2010-02-18
OBCI
ŻENIA ZMIENNE Przy przemieszczaniu się obciążenia wzdłuż dowolnego układu
prętowego, reakcje podporowe i siły wewnętrzne w
Ważną grupą obciążeń budowlanych są obciążenia zmienne
poszczególnych przekrojach będą zmieniały swoje wartości. Dla
ruchome. Obciążenia tego typu, nazywane użytkowymi, mogą
celów projektowania potrzebne i miarodajne są ekstremalne
wywoływać np. koła pojazdów czy suwnic  siły skupione lub tłum
wartości, jakie mogą osiągnąć te wielkości.
ludzi przechodzący po kładce dla pieszych  obciążenie ciągłe.
Inny charakter będzie miało np. obciążenie śniegiem lub ciężar
wyposażenia pomieszczeń i towarów w magazynie. Wielkości te,
choć stałe w pewnym przedziale czasowym, mogą się zmieniać w
dłuższym okresie.
W przypadku obciążenia zmiennego, podstawowe znaczenie
mają ekstremalne wartości statyczne (siły wewnętrzne, ugięcia,
itp.), jakie mogą wystąpić w układzie, dla najbardziej
niekorzystnego położenia lub rozkładu obciążenia. Ich
wyznaczanie jest zasadniczym celem obliczeń statycznych dla
obciążeń zmiennych.
Obciążenie użytkowe LINIE WPA
YWU
q q q
Linie wpływu są to funkcje lub wykresy obrazujące zależność
pomiędzy poszukiwaną wielkością statyczną (np. reakcją, siłą
l l l l l l
wewnętrzną lub ugięciem układu), a położeniem jednostkowej
siły skupionej P = 1.
0,1ql2 0,1ql2
0,05ql2
Linie wpływu służą przede wszystkim do wyznaczenia
M ekstremalnych wartości dowolnych wielkości statycznych np.
M
reakcji czy sił wewnętrznych w wybranych przekrojach układu.
0,025ql2
Ponadto wykorzystywane są do sporządzania obwiedni sił
0,08ql2 0,08ql2
0,1ql2 0,1ql2
wewnętrznych.
W przypadku wyznaczania linii wpływu, linie przerywane nie
oznaczają spodu, ale określają fragment układu, po którym
przemieszcza się siła P = 1.
Linie wpływu reakcji podporowych, siły poprzecznej i momentu Wzory na linie wpływu określają wartości reakcji RA lub RB w
zginającego w przekroju a-a w belce swobodnie podpartej. zależności od położenia siły jednostkowej P = 1. Wykresy tych
funkcji są liniami prostymi, więc aby je narysować, wystarczy
wyznaczyć dwie wielkości, np. w punktach skrajnych
x
P=1
=� RBl - Px =� 0 �� RB x =� P
(� )�
��M A
A B (� )�
HA=0 (podporowych).
l
ó�
x
RA
RB B =� RAl - P l - x =� 0 �� RA x =� P
(� )�
��M (� )�
x x = l-x (� )� P=1
l
l
Dla P = 1 otrzymamy równania linii RB=0
RA=1
wpływu reakcji:
ó�
x x
P=1
L.w. RA x =� =� 1- [1]
(� )�
L.w. RA [1]
1
l l
RA=0 RB=1
x
L.w. RB x =� [1]
(� )�
1 L.w. RB [1] L.w. RA [1]
1
l
L.w. RB [1]
1
Linie wpływu opisujemy skrótem L.w. z dodaniem oznaczenia
odpowiedniej wielkości statycznej.
Każda rzędna wykresu wskazuje wartość reakcji RA lub RB dla siły Nanosząc skrajne rzędne linii wpływu reakcji podporowych na
P = 1 położonej na belce nad tą rzędną. rysunek i łącząc je liniami prostymi, otrzymujemy ich wykresy.
1
2010-02-18
1. Siła P = 1 znajduje się na lewo od przekroju a-a. 2. Siła P = 1 znajduje się na prawo od przekroju a-a.
P=1
ó�
P=1 a x
ó�
a 0 Ł� x Ł� b
x A B Va =� RA =� P
A B
Va =� -RB =� - P
l
0 Ł� x <� a
a
a x /l x/l
l
l ó�
x /l x/l x
l
x x x L.w. Va =� [1]
x x =l-x L.w. Va =�- [1]
a b l
a b
l
ó�
xa
Ma =� RAa =� P
Va P=1
xb l
P=1 Ma =� RBb =� P aMa
a
Ma Ma a
ó�
xa
l
a a
a L.w. Ma =� [m]
x /l
a VaMa x/l
a l
x /l
Va Va b x/l
a xb
L.w. Ma =� [m]
a/l L.w. Va [1]
l
b/l
a/l
L.w. Va [1]
L.w. Ma [m]
ab/l
L.w. Ma [m]
ab/l
Linia wpływu momentu zginającego dla belki swobodnie
podpartej: pod ustalonym przekrojem a-a nanosi się
Przyjmujemy konwencję, według której dodatnie wartości linii charakterystyczną rzędną o wartości ab/l i łączy ją liniami prostymi
wpływu rysujemy na dole. z zerowymi rzędnymi na podporach.
