Zadania przykladowe PS 2011 12


D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
1. ROZKAAD SYGNAAU OKRESOWEGO W ZESPOLONY SZEREG FOURIERA ORAZ CAAKOWE PRZEKSZTAACENIE
FOURIERA. WIDMA SYGNAAÓW OKRESOWYCH, PRAWIE OKRESOWYCH I IMPULSOWYCH
Zespolony szereg Fouriera Całkowe przekształcenie Fouriera
+Ą +Ą
jkW0t
x(t) = Xke (wzór syntezy)
X ( jW) = x(t)e- jWtdt (wzór analizy)


k=-Ą
-Ą
+Ą
1
1
jWt
X = x(t)e- jkW0tdt (wzór analizy)
x(t) = X ( jW)e dW (wzór syntezy)
k

T
2p
T
-Ą
W rozwiązaniach zadań należy zwracać szczególną uwagę na różnicę w rysowaniu widm {Xk} i X(j&!).
1.1 Oblicz i narysuj widmo {Xk} sygnału okresowego o okresie T (rozkładając sygnał w zespolony szereg Fouriera)
a) prostokątnego o wypełnieniu D i amplitudzie A; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A, c) piłokształtnego
o wartości międzyszczytowej 2A (rysunki poniżej).
ODP.
Dla przykładu a)
DT
DT
jkpD
2
2
1 A A e - e- jkpD A
Xk = Ae- jkW0tdt = e- jkW0t = = sin(kpD) = ADSa(kpD)

T - jkW0T DT kp 2 j kp
DT
-
-
2
2

A, gdy t Ł T / 2
1.2 Oblicz i narysuj widmo X(j&!) impulsu a) prostokątnego x1(t) = ; b) trójkątnego symetrycznego o

0, gdy t > T/ 2

T - t A , gdy t Ł T
t

A , gdy 0 Ł t Ł T
amplitudzie A x2(t) = ; c) x3(t) = .
T
T
0, gdy t > T
0, gdy t > T


ODP.
Dla przykładu a)
T T T
T
jW - jW
T T
2 2 2
2 ć
jW - jW
A A 2A e - e 2A WT WT
X1( jW) = = sin = ATSać .

TAe- jWtdt = e- jWt = e 2 - e 2 =

- jW T jW W 2 j W 2 2
Ł ł
-
Ł ł
-
2
2
W przykładzie b) aby uniknąć całkowania przez części i żmudnych obliczeń, należy zauważyć, że symetryczny impuls
trójkątny o czasie trwania 2T i amplitudzie A jest splotem własnym impulsu prostokątnego o czasie trwania T
i amplitudzie A0 = A/T . Następnie należy skorzystać z właściwości przekształcenia Fouriera i zastąpić splatanie
WT
w dziedzinie czasu wymnażaniem widm. Ostatecznie więc X2( jW) = ATSa2ć . W każdym przypadku warto

2
Ł ł
+Ą
sprawdzić, czy wartość otrzymanej funkcji w zerze jest równa polu  pod sygnałem: X ( jW) = x(t)dt .

W=0
-Ą
1
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
ć T T

1.3 Oblicz widmo symetrycznie przyciętej sinusoidy: x(t) = Acos(W0t)1ćt + -1ćt - , przyjmując &!0 = 4Ą/T.


2 2
Ł ł Ł ł
Ł ł
ODP.
Metoda 1 (z definicji przekształcenia Fouriera)
T T T
2 2 2
A A
X ( jW) = t)e- jWtdt =
TAcos(W0 Te jW0te- jWtdt + 2 Te- jW0te- jWtdt =
2
- - -
2 2 2
T T
2 2
A A
= e- j(W-W0 )t + e- j(W+W0 )t =
- 2 j(W - W0) T - 2 j(W + W0) T
- -
2 2
T T T T
ć ć
j(W-W0 ) - j(W-W0 ) j(W+W0 ) - j(W+W0 )
A A
2 2 2 2
e e
= - e + - e =

