Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Teoria ryzyka
Ryzyko oznacza możliwość osiągnięcia wartości końcowej kapitału (inwestycji,
instrumentu finansowego) różniącej się od wartości oczekiwanej.
Działanie w warunkach ryzyka, dotyczy podejmowania decyzji odnośnie do zdarzeń, które
mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem.
Najprecyzyjniej ryzyko definiuje się jako zmienną losową, czyli ryzyko p - jest
prawdopodobieństwem wystąpienia wartości zmiennej x większej od pewnej ustalonej
apriorycznie wartości granicznej x0. Zatem p = f (x >x0). Trudność polega na tym, że funkcja
f jest na ogół nieznana, więc należy posługiwać się jej szacunkiem f^. Tu pojawia się
subiektywizm związany z wyborem metody estymacji i związanych z nią przyjmowanych
założeń wstępnych, często nie poddających się empirycznej weryfikacji. Dlatego przyjęto do
określania ryzyka parametr jego rozkładu, a mianowicie wariancję �2, a dokładnie jej
oszacowanie s2. Jest to nie tylko uproszczenie (parametr rozkładu zamiast całego rozkładu),
lecz także subiektywizm związany z przyjętą metodą estymacji statystycznej parametrów
rozkładu zmiennej. Dlatego dla precyzyjnego szacowania ryzyka poszukuje się takich
rozkładów, które można zweryfikować empirycznie, przyjmując bardzo wysokie wymagania
dotyczące precyzji oszacowań (dość złożony aparat matematyczny).
Zatem o tym, że ktoś działa w warunkach ryzyka, można mówić wtedy, kiedy jego
decyzja dotyczy zdarzeń, które mogą wystąpić z określonym prawdopodobieństwem. Jest ono
liczbą z przedziału [0,1], która pokazuje, ile razy dane zdarzenie wystąpi, jeśli określona
m
sytuacja powtórzy się wielokrotnie: p = , gdzie: p  prawdopodobieństwo wystąpienia
M
badanego zdarzenia, m  liczba powtórzeń zdarzenia, M  liczba prób.
Niepewność jest czymś innym niż ryzyko. Problem niepewności występuje w
rzeczywistości ekonomicznej, kiedy podejmujący decyzję nie znają konsekwencji swojego
wyboru. Niepewność w działalności ekonomicznej klasyfikuje się na ogół według z
ródła
pochodzenia, które może wynikać ze:
�! zmiany preferencji  w wypadku inwestycji - użytkowników, w rezultacie wpływające
na strukturalne zmiany popytu w różnych gałęziach;
�! zmian w postępie technicznym (bardziej prawdopodobne w przemysłach
komplementarnych, mniej w metodach tworzenia infrastruktury);
�! indywidualnej reakcji użytkowników na konieczność przystosowania się do zmian
wywołanych rozwojem infrastruktury;
�! działania sił przyrody niemożliwych do przewidzenia, a nawet do rozpoznania.
Niepewność interpretuje się niekiedy przez wprowadzenie czynnika czasu, dla którego
przyszłość nie jest znana, więc o wystąpieniu zdarzeń lub zjawisk można twierdzić z
określonym prawdopodobieństwem1. Dla całego szeregu przewidywanych skutków zdarzeń
nie zawsze jest możliwe określenie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich. Gdzie
można określić którekolwiek z trzech rodzajów prawdopodobieństwa: matematyczne,
statystyczne lub szacunkowe, tam występuje ryzyko. Inaczej mówiąc, ryzyko definiuje się w
kontekście znajomości rozkładu prawdopodobieństwa. Miary prawdopodobieństwa są
jednocześnie miarami ryzyka. Prawdopodobieństwo zdarzenia zawiera się 0d" p d"1; jeśli
prawdopodobieństwo zdarzenia W wynosi p, to ryzyko jego niewystąpienia wynosi (1-p).
1
Zob. J. Hirshleifer: Investment Decision under Uncertainty - Choice-Theoretic Approaches,  The Quarterly
Journal of Economics vol. LXXIX, no.4/1965 i E. Smaga: Ryzyko i zwrot w inwestycjach, Fundacja Rozwoju
Rachunkowości w Polsce, Warszawa 1995, s. 8-9.
1
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Jeśli niemożliwe jest określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, to działalność
odbywa się w warunkach niepewności. Niejednokrotnie w procesie podejmowania decyzji
można oszacować wielkości zdarzeń (stopa zwrotu z inwestycji w różnych wariantach
projektu), ale niemożliwe jest przypisanie im prawdopodobieństwa. Ryzyko można określić
jako mierzalną niepewność. W literaturze spotyka się zamienne stosowanie obu pojęć.
Zachowania w przypadku ryzyka i niepewności
Grami nazywa się sytuacje, kiedy wyniki o pewnej wartości pieniężnej pojawiają się z różnym
prawdopodobieństwem.
Zachowanie konsumenta w przypadku ryzyka, który chce wydać dodatkową jednostkę
pieniądza na jedno z dwóch dóbr: apaszkę lub buty. Kupując może, w każdym przypadku,
trafić na dobro bez wad albo na dobro z wadami ukrytymi. Jeśli umie wycenić korzyści w
pieniądzu, to można określić korzyści, jakie czerpie z zakupu towaru bez wad oraz z zakupu
bubla.
Dobro Bez wad Bubel
apaszki 6 -3
buty 2 -1
Który zakup jest korzystniejszy? Dla konsumenta, dokonującego wielokrotnie tego
typu zakupów w przeszłości oznacza to udział w grze, w której nagrodami i karami są
wypłaty związane z nabywanym dobrem występujące z określonym prawdopodobieństwem.
Dobro p1 (bez wad) p2 (bubel)
apaszki 0,6 0,4
buty 0,5 0,5
Po wyeliminowaniu dodatkowego zdarzenia mogącego zakłócić podjęcie decyzji (np.
kradzież pieniędzy), za optymalny należy uznać wybór maksymalizujący korzyści z zakupu.
