2. PRZESTRZEC
LICZB ZESPOLONYCH
a b
�ł �ł
Definicja: Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowaną
y = , -
�ł
a2 + b2 a2 + b2 �ł
�ł łł
parę liczb rzeczywistych: a, b "! . Oznaczamy je symbolem
gdyż:
(a, b).
W zbiorze liczb zespolonych określamy w następujący sposób:
dodawanie i mnożenie:
x �" y = ab , - =
( )�ł a b �ł
�ł
a2 + b2 a2 + b2 �ł
Def. Niech x = (a, b) ; y = (c, d), gdzie a, b, c, d , wtedy: �ł łł
"!
x = y �! a = c '" b = d �ł b �" a �"
); (-b �ł
) b �" a
( ) a �" a (-b
= - + = 1,0
( )
�ł �ł
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 łł
* x +y = a + c,b + d �ł
( )
Twierdzenie 5
x1
y = a;b c;d = ac - bd; ad + bc
( )( ) ( )
Jeżeli liczba zespolona x `" 0,0 , to dla dowolnej liczby
( )
Twierdzenie 1.
zespolonej y istnieje dokładnie jedna liczba zespolona z taka,
Operację dodawania oraz mnożenia w postaci (*) w zbiorze
liczb zespolonych są przemienne, łączne oraz mnożenie jest
y
że x �" z = y Oznaczamy ją symbolem: z =
rozdzielne względem dodawania, tzn. : dla dowolnych liczb
x
zespolonych x, y, z zachodzą równości:
Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzą
x + y = y + x
równości:
x + y + z = x + y + z
( ) ( )
a,0 + b,0 = a + b,0
( ) ( ) ( )
x �" y = y �" x
a,0 �" b,0 = ab,0
( ) ( ) ( )
x �" y �" z = x �" y �" z
( ) ( )
a,0
( ) a
�ł
= ,0�ł , gdzie b `" 0
z �" x + y = z �" x + z �" y
( ) �ł �ł
b,0 b
( ) �ł łł
Zakładamy, że dla dowolnej liczby zespolonej x zachodzą
równości:
a,0 = a2 + 02 = a2 = a
( )
x + 0,0 = x
( )
więc liczby zespolone postaci a,0 można utożsamić z
( )
x �" 0,0 = 0,0
( ) ( )
liczbami rzeczywistymi: a.
x �" 1,0 = x Zatem zbiór liczb rzeczywistych ! można traktować jako
( )
podzbiór zbioru liczb zespolonych.
Twierdzenie 2.
Def.
Dla dowolnej liczby zespolonej x istnieje dokładnie jedna liczba
Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną postaci:
zespolona y, taka, że :
def
x �" y = 0,0
( )
i = 0,1
( )
DOWÓD
zakładamy, że:
Niech x = a,b wtedy y = -b spełnia równanie
( ) (-a,
)
i2 = i �"i = 0,1 �" 0,1 = = -1
( ) ( ) (-1,0
)
x + y = 0,0 czyli:
( )
i2 = -1
*Jeśli istniałoby y ' = c, d `" y takie, że
( )
PRZYKA
AD
Rozwiązywanie równania:
x + y ' = 0,0 to:
( )
(*) ax2 + bx + c = 0 gdzie a `" 0 ,
a + c = 0 '" b + d = 0 �! c = -a '" b = -d a
" = b2 - 4ac < 0
więc y ' = y co przeczy przypuszczaniu y ' `" y .