2 j(W - W0) 2 j(W + W0)
Ł ł Ł ł
A (W- W0)T A (W+ W0)T
= sin + sin =
W - W0 2 W + W0 2
AT (W - W0)T AT (W + W0)T

= Sać + Sać

2 2 2 2
Ł ł Ł ł
Otrzymaliśmy zatem sumę dwóch funkcji samplujących przesuniętych względem zera o +&!0 i  &!0.
Metoda 2 (z wykorzystaniem właściwości przekształcenia Fouriera)
Sygnał x(t) można potraktować jako iloczyn nieskończenie długiej sinusoidy s(t) = Acos(W0t) i okna prostokątnego
T T

w(t) =1ćt + -1ćt - . Widmo iloczynu dwóch sygnałów jest splotem ich widm, ważonym przez współczynnik

2 2
Ł ł Ł ł
1/2Ą:
+Ą +Ą
1 1 1
X ( jW) = S( jW) *W ( jW) = S( jQ)W ( j(W - Q))dQ =
W ( jQ)S( j(W - Q))dQ
2p 2p 2p
-Ą -Ą
Ponieważ widmem sinusoidy s(t) jest para delt Diraca: S( jW) = Ap[d (W + W0) +d (W - W0)], natomiast widmem
WT
impulsu (okna) prostokątnego funkcja samplująca: W ( jW) = TSać , więc

2
Ł ł
1 1 WT
X ( jW) = S( jW) *W ( jW) = Ap[d (W + W0) + d (W - W0)]*TSać .

2p 2p 2
Ł ł
Splot funkcji z przesuniętą deltą Diraca przesuwa funkcję z zachowaniem jej wartości, ponadto splot jest rozdzielny
względem dodawania, zatem ostatecznie
AT (W + W0)T AT (W - W0)T

X ( jW) = Sać + Sać .

2 2 2 2
Ł ł Ł ł
1.4 Udowodnij, że na wyjściu filtru o rzeczywistej odpowiedzi impulsowej i znanej transmitancji H(s)
przy pobudzeniu sygnałem x(t) = Acos(W0t) pojawi się sygnał y(t) = A H( jW0) cos(W0t + argH( jW0)) . Wykorzystaj
symetrię Hermite a: H(jW)= H*( jW).
ODP.
Sygnał wyjściowy y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej h(t) i pobudzenia x(t), gdzie h(t) jest rzecz jasna
transformatą odwrotną transmitancji H(s):
+Ą
y(t) = h(t) * x(t) = h(t )x(t -t )dt

-Ą
2
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
Po podstawieniu w miejsce sygnału x(t) mamy:
+Ą
y(t) = A h(t )cos(W0(t -t ))dt

-Ą
Korzystamy ze wzorów Eulera, zamieniając funkcję kosinus na parę zespolonych eksponent:
+Ą jW0(t-t ) +Ą +Ą
e + e- jW0 (t-t ) A A
jW0 (t-t )
y(t) = A h(t ) dt = h(t )e dt + h(t )e- jW0(t-t )dt

2 2 2
-Ą -Ą -Ą
Pod obiema całkami zmienna t pełni rolę parametru, a zatem
+Ą +Ą
A A
jW0t
y(t) = e h(t )e- jW0t dt + e- jW0t h(t )e- j(-W0)t dt

