Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Matematyka I  wykład
I semestr studiów
Wiktor Radzki
Szczecin, 2009-2012 (wersja z 21 stycznia 2012)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Copyright �by Wiktor Radzki, 2009-2012
All rights reserved.
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Spis treści I
1
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
2
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
3
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Oznaczenia logiczne
("  symbol alternatywy; czyta sie:  lub ;
ł
'"  symbol koniunkcji; czyta sie:  i ;
ł
Ź lub <"  symbol negacji; czyta sie:
ł
 nieprawda, że ;
�!  symbol implikacji (wynikania); zdanie
 p �! q czyta sie:  p implikuje q ,  z p
ł
wynika q ,  jeżeli p, to q ;
�!  symbol równoważności (wynikania w obie
strony); czyta sie:  wtedy i tylko wtedy, gdy ;
ł
:=  oznacza: równe z definicji.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Oznaczenia logiczne
Kwantyfikatory
"  kwantyfikator ogólny; czyta sie:  dla
ł
każdego ,  dla dowolnego ;
zdanie  "x : P(x) czyta sie:  dla dowolnego
ł
x zachodzi P(x) ;
zdanie  "x"A : P(x) czyta sie:  dla
ł
dowolnego x ze zbioru A zachodzi P(x);
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Oznaczenia logiczne
Kwantyfikatory  c.d.
"  kwantyfikator szczegółowy; czyta sie:
ł
 istnieje
zdanie  "x : P(x) czyta sie:  istnieje x, takie
ł
że zachodzi P(x) ;
zdanie  "x"A : P(x) czyta sie:  istnieje x ze
ł
zbioru A, takie że zachodzi P(x);
"!  oznacza  istnieje dokładnie jeden .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zasada kontrapozycji
(p �! q) �! (Źq �! Źp)
Zasada kontrapozycji jest podstawał dowodu nie
wprost (dowodu przez sprowadzenie do
sprzeczności).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Prawa De Morgana (reguły negacji)
Ź(p (" q) �! (Źp '" Źq)
Ź(p '" q) �! (Źp (" Źq)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguły negacji dla kwantyfikatorów
(Ź"x"A : P(x)) �! ("x"A : ŹP(x))
(Ź"x"A : P(x)) �! ("x"A : ŹP(x))
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Podstawowe oznaczenia I
{�}  symbol zbioru;
{a1, . . . , an}  zbiór zawierajacy elementy
ł
a1, . . . , an;
"  zbiór pusty;
"  symbol przynależności; zdanie x " A
oznacza, że x należy do zbioru A (x jest
elementem zbioru A);
x " A �! Ź(x " A) (x nie należy do zbioru
A);
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Podstawowe oznaczenia II
�"  symbol inkluzji (zawierania sie); zdanie
ł
A �" B oznacza, że zbiór A jest zawarty w
zbiorze B, tzn. każdy element zbioru A jest
również elementem zbioru B, czyli
(A �" B) �! (x " A �! x " B);
{x | P(x)}  zbiór tych x, dla których
zachodzi P(x);
{x " A | P(x)}  zbiór tych x " A, dla
których zachodzi P(x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Suma zbiorów
Definicja
Sumał zbiorów A i B nazywa sie zbiór
ł
A *" B := {x | x " A (" x " B} .
Innymi słowy,
x " A *" B �! x " A (" x " B.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przekrój zbiorów
Definicja
Przekrojem zbiorów A i B nazywa sie zbiór
ł
A )" B := {x | x " A '" x " B} .
Innymi słowy,
x " A )" B �! x " A '" x " B.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Różnica zbiorów
Definicja
Różnicał zbioru A i zbioru B nazywa sie zbiór
ł
A\B := {x | x " A '" x " B} .
Innymi słowy,
x " A\B �! x " A '" x " B.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Dopełnienie zbioru
Definicja
Niech A bedzie podzbiorem ustalonego zbioru X .
ł
Dopełnieniem zbioru A w zbiorze X nazywa sie zbiór
ł
Ac := X \A.
Innymi słowy,
x " Ac �! x " X '" x " A.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Suma rodziny zbiorów
Niech bedzie dana pewna rodzina zbiorów (zbiór
ł
zbiorów) Z.
Definicja
Sumał zbiorów z rodziny Z nazywa sie zbiór
ł

Z := {x | "A"Z : x " A} .
Innymi słowy,

x " Z �! "A"Z : x " A.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przekrój rodziny zbiorów
Definicja
Przekrojem zbiorów z rodziny Z nazywa sie zbiór
ł

Z := {x | "A"Z : x " A} .
Innymi słowy,

x " Z �! "A"Z : x " A.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Suma indeksowanej rodziny zbiorów
Niech bedzie dana pewna indeksowana rodzina
ł
zbiorów {Ai}i"I bedacych podzbiorami pewnego
ł ł
ustalonego zbioru X (zwanego przestrzenia).
ł
Formalna definicja indeksowanej rodziny zbiorów
zostanie podana w dalszej cześci wykładu.
ł
Zbiór I jest tu zbiorem indeksów (wskaz
ników) i, za
pomocał których rozróżnia sie zbiory Ai z rozważanej
ł
rodziny.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Suma indeksowanej rodziny zbiorów  c.d.
Definicja
Sumał zbiorów z indeksowanej rodziny {Ai}i"I
nazywa sie zbiór
ł

Ai := {x | "i"I : x " Ai} .
i"I
Innymi słowy,

x " Ai �! "i"I : x " Ai.
i"I
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przekrój indeksowanej rodziny zbiorów
Definicja
Przekrojem zbiorów z indeksowanej rodziny {Ai}i"I
nazywa sie zbiór
ł

Ai := {x | "i"I : x " Ai} .
i"I
Innymi słowy,

x " Ai �! "i"I : x " Ai.
i"I
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Oznaczenia zbiorów liczbowych
N  zbiór liczb naturalnych; N = {1, 2, 3, 4, . . .} ;
Z  zbiór liczb całkowitych;
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .} ;
Q  zbiór liczb wymiernych;

p
Q = | p, q " Z, q = 0 ;

q
R  zbiór liczb rzeczywistych;
R\Q  zbiór liczb niewymiernych;
C  zbiór liczb zespolonych.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Para uporzadkowana
ł
(a, b) oznacza pare uporzadkowanał o pierwszym
ł ł
elemencie (pierwszej współrzednej) a i drugim
ł
elemencie (drugiej współrzednej) b.
ł
Formalna definicja pary uporzadkowanej (a, b) jest
ł
nastepujaca:
ł ł
(a, b) := {{a} , {a, b}} .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Trójka i n-ka uporzadkowana
ł
(a, b, c) := ((a, b), c).
(a1, . . . , an) := ((a1, . . . , an-1), an).
Element ai nazywa sie i-tał współrzednał n-ki
ł ł
uporzadkowanej (układu uporzadkowanego n
ł ł
elementów) (a1, . . . , an).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Iloczyn kartezjański (produkt) zbiorów
Definicja
Iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów A i B
nazywa sie zbiór
ł
A � B := {(a, b) | a " A '" b " B} .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Iloczyn kartezjański (produkt) zbiorów 
c.d.
Definicja
Iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów
A1, . . . , An nazywa sie zbiór
ł
A1 � A2 � � � � � An
:= {(a1, . . . , an) | a1 " A1 '" . . . '" an " An} .
n

Jest on oznaczany również symbolem Ai.
i=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przestrzeń Rn
R2 := R � R, R3 = R � R � R
Rn := R � � � � � R (produkt n-krotny)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Intuicyjna definicja funkcji
Definicja
Funkcjał (odwzorowaniem) f : X Y określonał na
zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywa sie
ł
przyporzadkowanie każdemu elementowi zbioru X
ł
pewnego elementu zbioru Y .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Intuicyjna definicja funkcji  c.d.
Zbiór X nazywa sie dziedzinał (zbiorem
ł
argumentów) funkcji f , a zbiór Y 
przeciwdziedzinał funkcji f .
Wartość funkcji f w punkcie x " X oznacza sie
ł
symbolem f (x). Zbiór {f (x) | x " X } nazywa
sie zbiorem wartości funkcji f .
ł
Zbiór
{(x, y) " X � Y | y = f (x)}
nazywa sie wykresem funkcji f .
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Formalna definicja funkcji
Definicja
Funkcjał (odwzorowaniem) f : X Y określonał na
zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywa sie
ł
trójke uporzadkowanał (X , Y , W ), gdzie W jest
ł ł
pewnym podzbiorem zbioru X � Y spełniajacym
ł
warunek:
"x"X "!y"Y : (x, y) " W .
W  wykres funkcji f ((x, y) " W �! y = f (x))
(Tak zdefiniowane pojecie funkcji jest szczególnym
ł
przypadkiem pojecia relacji).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja różnowartościowa
Definicja
Funkcje f : X Y nazywa sie różnowartościował
ł ł
(iniektywna, iniekcja), jeśli
ł ł
"x ,x2"X : x1 = x2 �! f (x1) = f (x2).

