ZADANIE 1
SztywnÄ… belkÄ™ ABCD zamocowano przegubowo w punkcie A, podparto za
pomocą prętów 1 i 2 odpowiednio w punktach B i C oraz obciążono siłą P jak
pokazano na Rys. 1a. Pola przekrojów prętów wynoszą A, a materiał, z którego
są wykonane, ma moduł Younga E. Należy wyznaczyć naprężenia w prętach 1 i
2 oraz przemieszczenie punktu D.
DANE: SZUKANE:
P, l, a, Ä…, A, E Ã1, Ã2, uD
a) b)
Rys. 1.
Aby wyznaczyć naprężenia w prętach 1 i 2 należy obliczyć siły wewnętrzne N1 i
N2 w tych prętach. Rozpatrujemy równowagę belki, rozcinamy myślowo pręty i
zaznaczamy zwroty sił wewnętrznych w prętach jak przedstawiono na Rys. 1a
(od przekroju). Wykorzystamy tylko równanie momentów względem punktu A
(pozostałe równania równowagi pozwalają obliczyć składowe reakcji w
przegubie A po wcześniejszym wyznaczeniu sił N1 i N2).
RÓWNANIE RÓWNOWAGI  suma momentów względem punktu A
= 0
"MiA
7
N1 sinÄ… Å" a + N2 Å" 2a + P Å" a = 0 (1)
3
Ponieważ liczba niewiadomych sił i reakcji (4) jest większa niż liczba równań
równowagi (3) (układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny), potrzebne
jest dodatkowe równanie. Równanie to określa zależności geometryczne po
odkształceniu się układu (Rys. 1b). Belka ABCD po zadziałaniu siły P zajmie
nowe położenie AB C D (obróci się dokoła punktu A), a każdy punkt belki
przemieści się po prostej prostopadłej do osi belki. Koniec B pręta 1 przesunie
się wzdłuż osi tego pręta o odcinek BO="l1 (pręt skróci się) (Rys. 1b) oraz
przemieści się po prostej prostopadłej do tego odcinka aż do punktu B , do
którego przemieści się także punkt B belki ABCD (uB). Koniec C pręta 2 (pręt
skróci się) oraz ten sam punkt C belki przemieszczą się po prostej prostopadłej
do osi belki i zajmą nowe położenie C ("l2= uC). Zgodnie z Rys. 1b warunek
geometryczny ma postać:
WARUNEK GEOMETRYCZNY
uB uC
= (2)
a 2a
czyli
uC
uB = (3)
2
Z trójkąta OBB otrzymujemy
"l1
sinÄ… =
uB
czyli
"l1
uB = (4)
sinÄ…
Z Rys. 1b wynika, że
uC = "l2 (5)
WstawiajÄ…c (4) i (5) do (3) otrzymuje siÄ™
"l1 "l2
=
sinÄ… 2
"l2
"l1 = sinÄ…
2
2"l1 = "l2 Å"sinÄ… (6)
Kolejnym krokiem jest napisanie związków fizycznych (prawa Hooke a) dla
prętów 1 i 2. Związki te mają następującą postać:
ZWI
ZKI FIZYCZNE
N1l1 N2l2
"l1 = , "l2 = (7)
EA EA
Z geometrii układu wynika, że:
l
sinÄ… = (8)
l1
czyli
l
l1 = (9)
sinÄ…
oraz
l2 = l (10)
Związki fizyczne (7) przyjmują teraz postać
N1l N2l
"l1 = , "l2 = (11)
EAsinÄ… EA
Wstawiając te związki do równania (6) otrzymuje się
N1l N2l
2 = sinÄ…
EAsinÄ… EA
2N1 = N2 sin2 Ä…
N2 sin2 Ä…
N1 = (12)
2
Zależność (12) wstawiamy do równania równowagi (1) i wyznaczamy siłę
wewnętrzną w pręcie 2
N2 sin2 Ä… 7
sinÄ… Å" a + N2 Å" 2a + P Å" a = 0 (13)
2 3
14
N2 sin3 Ä… + 4N2 = - P
3
14
N2 sin3 Ä… + 4 = - P
( )
3
14
N2 = - P (14)
3 sin3 Ä… + 4
( )
Siłę normalną pręcie 1 obliczamy wykorzystując zależność (12)
7sin2 Ä…
N1 = - P (15)
3 sin3 Ä… + 4
( )
Mając obliczone siły wewnętrzne można wyznaczyć naprężenia w prętach
N1 7sin2 Ä… P
Ã1 = = - (Å›ciskanie) (16)
A A
3 sin3 Ä… + 4
( )
N2 14 P
à = = - (ściskanie) (17)
2
A A
3 sin3 Ä… + 4
( )
Przemieszczenie punktu D można wyznaczyć korzystając z następującego
warunku geometrycznego
uD uC
= (18)
7
2a
a
3
7 uC 7 7
uD = a = uC = "l2
3 2a 6 6
îÅ‚ Å‚Å‚
7 N2l 7l 14 49Pl
uD = = ïÅ‚- Pśł = -
6 EA 6EA
3 sin3 Ä… + 4 9EA sin3 Ä… + 4
ïÅ‚ ( ) śł ( )
ðÅ‚ ûÅ‚