2 2
-Ą -Ą
Porównując obie całki z definicją przekształcenia Fouriera, dostajemy:
A A
jW0t
y(t) = e H( jW0) + e- jW0tH(- jW0)
2 2
j arg H ( jW0) j arg H (- jW0)
Liczby zespolone H( jW0) = H( jW0) e i H(- jW0) = H(- jW0) e
są wartościami charakterystyki
amplitudowo-fazowej dla pulsacji &!0 i  &!0. Ponieważ zgodnie z warunkami zadania odpowiedz impulsowa systemu,
h(t), była rzeczywista, zatem charakterystyka amplitudowo-fazowa wykazuje właściwość symetrii Hermite a:
charakterystyka amplitudowa jest funkcją parzystą H( jW0) = H(- jW0) , charakterystyka fazowa jest funkcją
nieparzystą argH(- jW0) = -argH( jW0) . Wynika z tego, że
A A
jW0t j arg H ( jW0) jW0t
y(t) = e H( jW0) e + e- H( jW0) e- j arg H ( jW0)
2 2
z czego ostatecznie otrzymujemy:
y(t) = A H( jW0) cos(W0t + argH( jW0))
Zastanówmy się jeszcze nad interpretacją powyższego wzoru. Współczynnik przed funkcją kosinus jest nową
amplitudą; sygnał został zatem wzmocniony H( jW0) razy. Wyraz wolny w argumencie kosinusa jest nowym
przesunięciem początkowym; sygnał wyjściowy jest więc przesunięty o argH( jW0)) radianów w stosunku
do sygnału wejściowego.
Wypływa stąd ważny wniosek, że odpowiedzią systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne jest również sinusoida,
a z trzech wielkości, które ją opisują, tj. amplitudy, pulsacji i fazy początkowej, zmianie mogą ulec wyłącznie
amplituda i faza.
1.5 Narysuj i zapisz wzorem widmo sygnału x(t) = 1 + sin(t) + cos(pt) + exp(j5t) oraz widmo odpowiedzi y(t) tzw.
0, W < 0

1,
filtru analitycznego o charakterystyce częstotliwościowej H ( jW) = W = 0 na pobudzenie x(t).

A
2, W > 0

ODP.
Widmo pobudzenia: X ( jW) = 2pd (W) + jp[d (W +1) -d (W -1)]+p[d (W +p) +d (W -p )]+ 2pd(W - 5)
Widmo odpowiedzi: Y( jW) = 2pd(W) - j2pd (W -1) + 2pd (W -p ) + 4pd(W - 5)
(sygnał wyjściowy y(t) = 1 + exp(t p/2) + exp(pt) + 2exp(j5t))
Filtr analityczny jest przykładem filtru specjalnego, którego zasadniczym zadaniem jest zamiana sinusoidy
rzeczywistej (lub sumy sinusoid) w zespoloną (lub w sumę sinusoid zespolonych) z zachowaniem składowej stałej.
Sygnał wyjściowy jest nazywany równoważnikiem analitycznym sygnału rzeczywistego x(t), jego moduł a(t) y(t)
d
 amplitudą chwilową, natomiast pochodna fazy po czasie W(t) arg y(t)  pulsacją chwilową. Wymienione
dt
wielkości mają fundamentalne znaczenie w teorii modulacji. Sygnał y(t) można bowiem przedstawić w postaci:
t
ć

y(t) = a(t)exp j )dt , czyli jako iloczyn zawsze nieujemnego sygnału a(t) i tzw. fazora zespolonego o 
W(t

