Prawa ruchu: dynamika
Fizyka I (B+C)
Wykład X:
" Równania ruchu
" Więzy
" Rozwiązywanie równań ruchu
Ò! oscylator harminiczny, wahadÅ‚o
Ò! ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym
Ò! spektroskop
" III zasada dynamiki
I i II zasada dynamiki
Przypomnienie
I zasada dynamiki
Istnieje układ inercjalny
W układzie inercjalnym ciało, na które nie działaja żadne siły pozostaje w spoczynku lub
porusza siÄ™ ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II zasada dynamiki
Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły: m - masa bezwładna
dv
F = m



dt
dp
F =



dt
Zmiana pędu ciała pod wpływem działającej siły: p = mv
"p = F dt
"t
A.F.Żarnecki Wykład X 1
Równania ruchu
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwiązywanie równań ruchu,
czyli określanie ruchu ciała ze znajomości działających na nie sił.
Postać ogólna
Siła działająca na ciało może zależeć od położenia i prędkości cząstki oraz czasu
F = F (r, v, t)
Ò! równanie ruchu:
d2r(t)
m = F (r, v, t)
dt2
2
d2y
d2z
Układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu m(d x, , ) = (Fx, Fy, Fz)
dt2 dt2 dt2
Ogólne rozwiązanie ma sześć stałych całkowania:
r = r (t, C1, C2, . . . , C6)
A.F.Żarnecki Wykład X 2
Równania ruchu
Warunki poczÄ…tkowe
Aby ściśle określić ruch ciała musimy poza rozwiązaniem równań ruchu
wyznaczyć wartości wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sześciu)
Najczęściej dokonujemy tego określając warunki początkowe:
r0 = r (t0)

v0 = v (t0) t0



W mechanice klasycznej obowiązuje  zasada przyczynowości
Jeśli znamy równania ruchu oraz dokładnie poznamy warunki początkowe
możemy jednoznacznie określić stan układu w przeszłości i w przyszłości.
Zachowanie obiektów mikroświata (np. cząstek elementarnych) nie jest deterministyczne.
Granice stosowalnoÅ›ci mechaniki klasycznej okreÅ›la wartość staÅ‚ej Plancka h = 6.626 · 10-34 J · s
A.F.Żarnecki Wykład X 3
Rówanania ruchu
Siła sprężysta: F = -k r
Siła centralna - działająca zawsze w kierunku środka układu (zawsze możemy tak wybrać)
Równanie ruchu sprowadza się do postaci:
d2r k
= -É2 r ,

É =

dt2 m
Ò! oscylator harmoniczny. Ogólne rozwiÄ…zanie równania ruchu:
r(t) = A · cos Ét + B · sin Ét
Wartości A i B możemy wyznaczyć z warunków początkowych:
r0 = r(0) = A v0 = v(0) = ÉB
v0
Ò! r(t) = r0 · cos Ét + · sin Ét
É
Ruch jest płaski, odbywa się w płaszczyz
nie wyznaczonej przez r0 i v0.
Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa.
A.F.Żarnecki Wykład X 4
Równania ruchu
Do tej pory rozważaliśmy ruch ciała, które może się przemieszczać
bez ograniczeń w całej trójwymiarowej przestrzeni - trzy stopnie swobody: f=3.
W każdej chwili stan ciała opisuje sześć parametrów (dwa wektory: r i v)
Więzy
W wielu przypadkach ruch ciała jest jednak
ograniczony Ò! czÄ…stka nieswobodna
Ð! powierzchnia wiÄ™zów
Ogólny warunek opisujący powierzchnie:
h(x, y, z, t) = 0
Ò! dwa stopnie swobody f=2
cztery parametry poczÄ…tkowe
A.F.Żarnecki Wykład X 5
Równania ruchu
Więzy
Ð! krzywa wiÄ™zów
Krzywą w przestrzeni możemy opisać porzez dwa warunki:
h1(x, y, z, t) = 0
h2(x, y, z, t) = 0
Ò! jeden stopieÅ„ swobody f=1,
dwa parametry poczÄ…tkowe
Do równania ruchu musimy wprowadzić dodatkową siłę reakcji więzów
d2r(t)
m = F (r, v, t) + FR
dt2
gdzie: F (r, v, t) - siły zewnętrzne, FR - reakcja więzów
A.F.Żarnecki Wykład X 6
Rówanania ruchu
Więzy Przykład Wahadło jednowymiarowe
Przy braku oporów ruchu (więzy idealne)
siła reakcji więzów jest zawsze prostopadła
do powierzchni lub krzywej więzów.
Więzy mogą być stacjonarne
(skleronomiczne), niezależne od czasu:
h(x, y, z) = 0
lub zależne od czasu (reonomiczne):
h(x, y, z, t) = 0
Równania więzów:

