Rozdział I Zagadnienia wstępne "
1 1 1
1+ + + ... = = +"
"
1. Rachunek zdań.
2 3 k
k=1
"
Będziemy posługiwać się językiem, składającym się ze zdań, 1
Ciekawostka < " ą > 1
interesuje nas budowa logiczna zdania. Zdaniom "
ką
k=1
przyporządkowujemy wartości logiczne: prawdę lub fałsz.
Funkcją zdaniową nazywamy wyrażenie, które zawiera zmienną
przyjmującą wartości z pewnego zakresu, przy czym
Funkcję zdaniową, która po podstawieniu w miejsce zmiennych
podstawienie konkretnej wartości zmiennej prowadzi zawsze do
zdań o dowolnej wartości logicznej jest zawsze zdaniem
zdania prawdziwego lub zdania fałszywego.
prawdziwym nazywamy tautologią.
Np. wyrażenie f(p) da p Ź X jest funkcją zdaniową jednej
Przykłady tautologii:
zmiennej. Funkcja zdaniowa może zależeć o wielu zmiennych
Prawo transpozycji
np. f(p1), ... f(pn) gdzie p1 X1, ... pn Xn jest funkcją zdaniową n
(q =>p ) (p=>q)
zmiennych. Jeżeli zmienna funkcji zdaniowej przyjmuje
Prawo sylogizmu
wartości, które są zdaniami, to nazywamy ją zmienną zdaniową.
[(p=>q) �(q=>r)]=>(p=>r)
Jeżeli p,q,r są zdaniami to przy pomocy tak zwanych funktorów
Prawa de Morgana
zdaniotwórczych:
(p�q) (p Vq )
koniunkcji � ( oraz )
(pVq) (p �q )
implikacji => ( implikuje )
4. Zaprzeczenie implikacji
alternatywie V ( lub )
(p=>q) (p�q )
równoważności
5. Równoważność
można tworzyć zdania złożone. Jeżeli p,q,r... są zmiennymi
(p q) [(p=>q) �(q=>p)
zdaniowymi to przy pomocy funktorów zdaniotwórczych można
Sprawdzenie czy dana funkcja zdaniowa jest tautologią
utworzyć następujące funkcje zdaniowe.
dokonujemy stosują tak zwana metodę prób zerojedynkowych.
Koniunkcje p�g
Polega ona na tym, że badamy wszystkie możliwe przypadki
Implikacje p => q
wartości logicznych zdań podstawianych w miejsce zmiennych.
Alternatywę p("q
Ćwiczenie: Sprawdzić czy funkcja zdaniowa pV(q�r) ((pVq)
Równoważność p q
�(pVr)) jest tautologią.
Przykłady:
2. Kwantyfikatory.
1. Niech
Niech p(x) będzie funkcją zdaniową zmiennej X z zakresem
p = prosta l leży na płaszczyz
nie a
zmienności X. Kwantyfikatorem szczegółowym nazywamy
q = punkt p leży na płaszczyz
nie l
słowo  istnieje . Natomiast kwantyfikatorem ogólnym
r = punkt p leży na płaszczyz
nie a
nazywamy słowa  dla każdego . W dalszym ciągu
Zdanie (p�g)=>r jest zdaniem złożonym. Jest to zdanie
kwantyfikator szczegółowy będziemy oznaczać ", natomiast
prawdziwe.
kwantyfikator ogólny oznaczać symbolem ". Kwantyfikator
2. Niech
szczegółowy oznaczamy też symbolem V a kwantyfikator
p  liczba całkowita x podzielna przez 3
ogólny symbolem �. Wyrażenia
q  liczba całkowita x jest parzysta
r  liczba całkowita x jest podzielna przez 5 p(x) lub p(x) są zdaniami.
" "
Funkcja zdania (p�g)=>r dla x�C zbiór liczb całkowitych jest x� X x� X
zdaniem prawdziwym np. dla x liczby całkowitej x=30. Dla
Przykłady:
pewnych x�C funkcja ta jest zdaniem fałszywym, np. dla x=6
2
Zdanie + x +1 = 0 zdanie jest fałszywe.
Wartość logiczna  prawda będziemy oznaczać cyfrą  1
"x
x� R
Wartość logiczną fałsz będziemy oznaczać cyfrą  0 . Wartości
logiczne funkcji zdaniowych :
Zdanie (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 jest zdaniem
A. koniunkcja p�q " "
x� R y� R
P/q 1 0
prawdziwym.