Ł -Ą ł
w ogólnym przypadku  zmieniającej się pulsacji chwilowej. Każdy sygnał można traktować jako wynik jednoczesnej
modulacji amplitudy i częstotliwości lub fazy. Sinusoida zespolona Aexp(j&!0t) jest szczególnym przypadkiem sygnału
o stałej amplitudzie chwilowej a(t) = A i stałej pulsacji chwilowej &!(t) = &!0.
3
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
2. PRÓBKOWANIE
Min Max
Częstotliwość sygnału
 " +"
przed próbkowaniem [Hz]
1 1
Częstotliwość unormowana [1/Sa]
- +
2 2
FS FS
Częstotliwość po rekonstrukcji [Hz]
- +
2 2
2.1 Podaj twierdzenie o próbkowaniu. Jakie zjawisko wystąpi w przypadku niespełnienia jego założeń? Co to jest
częstotliwość Nyquista, a co oznacza szybkość Nyquista?
2.2 Falę prostokątną o amplitudzie A, częstotliwości podstawowej F0 i wypełnieniu D = 50% (patrz: zad. 1.1a))
spróbkowano z szybkością FS = 8F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.
Wskazówka: Narysuj widmo sygnału przed próbkowaniem i po spróbkowaniu, a następnie po rekonstrukcji.
2.3 Symetryczny sygnał trójkątny o amplitudzie A i częstotliwości podstawowej F0 (patrz: zad. 1.1b)) spróbkowano
z szybkością FS = 4F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.
2.4 Sygnał x(t) = 5cos(6000pt) + 4cos(12000pt) + 8cos(24000pt) spróbkowano z szybkością FS = 8000 Sa/s (próbek
na sekundę). Podaj postać sygnału x[n] po spróbkowaniu. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych tego
sygnału po rekonstrukcji. Jaka jest częstotliwość Nyquista? Co się zmieni,
gdy sygnał przed próbkowaniem poddamy filtracji antyaliasingowej w
filtrze dolnoprzepustowym o charakterystyce amplitudowej jak na rysunku
i zerowej charakterystyce fazowej (F0 = 3 kHz) ?
Zwróć uwagę na dobór częstotliwości granicznej filtru. Jaki ma to związek
z szybkością próbkowania i z tym, że filtr aby być przyczynowy, nie może
być idealny?
ODP.
Sygnał po spróbkowaniu:
3 6 12
x[n] = x(t) n = 5cosć2p n + 4cosć2p n + 8cosć2p n

t=
8 8 8
Fs Ł ł Ł ł Ł ł
1
W powyższym sygnale tylko pierwsza składowa ma częstotliwość unormowaną nie większą od . Pozostałe
2
składowe wymagają przekształcenia, w którym skorzystamy z tego, że kosinus jest funkcją okresową z okresem 2Ą.
3 ć 1 ć 1 3 1 1
ć1- n + 8cos2p ć1+ n = 5cosć2p n + 4cosć2p n + 8cosć2p n
x[n] = 5cosć2p n + 4cos2p


8 4 2 8 4 2
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
Ł ł Ł ł
Sygnał po rekonstrukcji:
1 3 12

y(t) = 4cosć2p 8000t + 5cosć2p 8000t + 8cosć2p 8000t = 4cos(4000pt)+ 5cos(6000pt)+ 8cos(8000pt)

