Wykład 7
Modele optimum ekonomii (gospodarki)
7.1. Ekonomia i jej stany1
Na rynku występują dwie podstawowe grupy podmiotów gospodarczych. Pierwszą z tych grup
stanowią producenci, których działanie polega na wyborze i wykonaniu planu produkcji, tj. określeniu
wielkości wejściowych i wyjściowych dla ka\
dego asortymentu towaru. Zakłada się, \
e działanie
producenta podlega ograniczeniom i \
e przy danym poziomie cen zdecyduje siÄ™ on na taki plan
produkcji, który pozwoli zmaksymalizować jego zysk. Przez zysk producenta rozumie się ró\
nicÄ™
między sumą wszystkich jego przychodów i sumą poniesionych przez niego wydatków.
Podsumowując pod pojęciem producenta rozumie się podmiot gospodarczy, którego działalność
polega na wykonaniu planu produkcji w celu maksymalizacji zysku.
Drugą grupę podmiotów gospodarczych stanowią konsumenci. Konsumenci dokonują wyborów
towarów, a wybrane przez nich towary mają słu\
yć wyłącznie celom konsumpcyjnym. W przypadku
konsumentów mówimy, \
e dokonujÄ… wyboru planu konsumpcji. Nale\
y podkreślić, \
e wybory
konsumenta są ograniczone przez jego własności psychofizyczne oraz przez jego bud\
et, nie mo\
e
on bowiem przeznaczyć na zakup towarów więcej ni\
wynoszÄ… jago zasoby pieniÄ™\
ne. Konsument
dokonuje wyboru takiego planu konsumpcyjnego, na który przy danych ograniczeniach mo\
e sobie
pozwolić i który w jego przekonaniu jest optymalny ze względu na skalę jego preferencji.
Przyjmuje siÄ™, \
e w gospodarce działa n producentów i m konsumentów. Plan produkcyjny j-tego
producenta ( j = 1,2,..., n ) jest reprezentowany przez wektor y przestrzeni towarów Rl ( y " Rl ),
j j
który składa się zarówno z wektora wejść (wartości ujemne) jak i wektora wyjść (wartości dodatnie).
Zbiór wszystkich planów produkcji mo\
liwych do osiągnięcia ze względu na dostępną dla j-tego
producenta technologiÄ™ nazywa siÄ™ jego zbiorem produkcji i oznacza przez Yj . Punkty tego zbioru
y "Yj nazywa siÄ™ poda\
Ä… j-tego producenta.
j
Plan konsumpcji i-tego konsumenta (i = 1,2,...,m ) opisuje z kolei wektor xi z przestrzeni towarów
Rl ( xi " Rl ), przy czym odwrotnie ni\
w przypadku producenta jego wartości dodatnie interpretuje
się jako wejścia, a wartości ujemne jako wyjścia. Zbiór mo\
liwych do osiągnięcia przez i  tego
konsumenta planów konsumpcyjnych nazywa się jego zbiorem konsumpcji i oznacza przez X .
i
Elementy tego zbioru xi " X nazywa siÄ™ popytem i-tego konsumenta. Preferencje i-tego
i
konsumenta określa się przy u\
yciu relacji preferencji p .
~
i
Zanim wprowadzimy pojęcie ekonomii i omówimy stany ekonomii, wyjaśnimy czym są zasoby
całkowite ekonomii.
1
Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5
dr Agnieszka Bobrowska 1
Ekonomia matematyczna II
Zasoby całkowite ekonomii to ilości towarów dane a priori, dostępne dla podmiotów
gospodarczych lub te\
przez nie udostępniane w wyniku prowadzonej przez te podmioty
działalności.
Aby odró\
nić rodzaje towarów występujących na rynku, do wyra\
enia ilości towarów danych do
dyspozycji podmiotów (wejścia) u\
ywa się dodatnich liczb rzeczywistych, z kolei ilości towarów
udostępnianych przez te podmioty (wyjścia) wyra\
a się w liczbach ujemnych. Zasoby całkowite
obejmują dostępny w danej chwili cały kapitał ekonomii, tj. nieruchomości, zło\
a surowcowe,
urzÄ…dzenia, zapasy itp.
Zasoby caÅ‚kowite opisuje wektor É nale\
ący do przestrzeni towarów Rl .