Ponieważ nie zna z góry wartości wypłaty musi poznać średnią korzyść z zakupu obu dóbr.
Stąd pojawia się wartość oczekiwana z gry, czyli średnia wypłata uzyskiwana przy
wielokrotnym powtarzaniu gry:
EV (w1, w2, p1, p2) = p1�w1 + p2�w2,
gdzie: w1 i w2  wypłaty; p1, p2  prawdopodobieństwo, z którym wystąpi wypłata.
W powyższym przykładzie: EVapaszek = 0,6�6 + 0,4�(-3) = 2,4
EVbutów = 0,5�2 + 0,5�(-1) = 0,5.
Jeśli konsument chciałby maksymalizować wartość oczekiwaną, to powinien kupić
apaszki.
Zachowanie konsumenta w przypadku niepewności oznacza dłuższą drogę do
określenia racjonalnego zachowania, ponieważ nie zna prawdopodobieństw wystąpienia
zdarzeń. Kryteria, według których może dokonywać wyboru są różne.
2
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
1. przyjęcie jednakowego prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń.
Wówczas:
Dobro p1 p2
apaszki 0,5 0,5
buty 0,5 0,5
EVapaszek = 0,5�6 + 0,5� (-3) = 1,5
EVbutów = 0,5�2 + 0,5�(-1) = 0,5.
Zmiana wartości oczekiwanej nie wpływa jednak na zmianę preferencji zakupów,
gdyż konsument kierujący się maksymalizacją korzyści wybierze apaszki.
2. przyporządkowanie poszczególnym zdarzeniom własnych wag konsumenta.
Jeśli konsument nie lubi tracić, to powinien przywiązać większą wagę do
zjawisk niekorzystnych. Wówczas:
Dobro p1 p2
apaszki 0,2 0,8
buty 0,2 0,8
EVapaszek = 0,2�6 + 0,8�(-3) = -1,2
EVbutów = 0,2�2 + 0,8�(-1) = -0,4.
W tym wypadku konsument zyska więcej kupując buty. Jeśli jednak ma duszę
hazardzisty, to może zastosować wagi odwrotne i wtedy wybrałaby apaszki. Skrajni
pesymiści nie powinni w ogóle interesować się korzyściami, lecz tylko stratami; optymiści
zaś  jedynie zyskami.
Cena pewności w zakupach konsumenta. Gdyby konsument wiedział, że ma przed
sobą bubel, to prawdopodobnie zrezygnowałby z zakupu takiego dobra. Jednak po uzyskaniu
dodatkowej informacji o jakości nabywanego dobra wartość oczekiwana wzrosłaby,
ponieważ nie traciłby na takim zakupie, tj.:
EVapaszek = 0,6�6 + 0,4�0 = 3,6.
Przyrost wartości oczekiwanej "EV = 3,6  2,4 = 1,2. Pokazuje on, o ile wzrośnie
wartość oczekiwana dzięki nabyciu wiedzy, pozwalającej unikać zdarzeń niekorzystnych. Ta
dodatkowa wartość musi mieć cenę; jest ona równa przyrostowi wartości oczekiwanej, który
nastąpił dzięki uzyskaniu pewnej informacji. Jest to wartość oczekiwana doskonałej
informacji, a kwota, o którą wzrosła wartość oczekiwana jest maksymalną sumą, jaką
potencjalny nabywca zechce zapłacić za uzyskanie doskonałej informacji.
Rodzaje gier
Jeśli istnieje 50%-owa szansa zarobienia 1000 PLN, to znaczy, że istnieje
jednocześnie 50%-we prawdopodobieństwo utraty tej kwoty pieniędzy (rzut monetą). Udział
w takiej grze nie przynosi  przeciętnie rzecz biorąc - szansy na zarobienie pieniędzy. Stąd też
taką grę nazywa się uczciwą. Czyli gra uczciwa to taka gra, w przypadku której zyski 
przeciętnie rzecz biorąc  są równe zeru.
3
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Jeśli szansa wygrania w/w sumy pieniędzy wynosiłaby 30%, a szansa przegrania 70%,
to taką grę nazywa się nieuczciwą. Grając w nią  przeciętnie rzecz biorąc traci się pieniądze.
Gdyby sytuacja była odwrotna, tj. 70%-we prawdopodobieństwo wygranej i 30%-we
przegranej, to gra byłaby korzystna, ponieważ udział w grze przeciętnie przyniósłby zysk.
Nie zawsze ludzie biorą udział w grach dobrowolnie. Przypuśćmy, że ktoś posiada
domek letniskowy warty 20 tys. PLN na skraju Borów Tucholskich. Niech
prawdopodobieństwo włamania do niego i straty 10 tys. PLN wynosi 10%, a
prawdopodobieństwo tego, że do włamania nie dojdzie i właściciel ani nie straci, ani nie
zyska wynosi 90%. Życie zmusza do udziału w takiej grze.
Z punktu widzenia gracza, któremu zależy na wygranej, jedną z najważniejszych cech
gry jest jej wartość oczekiwana (EV), czyli suma jej wyników pomnożonych przez
prawdopodobieństwo ich pojawienia się. Informuje ona o przeciętnym wyniku wielu partii tej
gry.
EV1 = -1000 * 0,5 + 1000 * 0,5 = 0 zł.
EV2 = -1000 * 0,7 + 1000 * 0,3 = - 400 zł.
EV3 = 1000 * 0,7 + (- 1000) * 0,3 = 400 zł.
EV4 = -10 000 * 0,1 + 0 * 0,9 = - 1000 zł.
Biorąc pod uwagę kryterium wyniku wartości oczekiwanej gry dzielą się na korzystne,
uczciwe (sprawiedliwe) i niekorzystne (nieuczciwe).