Linie wpływu reakcji podporowych i sił wewnętrznych w przekroju OBCI
ŻANIE LINII WPA
YWU
a-a belki wspornikowej
Dla dowolnego obciążenia na podstawie linii wpływu można
=� RA - P =� 0 �� RA =� P �� L.w. RA =�1 [1]
��Py wyznaczyć wartości reakcji lub sił wewnętrznych.
ó� ó� ó�
=� M - Px =� 0 �� M =� Px �� L.w. M =� x [m]
��M A A A A
(� )�
P2 Pi Pn
P1 a
P=1 a P=1
MA
a
B A HA
A a
0 Ł� x <� aB
a b n
x a
a
l K =� hi
��Pi
RA a
x x
h1 h2 hn L.w.K (Ma [m]) i=�1
l
hi ab
L.w. Va =�-1 [1]
a b
l
qdx
q(x) a
L.w. Ma =� -(� - x = x - a [m]
a )�
a q
1 L.w. RA [1]
P=1 a
x dx a
l L.w. MA [m]
a
B
A
a Ł� x Ł� l
A
a
L.w. Va [1] a
1 L.w.K (Ma [m])
h(x) ab
x
l
L.w. Ma [m] x2 x2
a
L.w. Va =� 0
K =� q x h x dx K =� q x dx =� qA
(� )� (� )�
�� ��h (� )�
L.w. Ma =� 0
x1 x1
Wartość reakcji RA oraz siły poprzecznej i momentu zginającego EKSTREMALNE OBCI
ŻANIE LINII WPA
YWU
w przekroju a-a belki swobodnie podpartej.
Linie wpływu i zasady ich obciążania, wykorzystywane są przede
P=30 kN
wszystkim do wyznaczania ekstremalnych wartości reakcji i sił
q=10kN/m
wewnętrznych wywołanych obciążeniem, którego położenie nie
a
A B
1 2 1 ��
jest zdefiniowane. Charakter tego obciążenia i jego parametry są
AR =� ��ć� +� 2 =� 1
a �� ����
2 3 3
Ł� ł�
1m1m 2m 2m
wielkościami danymi. Nieznane położenie obciążenia wywołujące
6 m
ekstremalne wartości sił wewnętrznych nazywane jest
5
RA =� 30�� +�10��1 =� 35 kN
niekorzystnym.
6
AR 1/3 L.w. RA [1]
1
5/6 2/3
W przypadku, gdy linia wpływu analizowanej wielkości statycznej
K zmienia znak, poszukuje się dwóch niekorzystnych położeń
AT 1/3 L.w. Va [1]
1/6 1/3 1/3 obciążenia, wywołujących maksymalną i minimalną wartość K.
AM L.w. Ma [m]
1/3
2/3
1 ��
4/3 Va =� 30��ć� - +�10�� =� -15 kN
(�-1
)�
�� ��
6
Ł� ł�
1 1 2 4 ��
Ma =� 30�� +�10�� ��ć� +� 2 =� 30 kN�� m
�� ����
3 2 3 3
Ł� ł�
2
2010-02-18
24
Ekstremalne wartości reakcji RA oraz siły poprzecznej Va i
12
a
momentu zginającego Ma w przekroju a-a belki swobodnie
2 1
1ma max
Va =� 24�� +�12�� =� 22 kN
podpartej ze wspornikiem dla ruchomego układu dwóch sił
24 3 2
12
sprzężonych P1=24 kN i P2=12 kN.
1 1
min
a 1/6
Va =� -24�� -12�� =� -10 kN
1/3
1/3
3 6
a
2 m 4 m 2 m 2/3
1/2
L.w. Va [1]
P1 P2 P2 P1
a a
lub
a a
1m 1m
P=1
24
12
a
x a
4
max
1/6 24
Ma =� 24�� +�12��1 =� 44 kN �� m
12
1/3 L.w. RA [1]
3
1
24
5/6 12
2 1
min
P1 P2 5
max Ma =� -24�� -12�� =� -20 kN�� m
RA =� 24��1+�12�� =� 34 kN
3 3
6 1/3
2/3
P2 P1 L.w. Ma [m]
1 1
min
2/3
RA =� -24�� -12�� =� -10 kN
1
4/3
3 6
Ekstremalne wartości reakcji RA i momentu zginającego Ma
a
q=2 kN/m
kładki dla pieszych.
