PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
Wykład 3:
Krótkoterminowe papiery dłużne:
bony skarbowe, certyfikaty bankowe,
bony pieniężne przedsiębiorstw
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 1 / 39
Krótkoterminowe papiery dłużne  dokumenty, w których emitent
potwierdza przyjęcie lokaty gotówkowej, tj. zaciągnięcie pożyczki i
zobowiązuje się do jej zwrotu w terminie krótszym niż rok oraz do
zapłacenia odpowiednich odsetek. Inaczej określa się je bonami,
certyfikatami pieniężnymi, wekslami komercyjnymi itp. Od obligacji
różnią się nie tylko krótkimi terminami wykupu, ale również innymi
zasadami emisji i obrotu.
Systematyczne powtarzanie emisji bonów pozwala przekształcić uzyskaną
za ich pomocą pożyczkę z krótko- w długoterminową.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 2 / 39
Bony stanowią alternatywę dla lokowania środków na lokatach bankowych,
bowiem ich nabywcami mogą być osoby fizyczne i prawne. Rentowność
bonów jest z reguły wyższa niż rentowność lokat bankowych, natomiast
emitent płaci zazwyczaj odsetki niższe, niż byłoby to w przypadku kredytu
bankowego.
Istnieje również możliwość spieniężenia bonów przed terminem wykupu
wraz z częścią odsetek, podczas gdy zerwanie przed czasem lokaty
bankowej wiąże się ze znacznym zmniejszeniem lub całkowitą utratą
odsetek.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 3 / 39
Z punktu widzenia przeznaczenia można podzielić bony na dwie ogólne
klasy:
 skierowane do ludności bony o stosunkowo niskich nominałach, dające
możliwość ulokowania nawet niewielkich kwot;
 skierowane do posiadaczy dużych zasobów gotówkowych (tj. banków,
towarzystw ubezpieczeniowych, funduszy emerytalnych, niektóre
przedsiębiorstwa dysponujące dużymi rezerwami gotówki) bony o
wysokich nominałach.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 4 / 39
Emitentami krótkoterminowych papierów wartościowych są: Skarb
Państwa, banki, duże przedsiębiorstwa o wysokiej wiarygodności.
Emisja tych walorów jest masowa, a emitenci narzucają z góry konkretne
standardy. Zazwyczaj normalizacji podlega:
 wartość nominalna stypizowanych odcinków bonów, np. odcinki o
nominale 10000zł itp.
 okres wykupu bonów, np. bony 13-tygodniowe, bony 3-miesięczne itp.
(Krótkoterminowe papiery wartościowe pieniężne mogą być emitowane w
formie fizycznej lub zdematerializowanej.)
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 5 / 39
Sprzedaż bonów przez emitenta może następować w sposób ciągły (w
miarę napływających ofert nabywców) lub w formie przetargów, gdzie
emitent wybiera kontrahentów oferujących najwyższe ceny.
W pierwszym z tych dwu przypadków, bony są sprzedawane: albo według
wartości nominalnej (wykup obejmuje nominał i należne odsetki) albo
według wartości nominalnej pomniejszonej o dyskonto (wykup
obejmuje wtedy tylko wartość nominalną).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 6 / 39
W przypadku przetargów, bony są sprzedawane według wartości
nominalnej pomniejszonej o dyskonto. Wtedy też potencjalny nabywca
musi dla złożenia satysfakcjonującej go oferty:
 ustalić jakiej wysokości odsetki (wyższe niż oprocentowanie rachunków
bieżących i lokat w bankach) go zadowolą;
 następnie określić odpowiednią cenę zakupu bonów, która wyraża się
wzorem
r � t
Wc = Wn � 100 � (100 + ),
R
Wn  jednostka wartości nominalnej bonu;
r  minimalna satysfakcjonująca klienta stopa odsetek od lokaty rocznej
przy założeniu ich inkasa z dołu;
t  czas do wykupu bonów w dniach;
Wc  cena bonu proponowana emitentowi, zadowalająca nabywcę;
R  liczba dni w roku (360 lub 365).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 7 / 39
Przykład.
Tow. ubezpieczeniowe chce ulokować swoje rezerwy finansowe na okres 90
dni. Odsetki w banku wynoszą 4% rocznie. Jako alternatywę, tow. ma
możliwość zakupu bonów o nominalnej wartości jednostkowej 10000zł.
Towarzystwo przystąpi do przetargu, o ile roczne odsetki od bonów będą o
2 pkt. wyższe niż stopa oferowana przez bank.