Kryterium
wynik wartości oczekiwanej skala zmienności wyników
i
częstotliwość pojawiania się ich wartości skrajnych
uczciwe
(sprawiedliwe)
korzystne (EV=0) mniej ryzykowne (WG1)
(EV>0) WG1 < WG2 bardziej ryzykowne (WG2)
niekorzystne WG1 < WG2
(nieuczciwe)
(EV < 0)
Gra jest bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej
pojawiają się wyniki najbardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry.
Grając o 100 zł za pomocą rzutu monetą, może wypaść orzeł lub reszka z jednakowym
prawdopodobieństwem 0,5. Wówczas EV1 = 0,5 * 100 + 0,5 * (-100) = 0
Podobnie, rzucając kostką, możemy wyrzucić parzystą lub nieparzystą liczbę oczek.
Jeśli parzysta oznacza wygraną 1000 zł, a nieparzysta stratę 500 zł, to
EV2 = 0,5 * 1000 + 0,5 * (-500) = 250 zł.
Dla gry w rzucanie monetą wyniki 100 zł i  100 zł pojawiają się z takim samym
prawdopodobieństwem jak dla gry w kości, ale wyniki są 1000 zł i  500 zł. Druga gra jest
bardziej ryzykowna niż gra pierwsza. Z tymi grami nie można porównać gry z domkiem
letniskowym, ponieważ za duża jest różnica zarówno wyników, jak i prawdopodobieństw.
Potrzeba bardziej precyzyjnej miary ryzyka związanego z udziałem w grze.
4
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Za dokładną miarę zmienności wyników gry (ryzykowność gry) uznaje się wariancję
gry (WG). Jest ona sumą podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości
oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników, czyli
n
WG = ps (ws - EV )2 , gdzie:
"
s=1
ws  wynik gry, ps  prawdopodobieństwo ich wystąpienia.
W przypadku gry w rzucanie monetą o 100 zł, której wartość oczekiwana EV = 0, wariancja
gry wynosi:
WG1 = 0,5 (100 zł)2 + 0,5 (-100 zł)2 = 0,5*10 000 zł + 0,5*10 000 zł =
= 5000 zł + 5000 zł = 10 000 zł
W gry w kości, której wartość oczekiwana EV = 250, wariancja tej gry równa się
WG2 = 0,5 (1000 zł  250 zł)2 + 0,5 (-500 zł  250 zł)2 =
= 281 250 zł + 281 250 zł = 562 500 zł.
Dla gry w letnisko, której wartość oczekiwana wynosi  1000 zł, wariancja gry równa się:
WG3 = 0,9 (0+1000 zł)2 + 0,1(-10 000 zł + 1000 zł)2 = 900 000 zł +8 100 000 zł =
= 9 000 000 zł.
Im niższa wariancja, tym niższe ryzyko.
Wynika stąd, że gra w kości jest bardziej ryzykowna od gry w rzucanie monetą, lecz
mniej ryzykowna od gry w domek letniskowy.
Załóżmy, że ktoś posiada dom o wartości 500 000 PLN i że prawdopodobieństwo
utracenia go wskutek pożaru lub powodzi wynosi 10%. Tym samym szanse utrzymania
dotychczasowego stanu posiadania (500 000 PLN) są równe 90%, zaś szanse stracenia
wszystkiego wynoszą 10%. Życie zmusza do przyjęcia tego zakładu. Przeciętnie właściciel
uzyska 450 000 PLN, czyli 90% od sumy 500 tys. zł plus 10% od zera. Firma
ubezpieczeniowa oferuje ubezpieczenie pełnej wartości domu za 100 000 PLN. Sumę tę
należy wpłacić niezależnie od tego, czy dom spali się, czy też pozostanie nienaruszony.
Natomiast jest ona zobowiązana do wypłacenia odszkodowania w wysokości 500 000 zł tylko
wtedy, gdy dom spłonie lub zostanie zalany. A zatem, bez względu na to, czy dom spłonie,
czy nie, wartość majątku wyniesie 400 000 zł.
Postawy ludzi wobec ryzyka
Typ człowieka Decyzja o udziale w grze Ubezpieczenie przy
niekorzystnych stawkach
Unikający ryzyka Aby zagrać potrzebuje przewagi szans Wykupi polisę
na wygraną
(asekurant)
Neutralny wobec Nie zagra, gdy widoki na wygraną są Nie wykupi polisy
ryzyka niekorzystne
Skłonny do ryzyka Zagra nawet wtedy, gdy Nie wykupi polisy
prawdopodobieństwo przegranej
(ryzykant,
przeważa
hazardzista)
Czy dom zostanie ubezpieczony? Towarzystwo ubezpieczeniowe wykorzystuje tę
sytuację i w ten sposób zarabia pieniądze. Jeśli właściciel nie skorzysta z jego oferty, jego
5
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
średni wynik wyniesie 450 tys. zł. Jednak wynik rzeczywisty może być równy 500 tys. lub
zeru. Ubezpieczenie gwarantuje pewny wynik w wysokości 400 tys. zł. Osoba neutralna
odrzuci ofertę, ponieważ zgodnie z kalkulacją matematyczną bardziej opłaca się podjęcie
ryzyka, że dom spłonie lub zostanie zalany. Oferta zostanie również odrzucona przez osobę
skłonną do ryzyka (hazardzistę), ponieważ ubezpieczenie nie daje szans na wygraną, a zabiera
przyjemność odczuwania ryzyka. Osoba z awersją do ryzyka (asekurant) zdecyduje się na
ubezpieczenie, bo suma tracona w stosunku do przeciętnego wyniku (50 tys. zł) nie wydaje
się zbyt wygórowaną ceną za uniknięcie możliwej katastrofy.
Użyteczność z osiągania korzyści:
�! osoby neutralnej wobec ryzyka przyjmuje postać funkcji użyteczności U(w) = a�"w
�! asekuranta - U (w) = a w
�! ryzykanta  U(w) = aw2.