4 8 8
Ł ł Ł ł Ł ł
W przypadku użycia filtru antyaliasingowego zmienią się amplitudy dwóch składowych. Ze względu na spadek
wzmocnienia powyżej częstotliwości F0 = 3 kHz, wynoszący  12 dB/okt, amplituda składowej o częstotliwości 6 kHz
zmniejszy się czterokrotnie, natomiast amplituda składowej o częstotliwości 12 kHz 16 razy. Ostatecznie sygnał
po rekonstrukcji będzie miał następującą postać:
y(t) = cos(4000pt) + 5cos(6000pt) + 0.5cos(8000pt).
W rozwiązaniu należy sprawdzić, czy częstotliwości składowych po rekonstrukcji są nie większe od częstotliwości
Nyquista (FS/2).
4
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
3. SPLOT (LINIOWY)
+Ą +Ą
y[n] x[n]* h[n] = x[k]h[n - k] =
h[k]x[n - k]
k=-Ą k=-Ą
3.1 Oblicz splot sygnałów x[n] i hk[n], metodą graficzną i metodą algebraiczną, korzystając z właściwości delty
Kroneckera. Zwróć uwagę na różnice w sygnałach. Jakie ogólne prawo obrazują?
a) h1[n] = d[n] + 2d[n 1] + 3d[n 2], x[n] = {1, 2}
b) h2[n] = d[n+1] + 2d[n] + 3d[n 1], x[n] = {1, 2}
c) h3[n] = d[n 1] + 2d[n 2] + 3d[n 3], x[n] = {1, 2}
ODP.
Dla przykładu a)
y1[n] = h1[n]* x[n] =
= (d[n] + 2d[n -1] + 3d[n - 2])*(d[n] + 2d[n -1])=
= d[n] + 2d[n -1] + 3d[n - 2] + 2d[n -1] + 4d[n - 2] + 6d[n - 3] =
= d[n] + 4d[n -1] + 7d[n - 2] + 6d[n - 3]
Czyli y1[n] = {1, 4, 7, 6}. Skorzystaliśmy tu z rozdzielności splotu względem dodawania. Właściwość tę można
wykorzystać w przypadku dowolnych sygnałów.
3.2 Znajdz odpowiedzi systemów cyfrowych o danych odpowiedziach impulsowych h[n] na podane sygnały
pobudzające x[n], stosując jedną z dwóch metod graficznych. Czy systemy te są typu FIR (SOI) czy IIR (NOI)? Czy
są przyczynowe? Które są stabilne?
a) h[n] = u[n], x[n] = u[n]  u[n N], N > 0;
b) h[n] = u[n]  u[n N], x[n] = u[n]  u[n M], 0 < N < M;
c) h[n] = anu[n], x[n] = u[n], 0 < a < 1;
d) h[n] = nu[n], x[n] = u[n]  u[n N], N > 0;
e) h[n] = anu[n], x[n] = u[n]  u[n N], N > 0, 0 < a < 1;
f) h[n] = n(u[n]  u[n N]), x[n] = n(u[n]  u[n M]), 0 < N < M;
g) h[n] = d[n]  d[n N], x[n] = u[n]  u[n M], 0 < N < M;
h) h[n] = d[n]  d[n N], x[n] = u[n]  u[n M], 0 < M < N;
i) h[n] = d[n]  d[n N], x[n] = nu[n], N > 0;
j) h[n] = d[n] + d[n N], x[n] = nu[n], N > 0;
k) h[n] = d[n+N]  d[n], x[n] = n(u[n]  u[n M]), 0 < N < M;
l) h[n] = d[n+N] + d[n], x[n] = n(u[n]  u[n M]), 0 < N < M;
m) h[n] = d[n+N]  d[n], x[n] = n(u[n]  u[n M]), 0 < M < N;
n) h[n] = d[n+N] + d[n], x[n] = n(u[n]  u[n M]), 0 < M < N.
Zastanów się, jak zapisać sygnały h[n] i x[n], stosując symbol sumowania.
ODP.
0, n < 0

n
a) y[n] = +1, 0 Ł n Ł N -1 = (n +1)(u[n] - u[n - N])+ Nu[n - N] . Oba zapisy (z nawiasem klamrowym i za pomocą


N, n ł N

skoków jednostkowych) są oczywiście równoważne. W rozwiązaniach wystarczy podać jeden z nich.
+Ą +Ą
System jest typu IIR i jest niestabilny, ponieważ h[n] = +Ą .
1
n=-Ą n=0
5
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
0, n < 0 n > M + N - 2

n +1,
+Ą
0 Ł n < N -1

b) y[n] = , system typu FIR, stabilny, gdyż suma h[n] = N jest skończona

N, N -1Ł n < M
n=-Ą


M + N -1- n, M Ł n Ł M + N - 2

k
n
1- an+1
c) y[n] = =
a 1- a u[n] , system typu IIR, stabilny dla a <1
k=0
0, n < 0


i) y[n] = n, 0 Ł n Ł N -1 , system typu FIR, stabilny

N, n ł N

0, n < 0


j) y[n] = n, 0 Ł n Ł N -1 , system typu FIR, stabilny

2n - N, n ł N

Systemy z przykładów od a) do j) są przyczynowe, cztery ostatnie  nieprzyczynowe.
3.3 Oblicz odpowiedzi filtrów grzebieniowych o odpowiedziach impulsowych a) h1[n] = {1, 1}; b) h2[n] = {1,  1}
na sygnał x[n] = Acos(w0n) .
ODP.
w0 1

a) y1[n] = x[n]* h1[n] = Acos(w0n) *(d[n] + d[n -1])= Acos(w0n) + Acos(w0(n -1)) = 2Acos cosw0ćn -

2 2
Ł ł
w0 w0
Wniosek: 2Acos jest nową amplitudą przefiltrowanej sinusoidy, natomiast - jej fazą początkową.
2 2
n
1
ć
3.4 W kaskadę połączono dwa systemy, jeden o odpowiedzi impulsowej h1[n] = u[n], drugi o odpowiedzi

3
Ł ł
n n
1 1
ć ć
impulsowej h2[n] = u[n] + u[n]. Wyznacz wypadkową odpowiedz impulsową h[n].