Mamy wtedy: Wn = 10000, r = 6%, t = 90, R = 365, zatem cena bonu
w ofercie powinna wynieść:
6 � 90
Wc = 10000 � 100 � (100 + ) = 9854, 21
365
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 8 / 39
Bony zakupione po tej cenie rzeczywiście dają roczne odsetki w wysokości
6%:
(10000 - 9854, 21) � 100 365
� = 6%
9854, 21 90
Co więcej, jako że odsetki zostają wypłacone już po 90 dniach, to można
je reinwestować. Otrzymujemy wtedy:
odsetki za 90 dni w wysokości:
[(10000 - 9854, 21) � 100] � 9854, 21 = 1, 4795%
oraz odsetki roczne:
365�90
1, 4795
1 + - 1 � 100 = 6, 05%
100
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 9 / 39
Cena bonów na rynku wtórnym zależy głównie od tego, jaki okres
pozostał do dnia ich wykupu przez emitenta. Zależy ona jednak również
od zmian rynkowej stopy procentowej depozytów oraz od ich popytu i
sprzedaży. (Jeśli podaż bonów na rynku wtórnym większa /odp. mniejsza/
od ofert zakupu, to aktualna stopa odsetek może być niższa /odp.
wyższa/ od występującej na rynku pierwotnym.)
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 10 / 39
Przykład.
Towarzystwo z przykładu poprzedniego wygrało przetarg i zakupiło bony
po cenie 9845, 21 zł za 10000 zł nominału. Po upływie 50 dni nastąpiła
jednak konieczność sprzedaży bonów z uwagi na wypłatę dużych
odszkodowań. Towarzystwo uzyskało na rynku wtórnym cenę:
(a) 9940, 60 zł za 10000 zł nominału; (b) 9928, 10 zł za 10000 zł
nominału.
Odsetki (w skali rocznej) uzyskane przez towarzystwo:
(9940,60-9854,21)�100 (9928,10-9854,21)�100
365 365
(a) � = 6, 4% (b) � = 5, 5%
9854,21 50 9854,21 50
Nabywca bonów w dniu wykupu (czyli po dalszych 40-tu dniach) otrzyma
odsetki:
(10000-9940,60)�100 (10000-9928,10)�100
365 365
(a) � = 5, 5% (b) � = 6, 6%
9940,60 40 9928,10 40
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 11 / 39
Bony skarbowe (zwane też wekslami lub biletami skarbowymi) 
instrument finansowy umożliwiający zaciąganie prze Skarb Państwa
krótkoterminowego kredytu na sfinansowanie deficytu budżetowego
Często emisja bonów skarbowych jest powtarzana systematycznie i w ten
sposób krótkoterminowe bony skarbowe, stanowią (obok Obligacji Skarbu
Państwa) trwałe pokrycie części tzw. długu publicznego, stanowiącego
wynik kumulowania się deficytów budżetowych z wielu nawet
wcześniejszych lat.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 12 / 39
Najpoważniejszy emitent bonów skarbowych to rząd USA.
Oferowane w formie przetargów tzw. Treasury Bills funkcjonują na rynku
wewnętrznym, a także są przedmiotem obrotu na wielu międzynarodowych
giełdach pieniężnych poza USA.
W Polsce emisja bonów skarbowych rozpoczęła się na nowo po długiej
powojennej przerwie w roku 1991. Mogą być one emitowane na okres od 1
do 52 tygodni, przy czym wartość nominalna jednego bonu wynosi 10000
zł.
Organizatorem emisji (następuje ona w drodze przetargów) jest NBP;
prowadzi on również konta depozytowe podmiotów uprawnionych do
uczestnictwa w przetargach.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 13 / 39
Przed przetargiem ogłaszana jest wartość nominalna oferowanych w
określonym dniu bonów oraz okresy (w tygodniach), na jakie bony te
zostały wystawione.
Do przetargów mogą przystępować:
instytucje finansowe i kredytowe, które sytematycznie kupują dużą
ilość bonów i które uzyskały uprawnienia Dealera Skarbowych
Papierów Wartościowych (na podst. umowy z ministrem finansów);
banki państwowe.
Pozostali nabywcy, reflektujący na mniejsze ilości bonów, mogą je zakupić
od podmiotów, mających status Dealera Skarbowych Papierów
Wartościowych.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 14 / 39
Kiedy minie termin przetargu, minister finansów ogłasza najniższą cenę dla
bonów o danym terminie wykupu. Przyjęte zostają te oferty, które
zawierają ceny nie niższe od minimalnej.