Zatem przyjmujÄ…c, \
e działania konsumentów da się opisać za pomocą niepustych zbiorów
konsumpcji X ‚" Rl i relacji preferencji p dla ka\
dego i "{1,2,...,m}, działania producentów za
i
~
i
pomocÄ… zbiorów produkcji Yj ‚" Rl ( j "{1,2,...n}), a zasoby caÅ‚kowite sÄ… dane przez punkt É " Rl ,
mo\
emy zdefiniować pojęcie ekonomii:
Układ:
E =((X ,f ),(Yj ),Ö)
i
~
i
nazywamy ekonomiÄ….
Stan ekonomii określa się przez podanie planu działania ka\
dego konsumenta oraz planu produkcji
ka\
dego producenta. Zatem stan ekonomii E mo\
na opisać za pomocą (m + n)- elementowego
ciągu ((xi ),(y )) punktów w przestrzeni towarów Rl .
j
Dla określonego stanu ((xi ),(y )) ekonomii E ró\
nicÄ™:
j
m n
x - y = - y
"xi " j
i=1 j=1
nazywamy popytem netto.
Uwaga:
Wektor x - y zawiera zarówno współrzędne dodatnie oznaczające wejścia, jak i wartości ujemne
oznaczające wyjścia i przedstawia wynik netto działalności wszystkich podmiotów gospodarczych.
Dla określonego stanu ((xi ),(y )) ekonomii E punkt:
j
z = x - y - É ; z " Rl
dr Agnieszka Bobrowska 2
Ekonomia matematyczna II
nazywamy popytem nadwy\
kowym.
Popyt nadwy\
kowy opisuje nadwy\
kÄ™ popytu netto x - y nad zasobami caÅ‚kowitymi É .
Stan ((xi ),(y )) ekonomii E , dla którego popyt nadwy\
kowy wynosi zero, czyli gdy popyt netto
j
wszystkich podmiotów gospodarczych równa się zasobom całkowitym ekonomii:
x - y = É
nazywamy równowagą rynkową.
Uwaga:
1. Dla danej ekonomii E mo\
e istnieć więcej ni\
jeden stan równowagi rynkowej.
2. Symbolicznie zbiór wszystkich równowag dla ekonomii E zapisujemy w postaci zbioru:
m n
Å„Å‚ üÅ‚
M = ((xi ),(y ))" Rl (m+n) : - y = Éżł.
òÅ‚
j "xi " j
i=1 j=1
ół þÅ‚
7.2. Ekonomia z własnością prywatną2
W celu wyprowadzenie pojęcia ekonomii z własnością prywatną konieczne jest wprowadzenie
dodatkowych zało\
eń oraz omówienie podstawowych cech tej kategorii.
W ekonomii z własnością prywatną jedynymi właścicielami zasobów całkowitych są konsumenci,
dzięki czemu posiadają całkowitą kontrolę nad producentami. Inaczej oznacza to, \
e i-ty konsument
znajduje siÄ™ w posiadaniu Éi " Rl zasobów caÅ‚kowitych É oraz \
e ma swoje udziały w zyskach
m
producentów, przy czym = É .
"Éi
i=1
Wielkość Éi dana jest a priori i okreÅ›la iloÅ›ci towarów, które sÄ… do dyspozycji i-tego konsumenta,
bÄ…dz
które i-ty konsument udostępnia producentom przez swoją działalność.
Przez ¸ij oznacza siÄ™ udziaÅ‚ i-tego konsumenta w zyskach j-tego producenta, przy czym
m
¸ij " R ,¸ij e" 0 oraz = 1 dla ka\
dego j = 1,2,..., n . Pozostałe zało\
enia o producentach
"¸ij
i=1
i konsumenta sÄ… takie jak w poprzednim podrozdziale.
~
Ekonomią z własnością prywatną E nazywamy układ:
2
Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5
dr Agnieszka Bobrowska 3
Ekonomia matematyczna II
~
E =((X ,f ),(Yj ),Éi ,¸ij),
i
~
i
o ile:
m
1. UkÅ‚ad ((X ,f ),(Yj ),Ö), gdzie É = jest ekonomiÄ… E ,
i "Éi
~
i
i=1
m
ëÅ‚ öÅ‚
2. "i = 1,2,..., m , "j = 1,2,..., n (¸ij e" 0) oraz "j = 1,2,...,n ìÅ‚ = 1÷Å‚ .