1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja suriektywna
Definicja
Funkcje f : X Y nazywa sie suriekcjał (funkcjał
ł ł
suriektywna, odwzorowaniem  na ), jeśli
ł
"y"Y "x"X : y = f (x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja odwracalna
Definicja
Funkcje f : X Y nazywa sie bijekcjał (funkcjał
ł ł
odwracalna, wzajemnie jednoznaczna), jeśli jest
ł ł
iniekcjał i suriekcja.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja odwracalna  c.d.
Fakt
Funkcja f : X Y jest bijekcjał �! istnieje
-1
(dokładnie jedna) funkcja f : Y X taka że
-1
"x"X : f (f (x)) = x,
-1
"y"Y : f (f (y)) = y.
-1
Funkcja f jest nazywana funkcjał odwrotnał do f .
-1
Wykres f jest równy
{(y, x) " Y � X | y = f (x)}.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Obraz zbioru w odwzorowaniu
Definicja
Obrazem zbioru A �" X w odwzorowaniu f : X Y
nazywa sie zbiór
ł
f (A) := {f (x) | x " A}
= {y " Y | "x"A : y = f (x)} .
Zbiór f (X ) jest zbiorem wartości funkcji f .
f (X ) �" Y ale f (X ) nie musi być równy Y .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu
Definicja
Przeciwobrazem zbioru B �" Y w odwzorowaniu
f : X Y nazywa sie zbiór
ł
-1
f (B) := {x " X | f (x) " B}
-1
Przeciwobraz f (B) jest zdefiniowany nawet
-1
jeśli f nie istnieje.
-1
Jeśli f istnieje, to przeciwobraz zbioru B w
odwzorowaniu f jest równy obrazowi zbioru B
-1
w odwzorowaniu f (nie ma kolizji oznaczeń).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Obciecie odwzorowania
ł
Definicja
Jeśli A �" X , B �" Y , f (A) �" B, to obcieciem
ł
(restrykcja, zaweżeniem) odwzorowania f do pary
ł ł
zbiorów (A, B) nazywa sie odwzorowanie
ł
f |(A,B) : A B określone wzorem
"x"A : f |(A,B)(x) = f (x).
Jeśli B = Y to obciecie f |(A,Y ) oznacza sie f |A i
ł ł
nazywa obcieciem f do zbioru A.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Złożenie funkcji
Definicja
Superpozycjał (złożeniem) odwzorowań f : X Y i
g : Y Z nazywa sie odwzorowanie g ć% f : X Z
ł
określone wzorem
"x"X : (g ć% f )(x) = g(f (x)).
Superpozycja g ć% f może być zdefiniowana
analogicznie w bardziej ogólnym przypadku, gdy
dziedzina funkcji g zawiera zbiór f (X ).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Złożenie funkcji  c.d.
Niech IdX : X X oznacza odwzorowanie
identycznościowe na X , tzn. IdX (x) = x dla
dowolnego x " X .
-1
f ć% f = IdX
-1
f ć% f = IdY
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ograniczony podzbiór R
Definicja
Zbiór X �" R nazywa sie ograniczonym z góry,
ł
jeśli
"K "R"x"X : x K .
Zbiór X �" R nazywa sie ograniczonym z dołu,
ł
jeśli
"L"R"x"X : x L.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ograniczony podzbiór R  c.d.
Definicja
Zbiór X �" R nazywa sie ograniczonym, jeśli
ł
jest ograniczony z dołu i ograniczony z góry,
lub, równoważnie, jeśli
"M>0"x"X : |x| M.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja ograniczona
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie ograniczonał z
ł
góry, jeśli jej zbiór wartości f (X ) jest
ograniczony z góry, tzn.
"K "R"x"X : f (x) K .
Funkcja f : X R nazywa sie ograniczonał z
ł
dołu, jeśli zbiór f (X ) jest ograniczony z dołu,
tzn.
"L"R"x"X : f (x) L.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja ograniczona  c.d.
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie ograniczona,
ł ł
jeśli jest ograniczona z góry i ograniczona z
dołu, tzn.
"M>0"x"X : |f (x)| M.
Pojecie funkcji ograniczonej z góry, ograniczonej z
ł
dołu i ograniczonej stosuje sie w szczególności do
ł
ciagów (dla X = N).
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje monotoniczne
Niech X �" R.
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie (ściśle) rosnaca,
ł ł ł
jeśli
"x ,x2"X : x1 < x2 �! f (x1) < f (x2).
1
Funkcja f : X R nazywa sie niemalejaca, jeśli
ł ł ł
"x ,x2"X : x1 < x2 �! f (x1) f (x2).
1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje monotoniczne  c.d.
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie (ściśle)
ł
malejaca, jeśli
ł ł
"x ,x2"X : x1 < x2 �! f (x1) > f (x2).
1
Funkcja f : X R nazywa sie nierosnaca, jeśli
ł ł ł
"x ,x2"X : x1 < x2 �! f (x1) f (x2).
1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje monotoniczne  c.d.
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie monotoniczna,
ł ł
jeśli jest niemalejaca (np. rosnaca) lub
ł ł
nierosnaca (np. malejaca).
ł ł
Funkcja f : X R nazywa sie ściśle
ł
monotoniczna, jeśli jest rosnaca lub malejaca.
ł ł ł
Pojecia funkcji rosnacej, niemalejacej,
ł ł ł
malejacej, nierosnacej, monotonicznej i ściśle
ł ł
monotonicznej stosujał sie w szczególności do
ł
ciagów (dla X = N).
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje parzyste i nieparzyste
Niech zbiór X �" R bedzie symetryczny wzgledem 0,
ł ł
tzn. x " X �! -x " X .
Definicja
Funkcja f : X R nazywa sie parzysta, jeśli
ł ł
"x"X : f (-x) = f (x).
Funkcja f : X R nazywa sie nieparzysta, jeśli
ł ł
"x"X : f (-x) = -f (x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja okresowa
Definicja
Funkcje f : R R nazywa sie okresowa, jeśli
ł ł ł
istnieje stała T > 0, taka że
"x"R : f (x + T ) = f (x).
Każdał stałał T > 0 spełniajacał powyższy
warunek nazywa sie okresem funkcji f .
ł
Najmniejszał z takich stałych nazywa sie
ł
okresem minimalnym funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ciag
ł
Definicja
Ciagiem elementów zbioru X (ciagiem w zbiorze X )
ł ł
nazywa sie dowolne odwzorowanie a : N X .
ł
Przyjmuje sie oznaczenie a(n) = an dla n " N,
ł
zaś ciag a oznacza sie symbolem {an}n"N.
ł ł
Wyrażenie  ciag {an}n"N elementów zbioru X 
ł
zapisuje sie w skrócie:  ciag {an}n"N �" X 
ł ł
(symbol �" nie oznacza tu inkluzji).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rodzina indeksowana
Definicja
Rodzinał elementów zbioru Z indeksowanał zbiorem I
nazywa sie dowolne odwzorowanie A: I Z .
ł
Przyjmuje sie oznaczenie A(i) = Ai dla i " I ,
ł
zaś rodzine A oznacza sie symbolem {Ai}i"I .
ł ł
Jeśli elementami zbioru Z sał zbiory, to można
mówić o rodzinie zbiorów {Ai}i"I .
Ciag jest rodzinał indeksowanał zbiorem liczb
ł
naturalnych.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica ciagu liczbowego
ł
Definicja
Ciag liczbowy {an}n"N �" R nazywa sie ciagiem
ł ł ł
zbieżnym, jeśli istnieje liczba a " R, taka że
"�>0"N"N"n"N : n N �! |an - a| < �.
Liczbe a nazywa sie wówczas granicał ciagu {an}n"N
ł ł ł
i oznacza symbolem lim an.
n"
 lim  skrót od  limes
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Nieskończone granice ciagu liczbowego
ł
Definicja
Ciag liczbowy {an}n"N �" R nazywa sie ciagiem
ł ł ł
(ro)zbieżnym do +", jeśli
"K "R"N"N"n"N : n N �! an K .
Mówi sie wówczas, że granicał ciagu {an}n"N
ł ł
jest +", co zapisuje sie lim an = +".
ł
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Nieskończone granice ciagu liczbowego 
ł
c.d.
Definicja
Ciag liczbowy {an}n"N �" R nazywa sie ciagiem
ł ł ł
(ro)zbieżnym do -", jeśli
"L"R"N"N"n"N : n N �! an L.
Mówi sie wówczas, że granicał ciagu {an}n"N
ł ł
jest -", co zapisuje sie lim an = -".
ł
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Jednoznaczność granicy ciagu liczbowego
ł
Fakt
Ciag liczbowy może mieć co najwyżej jednał granice.
ł ł
Fakt
Istnienie granicy ciagu liczbowego i jej wartość nie
ł
zależy od skończonej liczby poczatkowych wyrazów
ł
ciagu.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek Cauchy ego
Twierdzenie
Ciag liczbowy {an}n"N ma granice skończonał wtedy
ł ł
i tylko wtedy, gdy spełnia nastepujacy warunek
ł ł
(zwany warunkiem Cauchy ego):
"�>0"N"N"n,m"N : n, m N �! |an - am| < �.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność ciagu stałego
ł
Fakt
Jeśli "n"N : an = a, to lim an = a.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ograniczoność ciagów zbieżnych
ł
Twierdzenie
Ciag liczbowy zbieżny do granicy skończonej jest
ł
ograniczony.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność ciagów monotonicznych
ł
Twierdzenie
Ciag liczbowy monotoniczny i ograniczony jest
ł
zbieżny do granicy skończonej.
Ciag liczbowy monotoniczny ma granice (która
ł ł
może być nieskończona).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie wartości bezwzglednej
ł
przez granice ciagu
ł ł
Twierdzenie
Jeśli ciag {an}n"N �" R jest zbieżny do a " R, to
ł
ciag {|an|}n"N jest zbieżny do |a|.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez granice ciagu
ł ł
Twierdzenie
Niech ciag {an}n"N �" R bedzie zbieżny do a " R, a
ł ł
ciag {bn}n"N  zbieżny do b " R. Wówczas
ł
ciag {an + bn}n"N jest zbieżny do a + b;
ł
ciag {an - bn}n"N jest zbieżny do a - b;
ł
ciag {an � bn}n"N jest zbieżny do ab;
ł