1 1 0
Jeżeli funkcja zdaniowa zależy od większej ilości zmiennych, to
0 0 0
zdanie budowane z niej przy pomocy kwantyfikatorów zawiera
B. implikacja p=>q
tyle kwantyfikatorów ile jest zmiennych (przykład: załóżmy, że
P/q 1 0
zakres zmienności X składa się ze skończonej ilości elementów
1 1 0
x1, x2, xn. Wtedy dla funkcji zdaniowej p(x) otrzymujemy
0 1 1
C. alternatywa pVq p(x) �! p(x1) (" p(x2)...(" p(xn) oraz
[ ]
"
P/g 1 0 x� X
1 1 1
p(x) �! p(x1) '" p(x2)... '" p(xn)
[ ]
"
0 1 0
x� X
Stąd :
D. równoważność p q
|
P/g 1 0
�ł łł |
1 1 0
[ ]
"
�łx� X p(x)śł �! p(x1) (" p(x 2)...(" p(xn ) �!
0 0 1 �ł �ł
Powyższe funktory zdaniotwórcze nazywamy funktorami
�ł łł
�! p(x1)| '" p(x2 )|... '" p(xn )| �ł �! ( p(x))|
dwuczłonowymi. Funktory jednoczłonowe to: potwierdzenie i
�ł "
x� X
negacja.
Potwierdzenie zdania p to zdanie p. Wartości logiczne negacji Podobnie otrzymujemy :
zdania p to znaczy zdania p .
|
�ł łł |
P p
[ ]
"
�łx� X p(x)śł �! p(x1) '" p(x2)... '" p(xn) �!
1 0
�ł �ł
0 1
�ł łł
�! p(x1)| (" p(x2 )|...(" p(xn )| �ł �! ( p(x))|
�ł "
Mówimy, że zdanie p jest warunkiem koniecznym dla zdania q,
x� X
jeżeli q=>p. Zdanie p jest warunkiem dostatecznym dla zdania
można udowodnić, że dla dowolnego zakresu zmienność X
q, jeżeli p=>q.
zachodzą prawa de Morgana.
Mówimy, że p jest warunkiem dostatecznym i koniecznym dla
|
q, gdy prawdziwe jest zdanie (q=>p)�(p=>q) lub, równoważne
�ł łł
p q.
" "
�łx� X p(x)śł �! ( p(x))| ;
�ł �ł x� X
Przykłady : |
�ł łł
1. Niech
" "
p = dwie proste w przestrzeni nie przecinają się �łx� X p(x)śł �! ( p(x))|
�ł �ł x� X
q = dwie proste w przestrzeni równoległe
Widać, że jeżeli q=>p oraz p=>q. Zatem nie przecinanie się
Zdanie, w którym kilka kwantyfikatorów poprzedza funkcję
prostych w przestrzeni jest warunkiem koniecznym, ale nie
zdaniową negujemy zamieniając kwantyfikatory szczegółowe na
dostatecznym równoległości prostych w przestrzeni, gdyż tzw.
ogólne, a ogólne na szczegółowe i negując funkcję zdaniowa.
Proste wichrowe nie są równoległe i nie przecinają się.
|
2. Niech
�ł łł
p = suma nieskończona liczb rzeczywistych (a1, a2, itd.)
p(x, y, z)śł �!
�ł
" " "
"
x y z
�ł �ł
p a" a1 + a2 + ... = jest liczbą rzeczywistą Np.
