Slope stability
Stateczność zboczy
Limit Equilibrium Methods
Metody Równowagi Granicznej
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability  przyczyny utraty stateczności
Analiza stateczności skarp i zboczy, zarówno naturalnych jak i powstałych w
wyniku działalności człowieka, jest jednym z najwa\
niejszych zadań
geomechaniki i geotechniki. Problematyka ta szczególnie istotna jest w
górnictwie odkrywkowym, gdzie wykonuje się wykopy o olbrzymich, gdzie
indziej nie spotykanych głębokościach i nasypy (zwały) o olbrzymich
wysokościach.
Zagadnienie stateczności od dawna stanowi przedmiot zainteresowań wielu
badaczy. Pierwsze naukowe prace z tej dziedziny pojawiły się w XVIII wieku,
a ich autorem był Coulomb (1777). Gwałtowny rozwój metod analizy
stateczności obserwuje się na początku XX wieku, kiedy to opracowano
fundamentalne i do dziÅ› stosowane metody analizy (Petterson 1916, Fellenius
1927, Terzaghi 1925) oraz w latach 50-tych i 60-tych (Masłow 1949, Taylor
Bishop 1954, Janbu 1956, Nonveiller 1965, Morgenstern i Price 1963, Spencer
1967). Pomimo tak licznych badań do chwili dzisiejszej nie udało się stworzyć
teorii w sposób pełny i jednoznaczny rozwiązującej problematykę stateczności.
PrzyczynÄ… takiego stanu rzeczy jest du\
a liczba czynników wpływających na
warunki stateczności oraz trudności w określaniu stanu naprę\
enia,
odkształcenia i przemieszczenia dla skarpy
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
1
Slope Stability  przyczyny utraty stateczności
Przyczyny powodujące utratę stateczności skarp i zboczy są bardzo
skomplikowane. Najogólniej mówiąc, są nimi siły cię\
kości wywołane
przyciąganiem ziemskim i innych ciał niebieskich, oraz wywołane nimi
naprÄ™\
enia. Na rozkład naprę\
eń w masywie gruntowym wpływ ma szereg
dodatkowych czynników, których nawet dokładne określenie jest niemo\
liwe
Najwa\
niejsze z tych czynników to:
kształt i wymiary skarpy
budowa geologiczna, a szczególnie istnienie nieciągłości w postaci
powierzchni kontaktowych i powierzchni zaburzeń tektonicznych
woda, powodujÄ…ca obni\
enie wytrzymałości gruntów oraz przejawiająca
się działaniem ciśnienia hydrostatycznego i spływowego
obciÄ…\
enia dynamiczne, wywołane ruchem pojazdów i pracą maszyn,
robotami strzałowymi, trzęsieniami Ziemi i t.p.,
warunki atmosferyczne
wpływy chemiczne i biologiczne
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability  metody analizy stateczności
Metody, których celem jest określenie geometrii (kształtu profilu) skarpy
statecznej, je\
eli znana jest jej budowa geologiczna i własności gruntów. Do
tej grupy zaliczyć mo\
na metody bazujące na teorii stanów granicznych
(metoda Sokołowskiego, metoda Sokołowskiego-Senkowa) oraz metody
empiryczne (metoda Masłowa Fp).
Metody, których zadaniem jest ocena, czy skarpa (zbocze) o zadanej budowie
geologicznej i geometrii jest stateczna. Metody tej grupy noszą równie\

nazwę metod równowagi granicznej. Zakłada się w nich znajomość kształtu i
poło\
enia powierzchni poślizgu, wzdłu\
której spełnione są warunki stanu
granicznego Coulomba-Mohra. Miarą stateczności jest wskaz
nik
stateczności, definiowany jako stosunek sił utrzymujących równowagę do sił
zmierzających do destrukcji. Metody te najczęściej stosują podział
potencjalnej bryły osuwiskowej na paski (bloki) o ściankach pionowych, na
których przyło\
one są siły styczne i normalne. Ze względu na statyczną
niewyznaczalność zadania, poszczególne metody tej grupy przyjmują ró\
ne
zało\
enia, dotyczące rozkładu sił pomiędzy paskami, oraz warunków
równowagi gwarantujących stateczność.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
2
Slope Stability  metody analizy stateczności
Metody numeryczne:
Metoda Ró\
nic Skończonych (FLAC,FLAC3D)
Metoda Elementów Skończonych (NASTRAN, ABAQUS,
COSMOS/M, Z_SOIL)
Metoda Elementów Brzegowych (BEASY)
Metody mieszane - hybrydowe
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability  metody analizy stateczności
Metody analizy stateczności zboczy
Określanie kształtu Określanie granicznego obcią\
enia Sprawdzanie
profilu statecznego naziomu skarpy stateczności zboczy
Teoria Teoria Metody numeryczne
stanów granicznych stanów granicznych
Metody empiryczne Metody numeryczne Metody równowagi granicznej
płaska łamana
powierzchnia poślizgu powierzchnia poślizgu
walcowa dowolna
powierzchnia poślizgu powierzchnia poślizgu
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
3
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Metoda Masłowa Fp, zwana równie\
metodą jednakowej stateczności słu\
y do
wyznaczania kształtu profilu zboczy statecznych. Została ona opracowana w oparciu
o wyniki obserwacji procesów osuwiskowych zachodzących głównie na zboczach
rzeki Wołgi. Obserwacje te wykazały, \
e:
w wyniku naturalnych procesów osuwiskowych w gruntach spoistych tworzy
się krzywoliniowy profil zbocza, który gwarantuje zachowanie stanu
równowagi,
generalne nachylenie tego profilu jest ściśle związane z wytrzymałością
gruntów na ścinanie,
\
e krzywizna profilu jest największa w górnych partiach skarpy i maleje prawie
do zera w miarÄ™ oddalania siÄ™ od naziomu, gdzie profil staje siÄ™ prostoliniowy,
nachylony do poziomu pod kątem tarcia wewnętrznego gruntu.
Na tej podstawie Masłow sformułował hipotezę, zgodnie z którą nachylenie zbocza
w stanie równowagi granicznej, w punkcie odległym od naziomu o z równe jest
kątowi oporu ścinania gruntu na tej samej głębokości. Hipoteza ta budzi szereg
wątpliwości natury teoretycznej i dlatego te\
nale\
y ją traktować jako metodę
empirycznÄ…, przydatnÄ… do in\
ynierskiej analizy stateczności skarp i zboczy.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Wartość kąta oporu ścinania określić mo\
na w oparciu o wytÄ™\
eniowÄ… hipotezÄ™
Coulomba-Mohra na podstawie wzoru:
Ä
c
f
tgÈ = = tgÕ +
à Ã
È - kat oporu Å›cinania,
Õ - kÄ…t tarcia wewnÄ™trznego,
c - spójność,
Ä - opór Å›cinania (naprÄ™\
enie styczne w płaszczyz
nie ścięcia),
à - naprę\
enie normalne do płaszczyzny ścięcia.
Ä
InterpretacjÄ™
Interpretacja kąta oporu ścinania
geometrycznÄ… kÄ…ta
oporu ścinania (kąta
wytrzymałości na Ć
ścinanie) przedstawiono
È Ã
na rysunku.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
4
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Zgodnie z hipotezą Masłowa, kąt nachylenia skarpy w stanie granicznym, w
danym punkcie jej profilu, określić mo\
na ze wzoru:
c
tgÄ… = tgÈ = tgÕ +
Ã
Masłow przyjął, \
e wartość naprę\
eÅ„ normalnych à równa jest pierwotnym
naprÄ™\
eniom pionowym, jakie panują w gruncie na głębokości równej
odległości rozpatrywanego punktu od naziomu, powiększonej o wartość
równomiernego obcią\
enia naziomu skarpy:
à = łz + p
0
Å‚ - ciÄ™\
ar objętościowy gruntu,
z - odległość rozpatrywanego punktu od naziomu,
p0 - obciÄ…\
enie naziomu.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
W związku z tym wzór Masłowa przyjmie postać:
c
tgÄ… = tgÈ = tgÕ +
Å‚z + p0
Wyznaczanie profilu statecznego zgodnie z metodą Masłowa polega na określaniu
wartości kąta ąi z powy\
szego wzoru dla ró\
nych wartości zi. Na tej podstawie
wykreślić mo\
na kształt profilu skarpy statecznej. W gruncie uwarstwionym ka\
dÄ…
warstwÄ™ i nale\
y podzielić na j warstewek o jednakowej grubości w obrębie
warstwy. KÄ…t nachylenia skarpy w warstewce i,j mo\
na obliczyć ze wzoru:
ci
tgÄ…ij = tgÈij = tgÕi +
Å‚ zij + p0
i
Ä…ij - kÄ…t nachylenia skarpy w warstewce j w warstwie i,
Èij - kÄ…t oporu Å›cinania na poziomie spÄ…gu warstewki j w warstwie i,
Õi,ci - parametry oporu Å›cinania w warstwie i,
łi - średni cię\
ar objętościowy warstwy,
zij - odległość spągu warstewki j w warstwie i od naziomu.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
5
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Wyznaczanie kształtu profilu skarpy w ośrodku jednorodnym
0 20 4 60
0
x
Ä…3
1
0
Ä…2
20
Ä…1
3
0
z
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Wyznaczanie kształtu profilu skarpy w ośrodku niejednorodnym
P0
x
Ć1,g1
c1, h1
Ć2,g2
c2, h2
Zi-1,j
Ći,gi
zij ci, hi
z
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
6
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Dla ośrodka jednorodnego, mo\
liwe jest uzyskanie wzoru analitycznego,
określającego równanie profilu skarpy. W tym celu przyjmuje się układ
współrzędnych w taki sposób, aby jego początek pokrywał się z górną krawędzią
skarpy.
0 20 4 60
0
H90=2c tg(45+Ć/2)/g
x
x
z
1
0
Ä…
z=f(x)
0
2
3
0
z
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Równanie Masłowa mo\
na przedstawić w postaci:
dz(x) c
tgÄ… = = tgÈ = tgÕ +
dx Å‚z + p0
W celu rozwiązania równania ró\
niczkowego rozdzielamy zmienne i w wyniku
tego działania otrzymujemy:
Å‚z + p0
( )
dz = dx
tgÕ Å‚z + p0 + c
( )
Po scałkowaniu wyra\
enia otrzymuje siÄ™:
1 îÅ‚ c
( )
[tgÕ ]Å‚Å‚ = x + D
ïÅ‚z - ln Å‚z + p0 + c śł
tgÕ Å‚tgÕ
ðÅ‚ ûÅ‚
StaÅ‚Ä… caÅ‚kowania D znajdujemy z warunków granicznych: dla z = 0 Ò! x = 0,
c
D = - ln p0tgÕ + c
( )
Å‚tg2Õ
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
7
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Po podstawieniu stałej otrzymuje się ostateczną postać wzoru na określanie
kształtu profilu skarpy:
1
x = Å‚z + p0 tgÕ + c
( ) ( )
{Å‚ztgÕ + c ln p0tgÕ + c - c ln[ ]}
Å‚tg2Õ
W przypadku, gdy naziom jest nieobciÄ…\
ony (po = 0), wzór określający kształt
profilu skarpy ma postać:
1
x =
{Å‚ztgÕ + c ln c - c ln[Å‚ztgÕ + c]}
Å‚tg2Õ
Dla gruntów idealnie sypkich (c=0):
tgÄ… = tgÕ
Wynika stÄ…d, \
e nieobciÄ…\
ona skarpa wykonana z gruntów sypkich nachylona jest
pod stałym kątem, równym kątowi tarcia wewnętrznego. Jest to zgodne z
obserwacjami i innymi rozwa\
aniami teoretycznymi. Dla gruntów idealnie
spoistych (Õ = 0), ró\
niczkowe równanie kształtu profilu ma postać:
dz c
tgÄ… = =
dx Å‚z + p
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Całkując powy\
sze równanie ró\
niczkowe, oraz uwzględniając warunki
brzegowe: dla z = 0, x = 0 Ò! D = 0, otrzymujemy nastÄ™pujÄ…cy wzór na
kształt profilu skarpy statecznej:
Z równań tych wynika, \
e dla górotworu
Å‚z2 p0
zbudowanego z gruntów idealnie spoistych,
x = + z
stateczna skarpa ma kształt paraboli. Z rozwa\
ań
2c c
teoretycznych oraz obserwacji wynika, \
e profil
a dla naziomu nieobciÄ…\
onego:
skarpy określony na podstawie metody Masłowa
Å‚z2
dla gruntów spoistych charakteryzuje pewien
x =
nadmiar stateczności.