Zdarza się, że minister finansów oferuje wcześniejszy wykup bonów
(również w drodze przetargu). Wykup następuje, jeśli oferowana cena nie
jest wyższa od ceny ustalonej przez ministra finansów.
Kilka banków zajmuje się wtórnym obrotem bonami skarbowymi. Ceny
kupna i sprzedaży kształtowane są przez aktualną podaż i popyt. Różnica
między wyższymi cenami sprzedaży i niższymi cenami skupu bonów
stanowi marżę zarobkową banku (tzw. spread).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 15 / 39
Przykład.
Przedsiębiorstwo chce zainwestować 100000 zł na 25 dni. Stopa
oprocentowania rachunku, na którym jest złożona ta kwota, wynosi 3%
rocznie. Zatem pieniądze przyniosłyby odsetki za 25 dni w wysokości:
3 � 25
100000 � 100 = 205, 48
365
Jeśli jednak za te pieniądze zostaną nabyte bony skarbowe o terminie
wykupu przypadającym za 25 dni po aktualnej cenie 9950 zł za 10000 zł
nominału, to dochód wyniesie:
(100000 � 10000)(10000 - 9950) = 500
a roczna stopa:
(10000 - 9950)100 365
� = 7, 3%
9950 25
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 16 / 39
Jednym z dużych nabywców bonów skarbowych w wielu krajach są banki
centralne. Regulują one za pomocą bonów ilość pieniędzy w obiegu,
stabilizując jego wartości i przeciwdziałając inflacji.
Mianowicie dokonują one transakcji warunkowych (tzw. transakcje
REPO  ang. repurchase agreement) lub transakcji bezwarunkowych
kupna lub sprzedaży bonów pieniężnych.
Transakcje warunkowe  okresowa sprzedaż /kupno/ bonów z
jednoczesnym zobowiązaniem do kupna /sprzedaży/ tych bonów po
określonym czasie. (Transakcje REPO  operacje zwrotnego zakupu.
Transakcje Reverse REPO  operacje zwrotnej sprzedaży.)
Transakcje bezwarunkowe  sprzedający /kupujący/ bony nie ma
obowiązku ich odkupu /odsprzedaży/.
W Polsce NBP nie nabywa bonów skarbowych. Obieg pieniężny reguluje
on poprzez emisję własnych bonów.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 17 / 39
Stopę oprocentowania pożyczek zaciągniętych (udzielanych) przez NBP w
wyniku transakcji REPO i Reverse REPO określa się następująco
W0 - Wa 360
iR = � � 100,
Wa t
W0  wartość odkupu (cena bonów odkupowanych lub odsprzedawanych w
transakcjach terminowych); Wa  wartość aukcyjna (cena bonów
sprzedawanych lub kupowanych w transakcjach natychmiastowych).
Przykład
Bank zamierza zainwestować 1 mln zł na okres 4 dni. Dokonuje w tym
celu operacji Reverse REPO z bankiem centralnym, tj. kupuje bony
skarbowe o terminie wykupu przypadającym za 50 dni. Oprocentowanie
rynkowe (stopa kredytowa) wynosi 15%, a stopa dyskontowa 30%.
Wyznacz wartość nominalną bonów skarbowych zakupionych przez bank.
Bank może kupić bony po cenie (za 100 zł wartości nominalnej)
30 50
Cz = 100 1 - � = 95, 83
100 360
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 18 / 39
Bank może odsprzedać bony po cenie (kapitalizacja prosta za 4 dni)
15 4
FV = 95, 83 � (1 + � ) = 95, 99
100 360
Bank chce zainwestować 1 mln zł. Otrzyma on nominalnie więcej bonów 
zdyskontowane do wartości rynkowej będą równały się wartości
transakcyjnej. Nominalnie bank otrzyma
100
= 1, 0435145
95, 83
1000000 � 1, 0435145 = 1043514, 5.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 19 / 39
Wynagrodzenie nabywców bonów skarbowych, nazywane jest dyskontem
(D) i stanowi różnicę między wartością nominalną Wn bonu, a ceną jego
zakupu Cz (inaczej nazywaną bieżącą wartością rynkową lub wartością
dyskontową):
D = Wn - Cz.
