XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Joanna JANKOWSKA-SANDBERG1
Szymon PAA
KOWSKI2
PARAMETRYCZNA ANALIZA
ZWICHRZENIA SPR
ŻYSTEGO KRATOWNIC
1. Wprowadzenie
Praktyczne wskazówki dotyczące długości wyboczeniowej prętów kratownic podano np.
w [1]. W przypadku rozpatrywania wyboczenia z płaszczyzny kratownicy można wg tych
wytycznych długość wyboczeniową pasa przyjmować równą odległości między bocznymi
stężeniami kratownicy. To zalecenie normowe prowadzi na ogół do bezpiecznego, ale też
często do nieekonomicznego projektowania kratownic. Opiera się ono bowiem na uprosz-
czonym traktowaniu pasa kratownicy jako pręta przegubowo podpartego, ściskanego stałą
siłą na całej długości i nie powiązanego z pozostałymi elementami kratownicy.
Istnieje bardzo duża analogia między zjawiskiem zwichrzenia kratownicy a dobrze
znanym zjawiskiem zwichrzenia belki zginanej. To drugie zagadnienie ma, jak wiadomo,
bardzo obszerną literaturę (por. np. [2,3]), gdy tymczasem zjawisku zwichrzenia kratownic
jest poświęcona bardzo mała liczba prac. Na podstawie tych prac, np. [4,5,6], można
stwierdzić, że rzeczywista długość wyboczeniowa ściskanego pasa kratownicy (lub jego siła
krytyczna) zależy nie tylko od rozstawu bocznych stężeń kratownicy, ale także od takich
czynników, jak np.:
- rozkład siły normalnej na długości pasa (w kratownicach swobodnie podpartych jest on
w przybliżeniu paraboliczny),
- rodzaj skratowania oraz jego sztywność w stosunku do sztywności ściskanego pasa,
- sposób połączenia skratowania z pasem (sztywny lub przegubowy),
- rodzaj obciążenia kratownicy (obciążenie pasa dolnego lub górnego).
W artykule przedstawiono wybrane wyniki dość obszernej analizy numerycznej
uwzględniającej wpływ wymienionych parametrów na wartość obciążenia krytycznego
kratownicy (na długość wyboczeniową ściskanego pasa kratownicy). Wyniki te mają pewną
wartość zarówno poznawczą, jak i praktyczną i mogą być wykorzystane przy racjonalnym
wymiarowaniu kratownic.
1
Dr inż., Katedra Konstrukcji Metalowych Politechniki Koszalińskiej
2
Prof. dr hab. inż., Katedra Konstrukcji Metalowych Politechniki Koszalińskiej
192
2. Opis metody rozwiązania
Do analizy numerycznej przyjęto kratownicę przedstawioną na rys. 1. Założono, że pasy
kratownicy oraz jej skratowanie są wykonane z kwadratowych przekrojów rurowych.
Szczegółowe obliczenia wykonano dla następujących danych liczbowych:
" rozpiętość kratownicy l = 6m,
" wysokość h = 0,6 m,
" pasy kratownicy: rura 25 � 25 � 2 (A = 1,44 cm2, Ix = 1,6345 cm4),
" słupki i krzyżulce: 20 � 20 � 2 (A = 1,84 cm2, Ix = 0,7872 cm4).
Do obliczeń przyjęto dwa rodzaje obciążenia kratownicy przedstawione na rys. 1a oraz
1b. Pierwszy rodzaj jest typowy np. dla przypadku obciążenia śniegiem, a drugi  dla
przypadku obciążenia wiatrem. W celu wykazania wpływu stężenia pasa górnego (np. za
pomocą niepodatnych płatwi) na wartości obciążenia krytycznego kratownicy uwzględniano
w obliczeniach zmienny rozstaw stężeń tego pasa od wartości równej rozpiętości kratownicy
do wartości równej rozpiętości między sąsiednimi węzłami kratownicy. Ponadto w
obliczeniach uwzględniono dwa rodzaje połączenia skratowania z pasami kratownicy:
połączenie idealnie przegubowe oraz sztywne połączenie prętów w węzłach.