2c
Dlatego te\
niekiedy postuluje siÄ™, aby skarpÄ™ zaprojektowanÄ… z zastosowaniem
metody Masłowa podwy\
szyć o odcinek skarpy pionowej o wysokości:
Pomimo szeregu wątpliwości natury teoretycznej metoda
2c Õ
öÅ‚
Masłowa Fp dobrze opisuje geometrię skarp statecznych,
H90 = tgëÅ‚45 +
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ szczególnie wówczas, gdy spójność gruntu wynika ze stanu
wodno-koloidalnego a nie z cech strukturalnych gruntu.
Skarpy zaprojektowane wg tej metody cechuje z reguły pewien nadmiar stateczności, w
związku z tym jej stosowanie jest dość bezpieczne. Wadą metody Masłowa jest
niemo\
liwość uwzględnienia wpływu powierzchni nieciągłości (powierzchni kontaktu
warstw, nieciągłości tektonicznych i t.p) na warunki stateczności.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
8
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Wyznaczyć profil stateczny za pomocą metody Masłowa dla następujących
danych: wysokość zbocza 20 m; cię\
ar objętościowy gruntu 20 kN/m3; obcią\
enie
naziomu 10 kN/mb; kąt tarcia wewnętrznego gruntu 200; kohezja 50 kPa.
z Ä… x
2c Õ
öÅ‚
0 0 0
H90 = tgëÅ‚45 + = 7.14 m
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 53.75285 1.466308
0
0
4 42.59934 3.641342
1.466
3.641
6 36.818 6.313047
4
6.313
8 33.34843 9.352155 9.352
8
12.67
10 31.05069 12.67405
16.22
12
19.95
12 29.4217 16.22034
23.83
16
27.84
14 28.2084 19.94901
31.95
20
16 27.27044 23.82885
0 10 20 30 40
Odległość x, m
18 26.52403 27.83602
20 25.91611 31.95191
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Metoda Sokołowskiego bazuje na rozwiązaniach teorii równowagi granicznej.
W teorii tej zakłada się, \
e w ka\
dym punkcie ośrodka spełnione są równania
równowagi wewnętrznej ciała dla zadania płaskiego, w postaci:
"Ã "Ä
üÅ‚
x xz
+ = X
ôÅ‚
ôÅ‚
"x "z
żł
"Ã "Ä
z xz
ôÅ‚
+ = Y
ôÅ‚
"z "x þÅ‚
W równaniach tych występują trzy niewiadome składowe tensora naprę\
eń w
płaskim stanie naprę\
enia. Dla rozwiązania zadania o rozkładzie naprę\
eń w
ośrodku przy zadanych warunkach brzegowych, konieczne jest sformułowanie
trzeciego równania, zwanego równaniem stanu lub równaniem konstytutywnym
ośrodka. W teorii stanów granicznych zakłada się, \
e równaniem tym jest
warunek stanu granicznego wytÄ™\
eniowej hipotezy Coulomba-Mohra, w postaci:
2
2
Ãx - Ã + 4Äxy
( )
y
= sin2 Õ
2
Ãx + Ã + 2c Å"ctgÕ
( )
y
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
9
GÅ‚
Ä™
boko
ść
z, m
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Zakłada się przy tym, \
e grunt jest ciałem sztywno-plastycznym, jednorodnym
i izotropowym, w którym parametry hipotezy Coulomba-Mohra są stałe w
rozpatrywanym obszarze i nie zale\
ą od współrzędnych.
Rozwiązując układ równań dla danych warunków brzegowych mo\
na uzyskać
szereg rozwiązań praktycznych, głównie z dziedziny nośności podło\
a i
stateczności skarp. Zastosowaniem teorii stanów granicznych do
rozwiązywania problemów stateczności skarp zajmował się Sokołowski
(1942), który zastosował metodę charakterystyk całkowania układu.
W tym celu wprowadził on dwie nowe zmienne wią\
ące ze sobą składowe
tensora naprÄ™\
eń, a mianowicie:
odległość środka granicznego koła Mohra od punktu przecięcia prostej
granicznej hipotezy Coulomba-Mohra z osiÄ… naprÄ™\
eń normalnych:
1
p = c Å"ctgÕ + Ã1 + Ã3
( )
2
1
psinÕ = Ã1 - Ã3
( )
2
kÄ…t utworzony przez maksymalne naprÄ™\
enie główne z osią pionową.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Zgodnie z hipotezą Coulomba-Mohra powierzchnie poślizgu tworzą z
kierunkiem maksymalnego naprÄ™\
enia głównego kąt:
Ä„ Õ
É = -
4 2
(a) Ä
y (b)
Ã3
¸
ÄM
É
É c Ã
Ć ÃM
Ã1
pk
Ã3
x Ã1
Ilustracja graficzna zało\
eń teorii stanów granicznych
a - kierunki naprÄ™\
eń głównych oraz linii poślizgu, b - konstrukcja koła Mohra
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
10
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
W związku z tym kąty utworzone przez powierzchnie poślizgu z osią pionową
wynosić będą:
Ä„ Õ Ä„ Õ
¸ - + = ¸ - Ö oraz: ¸ + - = ¸ + Ö
4 2
4 2
Wykorzystując związki pomiędzy naprę\
eniami głównymi a składowymi tensora
naprÄ™\
eń w postaci:
Ã1 + Ã3 + Ã1 - Ã3 cos2¸
üÅ‚
Ãx =
ôÅ‚
2 2
Ã1 + Ã3 Ã1 - Ã3 ôÅ‚
ôÅ‚
à = - cos2¸
żł
y
2 2
ôÅ‚
Ã1 - Ã3
ôÅ‚
Äxy = sin 2¸
ôÅ‚
2
þÅ‚
Ãx = p 1+ sinÕ cos2¸ - pk üÅ‚
( )
ôÅ‚
otrzymuje siÄ™:
à = p 1- sinÕ cos2¸ - pk żł
( )
y
ôÅ‚
Äxy = psinÕ sin¸
þÅ‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Ró\
niczkując te równania i podstawiając uzyskane związki do równań równowagi
wewnętrznej otrzymuje się następujący układ równań ró\
niczkowych:
"p "¸
+ 2 ptgÕ + tg ¸ + Ö + 2 ptgÕtg ¸ + Ö =
( )"p ( )"¸
"x "x "y "y
- X sin ¸ - Ö - Y cos ¸ - Ö
( ) ( )
=
cosÕ cos ¸ - Ö
( )
"p "¸
- 2 ptgÕ + tg ¸ - Ö - 2 ptgÕtg ¸ - Ö =
( )"p ( )"¸
"x "x "y "y
X sin ¸ + Ö - Y cos ¸ + Ö
( ) ( )
=
cosÕ cos ¸ - Ö
( )
Powy\
szy ukÅ‚ad równaÅ„, w którym niewiadomymi sÄ… wielkoÅ›ci p i ¸, stanowi
układ cząstkowych równań ró\
niczkowych qasi-liniowych, typu hiperbolicznego.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
11
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Sokołowski rozpatrywał on dwa podstawowe zagadnienia. Pierwsze z nich
dotyczyło określenia maksymalnego, granicznego obcią\
enia naziomu skarpy o
danym kącie nachylenia, a drugie określenia geometrii skarpy, gwarantującej
zachowanie stateczności. Zgodnie z rozwiązaniem Sokołowskiego,
graniczną wartość obcią\
enia naziomu skarpy w punkcie A
pokrywającym się z jej górną krawędzią obliczyć mo\
na ze wzoru:
Å„Å‚
pmax = c Å"ctgÕòÅ‚1+ sinÕ exp Ä„ - 2¸A tgÕ
( )
[ ]-1üÅ‚
żł
ół1- sinÕ þÅ‚
p(y)
gdzie:
pmax - maksymalne obciÄ…\
enie
y
A
skarpy w rejonie górnej
krawędzi,
c,Õ - parametry oporu Å›cinania
gruntów,
¸A
¸A - kÄ…t nachylenia skarpy w
punkcie A.
Schemat wyznaczania nośności skarpy x
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Rozwiązanie zadania dotyczącego określania kształtu profilu skarpy statecznej
jest znacznie trudniejsze z matematycznego punktu widzenia. Do chwili obecnej
udaÅ‚o siÄ™ rozwiÄ…zać to zadanie jedynie dla gruntów idealnie spoistych (Õ = 0).
Wzór na kształt profilu skarpy statecznej ma wówczas postać:
p0
cosëÅ‚ -1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2c íÅ‚ Å‚Å‚
2c
y = ln
p0 Å‚
Å‚
cosëÅ‚ -1- zöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2c 2c
gdzie:
p0 - obciÄ…\
enie górnej krawędzi skarpy obliczane ze wzoru:
2c
p0 =
Å‚
KsztaÅ‚t profilu skarpy dla przypadku gdy Õ jest ró\
ne od zera mo\
na określać
z nomogramów sporządzonych przez Muchina i Sargowiczową, na podstawie
całkowania numerycznego równań teorii stanów granicznych,
przeprowadzonego zgodnie z metodą zaproponowaną przez Sokołowskiego.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
12
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Krzywe, dla ró\
nych wartości kąta tarcia wewnętrznego, zostały sporządzone
w układzie współrzędnych bezwymiarowych, przy zało\
eniu, \
e c=1 i Å‚ =1.