Dyskonto D wyraża zysk nabywcy kwotowo. Można je również określić
procentowo, jako stopę dyskontową
D 360
d = � � 100,
Wn t
gdzie t określa liczbę dni od momentu zakupu bonu do dnia jego wykupu
przez emitenta.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 20 / 39
Cenę zakupu bonu skarbowego można zatem wyrazić jako funkcję czasu,
stopy dyskontowej i wartości nominalnej
d t
Cz = Wn 1 - � .
100 360
Cena ta określa ilość jednostek danej waluty, jaką kupujący jest skłonny
zainwestować w bony skarbowe, aby w dniu wykupu otrzymać 100
jednostek tej waluty. Stąd właściwa cena zakupu bonu skarbowego jest
wielokrotnością 100, a powyższy wzór przyjmuje postać
d t
Cz = 100 1 - � .
100 360
Przykład.
Nabywca kupujący 8-tygodniowy bon skarbowy przy stopie dyskontowej
d = 12%, zapłaci od każdych 100-u jednostek danej waluty kwotę
12 8 � 7
Cz = 100 1 - � = 98, 13334.
100 360
Dla bonu skarbowego o nominale 100000 zł, cena zakupu jest równa
(100000 � 100) � 98, 13334 = 98133, 34
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 21 / 39
Cenę zakupu bonu skarbowego można też wyrazić w zależności od
rentowności jego wykupu R. Traktując wartość nominalną bonu
skarbowego jako wartość przyszłą, a cenę zakupu (wyrażoną w ilości
jednostek za 100 jednostek wartości nominalnej) jako wartość obecną,
otrzymujemy
R � t
Cz 1 + = 100,
36000
skąd mamy
100
Cz = .
R�t
1 +
36000
Przykład.
Bank X zamierza osiągnąć z inwestycji w 26-tygodniowe bony skarbowe
rentowność w skali rocznej w wysokości 25%. Jaka jest maksymalna cena
zakupu gwarantująca zakładaną rentowność?
100
Cz = = 88, 779291 H" 88, 78
25�26�7
1 +
36000
czyli maksymalna cena, jaką może zapłacić bank wynosi 88, 78 zł za 100 zł
wartości nominalnej tych bonów.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 22 / 39
Rentowność (stopa efektywna) jest podstawowym miernikiem,
pozwalającym porównywać dochodowość różnych inwestycji. Dla inwestycji
w instrumenty rynku pieniężnego rentowność wyraża się wzorem
Cs - Ck
R = � 100,
Ck
gdzie Cs oznacza cenę sprzedaży, a Ck  cenę kupna danego instrumentu.
Przy założeniu, że Cs = Wn oraz Ck = Cz jest tożsama z aktualną
wartością rynkową instrumentu możemy zapisać następujące zależności
Wn - Ck 360
R = � � 100,
Ck t
Wn - Ck 360
d = � � 100.
Wn t
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 23 / 39
Dzieląc stronami
Wn - Ck 360
R = � � 100 |�Wn
Ck t
i podstawiając do uzyskanego wzoru odpowiednie wyrażenie za stopę
dyskontową d, otrzymujemy
R d
= .
Wn Ck
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 24 / 39
Przykład.
Inwestycja w 13-tygodniowe bony skarbowe o wartości nominalnej Wn = 1
mln zł; d = 28, 6%. Wyznaczyć cenę zakupu (wartość transakcyjną) tych
bonów. Wyznaczyć również rentowność zakupionych bonów.
d t
Ck = Cz = Wn 1 - �
100 360
28, 6 91
Ck = Cz = 1000000 1 - � = 927705, 6
100 360
Wn - Ck 360
R = � � 100
Ck t
1000000 - 927705, 6 360
R = � � 100 = 30, 83%
927705, 6 91
Inaczej
R d Wn � d 1000000 � 0, 286
= �! R = = = 0, 3083 = 30, 83%
Wn Ck Ck 927705, 6
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 25 / 39
Przykład
Bank kupuje bony skarbowe na 55 dni do wykupu o wartości nominalnej 1
mln zł. Istnieje możliwość zakupu tych bonów (a) przy stopie dyskontowej
d = 12, 5% oraz (b) po cenie 96, 5 za 100 zł wartości nominalnej. Ile bank
efektywnie musi zapłacić i jaka jest efektywna stopa procentowa
(rentowność) w obu przypadkach?
