Np.: ciąg ((-1)n+1) ma zbiór wyrazów postaci:
1
ńł -1 1 -1
�ł
�ła , a2 , a3 , a4 ,.... żł
5. Definicja liczb rzeczywistych. Moc zbioru: zbiory
ół 1 �ł
przeliczalne i nieprzeliczalne.
oraz dwuelementowy zbiór wartości {1, -1}
Definicja liczb rzeczywistych.
5.1 Zasada abstrakcji.
Zakładamy, że jest znana arytmetyka liczb wymiernych.
Relacje R nazywamy relacją równoważności jeżeli:
Ciąg x = (wn) o wyrazach będących liczbami wymiernymi
"
nazywamy zbieżnym gdy dla każdej liczby wymiernej � > 0
a) xRx  zwrotność
x
istnieje wskaz
nik N > 0 taki, że dla wszystkich m, n > N
zachodzi nierówność:
"
b) xRy �! yRx  symetria
| wn  wm | < � ,
x, y
"
" " "
c) (xRy '" yRz) �! xRz  przechodność � > 0 | wn  wm | < �.
x, y, z N " N m, n > N
� "W
Relacje równoważności oznaczamy symbolem  ~
Niech X będzie zbiorem wszystkich zbieżnych ciągów liczb
Np. relacjami równoważności są :
wymiernych. Dla x, y " X gdzie x = (wn), y = (vn) określonych
Równość liczb rzeczywistych,
Równość zbiorów, "
" "
Równoległość prostych.
relację x ~ y �! � > 0 | wn  vn | < �.
N " N m, n > N
Zachodzi twierdzenie 1) zwane zasadą abstrakcji..
� "W
Jeżeli  ~ jest relację równoważności między elementami zbioru
Relacja ta jest relacją równoważności gdyż:
X `" " oraz jeżeli każdemu elementowi x"X przyporządkowuje
"
zbiór Ax = { y"X : x~y}, to:
" "
a) � > 0 | wn  wn | = |0| = 0 < �
"
N " N n > N
a) Ax `" �
� "W
x " X
czyli x ~ x,
b) każdy element zbioru X należy do pewnego zbioru Ax
"
"
" "
c) [(Ax1 = Ax2) (" (Ax1 )" Ax2) = �)]
b) � > 0 | wn  vn | = | -( wn  vn )| = |
x1, x2 " X
n " N n > N
� "W
Dowód
vn  wn | < � czyli x ~ y, to y ~ x
Ponieważ relacja równoważności ~ jest zwrotna więc x ~ x, a
c) dla x = (wn), y = (vn), z = (un) " X mamy x ~ y, y ~ z,
stąd wynika, że x " Ax.
x ~ z tzn.
Zatem zachodzi: a), b)
Dowodzimy c):
"
" "
�
Przypuśćmy, że c) nie zachodzi tzn. dla pewnych elementów x1,
� > 0 | wn  vn | <
N1 " N n > N1 2
x2 należących do X mamy (*) Ax1 `" Ax2 oraz Ax1 )" Ax2 `" �.
� "W
Czyli istnieje y należące do X takie, że y " Ax1 )" Ax2.
oraz
Wykażemy, że Ax1 = Ax2.
"
Niech a " Ax1 wtedy x1 ~ a �! a ~ x1, otrzymujemy [(x1 ~ y) '"
" "
�
(a ~ x1)] �! (a ~ y) ponad to x2 ~ y �! y ~ x2, jest prawdziwe [(a � > 0 | vn  un | <
N2 " N n > N2 2
~ y) '" (y ~ x2)] �! (a ~ x2) �! (a2 ~ a) czyli a " Ax2. Zatem Ax1
� "W
�" Ax2.
zatem
Analogicznie otrzymujemy Ax2 �" Ax1 stąd Ax1 = Ax2
"
sprzeczność(*) dowodzi c).
" "
� > 0 | wn  un | = |( wn 
Relacja równoważności ~ dzieli zbiór X `" � na pewną ilość
N = max (N1, N2) n > N
� "W
podzbiorów niepustych i parami rozłącznych. Podzbiory te
nazywamy klasami abstrakcji lub klasami równoważności.
vn ) + ( vn  un )| d" | wn  vn | +
Przykład.