Dla określenia współrzędnych rzeczywistych statecznego profilu skarpy,
wartości określone z nomogramu nale\
y pomno\
yć przez iloraz spójności i
ciÄ™\
aru objętościowego zgodnie z poni\
szymi wzorami:
40.00 20.00 H=2c/Å‚tg(45+Õ/2)
20.00
c
x = x
y
Å‚
Õ=50
Õ=100
c
Õ=150
y = y
Å‚ Õ=200
20.00
Õ=250
x, y - odczytane z wykresu
Õ=300
współrzędne skarpy statecznej w
Õ=350
układzie współrzędnych
40.00
bezwymiarowych,
Õ=400
x,y - współrzędne rzeczywiste
Õ=450
profilu statecznego
x
Nomogram do określania kształtu profilu skarp statecznych
60.00
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
Zaprojektowane wg podanej metody zbocze mo\
na obciÄ…\
yć do wartości:
cosÕ Õ
öÅ‚
p0 = 2c = 2c Å"tgëÅ‚45 +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚
1- sinÕ 2Å‚Å‚
lub usypać na nim warstwę gruntu o wysokości wzoru:
p0 2c cosÕ 2c Õ
öÅ‚
h = = = Å"tgëÅ‚45 +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚
Å‚ Å‚ 1- sinÕ Å‚ 2Å‚Å‚
Analizując kształt zboczy statecznych, uzyskanych z zastosowania teorii
równowagi granicznej Sokołowskiego, Senkow (1950) udowodnił, \
e mo\
na je
opisać zale\
nością funkcyjną. Dlatego te\
opisana ni\
ej metoda nosi nazwÄ™
metody Sokołowskiego-Senkowa. Zgodnie z metodą tą kształt profilu statecznego
opisuje równanie:
Å„Å‚Ä„ 1Å"exp 3m Å‚Å‚
üÅ‚
îÅ‚
(- ) 1Å"3Å"5Å"exp(-5m)
z = -Ä… - (- m + + +....śłżł - ytgÕ
)
òÅ‚
ïÅ‚exp
2 2Å"3 2Å"4Å"6
ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
ą - współczynnik zale\
ny od własności gruntów, określany z wzoru:
2c 1+ sinÕ
Ä… =
Å‚ 1- sinÕ
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
13
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
z
y
h=2c/Å‚tg(45+Õ/2)
¸0
Schemat obliczeniowy do metody Sokołowskiego-Senkowa
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, określanie kształtu profilu statecznego
y
m - współczynnik określany ze wzoru:
m =
Ä…
Analiza wzoru wykazuje, \
e wyrazy sumy bardzo szybko malejÄ… do zera, w miarÄ™
wzrostu współrzędnej y. Dlatego te\
, z wystarczającą do celów praktycznych
dokładnością mo\
na stosować wzór uproszczony, w którym uwzględnia się
jedynie pierwszy składnik sumy:
îÅ‚Ä„ 1 Å‚Å‚
z = -Ä… - - ytgÕ
ïÅ‚
2 exp(m)śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zaprojektowane wg podanej metody zbocze znajdujące się w stanie równowagi
granicznej będzie mogło wytrzymać obcią\
enie naziomu o wartości:
cosÕ Õ
öÅ‚
p0 = 2c = 2c Å"tgëÅ‚45 +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚
1- sinÕ 2Å‚Å‚
RozpatrujÄ…c obciÄ…\
enie jako ciÄ™\
ar warstwy gruntu, jej wysokość mo\
na określić
ze wzoru:
p0 2c cosÕ 2c Õ
öÅ‚
h = = = Å"tgëÅ‚45 +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚
Å‚ Å‚ 1- sinÕ Å‚ 2Å‚Å‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
14
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Główne zało\
enia tych Metod Równowagi Granicznej są następujące:
Znany jest kształt i poło\
enie powierzchni poślizgu. W praktyce przyjmuje
się najczęściej, \
e powierzchnia poślizgu ma kształt linii prostej, wycinka
okręgu, spirali logarytmicznej, dowolnej krzywej lub linii łamanej.
Wzdłu\
powierzchni poślizgu spełnione są warunki stanu granicznego. Dla
określenia stanu granicznego stosuje się najczęściej wytę\
eniowÄ… hipotezÄ™
Coulomba-Mohra.
W przypadku ró\
nej od prostoliniowej powierzchni poślizgu potencjalną
bryłę osuwiskową dzieli się na bloki (paski) o ściankach pionowych,
zgodnie z metodÄ… zaproponowana przez Pettersona (1916 r). Na boczne
powierzchnie pasków działają siły wzajemnego oddziaływania, których
charakter jest odmienny w ró\
nych metodach.
Miarą stateczności zbocza jest wskaz
nik stateczności, który pierwotnie
definiowany był jako iloraz sił utrzymujących i zsuwających:
"Fu
FS =
"Fz
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
gdzie:
FS - wskaz
nik stateczności,
Fu - siły utrzymujące równowagę,
Fz - siły zsuwające,
Wskaz
nik stateczności mo\
na równie\
wyrazić jako iloraz zmobilizowanych
naprÄ™\
eń stycznych związanych z wytrzymałością na ścinanie ośrodka oraz
naprÄ™\
eń ścinających wywołanych przez siły cię\
kości oraz inne oddziaływania
występujące w masywie:
Ä
c +ÃtgÕ
f
FS = =
Äd Ä
d
gdzie:
Äf - maksymalny opór Å›cinania gruntów, okreÅ›lany w oparciu o hipotezÄ™
Coulomba-Mohra,
Äd - naprÄ™\
enie ścinające,
c - spójność,
Ć - kąt tarcia wewnętrznego,
à - naprę\
enie normalne wzdłu\
powierzchni poślizgu
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
15
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Przy takim zdefiniowaniu wskaz
nika stateczności, spełniony jest związek:
ÃtgÕ c
Ä = +
d
FS FS
Wzór ten określa ró\
nice pomiędzy naprę\
eniami istniejÄ…cymi w masywie a jego
wytrzymałością. Przyjmowana najczęściej jednakowa wartość wskaz
nika
stateczności dla spójności i kąta tarcia wewnętrznego budzi powa\
ne wątpliwości.
Niekiedy postuluje się, aby przyjmować ró\
ne, określane na podstawie
statystycznej analizy wyników badań wytrzymałościowych, wartości FS dla
spójności i kąta tarcia wewnętrznego.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
bi
(a)
i
ci/·
Xi
Ti/·
Wi
Xi+1
Ei
Wi
Ri
Rozkład sił działających
Ei+1 Õi
Ni
"Xi
na bloki w metodach
"Ei
równowagi granicznej
Ti
Ni
a) w naprÄ™\
eniach
Ä…i
całkowitych,
(b)
b) w naprÄ™\
eniach
bi
efektywnych (z
uwzględnieniem
Xi ci/·
hi
filtracji)
Ti/·
Wi
Wi
Ei
Xi+1
Ri
hwi
Ei+1 Ni
"Xi
Ui
"Ei
Ni
Ti
Ui
Ä…i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
16
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Zgodnie z powy\
szymi zało\
eniami na pojedynczy blok wyodrębniony z
masywu działa układ sił, których rozkład ilustruje rysunek. Przyjęto na nim
następujące oznaczenia:
bi - szerokość bloku i,
hi - wysokość bloku i,
Ä…i - kÄ…t nachylenia do poziomu bloku i,
Li - długość podstawy bloku i,
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
Ni - wartość reakcji normalnej w podstawie bloku i,
Ei,Ei+1 - składowe poziome sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Xi,Xi+1 - składowe pionowe sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Ti - zmobilizowana siła oporu ścinania w podstawie bloku i,
Ui - siła parcia wody na podstawę bloku,
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
PrzyjmujÄ…c, \
e potencjalna bryła została podzielona na n bloków, liczba
niewiadomych, które nale\
y określić dla sprawdzenia jej stateczności jest
następująca:
liczba reakcji normalnych N w podstawie bloków - n,
liczba punktów przyło\
enia sił normalnych do podstawy bloków - n,
liczba sił normalnych E na bokach pasków - n-1,
liczba punktów przyło\
enia tych sił - n-1,
liczba sił stycznych do bocznych powierzchni bloków - n-1,
liczba sił stycznych w podstawie bloków - n,
wskaz
nik stateczności FS - 1.
SumujÄ…c powy\
sze wartości mo\
na więc stwierdzić, \
e całkowita liczba
niewiadomych wynosi 6n-2.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
17
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Do rozwiązania zadania dysponujemy następującą liczbę równań:
suma sił na kierunek poziomy - n,
suma sił na kierunek pionowy - n,
suma momentów - n,
warunek stanu granicznego - n.
Całkowita liczba równań jest więc równa 4n. Mo\
na więc stwierdzić, \
e zadanie
jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalne (liczba niewiadomych o 2n-2
przekracza liczbę równań równowagi).
Z tego względu konieczne jest przyjmowanie dodatkowych zało\
eń,
dotyczących głównie rozkładu sił pomiędzy blokami oraz warunków
równowagi, których spełnienie gwarantuje zachowanie stateczności.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Stateczność zbocza o nieograniczonej długości bez filtracji
Z analizą stateczności zboczy o nieskończonej długości mamy do czynienia
najczęściej wówczas, gdy na mocniejszym podło\
u o niewielkim nachyleniu
zalega warstwa materiału o ni\
szych wartościach parametrów
wytrzymałościowych.
Z du\
a dozą prawdopodobieństwa mo\
na wówczas przyjąć, \
e poślizg nastąpi
po powierzchni kontaktu gruntów słabych i mocniejszego podło\
a.
W górnictwie podobna sytuacja występuje przy powiększaniu starych,
skonsolidowanych zwałów, podczas sypania na stok.
Analiza stateczności w takim przypadku ogranicza się do paska o ograniczonej
szerokości, na który działają siły jak na rysunku.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
18
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
L
W
H
F
WT
F
WN
T
²
Schemat obliczeniowy analizy
stateczności nieskończonego zbocza
bez filtracji
N
R
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Na rysunku przyjęto następujące oznaczenia:
W - ciÄ™\
ar bloku:
W = Å‚LH
WN - składowa normalna siły cię\
kości:
WN = W cos ² = Å‚LH cos ²
WT - składowa styczna siły cię\
kości, która jest siłą zsuwającą (zmierzającą
do naruszenia stanu równowagi):
W = W sin ² = Å‚LH sin ²
T
F - siły oddziaływania pomiędzy blokami. Zakłada się, \
e siły te są równoległe
do powierzchni skarpy i są sobie równe. Zało\
enie takie jest usprawiedliwione,
poniewa\
ruch mas osuwiskowych jest ruchem postępowym.
N - reakcja normalna. Z warunku rzutów na kierunek normalnej do podstawy
otrzymujemy:
N = W = Å‚LH cos ²
N
T - siły oporu ścinania, określane w oparciu o hipotezę wytrzymałościową
Coulomba-Mohra:
Ä = ÃtgÕ + c
f
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
19
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Po podstawieniu wy\
ej zdefiniowanych wielkości otrzymuje się:
L L L
T = Ä = NtgÕ + c = Å‚LH cos ²tgÕ + c
f
cos² cos ² cos ²
Z przedstawionej wy\
ej definicji wskaz
nika stateczności wynika, \
e:
T Å‚LH cos2 ²tgÕ + cL Å‚H cos2 ²tgÕ + c tgÕ c
"Fu
FS = = = = = +
WT Å‚LH sin ² cos ² Å‚H cos2 ²tg² tg² Å‚H cos2 ²tg²
"Fz
Ostatecznie wzór na wartość wskaz
nika stateczności zbocza o nieskończonej
długości bez uwzględnienia filtracji przyjmie postać:
tgÕ c
FS = +
tg² Å‚H cos2 ²tg²
Na podstawie powy\
szego wzoru obliczyć mo\
na graniczną wysokość zsuwającej
siÄ™ warstwy w stanie granicznym. PrzyjmujÄ…c, \
e FS=1.0 otrzymamy:
c 1
Wzór ma sens, je\
eli
H = Hkr = Å"
speÅ‚niony jest warunek: ² > Õ
Å‚ cos2 ² tg² - tgÕ
( )
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Linie przepływu
L
F
W
T
h
w
W
N
F
W
H
Linie ekwipotencjalne
T
N
b
U
N
R
Stateczność zbocza o nieskończonej długości z uwzględnieniem filtracji
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
20
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
21
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Przyjęto na nim następujące oznaczenia:
W - ciÄ™\
ar bloku:
W = Å‚ LH
sr
gdzie:
L - szerokość bloku
H - grubość zsuwającej się warstwy,
Å‚sr- ciÄ™\
ar objętościowy gruntu całkowicie nasączonego wodą,
WN - składowa normalna siły cię\
kości:
WN = W cos ² = Å‚ LH cos ²
sr
gdzie:
² - kÄ…t nachylenia zbocza,
WT - składowa styczna siły cię\
kości, która jest siłą zsuwającą (zmierzającą do
naruszenia stanu równowagi):
W = W sin ² = Å‚ LH sin ²
T sr
F - siły oddziaływania pomiędzy blokami. Zakłada się, \
e siły te są równoległe
do powierzchni skarpy i są sobie równe,
N - reakcja normalna w podstawie bloku:
N = WN = Å‚ LH cos ²
sr
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
T - siły oporu ścinania, określane w oparciu o hipotezę wytrzymałościową
Coulomba-Mohra:
Ä = (Ã - u)tgÕ, + c,
f
gdzie:
2
u - ciśnienie porowe:
u = Å‚ h = Å‚ H cos ²
w w w
Uwzględniając, \
e:
L
' '
N = N -U = Å‚ LH cos² - u = LH cos² Å‚ - Å‚ = LH cos²Å‚
( )
sr sr w
cos²
otrzymujemy:
L L L
' '
T = Ä = N tgÕ' + c' = Å‚ LH cos²tgÕ' + c'
f
cos ² cos² cos ²
' ' '
T Å‚ LH cos2 ²tgÕ'+c'L Å‚ H cos2 ²tgÕ + c'
"Fu
FS = = = = =
WT Å‚ LH sin ² cos ² Å‚ H cos2 ²tg²
"Fz sr sr
Å‚ ' tgÕ' c'
= +
Å‚ tg² Å‚ H cos2 ²tg²
sr sr
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
22
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Ostatecznie wzór na wartość wskaz
nika stateczności dla zbocza nieskończenie
długiego, przy zało\
eniu, \
e przez całą, potencjalnie zsuwającą się warstwę
przepływa woda, przyjmuje postać:
'
Å‚ tgÕ' c'
FS = +
Å‚ tg² Å‚ H cos2 ²tg²
sr sr
gdzie:
Å‚ - ciÄ™\
ar objętościowy gruntu z uwzględnieniem wyporu wody,
Õ ,c - efektywne wartoÅ›ci parametrów wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych
' '
Å‚ tgÕ
Dla gruntów idealnie sypkich (c=0) wzór przyjmuje postać:
FS = Å"
Å‚ tg²
sr
Na podstawie wzoru na wartość wskaz
nika stateczności obliczyć mo\
na
graniczną wysokość zsuwającej się warstwy. Przyjmując, \
e FS=1.0 otrzymamy:
Wzór ma sens, je\
eli
c'
H = Hkr =
spełniony jest warunek:
'
cos2 ² tg² - Å‚ tgÕ' '
(Å‚ )
sr
Å‚
tg² > tgÕ'
Å‚
sr
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Analiza stateczności przy zało\
eniu płaskiej powierzchni
poślizgu (metoda Cullmana 1875 r)
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
WT
WT
WT
WT
WT
WT
WT
WT
WT
WN
WN
WN
WN
WN
WN
WN
WN
WN
W
W
W
W
W
W
W
W
W
H
H
H
H
H
H
H
H
H
T
T
T
T
T
T
T
T
T
N
N
N
N
N
N
N
N
N
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
²
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Schemat obliczeniowy metody Cullmana
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
23
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
W metodzie tej zakłada się, \
e powierzchnia poślizgu ma kształt płaszczyzny
przechodzącej przez dolną krawędz
skarpy. Mo\
e być ona stosowana do
analizy stateczności skarp stromych, w których przebieg powierzchni
poślizgu uwarunkowany jest naturalnymi defektami strukturalnymi
występującymi w górotworze, takimi jak powierzchnie kontaktu warstw,
nieciągłości tektoniczne, powierzchnie spękań, zlustrowań i t.p.