Rozwiązanie: Pierwiastkami równania (*) są liczby zespolone
Def. Niech x = a,b . Wartością bezwzględną lub modułem -b + i 4ac - b2
( )
x1 =
liczby zespolonej x nazywamy liczbą nieujemną:
2a
x = a2 + b2
-b - i 4ac - b2
x2 =
2a
Twierdzenie 3
Twierdzenie 6
Niech x, y, z będą dowolnymi liczbami zespolonymi, wtedy:
Jeżeli a, b są liczbami rzeczywistymi to liczba zespolona
a,b = a + bi
( )
a) jeżeli x `" 0,0 , to x > 0 , 0,0 = 0
( ) ( )
gdyż
b) jeżeli x �" y = 0,0 , to x = 0,0 , lub
( ) ( )
a + bi = a,0 + b,0 0,1 = a,0 +
( ) ( )( ) ( )
y = 0,0 , lub x = y = 0,0
( ) ( )
+ b �" 0 - 0 �"1,b �"1+ 0�" 0 = a,0 + 0,b = a,b
( ) ( ) ( ) ( )
c) jeżeli x `" 0,0 i xy = xz , to y = z
( )
Jeżeli liczba zespolona ma postać
DOWÓD
z = a + bi
b) Niech x = a,b y = c, d wtedy:
( ) ( )
to "a" nazywamy częścią rzeczywistą liczby, a "b" częścią
urojoną liczby "z"
2 2
2
x �" y = a,b �" c, d = ac - bd, ad + bc =
( ) ( ) ( )
Re z = a ("realis")
2 2
= ac - bd + ad + bc = Im z = b ("imaginalis")
( ) ( )
Twierdzenie 7
2 2
Jeżeli x, y są liczbami zespolonymi to zachodzi nierówność:
= a2c2 - 2ac �"bd + b2d + a2d + 2ad �"bc + b2c2 =
2 2 2
2
x + y d" x + y
= a2 + b2 �" c2 + d = x �" y = x �" y
( ) ( )
Def.
a więc:
Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej
x �" y = x �" y
z = a,b = a + bi nazywamy liczbę
( )
Twierdzenie 4
Dla dowolnej liczby zespolonej x `" 0,0 istnieje dokładnie
( ) z = a, -b = a - bi
( )
Twierdzenie 8
jedna liczba zespolona y, taka, że: x �" y = 1,0
( )
Jeżeli x, y są liczbami zespolonymi, to:
1,0
( )
a) x + y = x + y
Piszemy wtedy y =
x
b) x �" y = x �" y
DOWÓD
2
Niech x = a,b wtedy y określamy następująco: c) x �" x = x
( )
d) x + x = 2 Re x
11
e) jeżeli x "! , to x = x z1 = z1 cos�, z1 sin�
( )
DOWÓD b)
z2 = z2 cos� , z2 sin�
( )
Niech x = a,b = a + bi , y = c, d = c + di
( ) ( )
to
Wtedy:
x �" y = ac - bd;ad + bc = ac - bd + ad + bc
( ) ( ) ( )
�ł z1 cos� z2 cos� - z1 z2 sin� sin� , z1 �"�ł
z1 �" z2 = �ł
�ł�"cos� z2 sin� + z1 sin� z2 cos� �ł =
�ł
�ł łł
x �" y = ac - bd - i ad + bc
( ) ( )
x �" y = a - bi c - di = ac - adi - bci + bdi2 =
( )( )
= z1 z2 cos � +� ; z1 z2 sin � +� =
( ( ) ( ))
= ac -( ) - bd = ac - bd -( )
bc + ad i ad + bc i
( )
= z1 z2 cos � +� ,sin � +�
( ( ) ( ))
czyli
x �" y = x �" y
z1
z1
= cos � -� + i sin � -�
( ( ) ( ))
UWAGA !!!
z2 z2
a,b c, d = ac
( )( ) ( - bd, ad + bc
)
Zatem dla z1 `" 0,0 z2 `" 0,0 :
a,b c, d = a + bi c + di = ac + bci + adi + bdi2 = ( ) ( )
( )( ) ( )( )
arg z1 �" z2 = arg z1 + arg z2
= ac - bd + i ad + bc ( )
( ) ( )
(*)
Twierdzenie 9
�ł �ł
z1
Jeżeli a1,...,an, b1,....,bn są liczbami zespolonymi to zachodzi
arg�ł �ł = arg z1 - arg z2
nierówność Schwarza:
z2
�ł łł
2
n n n
Powyższe równości rozumiemy następująco:
�ł 2 �ł �ł 2 �ł
�"bj d" aj �ł �"�ł bj �ł
�ł
"aj " "
Dla dowolnych argumentów arg z1 , arg z2 istnieje
j=1 j=1 j=1
�ł łł �ł łł
z1
Liczbie zespolonej z = a,b = a + bi odpowiada
( )
argument iloczynu z1 �" z2 oraz argument ilorazu takie,
z2
wzajemnie jednoznacznie na płaszczyz
nie O XY punkt Z=(a,b).
