1872 roku.
Jednoznaczność uzupełnienia metrycznego.
Definicja uzupełnienia metrycznego przestrzeni metrycznej. Uzupełnieniem metrycznym
przestrzeni metrycznej , każdą przestrzeń metryczną zupełną mającą gęstą podprzestrzeń
izometryczną z , .
Twierdzenie o jednoznaczności uzupełnień metrycznych. Każde dwa uzupełnienia metryczne danej
przestrzeni metrycznej są izometryczne w ZFC.
Uwaga o użyciu pewnika przeliczalnego wyboru do dowodu zupełności przestrzeni liczb
rzeczywistych (Wajch). Należy uznać, że jest niedowodliwe w ZF to, iż uzupełnienie Hausdorffa
dowolnej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną zupełną. Warto tu powołać się na pracę
Goncalo Gutierresa z 2004 roku The Axiom of Countable Choice in Topology , w której autor
napisał, że uzupełnienie Hausdorffa każdej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną
zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi pewnik przeliczalnego wyboru. Wyrażam wdzięczność
prof. Horstowi Herrlichowi za informację o Goncalo Gutierresie. Ponieważ w takim dowodzie
zupełności przestrzeni wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Cantora, Heine go, M�ray a j jak
dowód zupełności uzupełnień Hausdorffa przestrzeni metrycznych jest wykorzystany pewnik
przeliczalnego wyboru, nie można twierdzić , że na pewno w ZF przestrzeń wszystkich liczb
rzeczywistych w sensie Cantora, Heine go, M�ray a jest zupełna dopóki tego nie sprawdzi się
40
Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014
dokładniej. Aby to zrobić, rozważa się ciąg Cauchy ego liczb rzeczywistych w sensie Cantora-
M�ray a- Heine go, ustawia się wszystkie liczby wymierne w ciąg różnowartościowy ( i każdej
liczbie naturalnej przyporządkowuje się najmniejszą liczbę naturalną taką, że < ,
otrzymując, że ciąg jest zbieżny w ! do [( i w ten sposób w dowodzie zupełności
uzupełnienia Hausdorffa przestrzeni próbuje się ominąć pewnik przeliczalnego wyboru.
Jednakże, każde jest tutaj klasą abstrakcji relacji równoważności ciągów Cauchy ego liczb
wymiernych i aby wskazać wydaje się niezbędne wybranie dla każdej liczby naturalnej jakiegoś
reprezentanta z klasy abstrakcji , która może zawierać nieprzeliczalnie wiele ciągów, a więc
dokonuje się wyboru po jednym elemencie ze zbiorów być może nie dających się dobrze
uporządkować w ZF , ale tworzących rodzinę przeliczalną . Można zatem mieć poważne wątpliwości,
czy rzeczywiście w dowodzie zupełności uzupełnienia Hausdorffa zbioru wszystkich liczb wymiernych
w ZF można pominąć pewnik przeliczalnego wyboru, gdy nie są sprecyzowane zadowalająco logika
dla ZF oraz reguły dowodów. Próba sprecyzowania aksjomatów logiki dla ZF oraz reguł dowodów
jest opisana na przykład przez K. Kunena w jego The Foundations of Mathematics ([7]).
Dziękuję za uwagę i życzę sukcesu przyswajaniu zagadnień poruszonych w tych wykładach.
Eliza Wajch
41

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wstęp do antropologii wykłady
Wstep do literaturoznawstwa wyklad 2
Wstęp do projektowania 2014 15 wykład 6,7
WSTĘP DO PAŃSTWA brakujący wykład
Ingarden Wstep do Fenomenologii Husserla wyklad 2
Wstęp do filozofii notatki z wykładów
Beśka Marek wstęp do teorii miary wykład 3
Ingarden Wstep do Fenomenologii Husserla wyklad 1
Wstęp do projektowania 2014 15 wykład 3
wstęp do energetyki wiatrowej wyklad2
Wykład (Juszkiewicz) Wstep do PHP
R Ingarden Wstęp do fenomenologii Husserla wyklad pierwszy
Wstęp do projektowania 2014 15 wykład 9,10
WYKLADY Wstep do prawoznawstwa

więcej podobnych podstron