W - ciÄ™\
ar klina ABC: W = Å‚H BC Å"(1)
( )
gdzie:
Å‚ - ciÄ™\
ar objętościowy,
H - wysokość skarpy,
(BC) - długość odcinka BC,
(1) - jednostkowa długość w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej
płaszczyzny.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Uwzględniając, \
e:
sin ² - Ö
( )
BC = HctgÖ - Hctg² = H
( )
sin ² sinÉ
ciÄ™\
ar bloku ABC obliczyć mo\
na ze wzoru:
sin ²
îÅ‚ - Ö Å‚Å‚
1 ( )
2
W = Å‚H
ïÅ‚sin ² sinÖ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
WN - składowa normalna siły cię\
kości:
sin ²
îÅ‚ - Ö Å‚Å‚
1 ( )
2
WN = W cosÉ = Å‚H cosÖ
ïÅ‚sin ² sinÖ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
WT - składowa styczna siły cię\
kości (siła zsuwająca):
sin ²
îÅ‚ - Ö Å‚Å‚
1 ( )
2
W = W sinÉ = Å‚H
T
ïÅ‚sin ² sinÖ śłsinÖ
2
ðÅ‚ ûÅ‚
N - reakcja normalna do powierzchni poślizgu:
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
24
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
sin ²
îÅ‚ - Ö Å‚Å‚
1 ( )
2
N = W = Å‚H cosÖ
N
ïÅ‚sin ² sinÖ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
T - siły oporu ścinania, określane w oparciu o hipotezę wytrzymałościową
Coulomba-Mohra:
Ä = ÃtgÕ + c
f
T = Ä Å" = NtgÕ + c
f (AC) (AC)
Uwzględniając, \
e:
H
AC =
( ) otrzymujemy:
sinÉ
sin ²
îÅ‚ - Ö Å‚Å‚
1 ( ) H
2
T = Å‚H cosÖtgÕ + c =
ïÅ‚sin ² sinÖ śł
2 sinÖ
ðÅ‚ ûÅ‚
Å„Å‚1 sin ² Å‚Å‚
îÅ‚ - Ö üÅ‚
H ( )
= Å‚H cosÖ sinÖtgÕ + cżł
òÅ‚
ïÅ‚sin ² sinÖ śł
sinÖ
ðÅ‚ ûÅ‚
ół2 þÅ‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Z definicji wskaz
nika stateczności wynika, \
e:
T tgÕ 2c sin ²
"Fu
FS = = = + Å"
WT tgÖ Å‚H sinÖ sin(² -Ö )
"Fz
Z przedstawionego wzoru wynika, \
e wskaz
nik stateczności jest funkcją kąta
nachylenia powierzchni poślizgu. Jego minimalna wartość występuje, gdy
spełniony jest warunek:
² + Õ
"FS ObliczajÄ…c pierwszÄ… pochodnÄ… i
Ö = Ö =
kr
= 0
przyrównując ją do zera znajdujemy, \
e: 2
"Ö
Ostateczny wzór na minimalną wartość wskaz
nika stateczności przyjmie
postać:
tgÕ[1+ cos(² +Õ)]+ 2c sin ²
FSmin = Å"
sin(² +Õ) Å‚H sin[0.5(² +Õ)]sin[0.5(² -Õ)]
Podstawiając FSmin=1 obliczyć mo\
na krytyczną wysokość zbocza
statecznego ze wzoru:
îÅ‚ Å‚Å‚
4c sin ² cosÕ
Hkr =
ïÅ‚1
Å‚ - cos ² - Õ
( )śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
25
Slope Stability, Limit Equilibrium Methods
Wyznaczyć minimalną wartość wskaz
nika stateczności za pomocą metody
Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 20 m; cię\
ar objętościowy
gruntu 20 kN/m3; kąt nachylenia zbocza 400 ; kąt tarcia wewnętrznego gruntu 200;
kohezja 20 kPa.
FSmin =1.371
Hkr = 40.063 m
Wyznaczyć minimalną wartość wskaz
nika stateczności za pomocą metody
Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 30 m; cię\
ar objętościowy
gruntu 22 kN/m3; kąt nachylenia zbocza 500 ; kąt tarcia wewnętrznego gruntu 250;
kohezja 30 kPa.
FSmin =1.136
Hkr = 40.419 m
Wyznaczyć minimalną wartość wskaz
nika stateczności za pomocą metody
Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 35 m; cię\
ar objętościowy
gruntu 23 kN/m3; kąt nachylenia zbocza 450 ; kąt tarcia wewnętrznego gruntu 270;
kohezja 28 kPa.
FSmin =1.236
Hkr = 62.685 m
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
Metoda Felleniusa jest najstarszą z metod, które umo\
liwiajÄ… przeprowadzenie
analizy stateczności dla ró\
nych od prostoliniowej powierzchni poślizgu.
Opracowana ona została na podstawie wyników badań Szwedzkiej Komisji
Geotechnicznej, której prace prowadzone były w latach 1916-1925. Metoda ta
wykorzystuje podział potencjalnej bryły osuwiskowej na bloki (paski) pionowe.
Z powy\
szych względów metoda ta znana jest równie\
pod nazwÄ… metody
Pettersona-Felleniusa lub metody szwedzkiej.W metodzie Felleniusa przyjęto
następujące zało\
enia:
powierzchnia poślizgu ma kształt walca cylindrycznego,
siły oddziaływania pomiędzy blokami są równoległe do podstawy bloku i nie
wpływają na wartość reakcji normalnej do podstawy bloku oraz wartość sił oporu
ścinania,
wskaz
nik stateczności definiowany jest jako stosunek momentów sił biernych
(utrzymujących równowagę) i sił czynnych (zsuwających).
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
26
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
R sinÄ… i
O
bi
R
Wypadkowa sił oddziaływania
1
pomiędzy blokami wywołuje
2
i
H wprawdzie moment przy
analizie pojedynczego bloku,
ale ze względu na wewnętrzny
n
Ä… i
charakter tych sił wywołany
przez nie moment dla całej
bi
bryły względem dowolnego
i
punktu powinien być równy
zeru.
hi
E
i
W
i
E
i +1
Zało\
enia metody
Ä…i
Felleniusa
T
i
N
i
Ä… i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
Zało\
enia metody Felleniusa ilustruje rysunek, na którym przyjęto następujące
oznaczenia:
bi - szerokość bloku i,
hi - wysokość bloku i,
R - promień powierzchni poślizgu,
Ä…i - kÄ…t nachylenia do poziomu bloku i,
Li - długość podstawy bloku i,
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
Ni - wartość reakcji normalnej w podstawie bloku i,
N = W cosÄ…
i i i
Ti - zmobilizowana siła oporu ścinania w podstawie bloku i, określana z warunku
stanu granicznego Coulomba-Mohra. Wartość zmobilizowanych sił oporu ścinania
określić mo\
na ze wzoru:
Ä
1
f
Ä = = (ÃtgÕ + c)
FS FS
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
27
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
Mno\
Ä…c to wyra\
enie przez powierzchniÄ™ podstawy bloku (1.Li) otrzymujemy:
1 1
Ti = (NitgÕi + ciLi)= (Wi cosÄ…itgÕi + ciLi )
FS FS
Równanie równowagi momentów względem środka potencjalnej powierzchni
poślizgu przyjmuje postać:
skÄ…d:
Mio = TiR - Wi RsinÄ…i = 0
" " "
1
(Wi cosÄ…itgÕi + ciLi)= sinÄ…i
" "Wi
FS
przyjmujÄ…c, \
e: FS = const.
dla wszystkich bloków, otrzymamy po przekształceniach podstawową postać
wzoru na wartość wskaz
nika stateczności:
cosÄ…itgÕi +ciLi)
"(Wi
FS =
sinÄ…i
"Wi
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
Dla ośrodka zawodnionego, gdzie w podstawie bloku działają siły wyporu o
wartości:
'
N = N - u L = W cosÄ… - u L
( )
i i i i i i i i
wzór na wartość wskaz
nika stateczności ma postać:
[(Wi cosÄ…i -uiLi)tgÕi' + ci'Li]
"
FS =
sinÄ…i
"Wi
gdzie:
ui - ciśnienie wody w podstawie bloku i,
Õi ,ci - efektywne parametry oporu Å›cinania.
Przy zało\
eniu, \
e szerokość bloków jest niewielka, ich cię\
ar mo\
na obliczyć ze
wzoru:
W = b hł
i i i i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
28
Slope Stability, LEM  Metoda Felleniusa, 1925
Uwzględniając, \
e:
bi
Li =
cosÄ…i
wartość wskaz
nika stateczności określić mo\
na ze wzoru:
bi
[(hiłi
"cosÄ… cos2 Ä…i -ui)tgÕi' + ci']
i
FS =
hiłi sinąi
"bi
Ze względu na przyjęte zało\
enia (nie uwzględnianie sił pomiędzy blokami)
metoda Felleniusa daje z reguły wyniki ni\
sze ni\
inne metody analizy
stateczności. W porównaniu z metodą Bishopa ró\
nice te wynoszÄ… od 5 do 20%, a
niekiedy nawet do 60%. Zani\
one wartości wskaz
ników stateczności stawiają tą
metodÄ™ w grupie metod bezpiecznych a nawet asekuracyjnych. Pomimo tego
metoda ta jest często stosowana w praktyce, szczególnie wówczas, gdy sposób
określania parametrów wytrzymałościowych ośrodka jest niezbyt dokładny. Du\
Ä…
zaletą metody Felleniusa jest jej prostota. Jawna postać wzorów powoduje, \
e jej
praktyczne wykorzystanie nie wymaga stosowania drogich programów
obliczeniowych i komputerów.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
Podstawowe zało\
enia metody Bishopa sÄ… podobne jak w metodzie Felleniusa.