Płaszczyznę C, Której punktom zostały przyporządkowane
że zachodzi twierdzenie (*).
Twierdzenie 10
dowolne liczby zespolone z = a,b ; a,b "!
( )
Dla każdej liczby rzeczywistej z `" 0,0 zachodzi równość:
( )
nazywamy płaszczyzną liczbową.
Punktom na osi OX odpowiadają liczby zespolone postaci
(1) arg zn = n arg z przy
( ) ( )
a,0 = a a "! , tzn. liczby rzeczywiste.
( )
n = 0, ą1, ą2,...
Punktom osi OY odpowiadają liczby zespolone postaci
DOWÓD
0,b = bi , tzn. liczby urojone.
( )
1� Dla n =1, 2,... równość (1) dowodzimy stosując indukcję
Def .Argumentem liczby zespolonej
zupełną
z = a + bi `" 0,0 nazywamy liczbę rzeczywistą
( ) �
a) n=1 arg z1 = 1�" arg z
( )
określoną równościami:
b) Zakładamy, że dla pewnego n0 " N
a b
cos� = oraz sin� =
0
z z
arg zn = n0 arg z
( )
Piszemy:
c) Wykażemy, że
� = arg z
0
arg zn +1 = n0 +1 arg z
( )
( )
Kolejno otrzymujemy:
Każda liczba zespolona z `" 0,0 posiada przeliczalną
( )
0 0 0
arg zn +1 = arg zn �" z = arg zn +
ilość argumentów. Jeżeli � , jest argumentem ( ) ( ) ( )
z `" 0,0 + arg z = n0 arg z + arg z =
( )
arg z = � + 2kĄ ; k = 0, ą1, ą2,...
= n0 +1 arg z
( )
Argument liczby zespolonej z `" 0,0 spełnia warunek:
( ) 2� Dla n = 0 mamy:
-Ą < arg z < Ą
z
arg z0 = arg z1-1 = arg = arg1 = 2kĄ ,
nazywamy argumentem głównym liczby "z". Oznaczamy
z
symbolem:
Arg z
k = 0, ą1, ą2,...
Jeżeli z = a + bi `" 0,0 to
( )
Ponieważ dla dowolnego z `" 0,0 istnieje arg0 = 0
( )
a = z cos� , b = z sin�
(przy k=0) więc zachodzi równość (1), gdyż dla dowolnego
arg z mamy:
Możemy napisać
z = z cos� + i z sin�
arg z0 = 0 = 0�" arg z
( ) ( )
czyli
3� Dla n = -1, -2,... podstawiamy n = -m przy
z = z cos� + i sin�
( )
m = 1, 2,...
Jest to postać trygonometryczna liczby z `" 0,0
( )
wtedy
1
Na odwrót, jeżeli z = r cos� + i sin� gdzie r e" 0 ,
( )
arg zn = arg z-m = arg�ł �ł = arg1- arg zm =
( ) ( ) ( )
�ł �ł
zm
�ł łł
to r = z
= arg1- marg z = = n�ł = arg1+ narg z
�ł-m
śł
Uwaga. �ł
Dwie liczby zespolone, różne od zera są równe wtedy i tylko
wtedy, gdy są równe ich moduły, a argumenty różnią się o
Wniosek
całkowitą wielokrotność 2Ą.
Zachodzi wzór de Moivre'a
Jeżeli liczba zespolona:
n
cos� + i sin� = cos n� + i sin n�
( ) ( ) ( )
z1 = z1 cos� + i sin�
( )
z2 = z2 cos� + i sin� dla n = 0, ą1, ą2,...
( )
czyli DOWÓD
Dla z = cos� + i sin� mamy:
12
n
z = cos2 � + sin2 � =1 1
�ł1+ �ł
3) (an), an = , n =1, 2,...