an
jeśli b = 0 i "n"N : bn = 0, to ciag jest

ł
bn n"N
a
zbieżny do .
b
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie nierówności przez granice
ł
ciagu
ł
Twierdzenie
Jeśli ciagi {an}n"N �" R, {bn}n"N �" R sał zbieżne i
ł
"n"N : an bn, to lim an lim bn.
n" n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Twierdzenie o trzech ciagach
ł
Twierdzenie
Niech bedał dane ciagi {an}n"N, {bn}n"N i {cn}n"N,
ł ł
takie że "n"N : an bn cn i lim an = lim cn.
n" n"
Wówczas lim bn = lim an = lim cn.
n" n" n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica ciagu odwrotnego i przeciwnego
ł
do ciagu o granicy nieskończonej
ł
Twierdzenie
Jeśli "n"N : an > 0, to
1
lim an = +" �! lim = 0.
n" n"
an
Twierdzenie
lim an = +" �! lim (-an) = -".
n" n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez nieskończone granice ciagów
ł
Twierdzenie
lim an = +" '" lim bn = +" �!
n" n"
lim (an + bn) = +",
n"
lim an = -" '" lim bn = -" �!
n" n"
lim (an + bn) = -",
n"
lim an = a " R '" lim bn = ą" �!
n" n"
lim (an + bn) = ą".
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez nieskończone granice ciagów  c.d.
ł
Twierdzenie
lim an = +" '" lim bn = ą" �! lim anbn =
n" n" n"
ą",
lim an = -" '" lim bn = -" �! lim anbn =
n" n" n"
+".
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez nieskończone granice ciagów  c.d.
ł
Twierdzenie
lim an = a " (0, +") '" lim bn = ą" �!
n" n"
lim anbn = ą",
n"
lim an = a " (-", 0) '" lim bn = ą" �!
n" n"
lim anbn = "".
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja granicy podciagu ciagu
ł ł
Niech bedzie dany pewien zbiór X i ciag
ł ł
{an}n"N �" X .
Definicja
Jeśli {nk}k"N jest pewnym rosnacym ciagiem liczb
ł ł
naturalnych, to ciag {an }k"N nazywa sie
k
ł ł
podciagiem ciagu {an}n"N.
ł ł
Innymi słowy, podciagiem ciagu a = {an}n"N jest
ł ł
złożenie (funkcyjne) a ć% n : N X dowolnego ciagu
ł
rosnacego n : N N z ciagiem a.
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Punkt skupienia ciagu
ł
Definicja
Punktem skupienia ciagu liczbowego nazywa sie
ł ł
dowolnał granice (skończonał lub nieskończona) jego
ł ł
podciagu.
ł
Fakt
Każdy podciag zbieżnego ciagu {an}n"N �" R jest
ł ł
zbieżny do granicy ciagu {an}n"N.
ł
Innymi słowy, zbieżny ciag liczbowy ma dokładnie
ł
jeden punkt skupienia  swojał granice.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Twierdzenie
Każdy ciag liczb rzeczywistych ma podciag
ł ł
monotoniczny.
Twierdzenie (Bolzano-Weierstrassa)
Każdy ograniczony ciag liczbowy ma podciag
ł ł
zbieżny.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
R := R *" {+", -"}
R+ := [0, +"), R+ := R+ *" {+"}
"x"R : -" < x < +"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja granic ekstremalnych ciagu
ł
Definicja
Granicał górnał ciagu {an}n"N, oznaczanał przez
ł
lim sup an, nazywa sie najwiekszy punkt
ł ł
n"
skupienia tego ciagu (w R).
ł
Granicał dolnał ciagu {an}n"N, oznaczanał przez
ł
lim inf an, nazywa sie najmniejszy punkt
ł
n"
skupienia tego ciagu (w R).
ł
 lim sup  skrót od  limes superior
 lim inf  skrót od  limes inferior
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie nierówności przez granice
ekstremalne
Twierdzenie
Jeśli "n"N : an bn, to
lim sup an lim sup bn,
n" n"
lim inf an lim inf bn.
n" n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica ciagu a granice ekstremalne
ł
Twierdzenie
Niech {an}n"N �" R i a " R. Wówczas
lim an = a �! lim sup an = lim inf an = a.
n" n"
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykłady granic ciagów
ł
Fakt
ą > 0 �! lim ną = +",
n"
ą 0 '" 0 < a < 1 �! lim anną = 0,
n"
an
a " R �! lim = 0,
n"
n!
"
n
a > 0 �! lim a = 1,
n"
"
n
lim n = 1.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Liczba e

1 n
e := lim 1 + H" 2, 71 . . .
n"
n
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Liczba e  c.d.
Fakt
Jeśli {bn}n"N �" R jest takim ciagiem, że
ł
lim bn = 0 i "n"N : bn = 0, to

n"
1
bn
lim (1 + bn) = e.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja szeregu liczbowego i jego sumy
Definicja
Niech bedzie dany ciag {xn}n"N �" R i niech
ł ł
k

"k"N : sk = xn a" x1 + x2 + � � � + xk.
n=1
Wówczas ciag {sk}k"N nazywa sie szeregiem
ł ł
liczbowym (wyznaczonym przez ciag {xn}n"N) i
ł
"

oznacza symbolem xn lub xn.
n"N n=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja szeregu i jego sumy  c.d.
Definicja
Liczbe sk nazywa sie k-tał sumał cześciował
ł ł ł

szeregu xn.
n"N

Jeśli szereg xn jako ciag sum cześciowych
ł ł
n"N
jest zbieżny, to jego granice nazywa sie jego
ł ł

sumał i również oznacza symbolem xn.
n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja szeregu i jego sumy  c.d.
Definicja
Szereg, który nie jest zbieżny do sumy
skończonej nazywa sie rozbieżnym.
ł
Określenie  szereg zbieżny rezerwuje sie dla
ł
szeregów zbieżnych do sumy skończonej.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja szeregu i jego sumy  c.d.
Definicja

Szereg xn nazywa sie bezwzglednie
ł ł
n"N

zbieżnym, jeśli szereg |xn| jest zbieżny (do
n"N
sumy skończonej).
Szereg, który jest zbieżny (do sumy
skończonej), ale nie jest bezwzglednie zbieżny,
ł
nazywa sie szeregiem warunkowo zbieżnym.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność szeregu bezwzglednie zbieżnego
ł
Fakt
Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny. Szereg
ł
zbieżny nie musi być bezwzglednie zbieżny.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Suma szeregu o wyrazach nieujemnych

Suma szeregu xn o wyrazach nieujemnych
n"N
("n"N : xn 0) zawsze istnieje w R+ (chociaż może
być równa +"), gdyż szereg taki, jako ciag sum
ł
cześciowych, jest niemalejacy. Fakt, że suma ta jest
ł ł
skończona, wyraża sie piszac
ł ł

xn < +".
n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeśli szereg xn jest zbieżny, to
n"N
lim xn = 0.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez sumy szeregów
Twierdzenie

Jeśli szeregi xn i yn sał zbieżne, to
n"N n"N

(xn + yn) = xn + yn,
n"N n"N n"N

(xn - yn) = xn - yn.
n"N n"N n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie działań arytmetycznych
przez sumy szeregów  c.d.
Twierdzenie

Jeśli szereg xn jest zbieżny, to
n"N

""R : xn =  � xn.
n"N n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność szeregów o wyrazach
nieujemnych
Aby badać zbieżność bezwzglednał danego szeregu
ł

xn, wystarczy dysponować twierdzeniami o
n"N
zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i

stosować je do szeregu |xn|.
n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie nierówności przez sumy
szeregów o wyrazach nieujemnych
Fakt

Jeśli xn, yn sał szeregami o wyrazach
n"N n"N
nieujemnych, takimi że "n"N : xn yn, to

xn yn
n"N n"N
(w R+).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium porównawcze
Twierdzenie (Kryterium porównawcze)

Niech xn, yn bedał szeregami o wyrazach
ł
n"N n"N
nieujemnych, takimi że xn yn dla prawie
wszystkich n " N.

Jeśli yn < +", to xn < +".
n"N n"N

Jeśli xn = +", to yn = +".
n"N n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg geometryczny
Definicja

Szereg xn nazywa sie szeregiem geometrycznym
ł
n"N
o ilorazie q > 0, jeśli xn+1 = qxn dla dowolnego
n " N, czyli jeśli istnieje A " R, takie że xn = Aqn-1
dla dowolnego n " N. (Wówczas A = x1).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność szeregu geometrycznego
Fakt
Niech A " R, q " (0, 1) *" (1, +"). Wówczas
dla dowolnego k " N ma miejsce równość
k

1 - qk
Aqn-1 = A .
1 - q
n=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zbieżność szeregu geometrycznego  c.d.
Fakt
"

Jeśli 0 < q < 1, to szereg Aqn-1 jest
n=1
1
zbieżny do A .
1 - q
"

Jeśli q 1, to szereg Aqn-1 jest rozbieżny.
n=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium D Alemberta
Twierdzenie (Kryterium D Alemberta)
Niech bedzie dany ciag {xn}n"N �" (0, +") (tzn. o
ł ł
wyrazach dodatnich).
"

xn+1
Jeśli lim sup < 1, to szereg xn jest
n"
xn
n=1
zbieżny.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium D Alemberta  c.d.
Twierdzenie (Kryterium D Alemberta  c.d.)
xn+1
Jeśli 1 dla prawie wszystkich n " N
xn
"

xn+1
(np. jeśli lim inf > 1), to szereg xn jest
n"
xn
n=1
rozbieżny.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium Cauchy ego
Twierdzenie (Kryterium Cauchy ego)
Niech bedzie dany ciag {xn}n"N �" R+ (tzn. o
ł ł
"
n
wyrazach nieujemnych) i niech q = lim sup xn.
n"
"

Jeśli q < 1, to szereg xn jest zbieżny.
n=1
Jeśli q > 1, to ciag {xn}n"N nie jest zbieżny do
ł
"

zera (a stad szereg xn jest rozbieżny).
ł
n=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium Dirichleta
Twierdzenie (Kryterium Dirichleta)
Jeśli

szereg liczbowy (o dowolnych wyrazach) xn
n"N
jako ciag sum cześciowych jest ograniczony,

ł ł

k



tzn. "M>0"k"N : xn M,

n=1
ciag {n}n"N �" R+ jest nierosnacy i zbieżny do
ł ł
zera,
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium Dirichleta  c.d.
Twierdzenie (Kryterium Dirichleta  c.d.)

to szereg nxn jest zbieżny.
n"N
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg harmoniczny o wykładniku ą
Definicja
"

1
Niech ą " R. Szereg nazywa sie szeregiem
ł
ną
n=1
harmonicznym o wykładniku ą. Szereg harmoniczny
o wykładniku 1 nazywa sie krócej szeregiem
ł
harmonicznym.
Twierdzenie
Szereg harmoniczny o wykładniku ą " R jest
zbieżny dla ą > 1, a rozbieżny dla ą 1.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kryterium Leibniza
Twierdzenie (Kryterium Leibniza)
Jeśli {n}n"N �" R+ jest nierosnacym ciagiem
ł ł
zbieżnym do zera, to szereg naprzemienny
"

(-1)n-1n jest zbieżny.
n=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg anharmoniczny
Przykład
"