"ak
k=1
�ł łł
�! ( p(x, y, z))| śł
�ł
" " "
q a" lim an = 0
x y z
�ł �ł
n"
Wtedy można udowodnić, że
p=>q jest prawdziwe
(Warunek konieczny zbieżność szeregów)
oraz q=>p jest fałszywe gdyż np.:
1
Kolejność kwantyfikatorów można zmieniać w następujących prawa de Morgana
A\(B*"C)=(A\B) )"(A\C)
przypadkach: p(x, y) �! p(x, y)
" " " "
A\(B)"C)=(A\B) *"(A\C)
x y y x
przemienności
A*"B=B*"A A)"B=B)"A
p(x, y) �! p(x, y)
" " " "
łączności
y x y x
A*"(B*"C)=(A*"B) *"C
Równoważność przy zmianie kolejności kwantyfikatora
A)"(B)"C)=(A)"B) )"C
ogólnego i szczegółowego nie jest prawdziwa. Jest jednak
rozdzielności
słuszna implikacja:
A)"(B*"C)=(A)"B) *"(A)"C)
p(x, y) �! p(x, y) . Dana funkcja
A*"(B)"C)=(A*"B) )" (A*"C)
" " " "
y x x y
Dla liczb rzeczywistych a,b,c należących do R zachodzi
równość:
zdaniowa p(x) gdzie x�X. Budując z p(x) zdanie, w pewnych
a*(b+c)=a*b+a*c
przypadkach, zawężamy zakres zmienności zmiennej zdaniowej
a+b*c=(a+b)*(a+c)
x. Biorąc pod uwagę wartości x, dla których jest prawdziwe
Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbioru danego
zdanie q(x). Wtedy
zbioru X to przy a�X piszemy A| = X \ A
�ł
p(x) �! q(x) �! p(x) ;
( )łł
" �łx� śł
" Wtedy zbiór A nazywamy dopełnieniem zbioru A.
q(x) �ł X �ł
Prawa de Morgana dla dopełnień mają postać.
|
�ł
A *" B = A| )" B| ;
( )
p(x) �! p(x) '" q(x)
( )łł
" �łx� śł
"
q(x) �ł X �ł
(A )" B)| = A| *" B|
Iloczynem kartezjańskim lub produktem kartezjańskim zbiorów
Kwantyfikatory ; są ograniczonym zakresie.
" "
A,B nazywamy zbiór, który będziemy oznaczać przez AxB par
g ( x) g ( x)
uporządkowanych A,B takich, że a�A, b�B tzn. AxB={(a,b):
Przykłady:
a�A, b�B}
Zadanie: Ciąg liczb rzeczywistych (an) jest zbieżny do granicy
Np. Jeżeli A=B=(-";") to AxB jest zbiorem punktów
g�R, zapisujemy następująco: dla dowolnie małej liczby
płaszczyzny. Można rozważać iloczyn kartezjański w
dodatniej �>0 istnieje liczba dodatnia N, taka, że dla każdej
skończonej ilości zbiorów A1, Ax, An przyjmując
liczby naturalnej n>N zachodzi nierówność |an-q|<�
AaxA2x.........xAn={a1, a2, & .an �An; a1�A1; & an�An}
ż 4. Relacje i funkcje
Relacje
�ł łł Relacją R między elementami zbioru A,B nazywamy podzbiór
lim an = g �! " " " an - g < � �!
( )
n" �ł� >0 N >0 n>N �ł iloczynu kartezjańskiego AxB.
Mówimy, że x�A, oraz y�B pozostają względem siebie w relacji
�! �łn > N �! an - g < � łł
R, co zapisujemy xRy jeżeli para x,y należy do podzbioru R,
" " " �ł �ł
� >0 N >0 n"N
tzn.: R={(x,y) � AxB: xRy}
Ciąg (an) o wyrazach rzeczywistych gdy jego wyrazy stale rosną
Relacja nierówności xRy xe"y w zbiorze a" iloczynie
(maleją) nazywamy monotonicznym. Zdanie ciag (an) jest
kartezjańskim (-";")x(-";")
monotoniczny zapisujemy następująco:
Relacje xRy x2+y2d"a2 a>0 to zbiór punktów koła wraz z
okręgiem x2+y2=a2, o środku (0,0) i promieniu a
�ł �ł �ł �ł
an < an+1 (" an > an+1 .
Relację xRy nazywamy porządkującą jeżeli zachodzą
�ł " �ł �ł " �ł
�ł n� N łł �ł x� N łł
następujące 4 warunki :
xRx zwrotnosc
"
x
3. Algebra zbiorów
Jako pojęcia pierwotne przyjmujemy zbiór, element zbioru,
(xRy, yRz) => xRz przechodnosc
"
przynależność elementu do zbioru. Zdanie x� należy do zbioru x,y,z
A oznaczamy symbolem x�A
(xRy, yRx) => (x = y) slaba asymetrycznosc
| "
Ponadto x nie należy do zbioru A. x,y
(x " A) �! (x " A)
Określamy:
xRy (" yRx spojnosc
"
Zawieranie, (inkluzja) zbioru A,B:
x,y
A �" B �! " �ł x " A '" x " B łł jeżeli A�"B, to A
( ) ( ) ( )�ł
�ł
x
Relacja d" w zbiorze (-";")X(-";") jest relacją porządkującą w
jest podzbiorem B.