�ł �ł
n
�ł łł
zatem dla n = 0, ą1, ą2,... otrzymujemy:
Def.
arg zn = n arg z = n� gdzie arg z = �
( )
Mówimy, że g "! jest granicą ciągu an gdzie
( )
stąd
an "! n =1, 2,... jeżeli dla dowolnie małej liczby
zn = zn cos n� + i sin n� = cos n� + i sin n�
( ( ) ( )) ( ) ( )
dodatniej � >0 istnieje taka liczba dodatnia N, że dla każdej
liczby naturalnej n" N zachodzi implikacja
czyli
n > N �! an - g < �
zn = cos n� + i sin n�
( ) ( )
Z drugiej strony mamy:
Piszemy wtedy: = g
n
lima
n n"
zn = cos� + i sin�
( )
Oznacza to, że:
czyli
lim an = g �!
"""�łn > N �! an - g < � łł
n �ł �ł
n"
� >0 N >0n"N
cos� + i sin� = cos n� + i sin n� dla
( ) ( ) ( )
Interpretacja geometryczna punktu lim an = g
n = 0, ą1, ą2,...
n"
an - g < � �! -� < an - g < � �! g - � < an < g + �
Każdą liczbę zespoloną "w" spełniającą równanie
wn = z gdzie n " N = 1, 2,... nazywamy
{ }
dla N = N � > 0 , n > N
( )
pierwiastkiem n-tego stopnia lub n-tym pierwiastkiem liczby
Def.
zespolonej "z", oznaczamy symbolem:
n Mówimy, że ciąg an ma granicę + " , jeżeli
( ) (-"
)
z
dla dowolnie dużej liczby dodatniej M istnieje liczba dodatnia
Twierdzenie 11
N, taka, że dla każdej liczby naturalnej n" N zachodzi
Jeżeli z = z cos� + i sin� `" 0,0 to
( ) ( )
implikacja:
istnieje dokładni n różnych pierwiastków wk , k=0,1,2,...,n-1,
gdzie n > N �! an > M
�ł � + 2kĄ � + 2kĄ �ł
�ł �ł
"0 "0 " n > N �! an < -M
n [ ]
wk = z cos�ł �ł + i sin
�ł �ł �ł �ł �ł�ł M > N > n"N
n n
�ł łł �ł łł
�ł łł
Piszemy wtedy:
n lim an = +"
(-"
)
Przy czym z oznacza pierwiastek arytmetyczny tj. liczbę
n"
Ciąg posiadający granicę skończoną nazywamy zbieżnym.
nieujemną, a n-ta potęga równa się z
Ciąg, który nie jest zbieżny, czyli ma granicę nieskończoną lub
nie posiada granicy skończonej, ani nieskończonej nazywamy
Płaszczyzna rozszerzona
rozbieżnym.
Niech będzie dana płaszczyzna zbiór liczb zespolonych,
C =
Granicą właściwą nazywamy granicę skończoną.
wyznaczona przez układ prostokątny OXY
Natomiast: to granice niewłaściwe.
+ ",-"
Sfera S o dowolnie ustalonym promieniu dodatnim jest
r > 0
Ciąg nazywamy granicznym jeżeli istnieje taka stała
an
styczna do płaszczyzny C w punkcie (0,0). Prosta prostopadła
do płaszczyzny C w punkcie (0,0) przecina sferę S w punkcie
dodatnia M
N 0,0
( )
" " an d" M
M n"N
Przyporządkowujemy każdemu punktowi z "C punkt
WA
ASNOŚCI CI
GÓW ZBIEŻNYCH
z ' `" N przy czym z' jest punktem przecięcia prostej
a) Jeżeli ciąg an jest zbieżny, to jest ograniczony.
( )
przechodzącej przez z oraz N ze sferą S. Otrzymaliśmy
DOWÓD
odwzorowanie płaszczyzny C na sferę S, ale bez punktu N. Jest
Zakładamy, że lim an = g "! to znaczy
to tzw. rzut stereograficzny na sferę.
n"
Odwzorowanie odwrotne do rzutu stereograficznego
przyporządkowuje punktom sfery S bez punktu N punkty
an + g < 1 dla n > N
płaszczyzny C. Powyższe odwzorowania są funkcjami.