Użyteczność
Użyteczność
U
U
(a)
(b)
U(B)
U(B)
U(B2) Y
Y
U(B2)
A
U(B0)
EU(B)
E
U(B1) EU(B) E
X
U(B0)
A
U(B1)
X
0 B1 B0 B* B2 korzyści
0 B1 B* B0 B2 korzyści
EU = p1 U(B1) + p2 U(B2)
B1B0 p1
Wartość oczekiwana tam, gdzie =
B0B2 p2
Premia za podejmowanie ryzyka = B0B* Ekwiwalent pewności CE (0B*)
Premia za podejmowanie ryzyka przyjmuje następującą formułę matematyczną:
pU(B1) + (1  p)U(B2) = U(pB1 + (1  p)B2  PR).
Informuje ona, w którym punkcie preferencje decydenta zmieniają się.
Możliwość pojawienia się obu poziomów korzyści z niejednakowym, lecz określonym
prawdopodobieństwem p1 i p2 pozwala obliczyć wartość oczekiwaną (EV) wyrażoną
równaniem: EV = p1U(B1) + p2U(B2), którego graficzna postać kryje się za odcinkiem XY.
Przy rozkładzie prawdopodobieństwa p1/p2 wartość oczekiwana znajduje się tam, gdzie
B1B0/B0B2=p1/p2 (E). Prawidłowością jest wyższa użyteczność w warunkach pewności
(krzywa U(B) niż użyteczność oczekiwana EU dla każdego poziomu korzyści o
6
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
prawdopodobieństwie zdarzenia mniejszym od jedności (krzywa XY) dla podmiotu
niechętnego ryzyku (a).
Odwrotna prawidłowość występuje w odniesieniu do podmiotu skłonnego do ryzyka (b).
Tutaj oczekiwana użyteczność korzyści jest większa od użyteczności jej wartości
oczekiwanej. Społeczny koszt ponoszenia ryzyka mierzy się odcinkiem B0 - B*, gdzie B*
interpretuje się jako korzyści w warunkach pewności przy uzyskanej oczekiwanej
użyteczności dla B1 i B2.
Gdyby użyteczność oczekiwana gry była jednakowa dla asekuranta i ryzykanta
(uczestniczą w identycznej grze i z założenia w obu przypadkach użyteczności z posiadania
jednakowych wypłat są takie same) , to jednakowa byłaby także wartość oczekiwana z gry.
Opisane osoby różnią się natomiast użytecznością z posiadania sumy odpowiadającej
wartości oczekiwanej gry. W przypadku asekuranta jest ona wyższa niż w przypadku
ryzykanta: UA(EV)>UR(EV).
U UR
UA
UEVA
EU
UEVR
0 EV wypłaty
Asekurant woli mieć na pewno sumę odpowiadającą wartości oczekiwanej gry niż
grać rzeczywiście. W jego przypadku UA(EV)>EU.
Ryzykant raczej zagra niż przyjmie oferowaną z pewnością kwotę równą wartości
oczekiwanej gry. W jego przypadku oczekiwana użyteczność gry przewyższa użyteczność
wartości oczekiwanej: UR(EV)Istnieje też kwota, której posiadanie na pewno daje konsumentowi użyteczność równą
użyteczności oczekiwanej gry. Jest to tzw. ekwiwalent pewności CE (certainty equivalent).
Asekurant postrzega udział w grze jako nieprzyjemny. Należy wobec tego przypuszczać, że
zechce on zapłacić za uniknięcie gry (CEAinstytucji ubezpieczeniowej. W przypadku ryzykanta jest odwrotnie: CER>EV. Pozbawienie
możliwości podjęcia gry trzeba by mu zrekompensować, płacąc dodatkową sumę pieniędzy.
7
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Malejąca krańcowa użyteczność pieniądza
użyteczność całkowita użyteczność całkowita
"U2
"U3
"U2 "U1
"U1
(" U1) > ("U2)
0 "M1 "M2 "M3 bogactwo 0 M1 M* M2 bogactwo
Skoro użyteczność krańcowa dochodu pieniężnego maleje, to utrata danej sumy
pieniądza powoduje spadek użyteczności całkowitej, który jest większy od przyrostu
użyteczności całkowitej spowodowanego dodatkowym dochodem takiej samej wielkości.
Utrata kwoty M1M* powoduje obniżenie się użyteczności całkowitej o "U1, natomiast
przyrost dochodu o kwotę M2M*, równą M1M*, podnosi użyteczność tylko o"U2. Malejąca
krańcowa użyteczność sprawia, ("U1) > ("U2). Wartość bezwzględna straty jest większa od
wartości bezwzględnej korzyści. Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych okazuje się
niekorzystna w kategoriach użyteczności. Wygrana pewnej kwoty pozwoli na zakup jakiejś
ilości dóbr luksusowych, przegrana zaś zmusi do zrezygnowania z zakupu znacznej ilości
dóbr podstawowych. Właśnie dlatego ludzie unikają gier sprawiedliwych, czyli są niechętni
ryzyku! Wyjątek może stanowić udział w okazjonalnych grach o niskich stawkach,
prowadzonych dla czystej przyjemności. Gra zapewniająca równe szanse wygrania lub
przegrania określonej kwoty pieniężnej nie jest grą uczciwą z punktu widzenia użyteczności.
Podejmowanie ryzyka zależy od dwóch czynników: uczucia przyjemności lub przykrości
towarzyszącemu ryzyku.
W rzeczywistości są osoby, które mają różne preferencje w odniesieniu do ryzyka,
zależnie od wielkości majątku, który posiadają.
U(w)
0 I II III wypłaty
8
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Stosunek do ryzyka zależy od wielkości majątku konsumenta. Gdy nie jest bogaty (I),
wówczas jest asekurantem. Przy większym majątku (II) staje się ryzykantem, ale po
przekroczeniu kolejnego poziomu majątku (III) ponownie staje się asekurantem.