3 4
Ł ł Ł ł
ODP.
Odpowiedz impulsowa kaskady systemów jest splotem ich odpowiedzi impulsowych:
h[n] = h1[n]* h2[n]
A stąd
n n
ćć 1 n ć
1 1
ć

h[n] = u[n] *ć u[n] + u[n]
Ł 3 ł 3 4
Ł ł ŁŁ ł Ł ł ł
Splot z pierwszym składnikiem h2[n] wynosi:
n k n-k n k -k n
n n
ćć 1 n ć
1 1 1 1 1 1 1

ha[n] = u[n] *ć u[n] = = =ć

ć ć ć ć ć (n +1)u[n]
Ł 3 ł 3
3 3 3 3 3 3
k=0Ł ł Ł ł Ł ł k=0Ł ł Ł ł Ł ł
Ł ł ŁŁ ł ł
Splot z drugim składnikiem:
n k n-k n k -k
n n
ćć 1 n ć
1 1 1 1 1 1

hb[n] = u[n] *ć u[n] = = =

ć ć ć ć ć
Ł 3 ł 4
3 4 4 3 4
k=0Ł ł Ł ł Ł ł k=0Ł ł Ł ł
Ł ł ŁŁ ł ł
n n
ćć n+1 ć n+1 ć
1 1 1
- u[n] = 4ć 1 3ć 1 u[n]
= -

Ł 4 ł Ł 3 ł
1 1
3 4
Ł ł Ł ł
- Ł ł Ł ł
4 3
Odpowiedz impulsowa jest sumą powyższych splotów:
n n+1
1 1
ć
h[n] = ha[n] + hb[n] = (n + 5)u[n] - 3ć u[n]

3 4
Ł ł Ł ł
6
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
3.5 Wyznacz i naszkicuj odpowiedz systemu o odpowiedzi impulsowej h[n] = n(u[n]- u[n - N]) na pobudzenie
3
ciągiem  rzadkich delt Kroneckera, opisanym wzorem x[n] =
kd[n - kM ], gdzie M > N oznacza odstęp między
k=0
kolejnymi deltami.
3.6 Zamodeluj w dziedzinie czasu dyskretnego odbicia dzwięku od dwóch równoległych nieskończenie długich
i nieskończenie wysokich ścian  pomieszczenia . Opisz zjawisko wielokrotnego echa za pomocą odpowiedzi
impulsowej. Jaki charakter powinna mieć (jaką funkcją należy ją wyrazić), aby odpowiadała zjawisku fizycznemu?
Jak obliczyć odpowiedz  pomieszczenia na dowolny sygnał pobudzający?
3.7 Udowodnij, że wynikiem splotu sygnału z opóznioną deltą Kroneckera jest opóznienie sygnału:
x[n]*d[n - M ] = x[n - M ]
ODP.
Dowód przeprowadzimy wprost z definicji:
+Ą
d[n - M ]* x[n] = - M ]x[n - k]
d[k
k=-Ą
1 dla k = M

Ponieważ d[k - M ] =
0 dla k ą M , to po rozpisaniu powyższej sumy dostajemy:

d[n - M]* x[n] =L+ 0 x[n - M +1] +1 x[n - M] + 0 x[n - M -1] +L= x[n - M],
co należało wykazać.
4. PRZEKSZTAACENIE Z
+Ą
1
X (z) = x[n]z-n (proste) x[n] = X (z)zn-1dz (odwrotne)