Zachodzi nierówność:
Uzupełnimy płaszczyznę C nowym elementem, któremu przy
rzucie stereograficznym odpowiada punkt N sfery S. Ten nowy
an - g d" an - g
element nazywamy punktem w nieskończoności i oznaczamy
symbolem ".
czyli dla n > N
Prosta C uzupełniona punktem w nieskończoności nazywa się
an < g + an - g < g +1
płaszczyzną domkniętą lub rozszerzoną. Oznaczmy ją przez:
Zatem oznaczając
C = C *" "
{ }
M = max a1 , a2 ,... an , g +1
( )
Oznacza to, że M jest równe największej z liczb wymienionych
Między skończonymi liczbami zespolonymi a punktem
w równaniu
nieskończoności definiujemy następujące działania:
otrzymujemy
z + " = "
( )
an d" M
z �" " = " gdy z `" 0,0
( ) ( )
zatem ciąg an jest ograniczony.
( )
Na odwrót nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny.
z
= " gdy z `" 0,0
( ) n+1
Np. Ciąg jest ograniczony, ale nie jest zbieżny.
)
0,0 (-1
( )
b) Ciąg an posiada co najwyżej jedną granicę.
z ( )
= 0 dla z "C
DOWÓD
"
III. CI
GI I SZEREGI O WYRAZACH
Przypuśćmy, że an g1 oraz an g2 , przy czym
RZECZYWISTYCH.
1.Ciągi.
niech np. g1 < g2 . Istnieje liczba rzeczywista r taka, że
Będziemy sprawdzać ciągi o wyrazach rzeczywistych.
PRZYKA
AD
g1 < r < g2 . Biorąc 0 < � < min r - g1, g2 - r
( )
1) Ciąg arytmetyczny an gdzie
( ) otrzymujemy
an - g1 < � dla n > N1 = N1 �
( )
an = a + n -1 d , - różnica, n =1, 2,...
( ) d
oraz
2) Ciąg geometryczny an , gdzie an = a �" qn-1 ,
( )
an - g2 < � dla n > N2 = N2 �
( )
q - iloraz, n =1, 2,...
stąd dla n > min N1, N2 mamy
( )
13
Z założeń wynika, że:
an < g1 + � < g1 + r - g1 = r
"0 " " �łn > N �! an - g < � łł
�ł �ł
� > N1>0 n"N
an > g2 - � > g2 - g2 + r = r
oraz
czyli
"a ">0 " �łn > N2 �! bn - g < � łł
�ł �ł
an < r oraz an > r
� > N2 n"N
sprzeczność.
Zatem dla n > max N1, N2, N0 zachodzą nierówności:
( )
c) Jeżeli ciągi an , bn są zbieżne odpowiednio do
( ) ( )
g - � < an d" cn d" bn < g + �
granic a, b to suma, iloczyn i różnica tych ciągów są
także zbieżne oraz: czyli
lim an ą bn = a ą b -� d" cn - g < � �! cn - g < �
( )
n"
a więc
lim an �"bn = a �"b
( )
n" cn g
PRZYKA
AD
Jeżeli ponadto bn `" 0 dla n =1, 2,... b `" 0 to
Znalez
ć
an a
n
lim = iloraz ciągów jest zbieżny. lim 3n + 4n + 5n
n"
n"
bn b
przy n " wyrazy ciągu prowadzą do wyrażenia
DOWÓD
Suma:
nieoznaczonego typu "0
( )
Załóżmy, że lim an = ga i limbn = gb Niech � będzie
Zachodzą następujące oszacowania:
n" n"
' n n n
0 + 0 + 5n d" 3n + 4n + 5n d" 5n + 5n + 5n =
dodatnią liczbą rzeczywistą i niech n� będzie taką liczbą
n
' n
= 3�"5n = 3 �"5 �! 5
naturalną, że dla n > n� zachodzi nierówność
n
lim 3 = 30 =1
�
'
n"
an - ga < . Niech n�' będzie taką liczbą naturalną, że dla
2 Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że granica równa się 5.
�
' WA
ASNOŚCI CI
GÓW MAJ
CYCH GRANICE
n > n�' zachodzi nierówność bn - gb < i niech
NIEWA
AŚCIWE
2
' '
ne oznacza większą z liczb n� , n�' Wtedy dla
Jeżeli ciąg posiada granicę niewłaściwą, to ciąg ten
(an )
n > n� zachodzą obydwie nierówności:
jest nieograniczony. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe
n+1
Np. ciąg an , gdzie an = n jest nieograniczony
an + bn -( ) - ga + bn - gb = ( ) (-1
ga + gb d" an )
oraz nie posiada granicy ani właściwej (skończonej), ani
� �
niewłaściwej.