Podstawowe ró\
nice sprowadzają się do odmiennych zało\
eń odnośnie sił
oddziaływania pomiędzy blokami. Zało\
enia metody Bishopa są następujące:
powierzchnia poślizgu ma kształt walca cylindrycznego,
siły oddziaływania pomiędzy blokami są nieznane, a ich wartość określa się
metodą kolejnych prób przy zastosowaniu ogólnych równań równowagi
wewnętrznej.
wartość reakcji normalnej w podstawie bloku określa się z warunku rzutów
sil na kierunek pionowy,
wskaz
nik stateczności określany z równania równowagi momentów sił
względem środka potencjalnej powierzchni poślizgu. W równaniu tym nie
uwzględnia się sił oddziaływania pomiędzy blokami. Wypadkowa sił
oddziaływania pomiędzy blokami wywołuje wprawdzie moment przy
analizie pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych
sił wywołany przez nie moment dla całej bryły względem dowolnego punktu
powinien być równy zeru.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
29
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
R sin Ä… i
O
b
i
R
1
2
i
H
n
Ä… i
b
i
i
X
i
X
i+ 1
E i
h
i
E
i +1
W
i
z w g
Schemat obliczeniowy
h
w i
metody Bishopa

N
i
u li
T i
i
Ä… i
N
i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
Oznaczenia:
bi - szerokość bloku i,
hi - wysokość bloku i,
R - promień powierzchni poślizgu,
Ä…i - kÄ…t nachylenia do poziomu bloku i,
Li - długość podstawy bloku i,
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
Ni - wartość reakcji normalnej w podstawie bloku i,
Ei,Ei+1 - składowe poziome sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Xi,Xi+1 - składowe pionowe sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Ti - zmobilizowana siła oporu ścinania w podstawie bloku i.
Wartość zmobilizowanych sił oporu ścinania w podstawach pasków określa
siÄ™ z warunku stanu granicznego hipotezy Coulomba-Mohra, ze wzoru:
Ä
1 1
f
Ä = = (ÃtgÕ + c) Ti = (NitgÕi + ciLi)
skÄ…d:
FS
FS FS
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
30
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
Dla ośrodka zawodnionego:
1
Ti' = [(Ni - uiLi)tgÕi' + ci'Li]
skÄ…d:
Ni' = Ni - uiLi
FS
Z równania rzutów wszystkich sił na kierunek pionowy otrzymamy:
Wi + Xi - Xi+1 - Ni cosÄ…i - Ti sinÄ…i = 0
( )
PrzyjmujÄ…c, \
e:
"X = X - X
i i i+1
otrzymujemy wzór na wartość reakcji normalnej w podstawie paska:
ci
Wi + "Xi - Li sinÄ…i
FS
Ni =
1
cosÄ…i + tgÕi sinÄ…i
FS
PodstawiajÄ…c:
1 tgÄ…itgÕi
öÅ‚
cosÄ…i + tgÕi sinÄ…i = cosÄ…iëÅ‚1+ = mÄ…i
ìÅ‚ ÷Å‚
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
otrzymujemy, \
e:
ciLi sinÄ…i
Wi + "Xi -
FS
Ni =
mÄ…i
Równanie momentów dla całego masywu względem środka potencjalnej
powierzchni poślizgu ma postać:
1
sinÄ…i = (NitgÕi + ciLi )
R sinÄ…i = R
"Wi "
"W "T skÄ…d:
i i
FS
PrzyjmujÄ…c, \
e dla wszystkich pasków wartość wskaz
nika stateczności
FS=const., otrzymujemy następujący wzór na wartość wskaz
nika stateczności:
1
i
FS =
"[(W + "Xi)tgÕi + ciLi cosÄ…i]
sinÄ…i mÄ…i
"Wi
Dla ośrodka zawodnionego wzór na wartość efektywnej reakcji w podstawie
bloku ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
ci' sinÄ…i ÷Å‚
ìÅ‚
Wi + "Xi - LiìÅ‚ui cosÄ…i +
÷Å‚
FS
íÅ‚ Å‚Å‚
Ni' = Ni - uiLi =
'
mÄ…i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
31
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
skÄ…d:
1 [(Wi + "Xi - uiLi cosÄ…i)tgÕi' + ci'Li cosÄ…i]
FS =
"
'
sinÄ…i mÄ…i
"Wi
W powy\
szych równaniach występują nieznane wartości przyrostów sił
stycznych do bocznych powierzchni bloków, a więc równania te nie umo\
liwiajÄ…
wyznaczenia wskaz
nika stateczności w sposób bezpośredni, tak jak ma to
miejsce w metodzie Felleniusa. Wartości sił stycznych na bocznych
powierzchniach bloków mo\
na określić metodą kolejnych przybli\
eń,
wykorzystujÄ…c w tym celu fakt, \
e siły oddziaływania pomiędzy blokami są
siłami wewnętrznymi dla całego masywu, a więc ich suma musi być równa zeru.
Spełnione muszą więc być równania równowagi wewnętrznej w postaci:
Xi - Xi+1 = 0ôÅ‚
üÅ‚
( )
""X = "
i
żł
Ei - Ei+1 = 0
( ) ôÅ‚
""E = "
i
þÅ‚
Dodatkowe równanie wią\
ące siły styczne i normalne do bocznej powierzchni
bloku uzyskać mo\
na z równania rzutów wszystkich sił na kierunek stycznej
do podstawy, a mianowicie:
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
1
Ei - Ei+1 = Ti - Wi + Xi - Xi+1 tgÄ…i
( )
cosÄ…i
Po zsumowaniu dla wszystkich pasków i otrzymuje się związek w postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
i
Ei - Ei+1 =
"ðÅ‚(W + "Xi)tgÕi' + ciLi cosÄ…i -(Wi + Xi - Xi+1)tgÄ… śł
ïÅ‚
'
FSmÄ…i cosÄ…i
ûÅ‚
Powy\
sze równania pozwalają na wyznaczenie metodą kolejnych przybli\
eń
wartości wskaz
nika stateczności. Obliczenia rozpoczyna się od najwy\
szego
paska, na który siły wewnętrzne działają tylko z jednej strony a ich wartość
równa jest przyrostowi sił na szerokości paska. Ze względu na uwikłany
charakter wzorów na określanie wskaz
ników stateczności (wskaz
nik stateczności
występuje po lewej i prawej stronie równań, obliczenia te są bardzo
pracochłonne). Dlatego te\
w praktyce najczęściej stosuje się uproszczoną
metodę Bishopa, w której zakłada się, \
e składowe pionowe sił oddziaływania
pomiędzy paskami są równe zeru, czyli \
e spełniony jest warunek:
Xi - Xi-1 = 0
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
32
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
Z zało\
enia tego wynika, \
e siły oddziaływania pomiędzy paskami są poziome.
Wzór uproszczonej metody Bishopa przyjmuje wówczas postać:
1 [(Wi - uiLi cosÄ…i )tgÕi' + ci'Li cosÄ…i]
FS =
"
'
sinÄ…i mÄ…i
"Wi
a po podstawieniu:
bi = Li cosÄ…i
1 [(Wi - uibi )tgÕi' + ci'bi]
FS =
"
'
sinÄ…i mÄ…i
"Wi
Określanie wskaz
nika stateczności odbywa się na drodze iteracyjnej. W
pierwszym kroku przyjmuje się po prawej stronie równań wartość FS = 1.0 lub
te\
wartość określoną z uprzedniego zastosowania innej metody (np. metody
Felleniusa). Obliczenia iteracyjne wykonuje się do momentu, gdy spełniony jest
warunek:
FSo - FSz d" µ
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
FSo - FSz d" µ
gdzie:
FSo - obliczona wartość wskaz
nika stateczności w kolejnym kroku
iteracyjnym.
FSz - zało\
ona wartość wskaz
nika stateczności w kolejnym kroku iteracyjnym.
W obliczeniach praktycznych, gdy nie znane jest poło\
enie zwierciadła wód
gruntowych i ciśnienia porowego w podstawie paska, wpływ wody mo\
na
określać szacunkowo, wykorzystując pojęcie współczynnika ciśnienia
porowego, zdefiniowanego jako:
Å‚ hwi ui
w
ru = =
gdzie:
łhi łhi ru - współczynnik ciśnienia porowego,
hwi - wysokość zwierciadła wody w i-tym bloku,
hi - wysokość i-tego bloku
Å‚w - ciÄ™\
ar objętościowy bloku,
Å‚ - ciÄ™\
ar objętościowy gruntu.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
33
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
Podstawiając w miejsce ui wartość:
ui = ruhił
oraz uwzględniając, \
e:
Wi E" bihił
otrzymujemy następującą postać wzoru na wskaz
nik stateczności:
1 [Wi(1- ru )tgÕi' + ci'bi]
FS =
"
'
sinÄ…i mÄ…i
"Wi
W zagadnieniach praktycznych przyjmuje siÄ™, \
e współczynnik ciśnienia
porowego przyjmuje jednakową wartość dla wszystkich bloków, która zawarta
jest w przedziale od zera dla górotworu odwodnionego do wartości 0.7 dla
górotworu zawodnionego. Najczęściej przyjmuje się, \
e ru = 0.3. Porównanie
metody Bishopa i metody Felleniusa wskazuje, \
e pierwsza z nich daje nieco
wy\
sze wartości wskaz
ników stateczności, czyli \
e spełniony jest warunek:
FSB > FSF Ró\
nice w wartościach wskaz
ników wahają się od 5% do 20%,
a w niektórych przypadkach dochodzić mogą nawet do 60%.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Bishopa, 1955
W mianowniku wzorów występuje współczynnik mą, którego wartość jest
zale\
na od kÄ…ta nachylenia podstawy paska.
Przy małych wartościach kąta nachylenia współczynnik ten przyjmować mo\
e
bardzo małe wartości, lub nawet wartości ujemne, co powoduje
niewspółmiernie du\
y wzrost wartości wskaz
nika stateczności.
Powoduje to, \
e metoda ta mo\
e dawać błędne oszacowania wskaz
nika
stateczności szczególnie w przypadku kół poślizgu przechodzących poni\
ej
dolnej krawędzi zbocza, co mo\
e mieć miejsce w przypadkach skarp łagodnie
nachylonych lub wówczas, gdy w podstawie skarpy występują grunty słabe, o
niskich wartościach parametrów wytrzymałościowych.
W praktyce postuluje się niekiedy, aby metody tej nie wykorzystywać dla
powierzchni poślizgu, w których występują paski charakteryzujące się
wartością współczynnika mą ni\
szÄ… od 0.2.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
34
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
W metodzie tej przyjęto następujące zało\
enia:
powierzchnia poślizgu ma kształt dowolnej krzywej,
siły oddziaływania pomiędzy blokami są nieznane, a ich wartość określa się
metodą kolejnych prób przy zastosowaniu ogólnych równań równowagi
wewnętrznej.
wartość reakcji normalnej w podstawie bloku określa się z warunku rzutów sil na
kierunek pionowy,
wskaz
nik stateczności określany z równania równowagi momentów sił względem
dowolnego punktu. W równaniu tym nie uwzględnia się sił oddziaływania
pomiędzy blokami.
