Analiza prostych obwodów metodą klasyczną
Reaktancja indukcyjna i pojemnościowa. Impedancja i admitancja.
W przypadku prądów sinusoidalnych napięcia też są sinusoidalnie zmienne. Dla
poszczególnych elementów pasywnych otrzymuje się:
u(t) = R Å"i(t) = RI sin(Ét +Ä…)
m
U
1
U = RI, G =
I R R
di(t) d
U u(t) = L = L (Im sin(Ét + Ä…)) = ÉLIm cos(Ét + Ä…) =
dt dt
I L = ÉLIm sin(Ét + Ä… + 90o )
1 1
U = X I, XL = ÉL [&!], BL = =
L L
XL ÉL
1 1 Im
U
u(t) = Im sin(Ét + Ä…)dt = - cos(Ét + Ä…) =
+"i(t)dt = C +"
C CÉ
1
I C
= Im sin(Ét + Ä… - 90o )
ÉC
1 1
UC = X I, XC = [&!], BC = = ÉC
C
ÉC XC
JeÅ›li w obwodzie znamy napiÄ™cie zasilajÄ…ce u(t) = U sin(Ét + Ä… ) oraz prÄ…d
m
i(t) = Im sin(Ét + Ä… -Õ) , to możemy okreÅ›lić impedancjÄ™. ImpedancjÄ… obwodu nazywamy stosunek
wartości skutecznych napięcia i prądu zasilającego Z = U / I . Odwrotność impedancji nazywamy
admitancją Y = 1/ Z . Jeżeli prąd spóz
nia siÄ™ za napiÄ™ciem, tzn. kÄ…t Õ > 0 , to mówimy, że obwód
ma charakter indukcyjny, jeÅ›li natomiast prÄ…d wyprzedza napiÄ™cie, czyli Õ < 0 , to obwód ma
charakter pojemnoÅ›ciowy. Dla Õ = 0 obwód ma charakter rezystancyjny.
Wskazy. Wykresy wskazowe.
Wielkość sinusoidalnie zmiennÄ…, np. prÄ…d i(t) = Im sin(Ét + Ä… ) można zobrazować graficznie w
postaci wirującego wskazu, który rysuje się dla dowolnie wybranej chwili czasowej, zwykle dla
t=0. Pod kątem ą do poziomu rysuje się wskaz o długości równej wartości skutecznej (w ustalonej
skali).
Rysując wskazy prądów i napięć w danym obwodzie wychodząc z jednego wspólnego punktu,
otrzymuje siÄ™ wykres wskazowy obwodu.
I
UL=IÅ" XL
Ä…
UR=IÅ" R
UC=IÅ" XC
Zadanie 1  wykres wskazowy
Posługując się wykresem wskazowym obliczyć przebieg napięcia i prądu zasilającego, jeśli
iR (t) = 5 2 Å"sin(Ét + 30o ) A. OkreÅ›lić impedancjÄ™ ukÅ‚adu i jej charakter. R = XL = XC = 2 &!.
UC I
C IL IR
U
UL L UR R
Budujemy stopniowo wykres wskazowy.
U 10
L
IR = 5 A, UR = RÅ"IR =2Å"5 = 10 V, UL = UR = 10 V, I = = = 5 A
L
X 2
L
Otrzymane wskazy zaznaczamy na wykresie.
Na jego podstawie znajdujemy prąd całkowity I:
2 2
I = I + IR = 52 + 52 = 5 2 A
L
UC = X Å" I = 2 Å"5 2 = 10 2 V
C
UR=UL
IR
30°
15°
60°
I
45°
IL
45°
U
²=45°
UC
Zaznaczamy wskazy I oraz UC.
Na podstawie wykresu wskazowego znajdujemy U. W tym celu korzystamy z twierdzenia
kosinusów:
2 2 2
U = U +UC - 2U UC cos ² = 102 +102 Å" 2 - 2 Å"10 Å" 2 Å"10 Å" cos 45o = 300 - 200 = 100
R R
U = 10 V
Ostatecznie więc:
u(t) = 10 2 sin(Ét - 60o ) V
i(t) = 10sin(Ét -15o ) A
Obliczamy impedancjÄ™:
U 10
Z = = = 2 &! , Õ = -60o - (-15o ) = -45o
I
5 2
Zatem obwód ma charakter pojemnościowo-rezystancyjny.
Zadanie 2  wykres topograficzny
Posługując się wykresem topograficznym, wyznaczyć wskazanie woltomierza.
U = 220 V, R = XL / 2, R1 = X = X / 2 .
L1 C
UL1 UC
UR1
I1
L1 E R1 F C
V
I2
R C L D R
UL UR 
I UR
U
A B
Wykres topograficzny tworzymy podobnie jak wykres wskazowy, jednakże wskazy odzwierciedlają
topografię obwodu. Najpierw oznaczamy punkty kontrolne  tutaj A, B, C, D, E, F. Następnie
strzałkujemy prądy i napięcia. Wykres topograficzny tworzy się przyjmując jedną wartość jako
wielkość odniesienia. Niech będzie to prąd I1. Wobec czego mamy:
U = I1X , UR1 = IR1 = IX = U , UC = IX = IX = 2U
L1 L1 L1 L1 C L1 L1
Na tej podstawie tworzymy wykres topograficzny pierwszej gałęzi. Należy pamiętać o kątach
między wskazami napięć a wskazem prądu.
B C UR A
I1
UL
U
U
UC
A
UL1
B UR
F UR1
E
D I2
Podobnie postępujemy z drugą gałęzią, przyjmując prąd I2 jako wielkość odniesienia:
' ' '
U = I2R, U = IX = I 2R = 2U , U'' = IR = U
R L L R R R
W ten sposób otrzymaliśmy dwa wykresy topograficzne, po jednym dla każdej gałęzi. Ale na
obydwu wykresach jeden wskaz jest ten sam: jest to napięcie U, od punktu B do A. Należy więc
złożyć obydwa wykresy w jeden, tak aby wskazy U pokryły się. Otrzymujemy następujący wykres:
C UR A UL1
E
UL
I1 U
UV UR1
UC
B UR
F
D I2
Należy zaznaczyć, że wskazy prądów mają dobry kierunek, ale ich długości nie mogą być
określone, gdyż nie są znane zależności między impedancjami jednej i drugiej gałęzi.
Woltomierz włączony jest między punktami D i E, co zaznaczono również na wykresie. Pozostaje
teraz wyznaczyć długość wskazu UV. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
2
2 '' 2
UV = DE = (UC -U )2 + U
R R1
2
1 2
'' '
U = U = U = U cos 45o = U , UC = 2U = 2U , U = U = U = U
R1 L1 L R1 R R L
2 4
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 2 9 1 9 4 13
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
UV = 2U - U + U = U 2 + = U + = U H" 280 V
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 2 16 2 8 8 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Warto zauważyć, że woltomierz wskazuje napięcie większe od napięcia zasilania.