� �
+| vn  un | < + = � czyli x ~ z
Niech X oznacza zbiory wszystkich prostych na płaszczyz
nie,
2 2
wtedy dla prostych p1, p2 "X relacja p1 ~ p2 �! p1 Q% p2 jest
Klasy abstrakcji, na które dzielimy relacja ~ zbiór X wszystkich
relacją równoważności.
zbieżnych ciągów liczb wymiernych nazywamy liczbami
Natomiast klasy abstrakcji są to wtedy podzbiory prostych
rzeczywistymi.
wzajemnie równoległych. Proste równoległe na płaszczyz
nie
Oznaczamy przez ą, �, ł ... liczby rzeczywiste. Wtedy sumę ą +
wyznaczają kierunki na płaszczyz
nie. Kierunkami na
� definiujemy następująco.
płaszczyz
nie nazywamy kasy abstrakcji prostych równoległych
na płaszczyz
nie ze względu na relację równoległości. " " "
ą + � = ł �! x + y = z
x "ą y " � z "ł
Ciągiem nazywamy funkcję f określoną na zbiorze liczb
przy czym równość x + y = z oznacza, że gdy x = (wn), y = (vn),
naturalnych N.
z = (un) to
Jeżeli F(n) = an dla n " N, to funkcję f oznaczamy symbolem
"
(an).
wn + vn = un
n " N
Wartości funkcji (an) dla kolejnych liczb naturalnych to jest
elementy an nazywamy, n " N wyrazami ciągu. Suma ą + � jest określona jednoznacznie, to znaczy nie zależy
W przypadku ciągu (an) rozróżniamy zbiory wyrazów ciągu (an)
od tego, które ciągi x"ą, y"� zostaną wybrane.
oraz zbiór wartości ciągu (an0 jako funkcji.
Iloczyn liczb rzeczywistych ą, � określamy przyjmując:
7
" " "
Ą Ą
ą " � = ł x " y = z f(x) = tgx dla x " ( - , ) odwzorowuje wzajemnie
x "ą y " � z "ł 2 2
przy czym dla x = (wn), y = (vn), z = (un) zapis x " y = z
Ą Ą
jednoznacznie ( - , ) na
" 2 2
oznacza, że: wn " vn = un
n " N (-niesk , +niesk ).
Zachodzi twierdzenie 2 (Cantor  Bernstein)
Również iloczyn jest określony jednoznacznie. Nierówność d" w
Jeżeli zbiór A jest równy mocy z częścią zbioru B, a zbiór B jest
zbiorze liczb rzeczywistych określamy przyjmując dla liczb
równej mocy z częścią zbioru A to zbiory A oraz B są równej
rzeczywistych ą, �
mocy.
" "
Zbiór A nazywamy nieskończonym, jeżeli jest równej mocy z
"
ą d" � �! x "ą y " � wn d" vn
pewnym swoim podzbiorem właściwym B, tzn. A �"B, A `" B, B
n" N
x = Wn y = Vn
`"zb. pusty , wtedy A = B .
ą < � �! (ą d" � '" ą `" �)
Zbiór A nazywamy skończonym, jeżeli A nie jest nieskończony.
Liczbą rzeczywistą wymierną nazywamy liczbę rzeczywistą ą
taką, że {w}={w, w, w, w, ...} " ą, gdzie w jest liczb wymierną.
5.3 Zbiory przeliczalne.
Istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru liczb
Zbiór nazywamy przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub jest
wymiernych W na zbiór liczb rzeczywistych wymiernych,
równej mocy ze zbiorem liczb naturalnych. Liczbę kardynalną
określonych przez funkcję.
zbioru liczb naturalnych oznaczamy literą alfabetu hebrajskiego
ą = f(w) �! {w}" ą
 alef z indeksem 0:
Można sprawdzić, że
S0
f(w+v) = f(w) + f(v),
Przykład zbiorów przeliczalnych:
f(w" v) = f(w) " f(v)
1. Zbiory liczb parzystych
w d" v �! f(w) d" f(v)
2. Zbiory liczb nieparzystych
Ponieważ odwzorowanie f zachowuje działania asymetryczne
3. Zbiory liczb całkowitych
dodawania i mnożenia oraz relacje nierówności, więc można nie
4. Zbiory liczb wymiernych
rozróżniać liczb wymiernych oraz liczb rzeczywistych
5. Zbiory liczb pierwszych tzn. maja tylko dwa dzielniki 1 i
wymiernych. Wtedy zbiór liczb rzeczywistych można uważać za
siebie.
rozszerzenie zbioru liczb wymiernych.
Powyższa definicja należy do G. Cantora.
Twierdzenie 3 (zasada indukcji zupełnej)
Oprócz tej definicji znana jest również definicja liczb
Niech każdej liczbie naturalnej n będzie przyporządkowane
rzeczywistych przy pomocy przekrojów pochodzące do
zdanie p(n).
Ryszarda Dedekind a oraz z aksjomatyczna definicja liczb
Jeżeli:
rzeczywistych.
a) Zdanie p(1) jest prawdziwe
b) Jeżeli p(n) jest zdaniem prawdziwym, to zdanie p(n+1)
5.2 Równoliczność zbiorów.
jest prawdziwe dla każdego n = 1, 2, 3,....