Wypadkowa sił oddziaływania pomiędzy blokami wywołuje wprawdzie moment
przy analizie pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych
sił wywołany przez nie moment dla całej bryły względem dowolnego punktu
powinien być równy zeru.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
fi
O
b
i
x
i
1
2
i
H
h
i
h
w i
a
i
W
i
n
Ä… i
b i
i
X
i
X
i+ 1
E
i
h
i
E
i+ 1
W
i
h
w i
Zało\
enia metody

N
i Nonveillera
u L
T i i
i
Ä… i N
i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
35
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
Oznaczenia:
bi - szerokość bloku i,
hi - wysokość bloku i,
R - promień powierzchni poślizgu,
Ä…i - kÄ…t nachylenia do poziomu bloku i,
Li - długość podstawy bloku i,
fi - ramię reakcji normalnej względem punktu O,
ai - ramię siły oporu ścinania względem punktu O,
xi - ramię siły cię\
kości względem punktu O,
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
Ni - wartość reakcji normalnej w podstawie bloku i,
Ei,Ei+1 - składowe poziome sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Xi,Xi+1 - składowe pionowe sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Ti - zmobilizowana siła oporu ścinania w podstawie bloku i.
Wartość zmobilizowanej siły oporu ścinania wyznacza się, podobnie jak w
metodzie Bishopa, z warunku:
Ä
1
f
Ä = = (ÃtgÕ + c)
FS FS
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
Mno\
Ä…c to wyra\
enie przez powierzchniÄ™ podstawy bloku (1.Li), dla i-tego
bloku otrzymujemy:
1
Ti = (NitgÕi + ciLi)
FS
Dla ośrodka zawodnionego:
1
Ti' = [(Ni - uiLi)tgÕi' + ci'Li]
FS
Z równania rzutów wszystkich sił na kierunek pionowy otrzymamy:
Wi + Xi - Xi+1 - Ni cosÄ…i - Ti sinÄ…i = 0
( )
ci
skÄ…d:
Wi + "Xi - Li sinÄ…i
·
Ni =
1
cosÄ…i + tgÕi sinÄ…i
·
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
36
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
PodstawiajÄ…c:
1 tgÄ…itgÕi
öÅ‚
cosÄ…i + tgÕi sinÄ…i = cosÄ…iëÅ‚1+ = mÄ…i
ìÅ‚ ÷Å‚
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
otrzymujemy, \
e:
ciLi sinÄ…i
Wi + "Xi -
FS
Ni =
mÄ…i
Równanie momentów dla całego masywu względem bieguna O ma postać:
Ni fi - xi = 0
"T ai + " "W
i i
skÄ…d:
îÅ‚
ai fi
+ "Xi + cibi )m Å‚Å‚ - bi tgÄ…i
"ðÅ‚(Wi śł "ci
ïÅ‚
mÄ…i
Ä…i ûÅ‚
FS =
fi
xi - + "xi)m
"Wi "(Wi
Ä…i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
ci' sinÄ…i öÅ‚
Dla górotworu zawodnionego:
Wi + "Xi - LiëÅ‚ui cosÄ…i +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ · Å‚Å‚
Ni' = Ni - uiLi =
'
mÄ…i
gdzie:
ëÅ‚ öÅ‚
1 tgÄ…itgÕi' ÷Å‚ '
ìÅ‚
cosÄ…i + tgÕi' sinÄ…i = cosÄ…iìÅ‚1+ = mÄ…i
÷Å‚
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
wzór na wartość wskaz
nika stateczności ma postać:
îÅ‚
ai fi
+ "Xi - uibi + cibi )m Å‚Å‚ - bi tgÄ…i
"ðÅ‚(Wi śł "ci
ïÅ‚
mÄ…i
Ä…i ûÅ‚
FS =
fi
xi - - uibi + "xi )m
"Wi "(Wi
Ä…i
W równaniach występują nieznane wartości przyrostów sił stycznych do
bocznych powierzchni bloków, a więc równania te nie umo\
liwiajÄ… wyznaczenia
wskaz
nika stateczności w sposób bezpośredni. Wartości sił stycznych na
bocznych powierzchniach bloków określa metodą kolejnych przybli\
eń,
podobnie jak w metodzie Bishopa, wykorzystując w tym celu równania
równowagi wewnętrznej w postaci:
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
37
Slope Stability, LEM - Metoda Nonveillera (1965)
Xi - Xi+1 = 0ôÅ‚
üÅ‚
( )
""X = "
i
żł
Ei - Ei+1 = 0
( ) ôÅ‚
""E = "
i
þÅ‚
1
Ei - Ei+1 = Ti - Wi + Xi - Xi+1 tgÄ…i
( )
cosÄ…i
îÅ‚ Å‚Å‚
+ ciLi
i
Ei - Ei+1 =
"ðÅ‚(W + "Xi)tgÕi'cosÄ…i cosÄ…i -(Wi + Xi - Xi+1)tgÄ… śł
ïÅ‚
'
FS Å" mÄ…i
ûÅ‚
Ze względu na uwikłany charakter wzorów na określanie wskaz
ników stateczności
(wskaz
nik stateczności występuje po lewej i prawej stronie równań ), obliczenia te
są bardzo pracochłonne. Dlatego te\
w praktyce najczęściej stosuje się
uproszczoną metodę Nonveillera, w której zakłada się, \
e składowe pionowe sił
oddziaływania pomiędzy paskami są równe zeru, czyli \
e spełniony jest warunek:
Xi - Xi-1 = 0
Metoda Nonveillera daje wyniki zbli\
one do metody Bishopa. Podobne sÄ…
równie\
ograniczenia w jej stosowaniu.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
W metodzie Janbu przyjęto następujące zało\
enia:
powierzchnia poślizgu ma kształt dowolnej krzywej,
siły oddziaływania pomiędzy blokami są nieznane, a ich wartość określa się
po przyjęciu dodatkowych zało\
eń dotyczących poło\
enia sił wypadkowych
na bocznych powierzchniach pasków lub te\
ich nachylenia,
wartość reakcji normalnej oraz siły oporu ścinania w podstawie bloku określa
się z warunku rzutów sił na kierunek pionowy i poziomy,
dla określenia sił oddziaływania pomiędzy paskami stosuje się równanie
równowagi momentów względem środka podstawy paska.
bi - szerokość bloku i,
hi - wysokość bloku i,
Ä…i - kÄ…t nachylenia do poziomu bloku i,
Li - długość podstawy bloku i,
yi - odległość punktu przyło\
enia siły na bocznej powierzchni paska od jego
podstawy,
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
38
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
b i
i 2
1
H
h i
D y
W i
y y
M i
n
Ä… i
Schemat sił działających na
b i
paski w metodzie Janbu
i
X i
a
i
E i
h i
W i
D yi
X i+ 1
yi
E
i+ 1
h w i
y
M
M

N i
u iL i
T i
Ä… i N i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
ąt - kąt nachylenia linii łączącej punkty przyło\
enia sił na bokach pasków do
poziomu
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
Ni - wartość reakcji normalnej w podstawie bloku i,
Ei,Ei+1 - składowe poziome sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Xi,Xi+1 - składowe pionowe sił oddziaływania pomiędzy blokami,
Ti - zmobilizowana siła oporu ścinania w podstawie bloku i, określana z warunku
stanu granicznego Coulomba-Mohra
1
Ti = (NitgÕi + ciLi )
FS
Dla ośrodka zawodnionego:
1
Ti' = [(Ni - uiLi )tgÕi' + ci'Li]
FS
Równanie rzutów wszystkich sił na kierunek pionowy ma postać:
Ni cosÄ…i + Ti sinÄ…i -Wi - "Xi = 0
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
39
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
a na kierunek poziomy:
Ti cosÄ…i - Ni sinÄ…i - "Ei = 0
RozwiÄ…zujÄ…c powy\
szy układ równań znajdujemy, \
e:
Ti = cosÄ…i Wi + "Xi tgÄ… + "Ei
( )
[ ]
Uwzględniając równanie wyjściowe oraz warunek równowagi sił wewnętrznych
dla całego masywu w postaci:
""E = 0
i
otrzymuje się następujący wzór na wartość wskaz
nika stateczności dla górotworu
nie zawodnionego:
1
i
FS =
"[(W + "Xi)tgÕi + ciLi cosÄ…i]
+ "Xi )tgÄ…i cosÄ…imÄ…i
"(Wi
lub po podstawieniu:
1
i
bi = Li cosÄ…i
FS =
"[(W + "Xi )tgÕi + cibi]
+ "Xi )tgÄ…i cosÄ…imÄ…i
"(Wi
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
Dla ośrodka zawodnionego wzór na wartość wskaz
nika stateczności przyjmie
postać:
1 [(Wi + "Xi - uibi)tgÕi' + ci'bi]
FS =
"
'
+ "Xi )tgÄ…i cosÄ…imÄ…i
"(Wi
gdzie:
1 tgÄ…itgÕi
öÅ‚
mÄ…i = cosÄ…i + tgÕi sinÄ…i = cosÄ…iëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 tgÄ…itgÕi' ÷Å‚
'
ìÅ‚
mÄ…i = cosÄ…i + tgÕi' sinÄ…i = cosÄ…iìÅ‚1+
÷Å‚
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla określenia sił oddziaływania pomiędzy blokami Janbu stosuje dodatkowe
równanie równowagi w postaci sumy momentów względem środka podstawy
bloku (punktu M), z którego wynika, \
e:
1 bi
ëÅ‚
Xi = Ei"yi - "Ei yi + "XiöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚Å‚
bi íÅ‚ 2
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
40
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
lub dla małej szerokości pasków:
yi
Xi = EitgÄ…t - "Ei
bi
Dla rozwiązania równania zakłada się znajomość punktów przyło\
enia sił na
bocznych powierzchniach bloków lub te\
ich nachylenie wyra\
one stosunkiem
E/X. Dla określenia poło\
enia punktów przyło\
enia sił pomiędzy blokami
przyjmuje się postać funkcji opisującej to poło\
enie, która powinna zapewniać
zbie\
ność procesu iteracji, opisywać realne poło\
enie sił i ich wartości tak, aby
nie zostały przekroczone warunki stanu granicznego. Rozwiązanie
przeprowadza siÄ™ metodÄ… kolejnych przybli\
eń od najwy\
ej poło\
onego paska,
dla którego Ei=0. Wielkość "Ei dla ka\
dego paska oblicza się ze ww wzorów,
podstawiajÄ…c w pierwszym przybli\
eniu "Xi=0. Na podstawie znanych
przyrostów "Ei mo\
na określić wartości Ei z zale\
ności
Ei+1 = Ei - "Ei
Wartości "Xi i Xi, dla zało\
onej w danym kroku iteracyjnym wartości FS,
obliczyć mo\
na z równań sprawdzając kolejno poprawność przyjętych zało\
eń.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
W kolejnym kroku obliczeniowym dokonuje się korekty przyjętej wartości
wskaz
nika stateczności a następnie powtarza cały cykl obliczeniowy. Obliczenia
prowadzi siÄ™ a\
do uzyskania zało\
onej dokładności (najczęściej na poziomie
0.01).
W drugim przypadku proces obliczeniowy jest mniej skomplikowany. Wartości
"Xi otrzymuje się bezpośrednio na podstawie obliczonych wartości Xi, będących
funkcją Ei. Równania wykorzystuje się wówczas jedynie do wyznaczania punktów
przyło\
enia sił oddziaływania pomiędzy blokami. Podobnie jak w poprzednim
przypadku obliczenia przeprowadza się metodą iteracyjną (wzory na wartości
wskaz
ników stateczności są funkcja uwikłaną).