zbiorze liczb rzeczywistych. Relację porządkującą w zbiorze
Zbiory identyczne A,B
liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem
Zbiór, w którym określona jest relacją porządkująca nazywamy
A = B �! �ł A �" B '" B �" A łł ;
( ) ( ) ( )�ł
�ł
zbiorem uporządkowanym. To znaczy np. zbiór R z relacją e"
jest uporządkowany. Relację R: zwrotną, przechodnią oraz słabo
A � B �! �ł A �" B '" A `" B łł
( ) ( ) ( )�ł
symetryczną nazywamy częściowo porządkującą, oznaczamy ją
�ł
również symbolem
Zbiór A, jest zawarty z sposób właściwy w B lub jest
Przykład: Oznaczmy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru
podzbiorem właściwym B. Zbiór pusty " nazywamy zbiór,
niepustego X zbiorem tym określamy relację. Jeżeli (A�X i
który nie zawiera żadnego elementu. Ponieważ x�" => x�A,
B�X) => (A B A�"B). Ponieważ:
gdzie A jest osobnym zbiorem. Więc " jest podzbiorem
A�"A
dowolnego zbioru. Zbiór pusty oraz A nazywamy podzbiorami
jeżeli A�"B '" B�"C => A�"C
niewłaściwymi zbioru A. Oznaczamy przez W(x) własności
A�"B '" B�"A => A=B
elementu x�X; zbiór elementów posiadających własności W(x)
Jest to relacja częściowo porządkująca. Dla zbioru A,B�"X
oznaczamy symbolem x� X :W (x) Np.:
{ }
rozłącznych to znaczy takich, że A)"B=" nie zachodzi spójność
:
1. Zbiór
Funkcje
x2 y2
Relację f między elementami zbiorów X,Y nazywamy funkcją
x, y � R
{( ) } - punkty plaszczyzny + d" 1
określoną na zbiorze X i wartościach ze zbioru Y jeżeli:
a2 b2
�ł �ł
xfy '"
�ł �ł
" "
2. Zbiór x� R : x d" 0 liczb rzeczywistych niedodatnich.
{ }
x� X y�Y
�ł łł
Wtedy funkcję
Działania na zbiorach .
�ł �ł
Suma zbioru A,B
^ xfy '" xfz �! y = z
( )
�ł �ł
" " "
x� X y�Y z�Y
A *" B = x : x� A (" x� B �ł łł
{ ( ) ( )}
f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y co zapisujemy następująco
Iloczyn zbirów A,B
f:X->Y lub y=f(x) dla x�X. Zbiór X nazywamy wówczas
A )" B = x : x� A '" x� B dziedziną funkcji f, a zbiór Y0={y�Y: y=f(x) dla x�X}
{ ( ) ( )}
nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli Y0=Y to wtedy f
Jeżeli A)"B=", to znaczy zbiory A i B są rozłączne.
jest suriekcją X na Y. Relację f nazywamy funkcją
Różnica zbiorów:
odwzorowującą zbiór X w zbiór Y lub funkcją wzajemnie
jednoznaczną albo iniekcją. Jeżeli
A \ B = x : x " A '" x " B
{ }
�ł �ł �ł �ł
Różnica symetryczna A\B
xfy '" xfy '" xfz => y = z
�ł �ł �ł �ł
" " " " "
x� X y�Y x� X y�Y z�Y
A - B = x : �ł x " A '" x " B łł (" �ł x " A '" x " B łł �ł łł �ł łł
( ) ( )�ł �ł( ) ( )�ł
& { }
�ł
xfy '" zfy �! x = z
( )
" ""
x� X y�Y z� X
A-B=(A*"B)\(A)"B)
Zachodzą następujące prawa algebry zbiorów:
2
 odwzorowującą przedział x�"R w zbiór Y�"R nazywamy wklęsłą
Przykłady:
�ł f q1x1 + q2x2 e" �ł
( )
Funkcja y=sinx, y=cosx dla x�(-";") nie są wzajemnie
jeżeli :
�ł
" "
jednoznaczne. �łe" + �ł .