(a)
12, 5 55
Cz = 1000000 1 - � = 980902, 78
100 360
1000000 - 980902, 78 360
R = � � 100 = 12, 74%
980902, 78 55
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 26 / 39
(b) Podana jest cena zakupu za 100 zł wartości nominalnej bonu
skarbowego. Stąd za 1 mln zł należy zapłacić
Cz = (1000000 � 100) � 96, 5 = 965000
a rentowność wynosi
1000000 - 965000 360
R = � � 100 = 23, 74%
965000 55
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 27 / 39
Równania określające równoważność stopy dyskontowej i stopy
t
procentowej w okresie roku:
360
d
r =
t
1 - d �
360
r
d =
t
1 + r �
360
Przykład
Bony skarbowe z poprzedniego przykładu zostały sprzedane po 15 dniach.
Jaką dochodowość (rentowność) osiągnięto przez 15 dni, jeśli
obowiązywała stopa procentowa 20%?
Mamy t = 55 - 15 = 40 dni oraz
0, 20
d = = 0, 1957 = 19, 57%
40
1 + 0, 20 �
360
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 28 / 39
Stąd
19, 57 40
Cz = 1000000 1 - � = 978255, 56
100 360
oraz
978255, 56 - 965000 360
R = � � 100 = 32, 97%
965000 15
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 29 / 39
Bony (certyfikaty bankowe)  np. bony emitowane przez NBP
(przeważnie 28-dniowe, chociaż mogą być wypuszczane nawet na
okres 364 dni)  bony wykorzystywane do regulowania wielkości
obiegu pieniężnego oraz wysokości stóp procentowych.
Bony NBP mogą być kupowane przez
banki, które wykazują dużą aktywność na wtórnym rynku skarbowych
papierów wartościowych (tzw. dealerzy rynku pieniężnego);
Bankowy Fundusz Gwarancyjny.
Tryb przetargu na bony NBP jest zbliżony do przetargu na bony skarbowe.
Wtórny obrót bonami NBP występuje również na rynku międzybankowym
w trybie bezwarunkowym (ang. outright) lub warunkowym (ang. repo,
sell-buy-back).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 30 / 39
Bony pieniężne są również emitowane przez inne banki, przeważnie
specjalistyczne (np. specjalizujące się w udzielaniu kredytów na zakup
samochodów).
Istnieją również bankowe bony pieniężne emitowane w walutach
obcych (tzw. certyfikaty depozytowe), które w przypadku wysokiej inflacji
pozwalają zachować realną wartość lokaty. Obsługa tego rodzaju bonów
może następować w walucie krajowej z uwzględnieniem aktualnego kursu
walutowego. Dochody z tego tytułu składają się wtedy z różnic kursowych
i odsetek.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 31 / 39
Certyfikaty są sprzedawane przez bank według wartości nominalnej Wn.
Ich nabywca otrzymuje po t dniach (w terminie wykupu) odsetki O wraz z
kapitałem Wn, czyli wartość certyfikatu Wc w dniu zapadalności wynosi
r t
Wc = Wn 1 + �
100 360
w tym odsetki
r t
O = Wn � �
100 360
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 32 / 39
Przykład
Inwestor kupił w dniu emisji certyfikat depozytowy o parametrach
Wn = 100 tys. zł oraz t = 90 dni. Oprocentowanie certyfikatu w skali roku
wynosi r = 30%. Jaka kwota zostanie wypłacona nabywcy certyfikatu w
dniu wykupu i ile wyniesie jego dochód?
30 90
Wc = 100000 1 + � = 107500
100 360
30 90
O = 100000 � � = 7500
100 360
Możemy również obliczyć roczną rentowność tej inwestycji
Wc - Wn 360
R = � � 100
Wn t
107500 - 100000 360
R = � � 100 = 30%
100000 90
Rzeczywista roczna stopa inwestycji jest tu równa nominalnej stopie
procentowej.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 33 / 39
Jeśli certyfikat depozytowy zostanie zakupiony na rynku wtórnym po
uzgodnionej rentowności, to w dniu wykupu zostanie za niego wypłacona
kwota Wc (wartość przyszła zainwestowanej w kupno certyfikatu kwoty
Cz, obliczonej na podstawie rentowności wynegocjowanej w chwili kupna
certyfikatu).
R � t
Wc = Cz 1 + ,
36000
Wc  wartość certyfikatu w dniu zapadalności; Cz  wartość certyfikatu w
dniu zakupu na rynku wtórnym; R  rentowność certyfikatu w dniu
wykupu, t  liczba dni od dnia zakupu certyfikatu na rynku wtórnym do
dnia jego wykupu.
r t
Powyższy wzór wraz ze wzorem Wc = Wn 1 + � pozwalają
100 360
wyznaczyć wartość Cz
r t
1 + �
(rt + 36000)
100 360
Cz = Wn = Wn
R�t
(Rt + 36000)
1 +
36000
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 34 / 39
Przykład
Bank zakupił na rynku pierwotnym 3-miesięczny certyfikat depozytowy z
kuponem (stopą procentową) 28, 2%. Po dwóch miesiącach sprzedał go na
rynku wtórnym po 23%. Wn = 10000 zł. Oblicz wartość sprzedaży
certyfikatu i uzyskaną przez bank rentowność.