Dowód. Skorzystamy z następującej własności liczb
Zbiory A oraz B nazywamy równolicznymi, lub równej mocy
naturalnych.
jeżeli jest określona funkcja odwzorowujące jeden z nich
W każdym niepustym podzbiorze zbioru liczb naturalnych
wzajemnie jednoznacznie na drugi. Piszemy wtedy A ~ B.
istnieje najmniejsza.
Rownoliczność jest relacją równoważności. Relacja ta dzieli
Przypuśćmy, że założenie a, b, są spełnione oraz, że istnieje
zbiory na klasy abstrakcji zbiorów równolicznych.
liczba naturalna n, dla której p(n) nie zachodzi. Oznaczmy przez
Klasy te nazywamy mocami zbiorów lub liczbami
A zbiór tych liczb naturalnych n, dla których p(n) jest zdaniem
fałszywym.
kardynalnymi. Moc zbioru oznaczamy symbolem A .
Zgodnie z zaprzeczeniem tezy zbiór A jest niepusty, a więc
Przykłady:
zawiera liczbę najmniejszą. Oznaczmy ją przez n0. Z założenia
1. Liczbą kardynalną wszystkich zbiorów, które mają n
a) wynika, że p(1) jest zdaniem prawdziwym a więc n0-1 jest
elementów jest liczba naturalna n
liczbą naturalną. Ponieważ n0 jest najmniejszą liczbą w zbiorze
2. Zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, ...} jest
równoliczny np. ze zbiorami:
A, więc n0-1 " A, czyli zdanie p(n0-1) jest prawdziwe.
a. zbiór liczb parzystych dodatnich
Z założenia b) wynika, że jest prawdziwe zdanie p(n0), co jest
b. zbiór liczb nieparzystych dodatnich
sprzeczne z definicją n0" A.
c. zbiór liczb naturalnych postaci 3n = 2, n " N
Ponieważ przypuszczenie, że istnieją liczby naturalne n, dla
Gdyż istnieją funkcje wzajemnie jednoznaczne
których p(n) nie zachodzi doprowadziło do sprzeczności, więc
odwzorowujące zbiór n na jego podzbiory
zdanie p(n) jest prawdziwe dla n = 1, 2, 3, ...
wymienione kolejno w a), b), c):
1. f(x) = 2x
2. f(x) = 2x  1
Wniosek
3. f(x) = 8x + 2
Jeżeli:
a) Zdanie p(n) jest prawdziwe dla liczby całkowitej n0
Ą Ą
3. Przedział - , , cała oś rzeczywista ąa" są zbiorami
b) Z prawdziwości p(n) dla liczby całkowitej k wynika
2 2
prawdziwość p(n) dla k+1, gdzie
równolicznymi, gdyż funkcja
k e" n0 to p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb
całkowitych n e" n0.
Zbiory nieprzeliczalne.
8
Zbiór A, który nie jest przeliczalny, nazywamy
(y - x)2(z - x)2
d" 1
nieprzeliczalnym.
(x - z)2( y - z)2
2
(-(x - z)
)
Twierdzenie 4 : Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnym.
d" 1
Zbiory równej mocy ze zbiorami liczb rzeczywistych nazywamy (x - z)2
zbiorami mocy continuum, a ich liczbę kardynalną oznaczamy
1 d" 1
małą gotycką literą (c).
1 = 1
Np.: zbiór liczb rzeczywistych przedziału (a, b) gdzie b  a > 0
1.2 Kresy
jest mocą continuum.
niech E �" R, E `" "
Zbiór E jest ograniczony z góry (z dołu), jeżeli:
Rozdział II Przestrzenie metryczne.
" "
x d" y (x e" y)
Niepusty zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną jeżeli y " R x " E
określony jest funkcjonał (tzn. funkcja o wartościach
Wtedy y nazywamy ograniczeniem góry (dolnym) zbiory E.
liczbowych rzeczywistych lub zespolonych) zwany metryką.
Jeżeli zbiór E jest ograniczony z góry oraz z dołu to nazywamy
�  ro
go zbiorem ograniczonym.
Np.: przedział � : X � X 0,"
)
niesk, b> jest ograniczony z góry.
Przy czym: Przedział domknięty jest ograniczony.
a) � (x, y)=0 �! x = y
Definicja.
b) � (x, y) = � (y, x)
Niech zbiór E będzie ograniczony z góry. Mówimy, że liczba M
c) � (x, y) d" � (x, z) + � (z, y)  warunek trójkąta dla
jest kresem górnym (supremum) zbioru E jeżeli:
dowolnych x, y, z " X
a) M jest ograniczeniem górnym zbioru E.
Wtedy � (x, y) nazywamy odległością x od y. Przestrzeń
b) Jeżeli x < M to x nie jest ograniczeniem górnym.
metryczną oznaczamy symbolem X , �
Piszemy wtedy M = supE
Przykład przestrzeni metrycznych: Definicja.