= + = �
Dla ciągów mających granice niewłaściwe - " lub +" zachodzi
2 2
twierdzenie o jednoznaczności.
Znaczy to, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n
Przy formułowaniu twierdzeń o działaniach arytmetycznych, dla
różnica an + bn -( )
ga + gb ma wartość bezwzględną
granic niewłaściwych należy wykluczyć wyrażenia
nieoznaczone.
mniejszą niż epsilon więc granica sumy równa się sumie granic.
Dla różnicy należy skorzystać z twierdzenia o zbieżności ciągu
przeciwnego i powyższego twierdzenia o granicy sumy.
Np. Jeżeli ciągi an , bn posiada granicę oraz nie
( ) ( )
Iloczyn:
zachodzi
lim an �"bn = a �"b
( )
n"
lim an = -limbn = -"
n" n"
Ponieważ an a , bn b więc
lim an = -limbn = +"
n" n"
�
�łn łł
"0 " " > N1 �! an - a <
to ciąg an + bn ma granicę oraz
�ł śł ( )
� > N1>0 n"N
2M
�ł �ł
oraz
lim an + bn = lim an + limbn
( )
n" n" n"
�
�łn łł
"0 " " > N2 �! bn - b <
a) Jeżeli ciąg an ma granicę niewłaściwą oraz
( )
�ł śł
� > N2>0 n"N
2M
�ł �ł
an `" 0 dla n =1, 2,3,...
gdzie M > 0 jest stałą tak dobraną, że
to:
an d" M , bn d" M , b d" M
( ) ( ) ( )
1
lim = 0
Stąd dla n > max N1, N2 mamy:
( )
n"
an
DOWÓD
an �"bn - a �"b = an bn - b + an - a b d"
( ) ( )
Jeżeli an +" to dla każdego � > 0 istnieje N1 > 0
d" an bn - b + an - a b =
( ) ( )
taki, że
� �
1
= an bn - b + an - a b < M + M = �
an > dla n > N1
2M 2M
�
czyli
Jeżeli an -" to dla każdego � > 0 istnieje
lim an �"bn = a �"b
( )
n"
N2 > 0 taki, że
Z twierdzenia o granicy iloczynu wynika wniosek:
1
Jeżeli ciąg an jest zbieżny, to ciąg c�an też jest zbieżny
( )
an < - dla n > N2
�
limcan = c lim an gdzie c - stała
n" n" w każdym przypadku mamy:
Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech ciągach)
1
an > dla n > N gdzie N = N1 lub N = N2
Jeżeli ciągi an , bn , cn są zbieżne, przy czym
( ) ( ) ( )
�
" " an d" cn d" bn oraz czyli dla n > N
N0 n>N0
1 1
lim an = limbn = g "!
� > �! - 0 < �
n" n"
an an
to
więc
lim cn = g
n"
DOWÓD
14
1
lim = 0
n"
an
b) Jeżeli an > 0 dla n =1, 2,... oraz lim an = 0 ,
n"
to
1
lim = +"
n"
an
a jeżeli an < 0 dla n =1, 2,... oraz lim an = 0 , to
n"
1
lim = -"
n"
an
DOWÓD
Jeżeli an > 0 oraz lim an = 0 , to
n"
1
�łn łł
" " " > N �! 0 < an <
�ł śł
M >0 N n"N
M
�ł �ł
oznacza to, że:
1
> M dla n > N
an
czyli
1
lim = +"
n"
an
Twierdzenie o trzech ciągach przenosi się na przykłady granic
nieskończonych.
Badając granice: sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu ciągów
mających granice: 0, +", -",1, otrzymujemy tzw.
wyrażenia nieoznaczone:
0 "
�ł �ł �ł �ł
, , 0 �" " , " - " , 1" , "0
( ) ( ) ( ) ( )
�ł �ł �ł �ł
0 "
�ł łł �ł łł
W tych przypadkach szukając granicy należy uwzględnić
własności wyrazów ciągu: przez odpowiednie przekształcenia
usunąć nieoznaczoność.
15