1
Szereg anharmoniczny (-1)n �" R jest
n
n=1
warunkowo zbieżny na mocy kryterium Leibniza i
twierdzenia o rozbieżności szeregu harmonicznego
(o wykładniku ą = 1).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kolejność sumowania
Twierdzenie

Jeśli xn jest szeregiem bezwzglednie zbieżnym,
ł
n"N
to dla dowolnej bijekcji � : N N (permutacji)

szereg x�(n) jest bezwzglednie zbieżny do sumy
ł
n"N

szeregu xn.
n"N
(Zbieżność i suma szeregu bezwzglednie zbieżnego
ł
nie zależał od kolejności wyrazów szeregu.)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kolejność sumowania  c.d.
W przypadku szeregów warunkowo zbieżnych fakt
zbieżności szeregu i jego suma mogał zależeć od
kolejności sumowania.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Punkt skupienia zbioru
Definicja
Punkt x0 " R = R *" {+", -"} nazywa sie
ł
punktem skupienia zbioru X �" R, jeśli istnieje ciag
ł
{xn}n"N �" X , taki że "n"N : xn = x0 oraz

lim xn = x0.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja ciagowa (Heinego) granicy
ł
funkcji
Definicja
Niech bedzie dany zbiór X �" R i funkcja
ł
f : X R. Niech x0 " R bedzie punktem
ł
skupienia zbioru X . Liczbe g " R nazywa sie
ł ł
granicał funkcji f w punkcie x0, jeśli dla
dowolnego ciagu {xn}n"N �" X , takiego że
ł
"n"N : xn = x0 oraz lim xn = x0, spełniony jest

n"
warunek lim f (xn) = g.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja ciagowa (Heinego) granicy
ł
funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli taka liczba g istnieje, to oznacza sie jał
ł
symbolem lim f (x).
xx0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie przez granice działań
ł
arytmetycznych na funkcjach
Twierdzenie
Niech bedzie dany zbiór X �" R, jego punkt
ł
skupienia x0 " R i funkcje f , g : X R, takie że
istniejał granice lim f (x) = a " R,
xx0
lim g(x) = b " R.
xx0
Jeśli symbol a + b jest określony w R, to
lim (f (x) + g(x)) = a + b.
xx0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie przez granice działań
ł
arytmetycznych na funkcjach  c.d.
Twierdzenie
Jeśli symbol a - b jest określony w R, to
lim (f (x) - g(x)) = a - b.
xx0
Jeśli symbol a � b jest określony, to
lim f (x) � g(x) = a � b.
xx0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie przez granice działań
ł
arytmetycznych na funkcjach  c.d.
Twierdzenie
a
Jeśli "x"X : g(x) = 0, b = 0, a symbol jest

b
f (x) a
określony w R, to lim = .
xx0
g(x) b
Jeśli c " R, a symbol c � a jest określony w R,
to lim c � f (x) = c � a.
xx0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie przez granice działań
ł
arytmetycznych na funkcjach  c.d.
Twierdzenie
1
Jeśli lim f (x) = ą", to lim = 0.
xx0 xx0
f (x)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie przez granice działań
ł
arytmetycznych na funkcjach  c.d.
Twierdzenie
Jeśli lim f (x) = 0 i "x"X : f (x) > 0, to
xx0
1
lim = +".
xx0
f (x)
Jeśli lim f (x) = 0 i "x"X : f (x) < 0, to
xx0
1
lim = -".
xx0
f (x)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica lewostronna funkcji
Definicja
Niech X �" R i niech x0 bedzie punktem skupienia
ł
zbioru X )" (-", x0). Niech f : X R.
Liczbe g " R nazywa sie granicał lewostronna
ł ł
funkcji f w punkcie x0, jeśli g jest granicał
(zwykła) w punkcie x0 funkcji f |X )"(-",x0), tzn.
ł
jeśli dla dowolnego ciagu {xn}n"N �" X , takiego
ł
że "n"N : xn < x0 oraz lim xn = x0 spełniony
n"
jest warunek lim f (xn) = g.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica lewostronna funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli taka liczba g istnieje, to oznacza sie jał
ł
symbolem lim f (x).
xx0-
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica prawostronna funkcji
Definicja
Niech X �" R i niech x0 bedzie punktem skupienia
ł
zbioru X )" (x0, +"). Niech f : X R.
Liczbe g " R nazywa sie granicał prawostronnał
ł ł
funkcji f w punkcie x0, jeśli g jest granicał
(zwykła) w punkcie x0 funkcji f |X )"(x0,+"), tzn.
ł
jeśli dla dowolnego ciagu {xn}n"N �" X , takiego
ł
że "n"N : xn > x0 oraz lim xn = x0 spełniony
n"
jest warunek lim f (xn) = g.
n"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica prawostronna funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli taka liczba g istnieje, to oznacza sie jał
ł
symbolem lim f (x).
xx0+
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Granica funkcji a granice jednostronne
Twierdzenie
Niech X �" R i niech x0 bedzie punktem skupienia
ł
zbioru X )" (-", x0) i zbioru X )" (x0, +"). Niech
f : X R oraz g " R. Wówczas
lim f (x) = g �! lim f (x) = lim f (x) = g.
xx0
xx0- xx0+
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykłady granic funkcji
Twierdzenie
1
"ą>0 : lim xą = +", lim = 0.
x+" x+"
xą
"a"(0,1), ą 0 : lim axxą = 0.
x+"
sin x
lim = 1.
x0
x
1
x
lim(1 + x) = e.
x0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja ciagła
ł
Definicja
Niech X �" R i x0 " X , f : X R.
Funkcja f nazywa sie ciagłał w punkcie x0, jeśli
ł ł
dla dowolnego ciagu {xn}n"N �" X , takiego że
ł
lim xn = x0, spełniony jest warunek
n"
lim f (xn) = f (x0).
n"
Funkcja f nazywa sie ciagła, jeśli jest ciagła w
ł ł ł ł
każdym punkcie zbioru X .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcja ciagła  c.d.
ł
Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X , to
f jest ciagła w x0 �! lim f (x) = f (x0).
ł
xx0
Jeśli x0 nie jest punktem skupienia zbioru X (x0
jest izolowany od innych elementów zbioru X ),
to f jest automatycznie ciagła w x0.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ciagłość superpozycji funkcji ciagłych
ł ł
Twierdzenie
Niech X , Y �" R, f : X Y , g : Y R. Jeśli f
jest ciagła w punkcie x0 " X , a g jest ciagła w
ł ł
punkcie y0 = f (x0), to superpozycja g ć% f : X R
jest ciagła w punkcie x0.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie ciagłości funkcji przez
ł
działania arytmetyczne na funkcjach
Twierdzenie
Niech X �" R, x0 " X , f , g : X R. Jeśli f i g sał
ciagłe w punkcie x0, to ciagłe w punkcie x0 sał też
ł ł
f
funkcje f + g, f - g, f � g oraz funkcja , o ile
g
"x"X : g(x) = 0.

Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Homeomorfizm
Definicja
Niech X , Y �" R. Funkcja f : X Y nazywa sie
ł
homeomorfizmem, jeśli
f jest odwracalna (jest bijekcja),
ł
f jest ciagla,
ł ł
-1
f jest ciagła.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykłady funkcji ciagłych
ł
Twierdzenie
Dowolny wielomian
R " x anxn + � � � + a1x + a0 " R jest
funkcjał ciagła.
ł ł
Dla dowolnego ą " R funkcja potegowa
ł
(0, +") " x xą " R jest ciagła.
ł
Funkcje sin, cos, tg, ctg sał ciagłe.
ł
Dla dowolnego a > 0 funkcja wykładnicza
R " x ax " R jest ciagła.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykłady funkcji ciagłych
ł
Twierdzenie
Dla dowolnego a > 0 funkcja logarytm o
podstawie a, tzn. funkcja
(0, +") " x loga x, jest ciagła
ł
(loga x = y �! ay = x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja pochodnej funkcji
Definicja
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech x0 należy
ł
do wnetrza zbioru X .
ł
f (x0 + h) - f (x0)
Jeśli istnieje granica lim , to
h0
h
nazywa sie jał pochodnał funkcji f w punkcie x0
ł
df (x0)
2
i oznacza symbolem f (x0) lub , a funkcje
dx ł
f nazywa sie różniczkowalnał w punkcie x0.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Definicja pochodnej funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym
punkcie zbioru X , to nazywa sie jał
ł
2
różniczkowalna, a funkcje X " x f (x) " R
ł ł
nazywa pochodnał funkcji f i oznacza
2 df
symbolem f lub .
dx
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Interpretacja geometryczna pochodnej
funkcji
2
Pochodna f (x0) funkcji f w punkcie x0 jest równa
współczynnikowi kierunkowemu (tzn. tangensowi
kata nachylenia) stycznej do wykresu funkcji f w
ł
punkcie (x0, f (x0)), tzn. styczna ta ma równanie
2
y = f (x0) + f (x0)(x - x0).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ciagłość funkcji różniczkowalnej
ł
Twierdzenie
Funkcja rzeczywista różniczkowalna w danym
punkcie jest w tym punkcie ciagła.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna funkcji stałej
Fakt
Funkcja stała ma pochodnał równał zeru.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguły różniczkowania
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech x0 należy
ł
do wnetrza X . Niech f , g : X R bedał
ł ł
różniczkowalne w punkcie x0. Wówczas
2
(f + g)2 (x0) = f (x0) + g2 (x0);
2
(f - g)2 (x0) = f (x0) - g2 (x0);
2
"ą"R : (ąf )2 (x0) = ąf (x0);
2
(f � g)2 (x0) = f (x0) � g(x0) + f (x0) � g2 (x0);
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguły różniczkowania  c.d.
Twierdzenie
jeśli g(x0) = 0, to