l2 - x2 - y2 - z2 = 0


x = 0


A.F.Żarnecki Wykład X 7
Rówanania ruchu
Warunki narzucone przez więzy najłatwiej uwzględnić
Wahadło
opisując położenie kulki przez kąt Ś:
y = l sin Åš z = -l cos Åš
O sile reakcji FR(t) wiemy jedynie tyle, że działa wzdłuż nitki.
d2y FR d2z FR
= - sin Åš = -g + cos Åš
dt2 m dt2 m
Ò! przyspieszenie styczne nie zależy od FR:
d2y d2z
aÅš a" cos Åš + sin Åš = -g · sin Åš
dt2 dt2
W przybliżeniu maÅ‚ych kÄ…tów (sin ¸ H" ¸) otrzymujemy:
d2Åš
l = -g · Åš
dt2
g
l
Ò! oscylator harmoniczny czÄ™stość É = , okres T = 2Ä„
l g
A.F.Żarnecki Wykład X 8
Rówanania ruchu
Pole elektryczne
Równania ruchu:
d2x
= 0
dt2
d2y
= Q E
dt2
Całkowanie + warunki początkowe
Ò! x(t) = v0 · t
Q E
y(t) = · t2
2m
Q E
Stałe pole elektryczne E = (0, E, 0)
Ò! równanie toru: y = · x2
2
2mv0
W pole wlatuje z prędkością v0 = (v0, 0, 0)
KÄ…t odchylenia:
czÄ…stka o masie m i Å‚adunku Q
dy Q E L
tan ¸ = =
2
FE = Q E
dx m v0
x=L
A.F.Żarnecki Wykład X 9
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
Z definicji iloczynu wektorowego
ëÅ‚ öÅ‚
ix iy iz
ìÅ‚ ÷Å‚
d2r
ìÅ‚ ÷Å‚
dy
dx dz
m = Q · ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
dt2
0 0 B
Układ dwóch równań:
d2x dy
m = Q B
dt2 dt
d2y dx
m = -Q B
dt2 dt
Stałe pole magnetyczne B = (0, 0, B)
Całkując pierwsze równanie
dx
W pole wlatuje z prędkością v0 = (0, v0, 0)
m = Q B (y - y0)
dt
czÄ…stka o masie m i Å‚adunku Q
d2y Q B 2
Ò! = - (y - y0)
FB = Q · v × B
dt2 m
siła Lorenza
A.F.Żarnecki Wykład X 10
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
RozwiÄ…zanie:
Otrzymujemy równania ruchu:
x = r · sin Ét
d2y
y = r · (cos Ét - 1)
= -É2 (y - y0)


dt2
dx Q B Promień cyklotronowy:
= É (y - y0) É =
dt m m v0
r =
Ò! ruch po okrÄ™gu É - czÄ™stość cyklotronowa
Q B
Ruch w polu magnetycznym
jest jednostajny: v = const
m v p
r = =
Q B Q B
A.F.Żarnecki Wykład X 11
Rówanania ruchu
Pole magnetyczne
Odchylenie czÄ…stki przelatujÄ…cej
przez wÄ…ski obszar jednorodnego pola
zakÅ‚adamy Ét 1:
x H" r · Ét
(Ét)2
y H" r · 1 - - 1
2
x2
= -
2 r
KÄ…t odchylenia:
dy L Q B L
tan ¸ = = =
dx r m v0
x=L
A.F.Żarnecki Wykład X 12
Rówanania ruchu
Spektroskop Thomsona (1913)
CzÄ…stki przelatujÄ… przez obszar
jednorodnych pól E i B
E Ä™!“! B
Pozycja czÄ…stki na ekranie d L
Q B L d
ye H" d · tan ¸B =
m v0
Q E L d
ze H" d · tan ¸E =
2
m v0
m E
2
Ò! ze = · · ye
Q B2 L d
m
Cząstki o róznych v0 układają się na parabolach odpowiadających ich
Q
Ò! separacja izotopów o różnych masach - spektroskopia masowa
A.F.Żarnecki Wykład X 13
Rówanania ruchu
Selektor prędkości
Cząstka w skrzyżowanych
z
jednorodnych polach E Ä„" B
FE = Q · E
y
FB = Q · v × B
B
E
E
VDla prędkości V0 =
B
V
wypadkowa sił FE + FB = 0
x
Ò! tor prostoliniowy
V=Vo
V>Vo
Q > 0
Ò! metoda selekcji czÄ…stek
o ustalonej prędkości
niezależnie od ich Q i m
A.F.Żarnecki Wykład X 14
Rówanania ruchu
Spektrometr Bainbridge a
m v0
Mierzymy promień cyklotronowy r =
Q B
E
dla cząstek o ustalonej prędkości v0 =
B
m
Ò! pomiar
Q
Cząstki o różnych masach zaczernią kliszę
w różnych odległościach od szczeliny
A.F.Żarnecki Wykład X 15
III zasada dynamiki
Zasada akcji i reakcji
 Każdemu działaniu towarzyszy
równe i przeciwnie skierowane
przeciwdziałanie.
Wzajemne oddziaływania dwóch ciał
są zawsze równe sobie
i skierowane przeciwnie.
F12 = -F21
A.F.Żarnecki Wykład X 16
III zasada dynamiki
Siła wyporu
Ciało zanurzone w cieczy traci na wadze...
Ale ciecz w której ciało zanurzamy
 przybiera na wadze...
Ò! Ciecz dziaÅ‚a na ciaÅ‚o siÅ‚Ä… wyporu
Ò! ciaÅ‚o dziaÅ‚a na ciecz...
A
ączny ciężar cieczy i ciała musi pozostać niezmieniony...
A.F.Żarnecki Wykład X 17