1. Przestrzeń liczb rzeczywistych R z metryką � (x, y) = |x- Niech zbiór E będzie ograniczony z dołu. Mówimy, że liczba m
jest kresem dolnym (infimum) zbioru E jeżeli:
y| :
a) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E
2. Przestrzeń liczb zespolonych C z metryką � (z1, z2) = |
b) jeżeli x > m to x nie jest ograniczeniem dolnym zbioru
z1, z2| :
E. Piszemy wtedy m = infE
3. Przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale domkniętym
Można napisać
z metryką � (f, g) =
M = supE �
= max |f(x)  g(x)| : x " C ().
1. Przestrzeń liczb rzeczywistych.
�ł " " "
�ł �ł
x d" M '"
) )�ł
Przestrzeń liczb rzeczywistych jest to zbiór R liczb �ł�ł �ł� > 0 y " E y > M - � łł
x " E
�ł �ł
�ł
rzeczywistych z metryką � (x, y) = |x - y| dla x, y " R, gdyż:
m = infE�
a) |x - y| = 0 �! x - y = 0 �! x = y
b) |x - y| = |-(x  y)| = |y - x|
�ł " " "
�ł �ł
x e" m '"
) )�ł
�ł�ł �ł� > 0 y " E y < m + � łł
c) |x - y| = |(x  z) + (z - y)| d" |x  z| + |z - y|
x " E
�ł �ł
�ł
Wykazać, że funkcjonał d x, y = x - y spełnia
( )
Przykład:
aksjomaty metryki. Rozwiązanie:
1. Niech E = { n: n = 1, 2, 3, ...} wtedy infE = 1. Zbiór E
jest nieograniczony z góry.
1. x = y �! d (x, y) = x - y = x - x = 0
1
2. Niech E = {- : n = 1, 2, 3, ...} wtedy supE = 0 "E
d(x, y) = x - y
n
2. d( y, x) = y - x
infE = -1
Rzeczywiście obierzmy dowolne �>0 wtedy supE = M = 0, gdyż
d(x, y) = x - y = -( - y = y - x = d( y, x)
x
)
dla każdego x" E mamy
3. Nierówność trójkąta:
1
d x, y d" d(x, z) + d(y, z)
( ) x< 0 bo x = -
n
x - y d" x - z + y - z
1 1 1
(x - y)2 d" (x - z)2 + 2 x - z y - z + (y - z)2 y = - > M - � = 0 - � = - � �! < � �! < n czyli
n n �
x2 - 2xy + y2 d" x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 +
" " y = M - �
1 1
+2 x - z y - z � >0
y=- ,n>
n �
2xz - 2xy + 2yz - 2z2 d" 2 x - z y - z
Twierdzenie 1
x(z - y) + z(y - z) d" x - z y - z Jeżeli E jest niepustym zbiorem liczb rzeczywistych
ograniczonym z góry (ograniczonym z dołu) to istnieje kres
(y - z)(z - x) d" x - z y - z
górny zbioru E ( kres dolny zbioru E) należący do R.
1.2 Prosta rozszerzona
Rozszerzonym zbiorem liczby rzeczywistej nazywamy zbiór
składający się z liczb rzeczywistych oraz z elementów
oznaczanych symbolami: - niesk, + niesk, przy czym
przyjmujemy:
9
a) Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą to - niesk < x < + niesk
oraz
x + (+niesk) = +niesk
x + (-niesk) = - niesk
x x
= = 0
+" -"
(+niesk) + (+niesk) = + niesk
(-niesk) + (-niesk) = - niesk
b) Jeżeli x > 0 to:
x " (-niesk) = - niesk
x " (+niesk) = + niesk
c) Jeżeli x < 0 to:
x " (-niesk) = + niesk
x " (+niesk) = - niesk
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem:
R = R *"{-", +"}
Nich zbiór E �" R . Jeżeli zbiór E jest nieograniczony z góry, to
" "
znaczy dla x > y , to supremum zbioru E
y " R x " E
supE = + niesk kres dolny zbioru E �" R , który nie jest
ograniczony z dołu, określamy następująco infE = - niesk.
W przestrzeni R wyróżniamy przedziały półdomknięte
(półotwarte):
(a, b> = {x " R : a < x d" b},
a także zbiory:
otoczenie punktu x0 o promieniu r > 0
Vr (x0) = (x0  r, x0 + r)
Sąsiedztwo punktu x0 o promieniu r >o
S (x0) = Vr (x0) \ {x0}
Punkt x0 " R nazywamy punktem skupienia zbioru E. E �"
R , jeżeli każde otoczenie punktu xo zawiera element zbioru E
różny od x0. Przykład:
1
Zbiór E = { : n = 1, 2, 3, ...} ma punkt skupienia xo = 0.
n
10