"¸ij
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
Kiedy wiemy ju\
czym jest ekonomia z własnością prywatną, mo\
emy przystąpić do omówienia
sposobu jej działania.
Zakładamy, \
e dany jest wskaz
nik poziomu cen p " Rl oraz \
e producenci maksymalizujÄ… swoje
zyski na zbiorze produkcji Y = U{Yj}, przy dostępnych dla siebie technologiach produkcji.
j
Przyjmijmy, \
e plan produkcyjny maksymalizujÄ…cy zyski j-tego producenta, to plan y "Yj , a jego
j
wielkość mierzy się funkcją zysku:
Ä„ ( p) = p, y .
j j
Cały zysk j-tego producenta wielkości Ą ( p) , zgodnie z zało\
eniami ekonomii z własnością prywatną,
j
zostaje podzielony między konsumentów. Zatem wartość majątku i-tego konsumenta wyra\
a siÄ™
następująco:
n
wi = pÉi + Ä„ (p) .
"¸ij j
j=1
Celem i-tego konsumenta jest maksymalizacja swoich preferencji przy danym ograniczeniu
bud\
etowym wi . Przyjmijmy, \
e optymalny plan konsumpcji i-tego konsumenta na zbiorze X , to
i
~
plan xi . Ekonomia z własnością prywatną E znajduje się w stanie ogólnej równowagi
konkurencyjnej, je\
eli wszystkie optymalne działania podmiotów gospodarczych xi , y spełniają
j
warunek równowagi rynkowej. Oznacza to, \
e przy ustalonym poziomie cen p i działaniach innych
uczestników rynku, \
aden podmiot gospodarczy nie ma motywacji do zmiany swojego
dotychczasowego planu działania, a tak\
e, \
e stan ekonomii((xi ),(y )) to stan równowagi rynkowej.
j
*
Ciąg punktów ((xi ),(y*), p*) w przestrzeni towarów Rl tworzy stan ogólnej równowagi
j
konkurencyjnej Walrasa, je\
eli spełnione są następujące warunki:
dr Agnieszka Bobrowska 4
Ekonomia matematyczna II
*
(I) "i "{1,2,..., m} xi jest elementem maksymalnym ze względu na relację preferencji f
~
i
n
Å„Å‚ üÅ‚
w zbiorze " X : p*xi d" p*Éi + p* y* żł ,
òÅ‚x
i i "¸ij j
j=1
ół þÅ‚
(II) "j "{1,2,...,n} y* maksymalizuje, ze względu na cenę p* , zysk na zbiorze Yj ,
j
m n n
*
(III) - y* = .
"xi " j "Éi
i=1 j=1 i=1
Uwagi:
1. Dla i-tego konsumenta plan konsumpcji xi* jest konsumpcją w stanie równowagi ze względu na
n
*
wskaz
nik poziomu cen p* oraz ograniczenie bud\
etowe wi = p*Éi + p* y* .
"¸ij j
j=1
2. Dla j-tego producenta plan produkcji y* jest jego produkcją w równowadze ze względu na
j
wskaz
nik p* .
3. Stan równowagi ((xi*),(y*)) jest równowagą rynkową.
j
7.3. Optimum ekonomii3
Problem optimum ekonomii to problem optimum społecznego w grupie podmiotów tworzących tą
ekonomię. Sprowadza się on do udzielenia odpowiedzi na pytanie, który z mo\
liwych stanów
gospodarki jest optymalny społecznie. O ile w przypadku pojedynczych jednostek, mo\
na przypisać
indywidualne preferencje i wskazać optymalny wybór ze względu na te preferencje, to dla grup
społecznych, wewnątrz których istnieje konflikt interesów, niemo\
liwe jest porównywanie ich wyborów,
w szczególności nieporównywalne są  korzyści społeczne .
Jednym ze znanych w ekonomii warunków optimum społecznego jest warunek zaproponowany
przez V. Pareto. Gospodarka znajduje siÄ™ w stanie optymalnym w sensie Pareto, je\
eli nie mo\
liwa
jest poprawa sytuacji któregokolwiek podmiotu bez pogorszenia stanu chocia\
jednego z pozostałych
podmiotów.
W niniejszym wykładzie wyka\
emy, \
e przy istniejących cenach równowagi i danych zasobach,
w ekonomii z własnością prywatną plany produkcji maksymalizujące zyski producentów oraz plany
konsumpcji maksymalizujące preferencje konsumentów tworzą optimum Pareto i na odwrót.