Metody probabilistyczno  statystyczne w pomiarze ryzyka
1. Założenia wyjściowe i zasady zastosowania metod
Założenia wyjściowe:
horyzontu czasowego (t) budowy i eksploatacji,
kryterium oceny efektywności projektu inwestycyjnego np. NPV,
definicji rozłącznych pojęć mających istotne znaczenie z punktu widzenia
mechanizmów zastosowania metod, np. rzeczywiście osiągnięta NPV i
oczekiwana NPV (spodziewana w przyszłości), oszacowana NPV, możliwe
salda przepływów w przyszłości z różnymi prawdopodobieństwami. Salda
przepływów pieniężnych to zmienne losowe w danym horyzoncie czasu
realizacji i eksploatacji inwestycji; te salda to różnice między przychodami
i kosztami (ujemne w okresie budowy i dodatnie w czasie eksploatacji).
warunki realizacji projektu, głównie związanych z charakterystyką zdarzeń
inwestycyjnych (zmiennych losowych) w czasie, np. sald przepływów
środków pieniężnych,
wariantów i scenariuszy projektów inwestycyjnych uwzględniających
wszystkie skrajnie możliwe niepewne warunki inwestowania (korzystne i
niekorzystne).
Metody te są związane z rachunkiem ustalania wartości oczekiwanych i ze
statystycznym pomiarem ryzyka. Zakłada się, że istnieje rozkład prawdopodobieństw
kształtowania się zmiennych rachunku efektywności inwestycji na określonym oczekiwanym
poziomie.
Można wyróżnić podstawowe zasady zastosowania metod probabilistyczno 
statystycznych w pomiarze ryzyka:
1) Gdy salda przepływów środków pieniężnych w okresie realizacji projektu
są zmiennymi losowymi, to kryterium oceny efektywności ekonomicznej
tego projektu stanowi oczekiwana wartość zaktualizowana netto NPV, a nie
wartość zaktualizowana netto.
2) Strumienie sald przepływów środków pieniężnych związanych z danym
projektem inwestycyjnym mogą być niezależne lub zależne w czasie.
W skomplikowanych sytuacjach decyzyjnych rozłożonych w czasie wykorzystywana
jest metoda decyzyjnego drzewa inwestycyjnego.
2. Pomiar ryzyka w warunkach niezależności zmiennych w czasie
Wariancyjne ryzyko inwestycyjne
W ujęciu probabilistycznym ocena ryzyka inwestycyjnego polega na oszacowaniu
kilku możliwych poziomów sald przepływów środków pieniężnych dla każdego
okresu i określenia prawdopodobieństw ich wystąpienia w celu ustalenia
oczekiwanego salda tych przepływów. Następnie dokonuje się pomiaru ryzyka,
zakładając, że standardowymi jego miarami są statystyczne miary rozproszenia, a więc
wariancja, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności.
9
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
E t a p I
Oczekiwaną wartość salda niezależnych przepływów pieniężnych dla każdego okresu
mt
oblicza się wg wzoru: E(St) = pti
"Sti
i=1
gdzie: i = 1,2,..mt  numery prawdopodobnych poziomów przepływów pieniężnych w
okresie t; symbol mt oznacza, że liczba tych przepływów może być
zróżnicowana w poszczególnych latach budowy i eksploatacji;
Sti  saldo przepływów pieniężnych w okresie t na poziomie i;
pti  wskaz
nik prawdopodobieństwa kształtowania się przepływów
pieniężnych w okresie t na poziomie i, przy spełnieniu warunku Łpti = 1.
Możliwe salda Sti są traktowane jako zmienne losowe. Natomiast oczekiwana wartość
E(St), wiążąca się z niepewnością, jest określana jako średnia ważona możliwych do
zrealizowania sald przepływów pieniężnych z wagami równymi
prawdopodobieństwom ich realizacji.
Po oszacowaniu wartości prawdopodobnej wszystkich sald przepływów pieniężnych
należy obliczyć oczekiwaną wartość zaktualizowaną netto:
E(NPV) = )at gdzie: at  współczynnik dyskontujący dla okresu t, tj.
"E(St
1
at = . Dla uproszczenia zakłada się, że nakład
(1+ r)t
początkowy występujący w okresie t = 0 jest pewny, tj p = 1. Gdyby go uwzględnić, to
E(NPV) = - S0 + )at .
"E(St
E t a p II
Obliczanie wariancji sald przepływów pieniężnych V(St) dla każdego okresu t wg
mt
wzoru: V(St) = - E(St )]2 pti .
"[Sti
i=1
Następnie oblicza się wariancję zaktualizowanych sald przepływów, czyli wariancję
bieżącej wartości netto V(NPV):
n
V(NPV) = (St )at .
"V
t=0
Wariancja wartości NPV jest średnią ważoną kwadratów odchyleń możliwych do
zrealizowania sald od oczekiwanej zaktualizowanej wartości salda przepływów pieniężnych
E(NPV). Wariancja wartości NPV wyrażona jest w procentach podniesionych do kwadratu.
W praktyce korzystniejsze jest operowanie pierwiastkiem z wariancji, czyli odchyleniem
standardowym.
E t a p III
Ustalenie odchylenia standardowego NPV: � (NPV ) = V (NPV ) = V (NPV )0,5 .
Podobnie jak wyżej wartość zero przyjmuje w sytuacji braku ryzyka odnośnie do
przyszłego poziomu salda przepływów pieniężnych.
10
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
E t a p IV
Ustalenie współczynnika zmienności wartości zaktualizowanej netto NPV:
� (NPV )
C(NPV) = .
E(NPV )
Współczynnik może przyjąć wartości z przedziału (- ", + "), czyli nie jest
mianowany. Wielkość ryzyka na jednostkę oczekiwanej wartości NPV powinna być
najmniejsza.