b)
a)
h
l
Rys. 1. Schemat kratownicy przyjętej do analizy
Wartość bifurkacyjnego obciążenia krytycznego rozważanej kratownicy, i odpo-
wiadającą temu obciążeniu wartość maksymalnej siły ściskającej w pasie kratownicy,
określano na podstawie tzw. kryterium wyznacznikowego, polegającego na poszukiwaniu
takiego obciążenia (obciążenia krytycznego), któremu odpowiada zerowa wartość globalnej
macierzy sztywności ustroju. Znajomość siły ściskającej w pasie kratownicy w chwili
wyboczenia ustroju pozwala na łatwe wyznaczenie współczynnika długości wyboczeniowej �
pasa kratownicy zgodnie ze wzorem
Ą EI
� = , (1)
l Ncr
w którym:
 EI  sztywność pasa na zginanie,
 Ncr  siła krytyczna w pasie kratownicy.
193
3. Wyniki obliczeń numerycznych
Obliczone wg wzoru (1) wartości współczynnika długości wyboczeniowej � (le = ��"l),
z uwzględnieniem zmiennych parametrów omówionych w p. 2, zestawiono w tablicach 1
i 2, przy czym tab. 1 obejmuje przypadek obciążenia przedstawiony na rys. 1a (wartości �
dotyczą pasa górnego), a tab. 2  przypadek obciążenia 1b (wartości � dotyczą pasa
dolnego). Założono przy tym, że wymienione rodzaje obciążeń mogą działać zarówno na pas
dolny, jak i na pas gó rny. W tablicach tych uwzględniono dodatkowo stosunek sztywności na
zginanie pasa górnego do dolnego (EIg/EId).
Tablica 1. Wartości współczynnika wyboczeniowego ź (obc. wg rys. 1a)
Rodzaj Rodzaj Połączenie
EIg/EId
stężeń obciąże- skratowania
0.1 0.33 1 3 6.5 15
kratownicy nia z pasami
stężone
przegubowe 0.617 0.637 0.660 0.856 1.003 1.163
górą
skrajne
sztywne 0.197 0.308 0.376 0.493 0.578 0.680
węzły
przegubowe 0.454 0.512 0.555 0.680 0.746 0.793
kratownicy
dołem
sztywne 0.179 0.282 0.346 0.448 0.517 0.588
wg rys. 1
dodatkowe
przegubowe 0.365 0.366 0.370 0.434 0.464 0.483
górą
stężenie
sztywne 0.163 0.192 0.223 0.288 0.338 0.388
pasa
przegubowe 0.326 0.328 0.332 0.388 0.413 0.428
górnego w
dołem
sztywne 0.156 0.179 0.205 0.260 0.303 0.345
środku rozp.
przegubowe 0.215 0.215 0.216 0.227 0.232 0.235
stężony co
górą
sztywne 0.158 0.166 0.175 0.198 0.211 0.222
drugi węzeł
pasa
przegubowe 0.208 0.209 0.210 0.220 0.224 0.226
dołem
górnego
sztywne 0.154 0.163 0.171 0.193 0.205 0.214
przegubowe 0.113 0.113 0.113 0.116 0.116 0.117
stężony
górą
sztywne 0.108 0.108 0.108 0.113 0.115 0.116
każdy węzeł
pasa
przegubowe 0.113 0.113 0.113 0.116 0.116 0.117
dołem
górnego
sztywne 0.108 0.108 0.108 0.113 0.115 0.116
Na podstawie przedstawionych wyników można wyciągnąć kilka wniosków praktycznych.