W praktyce najczęściej stosowana jest uproszczona metoda Janbu, w której
zakłada się, podobnie jak w uproszczonej metodzie Bishopa, \
e składowe
pionowe sił oddziaływania pomiędzy blokami są równe zeru dla ka\
dego paska
("Xi=0). Wzór na wartość wskaz
nika stateczności przyjmie wówczas postać:
[(ci' +(pi - ui )tgÕi)Å"bÅ"(sec2 Ä…i /(1+ tgÄ…itgÕi' / FS))]
"
FS =
tgÄ…i
"Wi
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
41
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
gdzie:
Wi
1
pi = secÄ… =
cosÄ…
bi
Wartości uzyskane z wzoru nale\
y pomno\
yć przez współczynnik korekcyjny,
zale\
ny od rodzaju gruntu oraz od stosunku strzałki skarpy do cięciwy:
FS = FSobl fo
gdzie:
FSobl - wartość wskaz
nika
obliczona z wzoru na L
wskaz
nik stateczności
fo - współczynnik
korekcyjny określany z
d
wykresu przedstawionego
na rysunku
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Janbu, 1957
1. 20
1. 15
Õ=0
1. 10
Õ>0,c>0
f0
c=0
1. 05
1. 00
0. 0 0 0.1 0 0.2 0 0.3 0 0. 4 0
d /L
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
42
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
Metoda Morgensterna-Price a umo\
liwia badanie stateczności skarp dla dowolnych
powierzchni poślizgu. Zakłada się w niej, \
e szerokość paska ma szerokość
nieskończenie małą, która wynosi dx. Przy takim zało\
eniu, równania równowagi
mają postać równań ró\
niczkowych. Zało\
enia metody ilustruje rysunek.
W metodzie tej wykorzystuje się następujące równania równowagi:
równanie równowagi momentów względem środka podstawy paska,
równanie rzutów na kierunek styczny do podstawy paska,
równanie rzutów na kierunek normalny do podstawy paska.
Elementarną wartość oporu ścinania w podstawie paska określa się z zale\
ności
îÅ‚ Å‚Å‚
1 c'
' '
dT = (d N )Å"tgÕ + dxśł
ïÅ‚
FS cosÄ…
ðÅ‚ ûÅ‚
Przekształcając równania równowagi paska oraz uwzględniając ró\
niczkowÄ…
postać wzoru na współczynnik ciśnienia porowego, w postaci:
dU cosÄ…
ru =
dW
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
x
y=z(x)
y=y(x)
yt=y(x)
y
x
dx
yt
E+dE
dW
y
X
(y+dy)-(yt+dyt)
X+dx
E
y
y-yt
dy
dU
Schemat obliczeniowy metody
dT dN
Ä…
Morgensterna-Price a
g
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
43
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
otrzymuje się następujący układ równań ró\
niczkowych:
d
- X =
( )
[E y - yt ]- E dy
dx dx
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
dE tgÕ' dy dX tgÕ' dy
+ + =
ïÅ‚1+ śł ïÅ‚ śł
dx FS dx dx FS dx
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
Å„Å‚îÅ‚tgÕ' dy Å‚Å‚
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
c' îÅ‚ dy dW dy tgÕ' üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ôÅ‚
= + + - ru ïÅ‚1+ ëÅ‚ öÅ‚ śł ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1+ śł ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚ żł
ïÅ‚ śł
FS dx dx FS dx dx FS
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ôÅ‚ śł ôÅ‚
ûÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ółðÅ‚ þÅ‚
W układzie równań występują trzy nieznane funkcje:
E(x), X (x), yt (x)
Poniewa\
do dyspozycji mamy dwa równania ró\
niczkowe, jest to układ
statycznie niewyznaczalny. Dla uzyskania rozwiązania istnieje konieczność
wprowadzenia dodatkowej funkcji, wiÄ…\
ącej ze sobą składowe sił oddziaływania
pomiędzy blokami, w zale\
ności od lokalizacji paska w zboczu. Najczęściej
stosowana jest funkcja w postaci:
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
Uwzględniając powy\
sze zale\
ności otrzymuje się równanie w postaci:
dE
Kx + L + KE = Nx + P
( )
dx
gdzie:
ëÅ‚ öÅ‚
tgÕ' ÷Å‚
ìÅ‚
K = kìÅ‚ + A÷Å‚
Współczynniki K,L,N i P są
FS
íÅ‚ Å‚Å‚
stałe w obrębie pojedynczego
ëÅ‚ öÅ‚ paska i mo\
na je określać
tgÕ' tgÕ'
ìÅ‚ ÷Å‚
L =1+ mìÅ‚ + A÷Å‚ - A
niezale\
nie.
FS FS
íÅ‚ Å‚Å‚
'
îÅ‚
tgÕ'
N = pïÅ‚ + A - ru(1+ A2)tgÕ Å‚Å‚
śł
FS FS
ðÅ‚ ûÅ‚
'
îÅ‚
c' tgÕ'
P = (1+ A2)+ qïÅ‚ + A - ru(1+ A2)tgÕ Å‚Å‚
śł
FS FS FS
ðÅ‚ ûÅ‚
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
44
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
Całkując równanie ró\
niczkowe określić mo\
na wartość siły normalnej do
bocznej powierzchni paska ze wzoru:
ëÅ‚
1 Nx2 öÅ‚
E = + Px + C÷Å‚
ìÅ‚
L + Kx íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Stałą całkowania C określa się z warunku, \
e na poczÄ…tku ka\
dego paska dla x=0,
siła Ei równa się sile Ei-1 na końcu paska poprzedniego, skąd:
C = Ei-1L
W wyniku całkowania pierwszego równania ró\
niczkowego otrzymuje się wzór
na wartość momentu siły E względem podstawy paska:
dyöÅ‚
ëÅ‚
M = E( yt - y) = X - E dx
÷Å‚
+"ìÅ‚ dxÅ‚Å‚
íÅ‚
Poniewa\
dla ostatniego paska potencjalnej bryły osuwiskowej moment musi być
równy zeru, otrzymuje się warunek równowagi w postaci:
dyöÅ‚
ëÅ‚
Mn = X - E dx = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
íÅ‚
dxłł
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
a po uwzględnieniu równania:
dy
= -tgÄ…
dx
następujące równanie:
Mn =  E x f x dx + tgÄ… E x dx
( ) ( ) ( )
+" +"
Po obliczeniu całek w powy\
szych równaniach otrzymuje się ostateczny wzór na
moment sil względem podstawy paska:
kN 1 L 1
M = x3 + Z1x2 + Z1x + Z2x +
2
6K 4K 2K K
îÅ‚ L2 L L Å‚Å‚ 3L2 kL3N
+ Z1 - Z2 + Ei-1(m + tgą )śł ln Kx + L + Z1 +
ïÅ‚2K 3 2 3 4
K K 4K 6K
ðÅ‚ ûÅ‚
Wielkości Z1 i Z2 określić mo\
na ze wzorów:
kLN
ëÅ‚ öÅ‚
Z1 = 2kP + mN - ÷Å‚ ( )
 + NtgÄ… Z2 = kEi-1L + mP  + PtgÄ…
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
K
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
45
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
Sposób przeprowadzenia obliczeń powinien przebiegać wg następującego schematu:
1. Przyjmuje się kształt powierzchni poślizgu i dzieli ośrodek gruntowy na pionowe
paski.
2. Zakłada się postać funkcji f(x).
3. Dla ka\
dego paska oblicza się wartości współczynników A,B,p,q,k i m.
4. Przyjmuje się początkowe wartości współczynnika  i wskaz
nika stateczności FS.
5. Oblicza się siłę E oraz moment M dla poszczególnych pasków, sprawdzając, czy
końcowe wartości En i Mn są równe zeru. Tylko w wyjątkowych przypadkach
zdarza siÄ™, \
e ju\
w pierwszym kroku obliczeniowym wartości te są równe zeru.
Je\
eli to nie wystÄ…pi, to nale\
y przeprowadzać obliczenia iteracyjne zmieniając
wartości  i wskaz
nika stateczności FS dopóty, dopóki warunki te nie zostaną
spełnione z odpowiednią, zało\
oną dokładnością.
6. Dla tej samej powierzchni poślizgu przyjmuje się inną postać funkcji f(x) i cały
proces obliczeniowy powtarza się. W ten sposób, w zale\
ności od wa\
ności
zagadnienia, analizuje się kilkanaście a nawet kilkadziesiąt ró\
nych funkcji.
7. Przyjmuje się inny kształt lub poło\
enia powierzchni poślizgu i cały proces
powtarza się do uzyskania najmniejszej wartości wskaz
nika stateczności, który jest
miarą stateczności skarpy lub zbocza.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Morgensterna-Price a (1965)
Z przedstawionego sposobu postępowania wynika, \
e przeprowadzenie obliczeń
wskaz
nika stateczności metodą Morgensterna-Price a bez posiadania
odpowiednich programów obliczeniowych jest praktycznie niemo\
liwe.
Nale\
y jednocześnie podkreślić, \
e stosowanie metody Morgensterna-Price a
wymaga sprawdzania dodatkowych warunków, których spełnienie warunkuje
poprawność uzyskanych wyników. Najwa\
niejsze z nich to:
sprawdzanie znaku wyra\
enia Kx+L .Ze wszystkich mo\
liwych rozwiązań 
i FS właściwe są te, dla których powy\
sze wyra\
enie jest dodatnie,
dla uzyskanej, najmniejszej wartości wskaz
nika stateczności nale\
y
sprawdzić przebieg sił parcia pomiędzy blokami. Siły te nie powinny
wychodzić poza obrys potencjalnej bryły osuwiskowej.
naprÄ™\
enia styczne do bocznych powierzchni pasków nie powinny
przekraczać wartości zmobilizowanych sił oporu ścinania gruntów
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
46
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Zało\
enia tej metody opracował Sarma w 1973 roku. Zało\
ył on, \
e powierzchnia
poślizgu mo\
e mieć kształt dowolny oraz wykorzystał podział potencjalnej bryły
osuwiskowej na paski o ściankach pionowych. W metodzie tej Sarma przyjął
odmienny ni\
w innych metodach sposób określania wskaz
nika stateczności.
PrzyjÄ…Å‚ mianowicie, \
e bryła znajduje się w stanie równowagi granicznej wówczas,
gdy przyśpieszenie poziome wywołane przez siły czynne i bierne na nią działające,
jest równa zeru:
Kc = 0
W metodzie Sarmy wskaz
nik stateczności określany jest na drodze iteracyjnej
poprzez redukcję, w kolejnych krokach, wartości kąta tarcia wewnętrznego i
spójności:
tgÕ c
,
FS FS
dopóty, dopóki składowa pozioma przyśpieszenia nie Kc nie osiągnie wartości
równej zeru. Wartość FS, dla której warunek ten jest spełniony jest miarą
stateczności zbocza (wskaz
nikiem stateczności).
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Powy\
szą metodę Sarma zmodyfikował w 1979 roku, uogólniając ją na bloki o
ukośnych (nie pionowych) ściankach bocznych.
Kolejnej modyfikacji dokonał Hoek (1986), opracowując uniwersalną metodę
analizy stateczności skarp i zboczy. Przy zastosowaniu tej metody analizowana
mo\
e być stateczność zboczy o dowolnym kształcie, z kołową, płaską lub
mieszaną powierzchnią poślizgu. W metodzie tej potencjalna bryła osuwiskowa
mo\
e być podzielona na bloki o kształcie dowolnych czworokątów, które w
szczególnym przypadku wspólnego jednego naro\
a są blokami trójkątnymi. W
odró\
nieniu od innych metod na bocznych powierzchniach bloków mo\
na
zadawać odmienne wartości parametrów oporu ścinania, co umo\
liwia
modelowanie rzeczywistych nieciągłości występujących w górotworze w
postaci powierzchni spękań, szczelin i uskoków.
Metoda Hoeka-Sarmy umo\
liwia uwzględnianie wpływu parcia wody na
wszystkie ścianki wyodrębnionego bloku, podczas gdy inne metody zakładają
jedynie istnienie sił wyporu działających na podstawę bloku. Hoek opracował
równie\
program obliczeniowy do analizy stateczności skarp i zboczy.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
47
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
W programie tym przyjęto, aby cały model zlokalizowany był w pierwszej
ćwiartce przyjętego układu współrzędnych i aby współrzędne jego kolejnych
punktów wzrastały od strony lewej do prawej. Geometria oraz lokalizacja
pojedynczego bloku opisywana jest poprzez podanie współrzędnych
wierzchołków bocznych powierzchni. Poło\
enie zwierciadła wody określane jest
poprzez podanie współrzędnych punktów jego przecięcia z bocznymi
powierzchniami bloków.