2
2
f f (x0) � g(x0) - f (x0) � g2 (x0)
(x0) = .
g g(x0)2
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguła łańcucha
Twierdzenie
Niech X , Y �" R bedał przedziałami, f : X Y ,
ł
g : Y R, niech x0 należy do wnetrza przedziału
ł
X , a y0 = f (x0) do wnetrza Y . Jeśli f jest
ł
różniczkowalna w x0, a g jest różniczkowalna w y0,
to
2
(g ć% f )2 (x0) = g2 (f (x0)) � f (x0).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna lewostronna funkcji
Definicja
Niech X bedzie przedziałem, a x0 " X takim
ł
punktem, że X )" (-", x0] jest przedziałem
nieredukujacym sie do punktu x0. Niech f : X R.
ł ł
Jeśli istnieje granica
f (x0 + h) - f (x0)
lim ,
h0-
h
to nazywa sie jał pochodnał lewostronnał funkcji f w
ł
2
punkcie x0 i oznacza symbolem f (x0-).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna prawostronna funkcji
Definicja
Niech X bedzie przedziałem, a x0 " X takim
ł
punktem, że X )" [x0, +") jest przedziałem
nieredukujacym sie do punktu x0. Niech f : X R.
ł ł
Jeśli istnieje granica
f (x0 + h) - f (x0)
lim ,
h0+
h
to nazywa sie jał pochodnał prawostronnał funkcji f w
ł
2
punkcie x0 i oznacza symbolem f (x0+).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna funkcji a pochodne
jednostronne
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech x0 należy
ł
do wnetrza X . Funkcja f jest różniczkowalna w x0
ł
2 2
�! istniejał obie pochodne f (x0-), f (x0+) i sał
2 2 2
równe. Wówczas f (x0) = f (x0-) = f (x0+).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Własności pochodnych jednostronnych
Pochodne jednostronne funkcji majał własności
analogiczne do zwykłej pochodnej funkcji.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodne funkcji elementarnych
W punktach x, w których rozpatrywane funkcje
(zmiennej x) sał określone, zachodzał nastepujace
ł ł
równości.
(xp)2 = pxp-1 dla dowolnej stałej p " R
(sin x)2 = cos x
(cos x)2 = - sin x
1
(tg x)2 = = 1 + tg2 x
cos2 x
1
(ctg x)2 = - = -1 - ctg2 x
sin2 x
(ex)2 = ex
(ax)2 = ax ln a dla dowolnej stałej a > 0, a = 1

Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodne funkcji elementarnych  c.d.
1
"
(arc sin x)2 =
1-x2
"-1
(arc cos x)2 =
1-x2
1
(arc tg x)2 =
1+x2
-1
(arc ctg x)2 =
1+x2
1
(ln x)2 =
x
1
(loga x)2 = dla dowolnej stałej a > 0,
x ln a
a = 1

Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodne wyższych rzedów
ł
Definicja
Drugał pochodnał (w danym punkcie) rozpatrywanej
funkcji nazywa sie pochodnał (w tym punkcie) jej
ł
pierwszej pochodnej. Dla dowolnego n " N, n 2,
n-tał pochodnał lub pochodnał rzedu n (w danym
ł
punkcie x) rozpatrywanej funkcji f nazywa sie
ł
pochodnał (w punkcie x) jej pochodnej rzedu n - 1,
ł
tzn.
2
(n) (n-1)
f (x) := f (x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota pionowa funkcji
Definicja
Niech " = X �" R i niech bedzie dana funkcja

ł
f : X R.
Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru
X )" (-", x0), a lim f (x) = ą", to prostał
xx0-
x = x0 nazywa sie asymptotał pionował
ł
lewostronnał funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota pionowa funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru
X )" (x0, +"), a lim f (x) = ą", to prostał
xx0+
x = x0 nazywa sie asymptotał pionował
ł
prawostronnał funkcji f .
Jeśli prosta x = x0 jest jednocześnie asymptotał
pionował lewostronnał i prawostronnał funkcji f ,
to nazywa sie jał asymptotał pionował
ł
obustronnał funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota ukośna funkcji
Definicja
Niech " = X �" R i niech bedzie dana funkcja

ł
f : X R oraz stałe a, b " R.
Jeśli +" jest punktem skupienia zbioru X , a
lim [f (x) - (ax + b)] = 0,
x+"
to prostał y = ax + b nazywa sie asymptotał
ł
ukośnał funkcji f w +".
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota ukośna funkcji  c.d.
Definicja
Jeśli -" jest punktem skupienia zbioru X , a
lim [f (x) - (ax + b)] = 0,
x-"
to prostał y = ax + b nazywa sie asymptotał
ł
ukośnał funkcji f w -".
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota ukośna funkcji  c.d.
Twierdzenie
Prosta y = ax + b jest asymptotał ukośnał
funkcji f w +" wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
a = lim , b = lim [f (x) - ax].
x+" x+"
x
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota ukośna funkcji  c.d.
Twierdzenie
Prosta y = ax + b jest asymptotał ukośnał
funkcji f w -" wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
a = lim , b = lim [f (x) - ax].
x-" x-"
x
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota pozioma funkcji
Definicja
Asymptota ukośna y = b funkcji f w +" (lub w
-") nazywa sie asymptotał poziomał funkcji f w
ł
+" (odpowiednio, w -"). (W tym przypadku
a = 0.)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Asymptota pozioma funkcji  c.d.
Twierdzenie
Prosta y = b jest asymptotał poziomał funkcji f w
ą" wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (x) = b.
xą"
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Lokalne zachowywanie znaku przez funkcje
ł
ciagłał
ł
Twierdzenie
Niech " = X �" R bedzie przedziałem i x0 " X .

ł
Niech funkcja f : X R bedzie ciagła.
ł ł
Jeśli f (x0) > 0, to
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�) : f (x) > 0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Lokalne zachowywanie znaku przez funkcje
ł
ciagłał  c.d.
ł
Twierdzenie
Jeśli f (x0) < 0, to
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�) : f (x) < 0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Własność Darboux funkcji ciagłej
ł
Twierdzenie (Własność Darboux)
Niech funkcja f : [a, b] R bedzie ciagła. Wówczas
ł ł
f przyjmuje wszystkie wartości pośrednie miedzy
ł
f (a) i f (b). Innymi słowy,
jeśli f (a) f (b), to f ([a, b]) �" [f (a), f (b)],
tzn. "y"[f (a),f (b)]"x"[a,b] : f (x) = y;
jeśli f (a) f (b), to f ([a, b]) �" [f (b), f (a)],
tzn. "y"[f (b),f (a)]"x"[a,b] : f (x) = y.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Własność Darboux funkcji ciagłej  c.d.
ł
Własność Darboux funkcji ciagłej ma zastosowanie
ł
m.in. do przybliżonego rozwiazywania równań
ł
postaci
f (x) = 0,
gdy f (a) i f (b) majał różne znaki.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Twierdzenie Weierstrassa o ograniczoności
funkcji ciagłej
ł
Twierdzenie
Rzeczywista funkcja ciagła na odcinku domknietym
ł ł
jest ograniczona.
Innymi słowy, jeśli f : [a, b] R jest ciagła, to
ł
istnieje M > 0, takie że |f (x)| M dla dowolnego
x " [a, b].
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Twierdzenie Weierstrassa o osiaganiu
ł
kresów przez funkcje ciagłał
ł ł
Twierdzenie
Rzeczywista funkcja ciagła na odcinku domknietym
ł ł
osiaga wartość najwiekszał i najmniejsza.
ł ł ł
Innymi słowy, jeśli f : [a, b] R jest funkcjał ciagła,
ł
to
"x "[a,b]"x"[a,b] : f (x) f (x1),
1
"x "[a,b]"x"[a,b] : f (x) f (x2).
2
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(x0, f (x0)):
2
y = f (x0) + f (x0)(x - x0)
2
(przy założeniu, że f (x0) istnieje).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Różniczka funkcji
Niech " = X �" R bedzie przedziałem, x0, x " X ,

ł
"x := x - x0. Niech f : X R bedzie
ł
różniczkowalna w punkcie x0. Funkcje
ł
2
X " x f (x0)"x nazywa sie różniczkał funkcji f w
ł
punkcie x0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Różniczka funkcji  c.d.
Zachodzi przybliżony wzór
2
f (x0 + "x) H" f (x0) + f (x0)"x.
2
"f - f (x0)"x
Ponadto, lim = 0, gdzie
"x0
"x
"f = f (x0 + "x) - f (x0).
(Różnica miedzy faktycznym przyrostem wartości
ł
funkcji a jej różniczkał maleje do zera szybciej niż
przyrost argumentu.)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Twierdzenie Lagrange a
Twierdzenie (Lagrange a)
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciagła w [a, b] i
ł
różniczkowalna w (a, b), to istnieje c " (a, b), takie
że
2
f (b) - f (a) = f (c)(b - a).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunki wystarczajace monotoniczności
ł
funkcji
Twierdzenie (Wniosek z twierdzenia Lagrange a)
Niech " = X �" R bedzie przedziałem