2pj
n=-Ą
C
4.1 Oblicz transmitancje systemów z zadania 3.2. Napisz równania różnicowe opisujące te systemy.
ODP.
+Ą +Ą
1
-n
a) H (z) = z-n = , obszar zbieżności (ROC): z >1 , y[n] = x[n] + y[n -1]
u[n]z =
1- z-1
n=-Ą n=0
+Ą
1 z-N 1- z-N
b) H (z) = (u[n] - u[n - N])z-n = - = , obszar zbieżności (ROC): z >1 ,

1- z-1 1- z-1 1- z-1
n=-Ą
y[n] = x[n]- x[n - N]+ y[n -1]
+Ą +Ą
1
n -1
c) H(z) = u[n]z-n = )n =
a (az 1- az-1 , obszar zbieżności (ROC): z > a , y[n] = x[n]+ ay[n -1]
n=-Ą n=0
dX(z)
d) Korzystamy z następującej właściwości: Jeżeli x[n] X (z) , to nx[n] -z . Wówczas szukana
dz
d 1 z-1
ć
transmitancja wynosi: H(z) = -z = , obszar zbieżności (ROC): z >1 ,

dz 1- z-1 1- 2z-1 + z-2
Ł ł
y[n] = x[n -1] + 2y[n -1] - y[n - 2]
4.2 Stosując przekształcenie Z, wyznacz odpowiedz systemu o odpowiedzi impulsowej h[n]=(1/3)nu[n] na pobudzenie
sygnałem x[n] = (1/2)nu[n]. Czy system jest przyczynowy i czy jest stabilny? Podaj jego równanie różnicowe.
ODP.
z z
Transmitacja systemu: H (z) = , transformata pobudzenia: X (z) = . Transformata odpowiedzi:
1 1
z - z -
3 2
7
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
z z z z
Y(z) = X (z)H (z) = = A1 + A2 ,
1 1 1 1
z - z - z - z -
2 3 2 3
Y (z) 1 1 Y (z) 1 1
ć ć
gdzie A1 = z - = = 6 , A2 = z - = = -6

1 1 1 1
1 1
z 2 z 3
Ł ł Ł ł
z= z=
- -
2 3
2 3 3 2
n n
ć
z z 1 1
ć
u[n]
Y(z) = 6 - 6 y[n] = 6ć -
2 3
1 1
z - z - ŁŁ ł Ł ł ł
2 3
Odpowiedz impulsowa systemu przyjmuje wartości zerowe dla ujemnych chwil n, zatem system jest przyczynowy.
1
W równaniu różnicowym, y[n] = x[n] + y[n -1], nie występują składniki typu x[n+1], x[n+2] itd. Transmitancja
3
systemu jest funkcją wymierną, w której stopień licznika jest nie większy niż stopień mianownika.
Aby system był stabilny, jego odpowiedz impulsowa musi być bezwzględnie sumowalna lub sumowalna z kwadratem
(drugi warunek oznacza, że jej energia jest skończona). Ponieważ
n n
+Ą +Ą +Ą
1 1 1 3
ć
h[n] = u[n] = = =

ć
1
3 3 2
n=-Ą n=-Ą Ł ł n=0Ł ł
1-
3
więc system jest stabilny. Aby wykazać, że system jest stabilny na podstawie transmitancji H(z) wystarczy sprawdzić
położenie jej biegunów. Jeżeli wszystkie bieguny transmitancji leżą wewnątrz okręgu jednostkowego, czyli ich
1
moduły są nie większe od jedności, system jest stabilny. W naszym przypadku mamy pojedynczy biegun p0 = ,
3
więc system jest stabilny.
4.3 Oblicz odpowiedz y[n] systemu DLS y[n] = x[n] + ay[n 1] na pobudzenie sygnałem x[n]=10u[n]. Przyjmij a=1/2.
Sprawdz poprawność rozwiązania za pomocą splotu. Oblicz transmitancję H(z) i odpowiedz impulsową h[n] systemu.
Czy ten system jest przyczynowy? Czy jest stabilny? (zadanie z egzaminu z PCPS z 2003r., E. Hermanowicz)
4.4 Wyznacz odpowiedz y[n] systemu o transmitancji H(z) na pobudzenie x[n]. Narysuj schemat systemu. Czy system
jest stabilny? Czy jest przyczynowy?
n
5z - 2 1
ć
a) H (z) = , x[n] = u[n]