�ł
x1 x2 � X q1 q2e"0 q1 f (x`1) q2 f (x`2)łł
�ł
Funkcje (x,y)=(rcos�, rsin�, 0d"�d"2Ą, 0d"rd"1 odwzorowuje
q1+q2= f
punkty prostokąta. X=<0, 2Ą>X<0,1> na zbiór punktów koła
4.2 Funkcje elementarne
Y={(rcos�, rsin�) : y�<0, 2Ą>, r�<0,1>}
Przyjmujemy następujące oznaczenia: R=(-",")  zbiór liczb
x2+y2=r2cos2�+ r2sin2�=r2(cos2�+sin2�)=r2
rzeczywistych.
Określona w ten sposób funkcja nie jest wzajemnie
(a,b)={zbiór tych x�R ajednoznaczna gdyż środek koła Y oznacza punkt (0,0)
={x�R ad"xd"b} przedział domknięty.
odpowiada bokowi prostokąta X określonej następująco: Y r=0,
Funkcja stała
��<0,2>.
Funkcję f określoną na zbiorze X�"R o wartościach ze R
3. Każda funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej
rosnąca lub malejąca jest funkcją wzajemnie jednoznaczną np.
nazywamy stałą gdy : f (x) = c� R
"
funkcja liniowa y=ax+b a`"0 jest funkcją wzajemnie x� X
jednoznaczną. Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiorze Y
Funkcja schodkowa.
Niech a=x0d"x1d"x2d"...d"xn-1
d"xn=b
jeżeli xfy , jeżeli nie zakładamy powyższego, f
" "
Jeżeli f jest funkcją stałą w każdym przedziale. [xi-1
,xi]
y�Y x� X
i=1,2,....,n to f nazywamy funkcją schodkową /Uwaga: Nawias [
odwzorowuje X w zbiór Y. Jeżeli funkcja fzX do Y jest
] oznacza, że punkty Xi-1
,Xi mogą należeć do przedziału lub
jednocześnie iniekcją oraz suriekcją, to mówimy, że f jest
leża poza nim.
bijekcją zbiorów X i Y. Funkcją odwzorowującą wzajemnie
Niech f(x)=Ci dla x�[ xi-1
,xi ] i=1,2,...,n
jednoznacznie X na Y tzn. bijekcją, wyznacza również x�X jako
Wielomian.
funkcję y�Y otrzymaną w ten sposób oznaczamy przez f-1
i
Funkcję f określoną równością f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+
nazywamy funkcją odwrotną do f. Zatem wtedy zachodzi
an gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną, a0,a1,..an�R a0`"0
nierówność yf-1
x xfy:
nazywamy wielomian stopnia n (wielomian algebraiczny). Jest
Przykłady:
to funkcja określona dla każdego x�R.
Funkcję odwrotną do funkcji y=x3 dla x�(-";") jest funkcja
Funkcja wymierna.
3 Funkcja f, która jest ilorazem dwóch wielomianów, nazywa się
x = y dla y�(-";")
funkcją wymierną, np.:
Funkcję odwrotną do funkcji liniowej y=ax+b, a`"0 jest funkcja
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an
1 f (x) = . Jeżeli funkcja
liczbowa x = (y - b) . Niech funkcja odwzorowuje X na
b0xm + b1xm-1 + ... + bm-1x + bm
a
jest określona w zbiorze R z pominięciem miejsc zerowych
Y oraz niech A�"X, B�"Y. Obrazem zbioru A nazywamy zbiór :
mianownika, przy założeniu, że licznik i mianownik nie
f(A)={y:y�Y '" y = f (x) } posiadają wspólnych pierwiastków. W szczególności funkcja
"
x� A
a0x + a1
Przeciwobrazem zbioru B nazywamy zbiór B nazywamy zbiór f-
f (x) = nazywa się funkcją homograficzną i jest
b0x + b1
(B)={x:x�X'" y = f (x) }
1
"
x� B
b1
określona na zbiorze X=R\{0, - }
Własności obrazów i przeciwobrazów:
b0
obraz sumy : f(A1*"A2) = f(A1)*"f(A2)
obraz przekroju : f(A1)"A2) �" f(A1) )" f(A2)
Funkcja potęgowa
f-1 Funkcję f określoną równością f(x)=xą
(B1*"B2) = f-1 gdzie ą - dowolna liczba
(B1)*" f-1
(B2)
f-1 rzeczywista, nazywamy funkcją potęgową.