Ponieważ odchylenie standardowe informuje, o ile przeciętnie przyszła wartość
zaktualizowana netto NPV ocenianego projektu może odchylać się (plus, minus) od
obliczonej oczekiwanej wartości E(NPV). Wraz z współczynnikiem zmienności oznacza, że
prostym kryterium oceny projektu inwestycyjnego jest minimalizacja ryzyka względem
oczekiwanej wartości NPV. W praktyce to kryterium jest realizowane przez maksymalizację
E(NPV) oraz minimalizację V(NPV) i odchylenia standardowego �(NPV).
Przy założeniu, że rozkład prawdopodobieństwa jest normalny, rzeczywiste saldo
przepływów będzie zawarte w 68,26% przypadków w granicach ą odchylenia standardowego,
95,46% przypadków w granicach ą 2 odchyleń standardowych, a w 99,74% przypadków w
granicach ą 3 odchyleń oczekiwanego salda (reguła trzech sigm). Bardziej skomplikowana
jest sytuacja, gdy rozkład zmiennej znacznie różni się od rozkładu normalnego.
W inwestowaniu wzrostowi odchylenia standardowego towarzyszy spłaszczenie
krzywej dzwonowej. Wynika to z faktu, że wzrost horyzontu czasowego inwestycji jest
utożsamiany ze wzrostem trudności weryfikacji warunków inwestowania, a w tym obszaru
ryzyka. Krzywe dzwonowe są coraz bardziej spłaszczone dla coraz odleglejszych okresów.
Oznacza to tendencje do zmniejszania wartości oczekiwanej i wzrost rozpiętości ryzyka w
póz
niejszych przedziałach czasu.
Współczynnik zmienności jest przydatny również w procesie oszacowania premii z
tytułu ryzyka. Premia za ryzyko to różnica między zyskiem z realizacji projektu
inwestycyjnego w warunkach niepewnego otoczenia a zyskiem z inwestycji pozbawionej
ryzyka. Premia z tytułu ryzyka może być rozpatrywana jako funkcja współczynnika
zmienności, ponieważ jego poziom jest proporcjonalny do ryzyka. Oznacza to, że wraz ze
wzrostem tego współczynnika wzrasta ryzyko towarzyszące realizacji projektu
inwestycyjnego.
Gdy poziom współczynnika zmienności jest wysoki, należy powtórzyć obliczanie
oczekiwanej wartości NPV przy uwzględnieniu stopy procentowej zwiększonej o premię z
tytułu ryzyka, w celu wzrostu granicznej stopy rentowności. W takim wariancie uzyskana
kolejna dodatnia wartość NPV jest argumentem przemawiającym za realizacją inwestycji
nawet przy dużym ryzyku.
11
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Przykład 1 Weryfikacja mierników pomiaru ryzyka dla kilku różnych projektów
inwestycyjnych
Dla inwestycji A i B oszacowano rozkłady prawdopodobieństwa stóp zwrotu w
zależności od stanu gospodarki.
Stan gospodarki Prawdopodo- Stopy zwrotu
bieństwo
A B
Głęboka recesja 0,1 -0,2 0,0
Stagnacja 0,2 0,0 0,1
Niewielkie ożywienie 0,4 0,1 0,1
Dobra koniunktura 0,1 0,2 0,15
Wysoki rozwój 0,2 0,3 0,2
a) na podstawie danych w tabeli zinterpretuj ryzyko każdej inwestycji.
b) dokonaj wyboru wariantu inwestycji kierując się:
" maksymalizacją wartości oczekiwanej & & & & & & & & ..
" odchyleniem standardowym & & & & & &
" współczynnikiem zmienności & & & & & & &
12
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Bardziej złożona decyzja dotycząca wierceń
$ 26 700
D 0,2
5000 baryłek $ 19 350
0,15 0,5
$ 15 150
0,3
ropa na B E $ 26 1180
głębokości 900 m 8000 baryłek 0,2
0,13 0,55 0,5 620
$ 26 300
0,3
$ 26 2460
16 000 baryłek F 0,2
$ 19 1340
A 0,3 0,5
Wiercić $ 15 700
0,3
$ 26 400
G 0,2
5000 baryłek $ 19 50
0,28 0,5
$ 15 -150
C 0,3
ropa na głębokości H $ 26 820
1500 m 8000 baryłek 0,2
0,21 0,48 $ 19 0,5 260
$ 15 -50
0,3
I $ 26 0,2 1940
16 000 baryłek $ 19 820
0,24 0,5
$ 15 0,3 180
brak ropy 0,66 -400
13
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Metody operacyjne  strategia gier
Metody te służą do rozwiązywania konkretnych sytuacji decyzyjnych w celu
wyznaczenia decyzji optymalnych - w znaczeniu najbezpieczniejszych - i są wykorzystywane,
gdy istnieje konieczność koordynacji dużej liczby czynników zmierzających do osiągnięcia
określonego celu, przy założeniu optymalnego układu tych czynników. Strategia gier
umożliwia stosunkowo dokładne poznanie skutków poszczególnych wariantów decyzji
inwestycyjnych. Decyzje są podejmowane w warunkach pewności, niepewności (nie mogą
być opisane ani modelem deterministycznym ani probabilistycznym) i ryzyka. Z punktu
widzenia analizy strategicznej wyróżnia się cztery grupy czynników efektywności
inwestowania (analiza SWOT).
Macierz decyzyjna w analizie SWOT przy uwzględnieniu kombinacji czynników
niepewnych
S T R A T E G I E
Stan Czynniki pewne Czynniki niepewne
Wewnętrzne Pw Wewnętrzne Nw
oto- Czynniki pewne
Pz "!Pw Pz "! Nw
cze-
Zewnętrzne Pz
maxi - maxi maxi - mini
nia
Czynniki niepewne
Nz "!Pw Nz "! Nw
zewnętrzne Nz
mini - maxi mini - mini
1. Pz "!Pw Inwestor jest w najkorzystniejszej sytuacji, ponieważ otoczenie
stwarza szanse. Należy maksymalizować stopień wykorzystania tych
atutów.
