J. Szantyr  Wykład nr 28  Przepływy w kanałach otwartych II
W przepływach w kanałach otwartych często występują zjawiska
niestacjonarne, przede wszystkim związane z układami falowymi
tworzącymi się na swobodnej powierzchni cieczy.
Najprostszy przypadek dotyczy rozprzestrzeniania się t. zw. małych
zaburzeń na swobodnej powierzchni. Można wtedy pominąć siły
lepkości i zlinearyzować równania ruchu cieczy. Do dyspozycji
mamy równanie zachowania masy:
"h "h "u
"h "h "u
+ u + h = 0
+ u + h = 0
"t "x "x
oraz równanie zachowania pędu:
"u "u "h
+ u + g = 0
"t "x "x
W przypadku małych zaburzeń grubości warstwy i prędkości:
2
u = u0 + u (t, x)
2
h = h0 + h (t, x)
2 2
u << u0 u << g �" h0
2
h << h0
można po ich podstawieniu zlinearyzować równania do postaci:
2 2 2
"h "h "u 2 2 2
"u "u "h
+ u0 + h0 = 0
+ u0 + g = 0
"t "x "x
"t "x "x
Rozwiązanie tego układu równań ma postać:
2 2
u = u [x -(u0 ą gh0 )�"t]
2 2
h = h[x -(u0 ą gh0 )�"t]
Z postaci rozwiązania wynika, że małe zaburzenia rozchodzą się z
gh
prędkością charakterystyczną w dodatnim i ujemnym
prędkością charakterystyczną gh0 w dodatnim i ujemnym
kierunku osi x bez zmiany kształtu początkowego określonego w
2
u (0, x)
2
warunkach początkowych oraz
h (0, x)
W przypadku zaburzeń o znacznej, skończonej amplitudzie
linearyzacja równań ruchu cieczy nie jest możliwa. Rozwiązanie
układu równań nieliniowych prowadzi do bardziej złożonych
zależności opisujących rozprzestrzenianie się takich zaburzeń.
�ł łł
�ł �ł
3 h
h = h x - 2 gh0 �ł -1�ł�"t
�ł śł
�ł �ł
2 h0
�ł śł
�ł łł
�ł �ł
Powyższy wzór opisuje rozprzestrzenianie się zaburzenia h w dodatnim
kierunku osi x. Należy zauważyć, że w tym przypadku prędkość
rozchodzenia się zaburzenia jest proporcjonalna do pierwiastka z jego
amplitudy. Prowadzi to deformowania się zaburzenia jak na rysunku.
Czoło fali staje się coraz bardziej strome, a tył coraz bardziej rozmyty. W
efekcie dochodzi do załamania fali, które w przepływie w kanale ma
postać tzw. odskoku hydraulicznego. Należy pamiętać, że w prostym
modelu przepływu jednowymiarowego pomijamy efekty dyssypacji
związane z tarciem wewnętrznym cieczy i efekty dyspersji, związane z
bezwładnością cieczy w ruchu falowym.
Odskok hydrauliczny
Odskok hydrauliczny jest złożonym zjawiskiem niestacjonarnym
występującym w przepływach nadkrytycznych.
Odskok hydrauliczny polega na nagłym
zwiększeniu grubości warstwy płynącej
cieczy. Można go łatwo wytworzyć w
każdej umywalce.
Przykłady odskoków hydraulicznych
Prosta analiza teoretyczna odskoku hydraulicznego
Równanie zachowania masy:
�h1u1 = �h2u2 = m
Równanie zachowania pędu:
p1 = p0 + �g(h1 - z)
w kierunku pionowym
( )
p2 = p0 + �g(h2 - z)
2 0 2
h1 h2 h2
m(u2 - u1)= p1dz - p2dz + p0dz
w kierunku poziomym
+" +" +"
0 0 h1
Po podstawieniu ciśnień i wykonaniu całkowania otrzymujemy:
1 1
2 2 2
h1u1 + gh12 = h2u2 + gh2
2 2
h1
Jeśli podstawimy:
u2 = u1
u1 = Fr1 �" gh1
h2
�ł�ł h2 �ł2 łł�ł h2 �ł
to otrzymamy:
h2
�ł �ł �ł �ł
�ł�ł �ł + - 2�" Fr12 śł�ł -1�ł = 0
�ł śł
�ł�ł h1 łł h1 �ł�ł h1 łł
Równanie to ma trzy rozwiązania, ale fizycznie realne jest tylko
jedno:
1+ 8�" Fr12 -1
h2
=
h1 2
Rozwiązanie to oznacza, że:
h2 = h1
dla: Fr1 = 1 jest
h2 > h1
dla: Fr1 > 1 jest oraz
Fr2 < 1
h2 < h1
dla: Fr1 <1 jest
Wynika z tego, że odskok hydrauliczny jest możliwy tylko w
przepływie nadkrytycznym. Analiza równania energii prowadzi do
wniosku, że w odskoku następuje wyraz
ne zwiększenie energii
wewnętrznej cieczy na skutek bardzo silnych procesów
dyssypacyjnych.
Wielkość straty energii cieczy na skutek dyssypacji w odskoku
hydraulicznym można wyznaczyć według następującej zależności:
3
( 1+ 8�" Fr12 - 3)
"E
=
E1 8( 1+ 8�" Fr12
-1)( Fr12 + 2)
Odskoki hydrauliczne mogą być wywoływane celowo, dla
następujących powodów:
następujących powodów:
- rozpraszanie energii mechanicznej strumienia
- podniesienie poziomu cieczy
- wymieszanie dodatków do cieczy
- napowietrzanie cieczy
Postać odskoku zależy od wartości liczby Froude a
"E
h2
< 0,05
=1 "! 2
E1
h1
h2
"E
= 2 "! 3,1 = 0,05 "! 0,15
E1
E1
h1
h1
"E
h2
= 0,15 "! 0,45
= 3,1 "! 5,9
E1
h1
"E
h2
= 0,45 "! 0,70
= 5,9 "! 12
E1
h1
Przykład 1
W kanale o głębokości h=1,0 [m] wywołano przepływ o prędkości
średniej u=5,0 [m/s]. Czy wystąpi w tym przepływie odskok
hydrauliczny? Jeżeli tak, to jaka będzie głębokość wody za odskokiem?
Jak będzie tam prędkość przepływu?
Rozwiązanie
u 5,0
Fr1 = = H" 1,6 >1 Wystąpi odskok zafalowany
gh 9,81�"1,0
1+ 8�" Fr12 -1
1,0 + 8�"1,6 -1,0
h2 = h1 = 1,0 H"1,36[m]
2 2
h1 1,0
u2 = u1 = 5,0 H" 3,68[m / s]
h2 1,36