ł
niezdegenerowanym. Niech f : X R bedzie
ł
różniczkowalna.
2
Jeśli "x"X : f (x) = 0, to f jest stała na X .
2
Jeśli "x"X : f (x) > 0, to f jest rosnaca na X .
ł
2
Jeśli "x"X : f (x) 0, to f jest niemalejaca na
ł
X .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunki wystarczajace monotoniczności
ł
funkcji  c.d.
Twierdzenie (Wniosek z twierdzenia Lagrange a)
2
Jeśli "x"X : f (x) < 0, to f jest malejaca na X .
ł
2
Jeśli "x"X : f (x) 0, to f jest nierosnaca na
ł
X .
2 2
Jeśli "x"X : f (x) 0 (lub f (x) 0), a
2
równość f (x) = 0 zachodzi tylko dla
skończonej liczby punktów x " X , to f jest
rosnaca (odpowiednio, malejaca) na X .
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ekstrema globalne funkcji
Definicja
Niech bedzie dany zbiór X , punkt x0 i funkcja
ł
f : X R.
Funkcja f osiaga maksimum globalne w
ł
punkcie x0, jeśli "x"X : f (x) f (x0).
Funkcja f osiaga właściwe (ścisłe) maksimum
ł
globalne w punkcie x0, jeśli
"x"X \{x0} : f (x) < f (x0).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ekstrema globalne funkcji  c.d.
Definicja
Funkcja f osiaga minimum globalne w punkcie
ł
x0, jeśli "x"X : f (x) f (x0).
Funkcja f osiaga właściwe (ścisłe) minimum
ł
globalne w punkcie x0, jeśli
"x"X \{x0} : f (x) > f (x0).
Ekstremum globalne = globalne maksimum lub
minimum (właściwe lub nie).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ekstrema lokalne
Definicja
Niech X �" R, x0 " X , f : X R.
f osiaga maksimum lokalne w x0, jeśli
ł
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�) : f (x) f (x0).
f osiaga właściwe (ścisłe) maksimum lokalne w
ł
x0, jeśli
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�)\{x0} : f (x) < f (x0).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ekstrema lokalne  c.d.
Definicja
f osiaga minimum lokalne w x0, jeśli
ł
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�) : f (x) f (x0).
f osiaga właściwe (ścisłe) minimum lokalne w
ł
x0, jeśli
"�>0"x"X )"(x0-�,x0+�)\{x0} : f (x) > f (x0).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Ekstrema lokalne  c.d.
Definicja
Ekstremum lokalne = lokalne maksimum lub
minimum (właściwe lub nie).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek konieczny istnienia ekstremum
lokalnego
Twierdzenie
Niech X bedzie przedziałem, x0  punktem
ł
wewnetrznym X , f : X R. Jeśli f ma ekstremum
ł
2
lokalne w x0, a pochodna f (x0) istnieje, to
2
f (x0) = 0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia
ł
ekstremum lokalnego I
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, x0 " X ,
ł
f : X R.
Jeśli istnieje � > 0, takie że f jest (ściśle)
rosnaca na X )" (x0 - �, x0] i (ściśle) malejaca
ł ł
na X )" [x0, x0 + �), to f ma (ścisłe) maksimum
lokalne w x0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia
ł
ekstremum lokalnego I  c.d.
Twierdzenie (c.d.)
Jeśli istnieje � > 0, takie że f jest (ściśle)
malejaca na X )" (x0 - �, x0] i (ściśle) rosnaca
ł ł
na X )" [x0, x0 + �), to f ma (ścisłe) minimum
lokalne w x0.
W przypadku różniczkowalnej funkcji f założenia
powyższego twierdzenia można sprawdzić badajac
ł
znaki pochodnej funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia
ł
ekstremum lokalnego II
Twierdzenie
Niech n " N bedzie parzyste (np. n = 2). Niech
ł
X �" R bedzie przedziałem i niech f : X R bedzie
ł ł
n-krotnie różniczkowalna w x0 " X . Jeśli
2 (n-1)
f (x0) = � � � = f (x0) = 0,
(n)
f (x0) < 0,
to f ma właściwe maksimum lokalne w x0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia
ł
ekstremum lokalnego II  c.d.
Twierdzenie (c.d)
Jeśli
2 (n-1)
f (x0) = � � � = f (x0) = 0,
(n)
f (x0) > 0,
to f ma właściwe minimum lokalne w x0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Nieistnienie ekstremum lokalnego
Twierdzenie
Niech n " N bedzie nieparzyste. Niech X �" R
ł
bedzie przedziałem, x0  punktem wewnetrznym X i
ł ł
niech f : X R bedzie n-krotnie różniczkowalna w
ł
x0. Jeśli
2 (n-1)
f (x0) = � � � = f (x0) = 0,
(n)
f (x0) = 0,

to f nie ma ekstremum lokalnego w x0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Znajdowanie ekstremów globalnych
Fakt
Funkcja ciagła f : [a, b] R osiaga maksimum
ł ł
(minimum) globalne albo w jednym z punktów
przedziału (a, b), w którym osiaga maksimum
ł
(minimum) lokalne, albo w jednym z punktów a, b.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna funkcji odwrotnej do danej
Twierdzenie
Niech X �" R, Y �" R bedał przedziałami, x0 " X ,
ł
y0 " Y , i niech f : X Y bedzie ciagłał bijekcja,
ł ł ł
2
takał że f (x0) = y0. Jeśli istnieje f (x0) = 0, to

1
-1
(f )2 (y0) = .
2
f (x0)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Pochodna funkcji odwrotnej do danej 
c.d.
Jeśli przez x oznaczy sie zmiennał funkcji f , a przez
ł
-1
y  zmiennał funkcji f , to
-1
df df
-1 2
(f )2 (y0) a" (y0), f (x0) a" (x0).
dy dx
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguła de L Hospitala
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, a x0 " R jego
ł
punktem skupienia. Niech funkcje f , g : X R
bedał różniczkowalne oraz "x"X : g(x) = 0. Niech

ł
lim f (x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
lub lim f (x) = ą" oraz lim g(x) = ą",
xx0 xx0
istnieje granica (skończona lub nieskończona)
2
f (x)
lim .
xx0
g2 (x)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguła de L Hospitala  c.d.
Twierdzenie (c.d.)
2
f (x) f (x)
Wówczas lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g2 (x)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguła de L Hospitala  c.d.
Z nieistnienia granicy
2
f (x)
lim
xx0
g2 (x)
nie wynika jednak nieistnienie granicy
f (x)
lim .
xx0
g(x)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Reguła de L Hospitala  c.d.
Nieoznaczoność typu 0 � " można sprowadzić
0 "
do nieoznaczoności typu lub stosujac wzór
ł
0 "
f
f � g = .
1
g
Nieoznaczoność typu " - " można
0
sprowadzić do nieoznaczoności typu stosujac
ł
0
1 1
-
g f
wzór f - g = .
1
fg
Nieoznaczoność typu 1", "0, 00 można
sprowadzić do nieoznaczoności typu 0 � "
g
stosujac wzór f = eg ln f .
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje wypukłe i wklesłe
ł
Definicja
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech f : X R.
ł
Funkcja f nazywa sie wypukła, jeśli
ł ł
f ((1 - )x + y) (1 - )f (x) + f (y)
dla dowolnych x, y " X ,  " [0, 1].
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje wypukłe i wklesłe  c.d.
ł
Definicja
Funkcja f nazywa sie ściśle wypukła, jeśli
ł ł
f ((1 - )x + y) < (1 - )f (x) + f (y)
dla dowolnych x, y " X ,  " [0, 1].
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje wypukłe i wklesłe  c.d.
ł
Definicja
Funkcja f nazywa sie wklesła, jeśli
ł ł
f ((1 - )x + y) (1 - )f (x) + f (y)
dla dowolnych x, y " X ,  " [0, 1].
Funkcja f nazywa sie ściśle wklesła, jeśli
ł ł
f ((1 - )x + y) > (1 - )f (x) + f (y)
dla dowolnych x, y " X ,  " [0, 1].
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wypukłość i wklesłość funkcji  c.d.
ł
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech f : X R
ł
bedzie dwukrotnie różniczkowalna.
ł
2 2
Jeśli "x"X : f (x) 0, to f jest wypukła na X .
2 2
Jeśli "x"X : f (x) > 0, to f jest ściśle wypukła
na X .
2 2
Jeśli "x"X : f (x) 0, to f jest wklesła na X .
ł
2 2
Jeśli "x"X : f (x) < 0, to f jest ściśle wklesła
ł
na X .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wypukłość i wklesłość funkcji  c.d.
ł
Twierdzenie (c.d.)
2 2 2 2
Jeśli "x"X : f (x) 0, a równość f (x) = 0
zachodzi jedynie w skończonej liczbie punktów
x " X , to f jest ściśle wypukła na X .
2 2 2 2
Jeśli "x"X : f (x) 0, a równość f (x) = 0
zachodzi jedynie w skończonej liczbie punktów
x " X , to f jest ściśle wklesła na X .
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Punkty przegiecia (wykresu) funkcji
ł
Definicja
Niech X �" R bedzie przedziałem, x0 " X i niech
ł
f : X R. Punkt x0 nazywa sie punktem przegiecia
ł ł
funkcji f (a punkt (x0, f (x0)) nazywa sie punktem
ł
przegiecia wykresu funkcji f ), jeśli f ma pochodnał
ł
(skończonał lub nieskończona) w x0 i istnieje � > 0,
ł
takie że na przedziale X )" (x0 - �, x0) funkcja f jest
ściśle wypukła, a na przedziale X )" (x0, x0 + �) ściśle
wklesła, lub odwrotnie.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek konieczny istnienia punktu
przegiecia funkcji
ł
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, x0 " X i niech
ł
f : X R. Jeśli
x0 jest punktem przegiecia funkcji f ,
ł
2 2
istnieje f (x0),
2 2
to f (x0) = 0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia punktu
ł
przegiecia funkcji I
ł
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem i niech f : X R.
ł
Jeśli f ma pochodnał (skończonał lub nieskończona)
ł
2 2
w x0 i istnieje � > 0, takie że f (x) > 0 dla
2 2
dowolnego x " X )" (x0 - �, x0) oraz f (x) < 0 dla
dowolnego x " X )" (x0, x0 + �) (lub odwrotnie), to
x0 jest punktem przegiecia f .
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Warunek wystarczajacy istnienia punktu
ł
przegiecia funkcji II
ł
Twierdzenie
Niech n " N, n 3 bedzie nieparzyste, niech X �" R
ł
bedzie przedziałem, x0 " X i niech f : X R. Jeśli
ł
2 2 (n-1)
f (x0) = � � � = f (x0) = 0,
(n)
f (x0) = 0,