2. Nz "! Nw Inwestor jest w najgorszej sytuacji, ponieważ zagrożenia
zewnętrzne są wzmacniane przez słabości wewnętrzne przedsiębiorstwa
realizującego projekt inwestycyjny. Należy minimalizować te słabości.
Strategia w wersji pesymistycznej prowadzi do zaniechania projektu, a w
wersji optymistycznej do przeczekania sytuacji.
3. Pz "! Nw Szanse zewnętrzne są trudne do wykorzystania, ponieważ istnieją
słabości samego projektu inwestycyjnego. Zastosowana strategia maxi-minu
powinna być ukierunkowana na minimalizację słabości w celu
wykorzystania szans zewnętrznych.
4. Nz "!Pw Atuty projektu, sprzyjające poprawie pozycji decydenta są
narażone na zewnętrzne zagrożenia. Inwestor poprzez zastosowanie strategii
mini  maxu powinien przeciwstawić się trudnościom, jakie stwarza
otoczenie w celu wykorzystania swojego potencjału wewnętrznego do
maksimum.
W procesie podejmowania decyzji inwestycyjnych w warunkach niepewności z
orientacją na najgorsze możliwości spośród wymienionych kryteriów, zastosowanie ma
kryterium pesymistyczne (maksyminu) i kryterium rozczarowania (minimaksu).
Teoretyczne podstawy rozwiązania tych problemów upatrywać można w grze o sumie
zerowej, w której interesy uczestników są rozbieżne w tym sensie, że dążąc do jak
największej wypłaty własnej każdy stara się o jak najmniejszą sumę wypłat dla innych
uczestników.
14
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Sposób postępowania przy zastosowaniu zasad i metod strategii gier:
1) Obliczanie wskaz
ników efektywności dla wszystkich analizowanych
wariantów decyzji inwestycyjnych. Wariantom można przypisać
scenariusze decyzyjne różniące się wszystkimi możliwymi
kombinacjami czynników niepewnych;
2) Każdy wariant decyzji inwestycyjnych (W1. ...Wn) ma dwa lub
więcej scenariuszy, np. wariant W1 ma scenariusze Se1, ...Sem.
3) Przyjmuje się a priori, że trudno jest jednoznacznie ustalić, które ze
scenariuszy decyzyjnych sensu stricto są optymistyczne lub
pesymistyczne, ponieważ dany scenariusz może być optymistyczny
w świetle danego wariantu , a w świetle innego - pesymistyczny.
4) Opracowanie decyzji inwestycyjnej według formuły maksyminu i
minimaksu.
Opracowanie decyzji wg maksyminu
Należy wybrać dla każdego wariantu takiego scenariusza, który charakteryzuje się
najgorszymi wskaz
nikami, następnie wybrać wariant z najwyższym poziomem spośród
tych najniższych wskaz
ników efektywności.
Projekt M o ż l i w e w s k a z
n i k i Minimalny
inwestycyjny poziom
e f e k t w n o ś c i
wskaz
nika w
Se1 Se2 Se3 danym wariancie
W1 1,0 1,7 1,1 1,0
W2 1,2 1,1 1,4 1,1
W3 1,3 1,5 1,6 1,3
Opracowanie decyzji wg formuły minimaksu dotyczy wyboru wariantu najlepszego
z każdego scenariusza, a następnie obliczeniu różnicy między wskaz
nikiem efektywności tego
najlepszego i wskaz
nikami efektywności dla poszczególnych scenariuszy. W trzecim etapie
dla każdego wariantu jest wybierany taki scenariusz, który charakteryzuje się największą
różnicą efektywności ze wszystkich obliczonych różnic. Ostatecznie, wybierany jest wariant,
który w razie faktycznej realizacji niewłaściwego scenariusza spowoduje minimalną stratę w
porównaniu do wariantu, jaki byłby najkorzystniejszy przy tym scenariuszu.
Projekt Możliwe różnice wskaz
ników Max poziom różnicy
inwestycyjny efektywności jako skutki decyzji wskaz
ników w
danym wariancie
" Se1 " Se2 " Se3
W1 0,3 0,0 0,5 0,5
W2 0,1 0,6 0,2 0,6
W3 0,0 0,2 0,0 0,2
15
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
W tym wypadku istnieją podstawy do podjęcia decyzji realizacji projektu W3 przy
minimaks = 0,2. Zastosowanie formuły minimaksu zobowiązuje do podjęcia decyzji, która
zapewnia najmniejszą stratę spośród największych strat mogących wystąpić w niepewnych
warunkach realizacji przedsięwzięcia inwestycyjnego. Najczęściej może dotyczyć inwestycji
prestiżowych lub ekologicznych, które znajdują uzasadnienie społeczne.
Mechanizm powstania rynku ubezpieczeń
Asekuranta charakteryzuje funkcja oczekiwanej użyteczności pieniądza U(w) = w1/2, a
ryzykanta  U(w) = 0,001w2. Asekurant ma dom o wartości 100 tys. zł, który z
prawdopodobieństwem 0,1 może spłonąć; ryzykant ma willę o wartości 200 tys. zł i wścibską
sąsiadkę. Ryzykant proponuje asekurantowi grę: jeśli zapłaci mu pewną kwotę, to ryzykant w
przypadku pożaru zwróci asekurantowi wszystkie utracone pieniądze. Czy proponowana gra
jest korzystna zależy od kwoty, której zapłacenia żąda ryzykant.