a
2m 2m 6m 2m
q=2 kN/m
1 5
max q=2 kN/m
a
RA =� �� ��10�� 2 =� 12,5 kN
b-dowolne
2 4
a
a
1 1
3/2
min
1/2
L.w. Ma [m]
RA =� - �� �� 2�� 2 =� -0,5 kN
a
2 4
2m 2m 6m 2m
1 3
3/2 max
P=1
Ma =� �� ��8�� 2 =� 12 kN�� m
2 2
x
1/4 L.w. RA [1]
1 3 1 1
min
Ma =� -ć� �� �� 2 +� �� �� 2���� 2 =� -4 kN �� m
5/4 ����
2 2 2 2
Ł�ł�
1
2 kN/m
Powyższe przykłady ilustrują zastosowanie linii wpływu w
2 kN/m przypadku obciążenia zmiennego.
Wykorzystując standardowe metody obliczania reakcji i sił
wewnętrznych, nie można określić ich ekstremalnych
wartości.
Wyniki uzyskane za pomocą linii wpływu dotyczą pojedynczych, Obwiednia momentów zginających dla belki swobodnie podpartej
wybranych przekrojów belki. Ekstremalne wartości sił obciążonej zmiennym, równomiernie rozłożonym obciążeniem q.
wewnętrznych powinny być określone we wszystkich
charakterystycznych punktach układu. Przedstawiony cykl q-dane
obliczeń należy więc powtórzyć dla różnych położeń przekroju
b-dowolne
xa l
C 1 - xa 1
(� )�
poprzecznego, np. nad wszystkimi podporami i w kilku wybranych A max
B Ma =� q l =� qxa l - xa
(� )�
P=1
punktach przęsła. 2 l 2
a
OBWIEDNIE SIA
WEWN
TRZNYCH
a
xa
Projektowanie pewnych typów konstrukcji specjalnych (np. suwnic
1 1 l 1
ć�
min
x
Ma =� q - xa �� =� - qlxa
�� ��
lub mostów) wymaga znajomości ekstremalnych wartości sił l l/2
2 2 2 8
Ł� ł�
1
wewnętrznych w każdym punkcie układu. Największe lub
xa
2
najmniejsze momenty zginające lub siły poprzeczne określa się
L.w. Ma [m]
na podstawie obwiedni sił wewnętrznych, którą definiuje się xa l - xa
(� )�
następująco: l
q
Obwiednia dowolnej wielkości statycznej (momentu zginającego,
siły poprzecznej, siły podłużnej) jest funkcją (wykresem) jej
q
ekstremalnych wartości (minimalnych i maksymalnych) w
zależności od położenia danego obciążenia zmiennego.
3
2010-02-18
q-dane
11 Dla punktu położonego w
min 2
Mb =� q xb =� - qxb
(�-xb
)�
P=1
b środku rozpiętości przęsła:
22
b-dowolne
max
A B
C ql2 min ql2
b max
Mb =� 0
Ma =� Ma =�-
xb
8 16
xb L.w. Mb [m]
Dla punktu znajdującego się
ql2 /8
q
w połowie wspornika:
Obw. M
ql2
max min
Mb =� 0 Mb =�-
ql2 /8 32
Obw. M
q C
A
W obliczeniach, w których
B
nie jest znane położenie
ql2 /8
obciążenia, obwiednia
momentów umożliwia
M
właściwą analizę problemu.
9ql2 /128
Schemat Obciążenie Punkt
KOMBINACJA OBCI
ŻEC

1 2 3 4 5 6 7 8
Obwiednie momentu zginającego lub innych wielkości
statycznych, dla pewnych przypadków obciążeń można również I -2,00 -4,0 -6,0 -8,0 -10,0 -4,5 -1,00 0,50
wyznaczyć na podstawie tzw. kombinacji obciążeń. Do tego typu
II -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -0,75 1,50 1,75
obliczeń nie jest konieczne rysowanie linii wpływu.
III -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -3,75 -2,50 -1,25
p=2 kN/m s=2 kN/m
IV 5,50 10,00 13,50 16,00 17,50 13,97 9,88 5,22
3m
5m V -2,00 -4,00 -6,00 -8,00 -10,00 -7,50 -5,00 -2,50
2 kN
2 kN 1 kN 6 kN 2 kN
Obw. Mmax 3,50 6,00 7,50 8,00 7,50 9,47 10,38 7,47
1 kN
8 kN 6 kN 4 kN 4 kN Obw. Mmin -6,00 -12,00 -18,00 -24,00 -30,00 -16,5 -8,50 -3,25
2 kN
4m 4m 8 kN
8
Obw. Mmin
7
30
6
10,4
5
10 10 5 1,89 10
5
4
8
3
17,5
[kN"m]
2
1
Obw. Mmax
Ms
Mp Mw [kN"m]
4
w=
1 kN/m