3
Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6
dr Agnieszka Bobrowska 5
Ekonomia matematyczna II
 Niech dana jest ekonomia E =((X ,p ),(Yj ),É) oraz dwa jej stany ((xi ),(y )), ((xi'),(y'j )), oba
i j
~
i
osiągalne. Zbiór stanów osiągalnych oznaczamy przez A .
Mówimy, \
e stan ((xi ),(y )) jest co najwy\
ej w takim stopniu społecznie preferowany jak
j
stan ((xi'),(y'j )), je\
eli:
xi p xi '
~
i
dla ka\
dego konsumenta i = 1,2,...,m , co zapisujemy:
((xi ),(y ))p((xi '),(y ')).
j j
~
Zdefiniowana powy\
ej relacja preferencji spoÅ‚ecznej p ‚" A2 ma nastÄ™pujÄ…ce cechy:
~
1. Jest zwrotna, tzn. dla ka\
dego stanu osiÄ…galnego ((xi ),(y )) ekonomii E zachodzi:
j
((xi ),(y ))p((xi ),(y )),
j j
~
2. Jest przechodnia, tzn. dla ka\
dej trójki stanów osiągalnych ((xi ),(y )), ((xi '),(y ')),
j j
((xi ''),(y '')) ekonomii E zachodzi:
j
((xi ),(y ))p((xi '),(y '))'"((xi '),(y '))p((xi ''),(y '')) Ò! ((xi ),(y ))p((xi ''),(y '')).
j j j j j j
~ ~ ~
3. Nie jest zupełna, co oznacza, \
e nie ka\
de dwa stany osiągalne muszą być porównywalne
względem tej preferencji.
Podobnie jak w przypadku słabej preferencji p znanej z teorii preferencji konsumenta, dla preferencji
~
społecznej mo\
na zdefiniować, w zbiorze stanów osiągalnych A , relację silnej preferencji p oraz
relację obojętności ~.
Relację ((xi ),(y ))p ((xi '),(y ')) nazywamy relacją silnej preferencji społecznej, je\
eli:
j j
"i = 1,2,..., m (xi p xi ') oraz "i = 1,2,...,m (xi p xi').
~ i
Zapis ((xi ),(y ))p ((xi '),(y ')) czytamy: stan osiÄ…galny ((xi '),(y ')) jest bardziej preferowany
j j j
społecznie ni\
stan ((xi ),(y )).
j
dr Agnieszka Bobrowska 6
Ekonomia matematyczna II
Relację ((xi ),(y ))~ ((xi '),(y ')) nazywamy relacją obojętności, a stany osiągalne
j j
((xi ),(y )), ((xi '),(y ')) obojętne, je\
eli:
j j
"i = 1,2,..., m (xi ~ xi ')
Po zdefiniowaniu relacji preferencji społecznej, mo\
emy zdefiniować optimum ekonomii E
rozumiane jako taki stan osiągalny, w porównaniu z którym \
aden stan osiÄ…galny nie jest preferowany.
Je\
eli stan osiągalny ((xi ),(y )) ekonomii E jest maksymalnym stanem w zbiorze A ze względu
j
na relacjÄ™ preferencji p , to nazywamy go optimum ekonomii E .
~
Optimum ekonomii oznacza, \
e lepsze zaspokojenie potrzeb chocia\
jednego konsumenta jest
mo\
liwe jedynie kosztem pogorszenia sytuacji innego.
W tym momencie pojawia siÄ™ pytanie czy dana ekonomia E ma optimum, a je\
eli ma to kiedy?
Problem istnienia optimum ekonomii rozstrzyga twierdzenie 7.1.