(B1)"B2) = f-1
(B1) )" f-1
(B2)
Funkcje ograniczone, monotoniczne i wypukłe.
Jeżeli ą=n, n  liczb naturalna, to f (x) = xn = x �" x �" x dla
Funkcję f:x->R, gdzie R= x�(-";"), zbiór liczb rzeczywistych,
nazywamy ograniczoną gdy jej przeciwdziedzina f(x) jest
każdego x�X=R
zbiorem ograniczonym.
z def .
Jeżeli ą=0, to f (x) �ł�ł�ł dla x�R\{0}
1
f (x) d" M Analogicznie określone funkcje
" "
M >0 x� X 1
Jeżeli ą=-n, n  liczba naturalna to f (x) = dla x�R\{0}
ograniczone z góry lub z dołu np. Mówimy, że f:x->R jest
xn
ograniczona z dołu jeżeli: f (x) e" -M
" "
1
M >0 x� X
Jeżeli ą= n  liczba naturalna (pierwiastek n-tego stopnia)
Przykłady:
n
1. Funkcje
n
f (x) = x
ńł-1 dla x)#0
Dla x�X=R gdy n jest liczbą nieparzystą, oraz dla x�X=<0; "),
�ł
y = sgn x = 0 dla x = 0
gdy n jest liczbą parzystą.
�ł
�ł
m
1 dla x*#0
ół
Jeżeli a = ; m  liczba całkowita, n  liczba naturalna to
2. Funkcja n
m
1
n
y = dla x `" 0 jest ograniczona z góry dla x�(-";0) n
f (x) = x definiujemy f (x) = xm .
x
oraz ograniczona z dołu dla x�(0;")
Jest prawdziwe następujące: Twierdzenie 1.
Niech f:x->Y gdzie X,Y �"R. Mówimy, że :
�"
�"
�"
Jeżeli xe"0, ą jest liczbą rzeczywistą, (wn) (vn) są ciągami liczb
f jest rosnąca na , jeżeli
wn Vn
wymiernych zbieżnymi do ą, to ciągi potęg są
(X )(X )
x1 < x2 �! f (x1) < f (x2)
( )
"
zbieżne oraz granice tych ciągów
x1,x2� X
wn Vn
f jest malejąca na X jeżeli :
limX = limX e" 0
n" n"
x1 < x2 �! f (x1) > f (x2)
( )
"
Definicja potęgi o wykładniku rzeczywistym.
x1,x2� X
wn
f jest niemalejąca na X jeżeli : Jeżeli xe"0, ą- jest liczbą rzeczywistą, to xą = gdzie
limx
n"
x1 < x2 �! f (x1) d" f (x2)
( )
"
(Wn) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnych do ą. Przy x=0
x1,x2� X
zakładamy, że ą>0.
f jest nierosnąca na X jeżeli:
wn
Z twierdzenia 1 wynika, że granica :
limx
x1 < x2 �! f (x1) e" f (x2)
( )
"
n"
x1,x2� X
Istnieje
Funkcje typu 1-4 nazywamy monotonicznymi. Natomiast
Jest skończona i dodatnia, gdy X>0, oraz nie zależy od wyrazy
funkcje rosnące i malejące funkcjami ściśle monotonicznymi .
ciągu liczb wymiernych Wn zbieżnego do ą .
Funkcje f odwzorowującą przedział x�"R w zbiór Y�"R
nazywamy wypukłą jeżeli:
Dla x,x1,x2>0 oraz dla ą,� �R zachodzą równości:
�ł f q1x1 + q2x2 d" �ł
( ) ą ą
x1, x2 ą = x1 �" x2
( )
�ł
" "
�łd" + �ł . Funkcję
x1 x2 � X q1 q2e"0 q1 f (x`1) q2 f (x`2)�ł
�ł łł ą
q1+q2= f ą
�ł �ł
x1 x1
=
�ł �ł
x2 xą
�ł łł 2
xą �" x� = x(ą +� )
3
xą ą -�
= x
( )
x�
�
xą = xą�"�
( )
4