U(zł)
U(w) = w1/2
10
9 EU (100,0, 0,9, 0,1) = 0,1*0 + 0,9 * 1001/2 = 9
U(CE) = 9 w1/2 = 9 w = 92 = 81 = CE
EV = 0,1* 0 + 0,9*100 = 90
Asekurant przystanie na każdą składkę z przedziału [0, 19]
Premia za podjęcie ryzyka = 90 - 81 = 9
0 81 90 100 tys. zł
Funkcja oczekiwanej użyteczności pieniądza asekuranta
EU(200) = 0,001 *2002 = 40 EU(200+x)=0,9*0,001(200+x)2+
EV = 0,9*200 + 0,1*100 = 190 +0,1*0,001*(100+x)2>40�! x = 7,75
EU(100, 0,1 200, 0,9) =
=0,001*1002*0,1 + 0,001*2002*0,9= 37 U(w) = 0,001 w2
U(zł)
40
37
100+x 197 200+x
0 100 190 200 0 100 200
składka ubezpieczeniowa = 0 składka ubezpieczeniowa > 0
16
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Funkcja użyteczności oczekiwanej pieniądza ryzykanta
Ryzykant ubezpieczy asekuranta, jeśli za zdjęcie ryzyka otrzyma przynajmniej 7,75
tys. zł; asekurant przyjmie ofertę, ponieważ mieści się w przedziale [0, 19].
Zachowanie ubezpieczonego, które prowadzi do zwiększenia prawdopodobieństwa
wystąpienia szkody nazywa się pokusą nadużycia (moral hazard). W wyjaśnieniu tego
zjawiska pomaga teoria gier (model  pryncypała i agenta 2, w którym podejmowane decyzje
zależą od dostępnej informacji i nie ma możliwości sprawdzenia ich przez drugiego gracza
przed poznaniem ostatecznych wyników). Najczęściej dochodzi wówczas albo do wycofania
się ubezpieczyciela z umowy, albo do podniesienia stawki ubezpieczenia. Zjawisko
nadmiernej liczby osób, które charakteryzują się większym prawdopodobieństwem
wystąpienia szkody w stosunku do średniego prawdopodobieństwa jej wystąpienia, nazywa
się negatywną selekcją. Przeciwdziałanie obu zjawiskom polega na odmawianiu pełnego
ubezpieczenia potencjalnej straty, rozróżniania składki w zależności od grup nabywców
(selekcja polegająca na odsiewaniu grup klientów charakteryzujących się negatywnym
zachowaniem  np. wyższe składki ubezpieczeniowe dla młodych kierowców).
Awersja do strat
Autorzy tzw. teorii prospektu podają następujący eksperyment:
1. Podmiot ma do wyboru dwie możliwości:
" dochód 3000 bez ponoszenia ryzyka
" dochód 4000 z prawdopodobieństwem 0,75 lub 0 z prawdopodobieństwem 0,25.
Wartość oczekiwana w obu przypadkach wynosi 3000. Okazuje się, że większość ludzi
wybiera sytuację pierwszą, charakteryzującą się awersją do ryzyka.
2. Podmiot ma do wyboru dwie możliwości:
" pewna strata 3000
" strata 4000 lub 0, przy czym prawdopodobieństwo straty 4000 wynosi 0,75, a
prawdopodobieństwo straty 0 wynosi 0,25.
Można wyciągnąć wniosek, że w przypadku zwiększania się kapitału (dochodu) podmiot
charakteryzuje się awersją do ryzyka, a w przypadku zmniejszania się kapitału (dochodu),
czyli straty charakteryzuje się skłonnością do ryzyka. Zjawisko to nazwano awersją do
strat3
2
Chodzi o sytuację, w której jedna ze stron (właściciel  pryncypał) przekazuje pełnomocnictwa drugiej stronie
(agentowi) do prowadzenia działalności, lecz rezultaty poznaje poprzez ostateczne wyniki wskutek braku pełnej
informacji. Tego typu powiązania występują w kontaktach między podmiotami o różnym dostępie do informacji.
Zob. szerzej M. Wolawski, A. Wieczorek, H. Sosnowska, Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i
naukach społecznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, s. 113  115.
3
D. Kaheneman, A. Tversky, Prospect theory: an analysis of decision under risk.  Econometrica 1979, No. 47.
Cyt. za K. Jajuga, op. cit.
17
Prof. Teresa Kamińska Teoria ryzyka
Użyteczność
(a) (b)
EU
EUR EUR
EU
0 W1 W0 WT W2 W 0 W1 W0 WT W2 W
obecna wartość kapitału (dochodu)
WT  kapitał (dochód) podmiotu wzrasta do tego poziomu, gdy nie ryzykuje
Gdy podmiot decyduje się na podjęcie ryzyka (z p = 0,5 i 0,5), wartość końcowa wynosi W1
lub W2. Oczekiwana wartość końcowa kapitału jest równa wartości otrzymanej w przypadku
niepodjęcia ryzyka WT. Oczekiwana użyteczność w przypadku inwestycji wolnej od ryzyka
EU jest wyższa od oczekiwanej użyteczności w przypadku inwestycji ryzykownej EUR. W
sytuacji (a) podmiot jest asekurantem i wybierze inwestycję wolną od strat. W sytuacji (b)
oczekiwana użyteczność EU w przypadku inwestycji wolnej od ryzyka jest niższa od
oczekiwanej użyteczności w przypadku inwestycji ryzykownej EUR. Oznacza to, że podmiot,
charakteryzujący się awersją do strat wybierze sytuację ryzykowną o tej samej oczekiwanej
wartości końcowej kapitału (dochodu) co inwestycja wolna od ryzyka.
 Informacja, którą posiadasz, nie jest informacją, której szukasz
Informacja, której szukasz, nie jest informacją, której potrzebujesz
Informacja, której potrzebujesz, nie jest informacją, którą możesz uzyskać
Informacja, którą możesz uzyskać, kosztuje więcej niż możesz za nią zapłacić.
18