(28, 2 � 90 + 36000)
Cz = 10000 = 10503, 68
(23 � 30 + 36000)
Cz - Wn 360 10503, 68 - 10000 360
R = � � 100 = � � 100 = 30, 22%
Wn t 10000 60
t  liczba dni od momentu zakupu certyfikatu na rynku pierwotnym do
momentu jego sprzedaży na rynku wtórnym
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 35 / 39
Przykład
Firma nabyła certyfikat dewizowy o wartości nominalnej 100000 euro z
terminem wykupu przypadającym za 3 miesiące. Trzymiesięczne odsetki
wynoszą 1, 25% (roczne 5%). Bony zakupiono za złotówki, według kursu
4, 20 zł za 1 euro, tj. zapłacono 420000 zł.
Po upływie 3 miesięcy firma otrzymała zwrot wkładu i odsetek także w
złotych, ale po aktualnym w tym momencie kursie 4, 41 zł za 1 euro.
Emitent wypłacił zatem kwotę:
100000 � 4, 41 � 1, 0125 = 446512, 50
Posiadacz bonu zarobił różnicę 446512, 50 - 420000 = 26512, 50 z czego
część to dodatnie różnice kursowe (100000 � 4, 41) - 420000 = 21000, a
część odsetki 26512, 50 - 21000 = 5512, 50 = 1, 25% od kwoty
(420000 � 1, 05) � 100.
W skali roku łączna stopa odsetek i różnic kursowych wyniosła
(1, 0125 � 1, 05)4 - 1 � 100 = 27, 7%.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 36 / 39
Bony pieniężne (komercyjne) przedsiębiorstw (ang. commercial
papers)  krótkoterminowe papiery wartościowe, za pomocą firma
ciesząca się odpowiednią renomą i solidnością płatniczą (przeważnie
spółka akcyjna dobrze notowana na giełdzie papierów wartościowych)
zaciąga kredyt bezpośrednio na rynku pieniężnym, zamiast korzystać z
pożyczki bankowej. Są to przeważnie bony jedno- lub trzymiesięczne.
Podstawą prawną emisji bonów komercyjnych może być
Prawo wekslowe (bony nazywa się wtedy często wekslami
inwestycyjnymi lub inwestycyjno-handlowymi);
Prawo o publicznym obrocie papierami wartościowymi (bony nazywa
się wtedy często  obligacjami );
Kodeks cywilny (mówi się wtedy o  bonach komercyjnych ).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 37 / 39
Bony przedsiębiorstw mają zazwyczaj wysoką wartość nominalną, rzędu
100000 zł i więcej. Ich nabywcami są inwestorzy dysponujący dużymi
zasobami pieniężnymi. Mogą to być np. banki, fundusze inwestycyjne,
fundusze zbiorowego inwestowania, przedsiębiorstwa, osoby fizyczne.
Organizacja emisji bonów komercyjnych jest zlecana specjalizującym
się w takiej działalności bankom i biurom maklerskim. Organizator emisji
bonów zajmuje się zwykle również ich wtórnym obrotem.
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 38 / 39
Bony przedsiębiorstw są korzystne
dla ich emitentów  ze względu na niższy koszt uzyskanyego w ten
sposób kredytu, w porównaniu z kredytem bankowym (marża
pobierana przez organizatora emisji jest zwykle mniejsza niż odsetki
kredytów); krótki czas pozyskania środków pieniężnych; łatwy
ewentualny wcześniejszy wykup bonów przez emitenta.
dla ich nabywców  znaczne bezpieczeństwo inwestycji w bony
(organizator emisji weryfikuje i poręcza solidność płatniczą emitenta
bonów); odsetki z reguły wyższe niż na lokacie bankowej i wyższe niż
w przypadku bonów skarbowych; łatwość sprzedaży bonów przed
terminem wykupu (większe jest również niestety ryzyko inwestowania
w takie bony).
Opr.: dr Z.Rzeszótko ([e-mail]) Podstawy matematyki finansowej 4 marca 2012 39 / 39