to x0 jest punktem przegiecia funkcji f .
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Schemat badania przebiegu zmienności
funkcji
Ustalenie dziedziny funkcji
Zbadanie podstawowych własności funkcji:
parzystości, nieparzystości,
ciagłości,
ł
okresowości,
punktów przeciecia wykresu funkcji z osiami
ł
współrzednych
ł
Obliczenie granic lub wartości funkcji na
krańcach dziedziny
Wyznaczenie asymptot funkcji
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Schemat badania przebiegu zmienności
funkcji  c.d.
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
Ustalenie dziedziny pierwszej pochodnej i jej
obliczenie;
Wyznaczenie punktów podejrzanych o ekstrema
(miejsc zerowych pochodnej);
Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji
(zbadanie znaków pochodnej);
Wyznaczenie ekstremów funkcji;
Obliczenie granic lub wartości pochodnej na
krańcach jej dziedziny
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przebieg zmienności funkcji  c.d.
Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:
Ustalenie dziedziny drugiej pochodnej i jej
obliczenie;
Wyznaczenie punktów mogacych być punktami
ł
przegiecia funkcji (miejsc zerowych drugiej
ł
pochodnej);
Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklesłości
ł
funkcji;
Wyznaczenie punktów przegiecia (wykresu) funkcji;
ł
Obliczenie wartości pierwszej pochodnej w
punktach przegiecia;
ł
Obliczenie granic lub wartości drugiej pochodnej na
krańcach jej dziedziny
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Schemat badania przebiegu zmienności
funkcji  c.d.
Zestawienie wyników w tabeli
Sporzadzenie wykresu funkcji.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykład
ex
Niech f : R\ {-3} R, f (x) = .
x+3
Dziedzinał funkcji f jest zbiór Df = R\ {-3}.
Konkluzje dotyczace przebiegu zmienności f należy
ł
odnieść do odpowiednich podzbiorów zbioru Df .
f jest rosnaca na zbiorze
ł
(-2, +") )" Df = (-2, +")
(gdyż jej pochodna w punktach tego zbioru
przyjmuje wartości dodatnie).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykład  c.d.
f jest malejaca składowych zbioru
ł
(-", -2) )" Df = (-", -2)\ {-3}, tzn. na
przedziale (-", -3) oraz na przedziale
(-3, -2), (gdyż jej pochodna w punktach tego
zbioru przyjmuje wartości ujemne).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Przykład  c.d.
W punkcie x = -2 funkcja f osiaga minimum
ł
lokalne, które (ze wzgledu na powyższe punkty)
ł
jest minimum globalnym obciecia f do tej
ł
składowej dziedziny Df , do której należy
-2, tzn. do (-3, +").
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje klasy Cn
Definicja
Niech n " N, niech X �" R bedzie przedziałem, i
ł
niech f : X R.
Funkcja f nazywa sie funkcjał klasy Cn (co
ł
zapisuje sie: f " Cn(X , R)), jeśli jest n-krotnie
ł
(n)
różniczkowalna, a jej n-ta pochodna f jest
funkcjał ciagła.
ł ł
Funkcja f nazywa sie funkcjał klasy C" (co
ł
"
zapisuje sie: f " C (X , R)), jeśli ma pochodne
ł
wszystkich rzedów.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Funkcje klasy Cn  c.d.
n 2 (n-1)
Jeśli f jest klasy C , to pochodne f , . . . , f
również sał funkcjami ciagłymi, ze wzgledu na
ł ł
ciagłość funkcji różniczkowalnej.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wzór Taylora
Niech X �" R bedzie przedziałem, x0 " X , i niech
ł
f : X R bedzie funkcjał n-krotnie różniczkowalna.
ł ł
Niech rn+1 : X R bedzie funkcjał określonał
ł
wzorem
rn+1(x) = f (x)
�ł
2 2 2
f (x0) f (x0)
�ł
- f (x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + � � �
1! 2!
�ł
(n)
f (x0)
łł
� � � + (x - x0)n .
n!
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wzór Taylora  c.d.
Wówczas dla dowolnego x " X zachodzi
nastepujaca równość, zwana wzorem Taylora:
ł ł
f (x) =
2 2 2
f (x0) f (x0)
= f (x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + � � �
1! 2!
(n)
f (x0)
� � � + (x - x0)n + rn+1(x).
n!
Odwzorowanie rn+1 nazywa sie (n + 1)-szał reształ
ł
we wzorze Taylora.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Postać Lagrange a reszty we wzorze
Taylora
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, niech x0 należy do
ł
wnetrza X , i niech f : X R bedzie funkcjał klasy
ł ł
Cn, różniczkowalnał (n + 1)-krotnie we wnetrzu
ł
zbioru X \ {x0}. Wówczas dla dowolnego x " X
istnieje � " (0, 1), takie że
(n+1)
f (x0 + �(x - x0))
rn+1(x) = (x - x0)n+1.
(n + 1)!
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Postać Lagrange a reszty we wzorze
Taylora  c.d.
Twierdzenie
Innymi słowy, dla dowolnego x " X istnieje punkt
c " X pośredni miedzy x0 i x, taki że
ł
(n+1)
f (c)
rn+1(x) = (x - x0)n+1.
(n + 1)!
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg Taylora
"
Jeśli f jest klasy C , to szereg określony dla
dowolnego x " X wzorem
(n)
"

f (x0)
f (x0) + (x - x0)n
n!
n=1
nazywa sie szeregiem Taylora funkcji f .
ł
Szereg ten może, ale nie musi, być zbieżny, przy
czym zbieżność może zachodzić tylko dla niektórych
punktów zbioru X , a sumał tego szeregu może, ale
nie musi, być f (x).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg Taylora  c.d.
Szereg Taylora jest zbieżny w punkcie x do
f (x) �! lim rn+1(x) = 0.
n"
W przypadku x0 = 0 wzór Taylora oraz szereg
Taylora noszał nazwy, odpowiednio, wzór
Maclaurina oraz szereg Maclaurina.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Szereg Taylora  przykłady
Dla dowolnego x " R zachodzał równości:
"

xn
ex = ,
n!
n=0
"

x2n+1
sin x = (-1)n ,
(2n + 1)!
n=0
"

x2n
cos x = (-1)n .
(2n)!
n=0
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna)
funkcji
Definicja
Niech X �" R bedzie przedziałem, f : X R. Jeśli
ł
istnieje funkcjał różniczkowalna F : X R, taka że
2 2
F = f (tzn. "x"X : F (x) = f (x)), to nazywa sie jał
ł
całkał nieoznaczonał (lub funkcjał pierwotna) funkcji
ł
f i oznacza symbolem

f (x)dx.
Funkcja f nazywa sie wówczas funkcjał całkowalna.
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zwiazek miedzy funkcjami pierwotnymi
ł ł
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, a f : X R 
ł
danał funkcja.
ł
Jeśli F : X R jest pierwotnał funkcji f , to dla
dowolnej stałej C " R funkcja F + C również
jest pierwotnał funkcji f .
Jeśli F1, F2 : X R sał pierwotnymi funkcji f ,
to istnieje stała C " R, taka że F2 = F1 + C.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Istnienie pierwotnej funkcji ciagłej
ł
Twierdzenie
Każda funkcja ciagła ma funkcje pierwotnał (jest
ł ł
całkowalna).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Liniowość całki nieoznaczonej
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, f , g : X R 
ł
funkcjami całkowalnymi, a  " R\ {0}. Wówczas

(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx,

(f (x) - g(x))dx = f (x)dx - g(x)dx,

(f (x))dx =  f (x)dx,

(0f (x))dx = 0dx = C, gdzie C jest
dowolnał stałał rzeczywista.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całkowanie przez podstawienie
Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie)
Niech X , Y �" R bedał przedziałami. Niech funkcja
ł
f : X Y bedzie różniczkowalna, a funkcja
ł
g : Y R  całkowalna. Wówczas

2
g(f (x))f (x)dx = F ć% f + C,
gdzie F jest dowolnał pierwotnał funkcji g, a C " R.
Zatem po podstawieniu y = f (x) zachodzi równość

dy
2
g(f (x))f (x)dx = f (y) dx = g(y)dy.
dx
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całkowanie przez cześci
ł
Twierdzenie (O całkowaniu przez cześci)
ł
Niech X �" R bedzie przedziałem, a f , g : X R 
ł
funkcjami różniczkowalnymi. Jeśli jedna z funkcji
2
f g, fg2 jest całkowalna, to druga z nich też jest
całkowalna i zachodzi równość

2
f (x)g2 (x)dx = fg - f (x)g(x)dx.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wybrane całki nieoznaczone
Twierdzenie
Nastepujace równości zachodzał dla dowolnej stałej
ł ł
C " R.

0dx = C, 1dx = x + C,

1
"p"R,p =-1 : xpdx = xp+1 + C ,
p + 1

1
dx = ln |x| + C ,
x

1
"a"R : dx = ln |x + a| + C ,
x + a
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wybrane całki nieoznaczone  c.d.
Twierdzenie (c.d.)

exdx = ex + C,

ax
"a>0,a =1 : axdx = + C,
ln a

sin xdx = - cos x + C,

cos xdx = sin x + C,

1
dx = tg x + C,
cos2 x

1
dx = - ctg x + C,
sin2 x
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wybrane całki nieoznaczone  c.d.
Twierdzenie (c.d.)

1
"
dx = arc sin x + C ,
1 - x2

1
dx = arc tg x + C .
1 + x2
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcje wymiernał można scałkować rozkładajac jał
ł ł
najpierw na ułamki proste.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całka oznaczona funcji ciagłej
ł
Definicja
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b " X , i niech
ł
f : X R bedzie funkcjał ciagła. Wówczas całkał
ł ł ł
oznaczonał funkcji f w granicach od a do b nazywa
sie liczbe
ł ł

b
f (x)dx := F (b) - F (a) a" F (x)|b,
a
a
gdzie F jest dowolnał funkcjał pierwotnał funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całka oznaczona funkcji ciagłej  c.d.
ł
Fakt
Zachodzał równości

a
f (x)dx = 0,
a

b a
f (x)dx = - f (x)dx.
a b
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całka oznaczona funkcji ciagłej  c.d.
ł
Fakt
Jeśli X �" R jest przedziałem, a " X , f : X R 
funkcjał ciagła, to funkcja F : X R, określona
ł ł
wzorem

x
"x"X : F (x) = f (s)ds,
a
jest funkcjał pierwotnał funkcji f .
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całka oznaczona funkcji ciagłej  c.d.
ł
Fakt
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b, c " X , i
ł
niech f : X R bedzie funkcjał ciagła. Wówczas
ł ł ł

b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Liniowość całki oznaczonej
Fakt
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b " X ,  " R i
ł
niech f , g : X R bedał funkcjami ciagłymi.
ł ł
Wówczas

b b b
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx,
a a a

b b b
(f (x) - g(x))dx = f (x)dx - g(x)dx,
a a a

b b
f (x)dx =  f (x)dx.
a a
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całkowanie przez cześci
ł
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b " X , i niech
ł
1
f , g : X R bedał funkcjami klasy C . Wówczas
ł

b b
2
f (x)g2 (x)dx = f (x)g(x)|b - f (x)g(x)dx.
a
a a
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Całkowanie przez podstawienie
Twierdzenie
Niech X , Y �" R bedał przedziałami, a, b " X , niech
ł
f : X Y bedzie funkcjał klasy C1, a g : Y R 
ł
funkcjał ciagła. Wówczas
ł ł

b f (b)
2
g(f (x))f (x)dx = g(y)dy.
a f (a)
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Zachowywanie nierówności przez całke
ł
oznaczonał
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b " X , a < b, i
ł
niech f , g : X R bedał funkcjami ciagłymi. Jeśli
ł ł
"x"X : f (x) g(x), to

b b
f (x)dx g(x)dx.
a a
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Oszacowanie całki oznaczonej
Twierdzenie
Niech X �" R bedzie przedziałem, a, b " X , a < b, i
ł
niech f : X R bedzie funkcjał ciagła. Wówczas
ł ł ł



b b


f (x)dx |f (x)| dx.