Na rysunku przyjęto następujące oznaczenia:
XBi,YBi - współrzędne dolnego punktu lewego boku bloku i,
XTi,YTi - współrzędne górnego punktu lewego boku bloku i,
XBi+1,YBi+1 - współrzędne dolnego punktu prawego boku bloku i,
XTi+1,YTi+1 - współrzędne górnego punktu prawego boku bloku i,
XWi,YWi - współrzędne punktu przecięcia lewego boku bloku i z zwierciadłem
wód gruntowych,
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
a)
y
n
i
3
2
1
Zasady podziału na bloki w
metodzie Sarmy-Hoeka
x
a) zasady budowy modeli i
podziału na bloki,
b)
b) określanie geometrii
y
bloku
XTi+1,Yti+1
XTi,YTi XWi+1,Ywi+1
Xi,Yi -
+
XGi,YGi ´i+1 ZWi+1 ´
XWi,YWi
ZWi ´i
XBi+1,YBi+1
+i
Ä…i
+
XBi,YBi
bi
Ä…
x -
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
48
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
XWi+1,Ywi+1 - współrzędne punktu przecięcia prawego boku bloku i z
zwierciadłem wód gruntowych,
XGi, YGi - współrzędne środka cię\
kości bloku,
Xi, Yi - współrzędne punktu przyło\
enia sił zewnętrznych,
di+1 - długość boku i+1:
di+1 = XTi+1 - XBi+1 2 + YTi+1 - YBi+1 2
( ) ( )
[ ]
´i+1 - kÄ…t nachylenia boku i+1 do pionu:
XTi+1 - XBi+1
´i+1 = arcsin
di+1
bi - długość rzutu podstawy boku i na oś poziomą:
bi = XBi+1 - XBi
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Ä…i - kÄ…t nachylenia podstawy bloku i do poziomu:
YBi+1 - YBi
Ä…i = arctg =
bi
Wi - ciÄ™\
ar bloku i:
Å‚
Wi = YBi - YTi+1 XTi - XBi+1 + YTi - YBi+1 XTi+1 - XBi
( )( ) ( )( )
2
ZWi - odległość punktu przecięcia zwierciadła wody z bokiem i od dolnego punktu:
ZWi = (YWi - YBi )
ZWi+1 - odległość punktu przecięcia zwierciadła wody z bokiem i+1 od dolnego
punktu:
ZWi+1 = (YWi+1 - YBi+1)
Wartości sił parcia wody na podstawę bloku obliczyć mo\
na ze wzoru:
YWi - YBi + YWi+1 - YBi+1 bi
( )
1
Ui = Å‚
w
2 cosÄ…i
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
49
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Dla określenia sił parcia wody na boczne powierzchnie bloków rozpatruje się cztery
przypadki poło\
enia zwierciadła wody:
XWi+1,YWi+1
a) b) z.w.g.
XWi,YWi WHi
Definicja parcia
z.w.g
WWi
XWi+1,YWi+1
wody na bloki.
Ui
PWi
PWi+1
XWi,YWi
a) pasek nie
Ui PWi+1
PWi
zanurzony,
b) pasek
zanurzony od
strony boku
c)
d)
i+1,
z.w.g. XWi,YWi XWi+1,YWi+1
c) pasek
WHi
zanurzony od
strony boku i,
XWi,YWi
XWi+1,YWi+1
z.w.g.
WWi
d) pasek
WHi
Ui
PWi+1 PWi+1
całkowicie
WWi PW1
Ui
PWi
zanurzony.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Wartości sił parcia w poszczególnych przypadkach są następujące:
Przypadek I - pasek nie zanurzony (rys. a):
YTi>YWi i YTi+1> YWi+1
2
2
YWi - YBi
1 ( )
YWi+1 - YBi+1
1 ( )
PWi = Å‚
PWi+1 = Å‚
w
w
2 cos´i
2 cos´i+1
Przypadek II - blok zanurzony od strony boku i+1 (rys. b):
YTi > YWi i YTi+1 < YWi+1
2
YWi - YBi
1 ( )
PWi = Å‚
w
2 cos´i
2YWi+1 - YTi+1 - YBi+1 YTi+1 - YBi+1
1 ( )( )
PWi+1 = Å‚
w
2 cos´i+1
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
50
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
2
YWi+1 - YTi+1 XTi+1 - XTi
1 ( ) ( )
WWi = Å‚
w
2 YTi+1 - YTi
( )
1
WHi = Å‚ YWi+1 - YTi+1 2
( )
w
2
Przypadek III - blok zanurzony od strony boku i (rys. c):
YTi < YWi i YTi+1 > YWi+1
2
2YWi - YTi - YBi YTi - YBi
YWi+1 - YBi+1 1 ( )( )
1 ( )
PWi = Å‚
PWi+1 = Å‚
w
w
2 cos´1
2 cos´i+1
YWi - YTi 2 XTi+1 - XTi 1 2
1 ( ) ( )
WHi = Å‚ YWi - YTi
WWi = Å‚
( )
w w
2 YTi+1 - YTi 2
( )
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Przypadek IV - blok całkowicie zanurzony (rys. d):
YTi < YWi i YTi+1 < YWi+1
2YWi - YTi - YBi YTi - YBi
1 ( )( )
PWi = Å‚
w
2 cos´i
2YWi+1 - YTi+1 - YBi+1 YTi+1 - YBi+1
1 ( )( )
PWi+1 = Å‚
w
2 cos´i+1
1
WWi = Å‚ YWi - YTi + YWi+1 - YTi+1 XTi+1 - XTi
( )( )
w
2
1
WHi = Å‚ YWi - YTi + YWi+1 - YTi+1 YTi+1 - YTi
( )( )
w
2
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
51
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
-
¸i
+
z.w.g.
THi
Ei+1
¸i
Ei Xi
Ti
TVi
PWi+1
KWi
Ui
Xi+1
Wi
PWi
Zi
TSi
. Rozkład sił
działających na blok w
li
Ni
metodzie Sarmy-Hoeka
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Wi - ciÄ™\
ar bloku i,
KWi- - siła pozioma związana z obcią\
eniami dynamicznymi,
Ti - siła zewnętrzna przyło\
ona do bloku, zwiÄ…zana z jego obciÄ…\
eniem lub
wzmocnieniem górotworu, na przykład jego kotwieniem,
THi - składowa pozioma sił zewnętrznych,
TVi - składowa pozioma sił zewnętrznych,
¸i - kÄ…t nachylenia siÅ‚y zewnÄ™trznej do poziomu, której znak okreÅ›lamy jak na rys.,
PWi, PWi+1 - siły parcia wody na boczne powierzchnie bloków,
Ui - Siła parcia wody na podstawę bloku,
Ni - wartość reakcji normalnej do podstawy bloku,
TSi - wartość zmobilizowanej siły oporu ścinania w podstawie bloku, określana z
warunku stanu granicznego Coulomba-Mohra,
Xi, Xi+1 - siły styczne do bocznych powierzchni bloku, określane z warunku stanu
granicznego Coulomba-Mohra,
Ei, Ei+1 - siły normalne do bocznych powierzchni bloków.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
52
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Krytyczne przyśpieszenie Kc, wywołujące w zboczu stan równowagi granicznej,
obliczyć mo\
na ze wzoru:
AE
KC =
PE
gdzie:
AE = an + an-1en + an-2enen-1+...+a1enen-1...e3e2
PE = pn + pn-1en + pn-2enen-1+...+ p1enen-1...e3e2
îÅ‚ Wi + TVi sin ÕBi - Ä…i - THi cos ÕBi - Ä…i + Ri cosÕBi +
Å‚Å‚
( ) ( ) ( )
ai = Qi ïÅ‚
śł
( ) ( )
ïÅ‚+ Si+1 sin ÕBi - Ä…i - ´i+1 - Si sin ÕBi - Ä…i - ´i śł
ðÅ‚ ûÅ‚
pi = QiWi cos ÕBi - Ä…i
( )
cos ÕBi - Ä…i + ÕSi - ´i
( )
ei = Qi
cosÕSi
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
cosÕSi+1
Qi =
cos ÕBi - Ä…i + ÕSi+1 - ´i+1
( )
Si+1 = cSi+1di+1 - PWi+1tgÕSi+1
Si = cSidi - PWitgÕSi
cBibi
Ri = -UitgÕBi
cosÄ…i
gdzie:
ÕBi , cBi - parametry oporu Å›cinania w podstawie bloku,
ÕSi , cSi - parametry oporu Å›cinania wzdÅ‚u\
boku i,
ÕSi+1 , cSi+1 - parametry oporu Å›cinania wzdÅ‚u\
boku i+1.
W pierwszym kroku obliczeniowym przyjmuje siÄ™, \
e wskaz
nik stateczności:
FS =1.0
Je\
eli w wyniku obliczeń, \
e przyspieszenie Kc jest ró\
ne od zera, stosuje siÄ™
redukcję parametrów oporu ścinania, jednocześnie na wszystkich podstawach i
powierzchniach bocznych, zgodnie z wzorami:
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
53
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
tgÕSi+1 cSi+1
tgÕBi cBi tgÕSi cSi
; , ; , ; .
FS FS FS FS FS FS
Proces iteracyjny powtarza siÄ™ a\
do sytuacji, w której otrzymuje się spełnienie
warunku: Kc=0. Wartość wskaz
nika, dla której warunek powy\
szy jest spełniony,
jest wskaz
nikiem stateczności zbocza. Sprawdzenia poprawności rozwiązania
dokonuje się, określając wartości naprę\
eń normalnych i stycznych do powierzchni
bloków. W przypadku, gdy wszystkie naprę\
enia są większe od zera, rozwiązanie
mo\
na uznać za poprawne. Po obliczeniu Kc wartości sił działających na podstawę
bloku i jego boczne powierzchnie, obliczyć mo\
na ze wzorów (dla bloku
pierwszego E1=0.0):
Ei+1 = ai - piK + Eiei Xi = Ei - PWi tgÕSi + cSidi
( )
Wi + TVi + X cos´i+1 + X cos´i - Ei+1 sin´i+1 + Ei sin´i +
ëÅ‚ öÅ‚
i+1 i
ìÅ‚ ÷Å‚
Ni = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
+UitgÕBi sinÄ…i - cBibitgÄ…i
íÅ‚ Å‚Å‚
Å" cosÕBi / cos(ÕBi -Ä…i )
TSi = Ni -Ui tgÕBi + cBibi / cosÄ…i
( )
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Slope Stability, LEM  Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)
Wartości naprę\
eń obliczyć mo\
na z wzorów:
à =(Ni -Ui )cosąi / bi
Bi
'
ÃSi = Ei - PWi / di
( )
'
ÃSi+1 = Ei+1 - PWi+1 / di+1
( )
Końcowe sprawdzenie poprawności rozwiązania uzyskuje się określając moment
sił względem środka cię\
kości bloku. Przy poprawnym rozwiązaniu jego wartość
powinna być równa zeru:
Nili - Xi+1bi cos Ä…i + ´i+1 / cosÄ…i - EiZi + Ei+1 i+1 + bi sin Ä…i + ´i+1 / cosÄ…i
( ) ( )
[Z ]-
+Wi(XGi - X )+ KcWi(YGi -YBi)-TVi(Xi - XGi)+ THi(Yi -YGi)= 0
Bi
Z przedstawionego opisu wynika, \
e metodÄ™ Sarmy-Hoeka nale\
y zaliczyć do
metod bardzo uniwersalnych. Wydaje siÄ™, \
e po dokładnym jej zweryfikowaniu,
szczególnie w warunkach rzeczywistych, mo\
e znalez
ć one szerokie zastosowanie
w analizie stateczności skarp i zboczy.
Marek Cała, Jerzy Flisiak  Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
54