1. Wartość obciążenia krytycznego powodującego zwichrzenie kratownicy, podobnie jak
w przypadku zwichrzenia belek, w dużym stopniu zależy od miejsca działania obciążenia. Na
podstawie wyników przedstawionych w tab. 1 można zauważyć, że obciążeniu górnego pasa
kratownicy towarzyszą większe wartości współczynnika � (mniejsze wartości obciążenia
krytycznego) niż w wypadku obciążenia pasa dolnego. W przypadku np. ssania wiatru
(tab. 2) zachodzi odwrotne zjawisko; obciążenie pasa górnego jest wtedy bardziej korzystne
niż obciążenie pasa dolnego. Można przy tym zauważyć dość oczywiste zjawisko, że 
generalnie  w wypadku przegubowego połączenie skratowania z pasami otrzymuje się
mniejszą wartość obciążenia krytycznego kratownicy niż w wypadku sztywnego połączenia
prętów w węzłach.
194
Tablica 2. Wartości współczynnika wyboczeniowego ź (obc. wg rys. 1b)
Rodzaj Połączenie
EIg /EId
Rodzaj
obciąże- skratowania
stężeń
0.1 0.33 1 3 6.5 15
nia z pasami
stężone
przegubowe 0.722 0.640 0.531 0.479 0.437 0.400
górą
skrajne
sztywne 0.542 0.461 0.375 0.301 0.244 0.194
węzły
przegubowe 0.994 0.797 0.631 0.599 0.580 0.566
kratownicy
dołem
sztywne 0.605 0.504 0.407 0.330 0.272 0.222
wg rys. 1
dodatkowe
przegubowe 0.680 0.444 0.343 0.339 0.337 0.337
górą
stężenie
sztywne 0.386 0.285 0.234 0.204 0.179 0.158
pasa
przegubowe 0.993 0.768 0.560 0.553 0.551 0.551
górnego w
dołem
sztywne 0.485 0.358 0.268 0.223 0.191 0.167
środku rozp.
przegubowe 0.680 0.440 0.343 0.339 0.337 0.337
stężony co
górą
sztywne 0.386 0.253 0.195 0.170 0.157 0.147
drugi węzeł
pasa
przegubowe 0.990 0.767 0.559 0.553 0.551 0.551
dołem
górnego
sztywne 0.484 0.358 0.268 0.223 0.191 0.166
stężony
przegubowe 0.680 0.436 0.340 0.337 0.337 0.336
górą
każdy węzeł
sztywne 0.381 0.244 0.189 0.166 0.152 0.145
pasa
przegubowe 0.989 0.767 0.559 0.553 0.551 0.551
górnego
dołem
sztywne 0.479 0.355 0.265 0.221 0.189 0.165
2. Wartość obciążenia krytycznego kratownicy w dużym stopniu zależy od odległości między
stężeniami bocznymi ściskanego pasa kratownicy, przy czym długość wyboczeniowa tego
pasa jest na ogół znacznie mniejsza od odległości między stężeniami. Okoliczność ta jest
wynikiem tego, że skratowanie współpracujące z rozciąganym pasem kratownicy stanowi
pewnego rodzaju podparcie sprężyste ściskanego pasa, co w znacznym stopniu przyczynia się
do wzrostu jego siły krytycznej. Wynika stąd, że zalecenie normowe polegające na
utożsamianiu długości wyboczeniowej z odległością między bocznymi stężeniami ściskanego
pasa kratownicy prowadzi na ogół do bezpiecznego, ale jednocześnie do mało ekono-
micznego projektowania kratownic.
3. Na wartość obciążenia krytycznego kratownicy mają dość istotny wpływ także inne
parametry, takie jak np. stosunek sztywności pasów kratownicy oraz stosunek sztywności
skratowania (w tym sztywności na skręcanie) do sztywności pasów.
Niektóre wybrane wyniki liczbowe podane w tablicach 1 i 2 przedstawiono dodatkowo
w poglądowy sposób na rysunkach 2�5. Rysunki te przedstawiają zależność współczynnika
wyboczeniowego � ściskanego (dolnego lub górnego) pasa kratownicy od rodzaju
obciążenia, rodzaju połączenia skratowania z pasami, odległości między stężeniami oraz od
stosunku sztywności na zginanie pasów kratownicy.