Twierdzenie 7.1. Je\
eli spełnione są następujące warunki:
(I) "i "{1,2,..., m} X jest zbiorem domkniętym, spójnym i ograniczonym z dołu przez
i
relacjÄ™ d" ,
(II) Relacja preferencji p jest domknięta w X ,
i
~
i
l
(III) Y jest zbiorem domkniętym, wypukłym i spełnia zało\
enie Y )" R+ = {0},
(IV) É " X - Y ,
wówczas ekonomia E = ((X , p ),(Yj ),É) ma optimum.
i
~
i
(Dowód twierdzenia 7.1 w ksią\
ce: A. Malawski,  Wprowadzenie do ekonomii matematycznej , AE
w Krakowie, 1999,str. 103)
7.4. Optimum społeczne a równowaga w warunkach konkurencji4
Pojęcie optimum społecznego ró\
ni się od omówionego wcześniej pojęcia ogólnej równowagi
konkurencyjnej przede wszystkim tym, \
e w pierwszym z nich nie występują ceny jako składnik
pojęcia równowagi. Aby pokazać jakie zale\
ności występują pomiędzy tymi kategoriami wprowadzimy
pojęcie równowagi ze względu na poziom cen.
4
Wykład opracowano na podstawie A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6
dr Agnieszka Bobrowska 7
Ekonomia matematyczna II
 Niech dany będzie wskaz
nik poziomu cen p " Rl i ekonomia E = ((X , p ),(Yi ),É).
i
~
i
*
Stan ((xi ),(y*)) ekonomii E = ((X , p ),(Yi ),É) nazywamy stanem równowagi ze wzglÄ™du na
j i
~
i
wskaz
nik poziomu cen p " Rl , je\
eli :
(I) "i "{1,2,..., m} xi* jest elementem maksymalnym w zbiorze ograniczeń bud\
etowych
*
{xi " X : pxi d" pxi } ze względu na relację preferencji p ,
i
~
i
(II) "j "{1,2,...,n} y* maksymalizuje zysk py na zbiorze produkcji Yj ,
j j
m n
*
(III) - y* = É .
"xi " j
i=1 j=1
Uwaga:
1. Warunek (I) oznacza, i\
plan konsumpcji xi* dla i-tego konsumenta jest konsumpcjÄ… w stanie
równowagi ze względu na wskaz
nik poziomu cen p .
2. Warunek (II) mówi natomiast, \
e dla j-tego producenta y* jest planem produkcji w równowadze
j
ze względu na wskaz
nik poziomu cen p .
3. Ostatni warunek definicji stanu równowagi ze względu na wskaz
nik poziomu cen oznacza, \
e
stan ((xi*),(y*)) jest równowagą rynkową.
j
A
atwo mo\
na wykazać, \
e pojęcie stanu równowagi ze względu na dany wskaz
nik poziomu cen dla
ekonomii E i pojęcie stanu równowagi ekonomii z własnością prywatną są równowa\
ne.
*
Załó\
my, \
e stan równowagi ((xi ),(y*), p*) jest stanem równowagi ekonomii z własnością
j
*
prywatną. Wówczas stan ((xi ),(y*)) jest stanem równowagi odpowiedniej ekonomii E ze względu na
j
wskaz
nik poziomu cen p* bez wyszczególnienia zasobów Éi oraz udziałów ¸ij danych w ekonomii
z własnością prywatną.
Zało\
ymy teraz z kolei, \
e stan ((xi*),(y*)) jest stanem równowagi ze względu na wskaz
nik
j
n
1
*
poziomu cen p* dla ekonomii E . Je\
eli przypiszemy i-temu konsumentowi Éi = xi - y*
" j
m
j=1
1
zasobów oraz równe udziaÅ‚y w zyskach producentów ¸ij = , wówczas mo\
na sprawdzić, \
e stan
m
dr Agnieszka Bobrowska 8
Ekonomia matematyczna II
((xi*),(y*), p*) jest stanem równowagi ekonomii z własnością prywatną otrzymaną z ekonomii E
j
poprzez wyszczególnienie zasobów Éi i udziałów ¸ij .
Wniosek:
Stan ((xi*),(y*)) jest dla ekonomii E stanem równowagi przy poziomie cen p* wtedy i tylko
j
wtedy, gdy ((xi*),(y*), p*) jest stanem równowagi ekonomii z własnością prywatną wyprowadzoną
j
z ekonomii E poprzez wyszczególnienie dla i-tego konsumenta zasobów Éi i udziałów ¸ij .
Pojęcie stanu równowagi ze względu na wskaz
nik poziomu cen jest o tyle wygodne, \
e nie
wymaga w ekonomii wyszczególnienia pojęć zasobów i udziałów konsumentów.
W następnej kolejności podamy warunki, przy których pojęcia optimum społecznego i równowagi
ze względu na wskaz
nik poziomu cen są równowa\
ne.