a a
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz
Definicja
Niech X bedzie pewnym zbiorem, a m, n " N.
ł
Macierzał wymiaru m � n elementów zbioru X
nazywa sie dowolne odwzorowanie
ł
A: {1, . . . , m} � {1, . . . , n} X .
Jeśli m = n, to A nazywa sie macierzał
ł
kwadratował stopnia m.
Jeśli X = R, to macierz A nazywa sie macierzał
ł
rzeczywista.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz  c.d.
Po wprowadzeniu oznaczenia A(i, j) = ai,j dla
dowolnych i " {1, . . . , m}, j " {1, . . . , n}, macierz
A można zapisać w postaci
�ł łł
a1,1 � � � a1,n
�ł śł
�ł . . śł
.
. . .
�ł śł
A = . a" [ai,j]m�n.
. .
�ł �ł
am,1 � � � am,n
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz  c.d.
Dla ustalonego i " {1, . . . , m} układ
(ai,1, . . . , ai,n) nazywa sie i-tym wierszem
ł
macierzy A.
Dla ustalonego j " {1, . . . , n} układ
(a1,j, . . . , am,j) nazywa sie j-tał kolumnał
ł
macierzy A.
Jeśli m = n, to układ liczb (a1,1, . . . , am,m)
nazywa sie głównał przekatnał macierzy A.
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz jednostkowa (identycznościowa)
Definicja
Macierzał jednostkował lub identycznościował nazywa
sie macierz, której elementy na głównej przekatnej
ł ł
sał równe 1, a pozostałe sał równe 0.
Macierz jednostkował stopnia m oznacza sie przez
ł
Idm lub krócej przez Id.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz transponowana do danej
Definicja
Macierzał transponowanał do macierzy A = [ai,j]m�n
nazywa sie macierz AT := [ćj,i]n�m, gdzie ćj,i = ai,j.
ł
i-ta kolumna macierzy AT jest równa i-temu
wierszowi macierzy A, zaś j-ty wiersz macierzy AT
jest równy j-tej kolumnie macierzy A.
Definicja
Jeśli AT = A, to macierz A nazywa sie macierzał
ł
symetryczna.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
W dalszym ciagu rozważane bedał macierze
ł ł
rzeczywiste (podane definicje i twierdzenia majał
również zastosowanie do macierzy zespolonych).
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Działania na macierzach
Dodawanie macierzy, mnożenie macierzy i mnożenie
macierzy przez liczbe  " R określa sie nastepujaco:
ł ł ł ł
[ai,j]m�n + [bi,j]m�n = [ai,j + bi,j]m�n
(macierze tego samego wymiaru);
 � [ai,j]m�n = [ai,j]m�n;
[ci,j]m�n � [dj,l]n�k = [ei,l]m�k, gdzie
n

ei,l = ci,jdj,l.
j=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Macierz odwrotna do danej
Definicja
Macierz kwadratował A nazywa sie macierzał
ł
odwracalnał (nieosobliwa), jeśli istnieje macierz A-1
ł
tego samego stopnia co A, zwana macierzał
odwrotnał do A, spełniajaca warunek
ł
A � A-1 = A-1 � A = Id.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Dodawanie elementów Rn (zwanych wektorami) i
mnożenie ich przez liczbe  " R określa sie
ł ł
nastepujaco:
ł ł
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) =
(x1 + y1, . . . , xn + yn),
(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn).
Wektor (x1, . . . , xn) " Rn można utożsamiać z
�ł łł
x1
�ł śł
.
�ł śł
macierzał jednokolumnował �ł . śł.
.
�ł �ł
xn
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Kombinacja liniowa macierzy lub wektorów
Definicja
Kombinacjał liniował macierzy lub wektorów
X1, . . . , Xk (tego samego wymiaru) o
współczynnikach 1, . . . , k " R nazywa sie macierz
ł
lub wektor
1X1 + � � � + kXk.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Liniowa niezależność macierzy i wektorów
Definicja
Macierze lub wektory X1, . . . , Xk nazywa sie liniowo
ł
niezależnymi, jeśli spełniony jest warunek:
" ,...,k"R :
1
1X1 + � � � + kXk = 0 �! 1 = . . . = k = 0.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Permutacje
Definicja
Permutacjał zbioru {1, . . . , n} nazywa sie
ł
dowolnał bijekcje Ą : {1, . . . , n} {1, . . . , n}.
ł
Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n}
oznacza sie symbolem Sn.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Permutacje  c.d.
Definicja
Dla dowolnych i, j " {1, . . . , n}, i = j,

transpozycjał elementów i, j w zbiorze
{1, . . . , n} nazywa sie permutacje Ti,j zbioru
ł ł
{1, . . . , n} określonał wzorami:
Ti,j(i) = j, Ti,j(j) = i,
"k"{1,...,n}\{i,j} : Ti,j(k) = k.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Permutacje  c.d.
Dowolna permutacja Ą zbioru {1, . . . , n} jest
złożeniem pewnej skończonej liczby d transpozycji
tego zbioru. Liczbe
ł
sgn(Ą) := (-1)d
nazywa sie wówczas znakiem permutacji Ą.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wyznacznik macierzy
Definicja
Wyznacznikiem macierzy (kwadratowej)
A = [ai,j]n�n nazywa sie liczbe
ł ł

det A = sgn(Ą)aĄ(1),1 � . . . � aĄ(n),n
Ą"Sn

= sgn(Ą)a1,Ą(1) � . . . � an,Ą(n).
Ą"Sn
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wyznacznik macierzy  c.d
det[a1,1] = a1,1.
�ł łł
a1,1 a1,2
�ł �ł
det
a2,1 a2,2 = a1,1a2,2 - a2,1a1,2.
�ł łł
a1,1 a1,2 a1,3
�ł śł
�ł
det a2,1 a2,2 a2,3 śł =
�ł �ł
a3,1 a3,2 a3,3
= a1,1a2,2a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a2,1a3,2a1,3
- a3,1a2,2a1,3 - a1,2a2,1a3,3 - a2,3a3,2a1,1.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wyznacznik macierzy  c.d
Transpozycja (zamiana miejscami) dwóch
kolumn lub wierszy macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
Dodanie do jednej z kolumn (lub jednego z
wierszy) macierzy kombinacji liniowej innych
kolumn (odpowiednio, wierszy) nie zmienia
wyznacznika tej macierzy.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Minor i dopełnienie algebraiczne
Definicja
Niech bedzie dana macierz kwadratowa
ł
A = [ai,j]n�n.
Wyznacznik macierzy stopnia k < n powstałej
z macierzy A przez skreślenie n - k kolumn
oraz n - k wierszy nazywa sie minorem lub
ł
podwyznacznikiem stopnia k macierzy A, zaś
minorem stopnia n macierzy A nazywa sie sam
ł
wyznacznik det A.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Minor i dopełnienie algebraiczne  c.d.
Definicja
Wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A
przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny
nazywa sie minorem lub podwzyznacznikiem
ł
elementu ai,j i oznacza symbolem Mi,j.
Dopełnieniem algebraicznym elementu ai,j
macierzy A nazywa sie liczbe
ł ł
Ai,j := (-1)i+jMi,j.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rozwiniecie Laplace a
ł
Twierdzenie
Zachodzi nastepujaca równość, zwana
ł ł
rozwinieciem Laplace a wyznacznika A
ł
wzgledem i-tego wiersza:
ł
n

det A = ai,jAi,j.
j=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rozwiniecie Laplace a  c.d.
ł
Twierdzenie (c.d.)
Zachodzi nastepujaca równość, zwana
ł ł
rozwinieciem Laplace a wyznacznika A
ł
wzgledem j-tej kolumny:
ł
n

det A = ai,jAi,j.
i=1
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wzór na macierz odwrotnał
Twierdzenie
Macierz A = [ai,j]n�n jest odwracalna (nieosobliwa)
�! det A = 0. Jeśli ten warunek jest spełniony, to

1
A-1 = ([Ai,j]n�n)T .
det A
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rzad macierzy
ł
Definicja
Rzedem macierzy A nazywa sie maksymalnał liczbe
ł ł ł
liniowo niezależnych kolumn macierzy A (równał
maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy
macierzy A).
Twierdzenie
Rzad macierzy A wynosi k, jeśli
ł
Istnieje niezerowy minor stopnia k macierzy A;
Wszystkie minory stopnia wiekszego niż k
ł
macierzy A (o ile istnieja) sał zerowe.
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych  omówienie łacznie z
ł
przykładami.
(Ciag dalszy nastapi.)
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Rachunek wektorowy
Rachunek wektorowy  omówienie łacznie z
ł
przykładami.
(Ciag dalszy nastapi.)
ł ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Bibliografia I
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza
matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, różne
wydania.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza
matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław, różne wydania.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Bibliografia II
Matematyka. Podstawy z elementami
matematyki wyższej, pod red. B. Wikieł,
Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk,
2007.
M. Bryński, N. Dróbka, K. Szymański,
Matematyka dla zerowego roku studiów
wyższych. Elementy analizy matematycznej,
Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa
2007.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Bibliografia III
J. Banaś, S. Wedrychowicz, Zbiór zadań z
ł
analizy matematycznej, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa, różne wydania.
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra i geometria
analityczna, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław,
różne wydania.
S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i
wielowymiarowa geometria analityczna w
zadaniach, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa, różne wydania.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Bibliografia IV
W. Kołodziej, Analiza matematyczna,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, różne
wydania.
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów
Cześć I: podstawy, funkcje, ciagi, pochodne
ł ł
Cześć II: Rachunek całkowy
ł
Cześć III: algebra liniowa
ł
Wiktor Radzki Matematyka I  wykład I semestr studiów