195
Rys. 2. Zależność wsp. wyboczeniowego ź gó rnego pasa kratownicy
od wybranych parametrów (stężone są tylko skrajne węzły kratownicy)
Rys.3. Zależność wsp. wyboczeniowego ź gó rnego pasa kratownicy od wybranych
parametrów (stężone są skrajne węzły kratownicy oraz środkowy węzeł pasa górnego)
196
Rys. 4. Zależność wsp. wyboczeniowego ź dolnego pasa kratownicy
od wybranych parametrów (stężone są tylko skrajne węzły kratownicy)
Rys. 5. Zależność wsp. wyboczeniowego ź dolnego pasa kratownicy od wybranych
parametrów (stężone są skrajne węzły kratownicy oraz środkowy węzeł pasa górnego)
197
4. Wnioski i uwagi końcowe
W pracy przedstawiono wyniki analizy parametrycznej zwichrzenia sprężystego pewnej
kratownicy, na podstawie których można w racjonalny sposób określić długość
wyboczeniową ściskanego pasa kratownicy. Wykazano, że uwzględnienie współpracy
ściskanego pasa z pozostałymi prętami kratownicy może się przyczynić do bardziej
ekonomicznego projektowania dz
wigarów kratowych.
Prezentowana analiza parametryczna zwichrzenia kratownicy z konieczności uwzglę-
dnia tylko kilka wybranych, zdaniem autorów, istotnych parametrów. Obszerniejsza analiza
obejmująca dodatkowo takie czynniki jak np. różne rodzaje kratownic i skratowań oraz
zróżnicowanie przekrojów elementów byłaby bardzo uciążliwa. Postępowanie takie przy
powszechnym obecnie dostępie do programów komputerowych byłoby też chyba mało
celowe. Wydaje się, że bardziej racjonalne w praktyce projektowej jest korzystanie z od-
powiedniego programu, umożliwiającego rozwiązanie konkretnego zadania z uwzględnie-
niem wszystkich istotnych czynników mających wpływ na wartość obciążenia krytycznego
kratownic.
Literatura
[1] PN-90/B-03200., Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[2] GOSOWSKI B., Stateczność przestrzenna stężonych podłużnie i poprzecznie
pełnościennych elementów konstrukcji metalowych. Prace Naukowe Instytutu
Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Seria Monografie nr 29, Wrocław 1992.
[3] WEISS S., GIŻEJOWSKI M., Stateczność konstrukcji metalowych. Arkady, Warszawa
1991.
[4] KL� PPEL K., FRIEMANN H., REUSCHLING D., Beitrag zur Berechnung der
Stabilit�t beliebig gelagerter zweigurtiger Fachwerktr�ger oder Vollwandtr�ger mit
Querschnittverformung gegen Ausweichen aus der Tragwerksebene. Institut f�r Statik
und Stahlbau. Technische Hochschule Darmstadt, Heft 8 (1969).
[5] MISIAK J., Obliczenia konstrukcji prętowych. PWN, Warszawa 1993.
[6] PAA
KOWSKI Sz., KOA
ODZIEJ J., Parametryczna analiza zwichrzenia spreżystego
słupów złożonych ściskanych mimośrodowo. Inż. i Bud., nr 11/1988, 401-403.
PARAMETRIC ANALYSIS OF ELASTIC LATERAL BUCKLING
OF TRUSSES
Summary
According to Polish Standard [1] the effective length of the compression chord of a truss
is equal to the distance between bracings of this chord. This recommendation is very
approximative because it neglects an influence of the another trussmember (verticals and
diagonas) on the critical load of the truss. This paper presents the chosen results of
comprehensive numerical analysis that takes into acccount the influence of all essential
parameters on the critical load (effective length) of trusses. The presented results have
theoretical as well as practical aspects and can be applied in designing practice.