1
2
Ł ł
z -
3
n
2z 1
ć
b) H (z) = , x[n] = u[n]

1
7
Ł ł
z -
5
4z2 - 23z + 23
c) H(z) = , x[n] = 3n u[n]
z2 - 4z + 3
ODP.
n n
ł
1 1
ć
a) y[n] = , stabilny (biegun transmitancji leży wewnątrz okręgu jednostkowego)

ę2 + 3ć śu[n]
3 2
Ł ł Ł ł
ę ś

n n
ł
1 1
ć
b) y[n] = , stabilny (jw.)

ę7 - 5ć śu[n]
5 7
Ł ł Ł ł
ę ś

5
ć1+
c) y[n] = 3n+1 - n3n u[n] , niestabilny (co najmniej jeden z biegunów nie leży wewnątrz okręgu

3
Ł ł
jednostkowego, w tym przypadku żaden z biegunów nie spełnia tego warunku)
8
D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012
Wszystkie systemy są przyczynowe, ponieważ stopnie liczników transmitancji są nie większe od stopni
mianowników.
4.5 Dane są sygnały:
n n
1 1
ć ć
x[n] = u[n] y[n] = d[n] + u[n]

3 3
Ł ł Ł ł
a) ,
x[n] = anu[n], y[n] = annu[n]
b)
Jaką transmitancję ma system, który pobudzony sygnałem x[n] daje na wyjściu odpowiedz y[n]? Podaj równanie
różnicowe opisujące ten system i jego odpowiedz impulsową. Następnie sprawdz metodą splotu, że y[n] = x[n]*h[n].
Który z filtrów jest typu FIR, a który IIR? Kiedy są stabilne?
ODP.
1 1 1
a) H (z) = 2 - z-1 , y[n] = 2x[n] - x[n -1] , h[n] = d[n] - d[n -1] FIR
3 3 3
a
b) H(z) = , y[n] - ay[n -1] = ax[n -1] , h[n] = anu[n -1] IIR
z - a
Metodą splotu rozwiążemy drugi przykład z tego zadania jako mniej trywialny. Skorzystamy tu ze wzoru
definicyjnego:
+Ą +Ą n-1
k
y[n] x[n]* h[n] =
x[k]h[n - k] =a u[k]an-ku[n - k -1] =an1 =annu[n -1] = annu[n]
k=-Ą k=-Ą k=0
k 2
Wymnożenie przez skok jednostkowy otrzymaliśmy z warunku, że suma typu ma sens tylko wtedy, gdy górna
()
k=k1
granica sumowania jest nie mniejsza od dolnej. W tym przypadku n musi być nieujemne. Pierwsza próbka sygnału
annu[n] ma wartość zero, z czego wynika równość sygnałów annu[n] i annu[n -1].
9


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
gm geograficzny szkolny zadania 2011 12
Zadanie z PS 2011
przykladowe zadania kolokwium0 11 2011
Przekształcenia liniowe zadania i przykłady
Przyklad 03 2012 12 01
Prace 2011 12 v1
Wnioskowanie statystyczne estymacja zadania przykładowe
technik informatyk egzamin praktyczny probny zadanie1 przyklad rozwiazana
cke 2011 12 czerwiec PR arkusz
Biologia Egzamin praktyczny 2011 12 MAKRO
si zadania przykladowe
zadania przykladowe 3 10
(UW MPZ 2011 12 wyk I [tryb zgodno ci])
Pig 2011 12, cz 1
cke 2011 12 maj PP arkusz

więcej podobnych podstron