W tym celu rozwa\
ymy ekonomię E , a w niej wyszczególnimy zbiór tych planów konsumpcji, które
*
i-ty konsument preferuje co najmniej tak jak plan xi " X ; zbiór ten zapisujemy w następujący
i
sposób:
*
xi *
X ={xi " X : xi f xi }.
i i
~
i
Twierdzenie 7.2. Niech E =((X , p ),(Yi ),É) bÄ™dzie ekonomia takÄ…, \
e:
i
~
i
(I) "i "{1,2,..., m} X jest zbiorem wypukłym,
i
(II) "i "{1,2,..., m} relacja preferencji p jest wypukła.
~
i
Wówczas stan równowagi ((xi*),(y*)) przy poziomie cen p jest optimum, o ile plan konsumpcji xi*
j
nie jest konsumpcjÄ… nasyconÄ… (konsumenci znajdujÄ… siÄ™ w sytuacji niedosytu).
W tym miejscu zaleca się studentowi takich pojęć jak zbiór wypukły i wypukła relacja preferencji.
*
Twierdzenie 7.2. podaje warunki, przy których stan równowagi ((xi ),(y*)) ze względu na wskaz
nik
j
poziomu cen p dla ekonomii E jest optimum społecznym.
Podamy teraz kolejne twierdzenie, które dyktuje jakie warunki musi spełniać ekonomia E , aby dla
* *
danego optimum społecznego ((xi ),(y*)) istniał taki poziom cen p `" 0 , dla którego stan ((xi ),(y*))
j j
jest stanem równowagi ze względu na dany wskaz
nik poziomu cen.
dr Agnieszka Bobrowska 9
Ekonomia matematyczna II
Twierdzenie 7.3. Niech E =((X , p ),(Yi ),É) bÄ™dzie taka ekonomiÄ…, \
e:
i
~
i
(I) "i "{1,2,..., m} X jest zbiorem wypukłym,
i
(II) "i "{1,2,..., m}relacja preferencji p jest domknięta i wypukła,
~
i
(III) Y jest zbiorem wypukłym.
*
Wówczas dla optimum ((xi*),(y*)), gdzie pewne xi nie jest konsumpcją nasyconą, istnieje poziom
j
*
* xi *
cen p `" 0 taki, \
e: xi minimalizuje pxi na zbiorze X ={xi " X : xi f xi } dla ka\
dego
i i
~
i
*
i = 1,2,..., m oraz yi maksymalizuje py na zbiorze Yj dla ka\
dego j = 1,2,..., n .
j
(Dowód twierdzenia 7.2. i twierdzenia 7.3. w ksią\
ce: A. Malawski,  Wprowadzenie do ekonomii
matematycznej , AE w Krakowie, 1999,str. 105-107).
Podsumowanie:
1. Modele systemu ekonomicznego, jego równowagi oraz stanu optymalnego stanowią swego
rodzaju podsumowanie modeli teoriomnogościowych i liniowych zaproponowane przez
G. Debreu.
2. W modelach tych zakłada się liniowość funkcji produkcji i funkcji popytu oraz doskonałe
działanie mechanizmu rynkowego.
3. Przedstawione modele po pierwsze pozwalają wyznaczyć stan równowagi konkurencyjnej (typu
Walrasa) w ujęciu makroekonomicznym.
4. Na postawie modelu ekonomii z własnością prywatna mo\
liwe jest określenie udziału
konsumentów-właścicieli czynników wytwórczych w zyskach w zyskach producentów.
5. Model optimum ekonomii stanowi sformalizowane i uogólnione ujęcie optimum Pareto
z zało\
eniem, \
e mo\
liwe jest ustalenie optimum społecznej u\
yteczności.
Pytania kontrolne:
1. Scharakteryzuj model opisujÄ…cy stany ekonomii (gospodarki).
2. Jak definiujemy stan równowagi ekonomii?
3. Z jakich elementów składa się model ekonomii z własnością prywatną?
4. Opisz warunki istnienia stanu równowagi ekonomii z własnością prywatną?
5. Zdefiniuj i zinterpretuj popyt netto i popyt nadwy\
kowy w modelu ekonomii z własnością
prywatnÄ….
6. Kiedy gospodarka znajduje siÄ™ w sytuacji optimum Pareto?
dr Agnieszka Bobrowska 10
Ekonomia matematyczna II