Gabriela Siemiaszko Doświadczenie nr 3

27.04.10.

Wahadło matematyczne

Wstęp

Moim zamiarem było zbadanie zależności okresu drgań wahadła matematycznego od długości i zawieszonej masy. Uzyskam to, posługując się wzorem:

(1)

gdzie:

T - okres drgań [s]

l - długość wahadła [mm]

g - przyspieszenie ziemskie [m/s^­­2].

Dopasowałam zależność liniową, przekształcając wzór (1):

(2)

y = a x

Chcę także wyznaczyć przyspieszenie ziemskie i oczekuję, że wyniesie 9,81 m/s².

Doświadczenie

Zawiesiłam metalową kulkę (m₁) na cienkiej nici. Zmierzyłam katetometrem z dokładnością do 1 mm wysokość, na jakiej znajdował się punkt zawieszenia nici (h₀). Każdorazowo mierzyłam z taką samą dokładnością wysokość położenia środka masy przedmiotu (h_i), zmieniając to położenie. Ich różnica stanowiła długość wahadła (l) (wzór nr 3 w dodatku), której błąd wyniósł 1,41 mm (wzór nr 4 w dodatku).

Dokonawszy pomiaru długości wahadła, odchylałam kulkę na odległość około 5 cm i mierzyłam zegarem elektronicznym długość trwania dziesięciu okresów. Dokładność stopera wynosiła 0,1s. Powtarzałam mierzenie czasu trwania dziesięciu okresów pięciokrotnie dla siedmiu różnych długości wahadła, aby oszacować błąd przypadkowy. Pomiary zniekształcone przez błąd przypadkowy pomijałam i powtarzałam pomiar.

Te same czynności powtórzyłam dla kulki o większej masie (m₂). Zważyłam kulki wagą laboratoryjną.

Pomiary umieściłam wraz z wynikami obliczeń w tabelach 1 i 2 w dodatku.

Analiza danych eksperymentalnych

Na wykresach przedstawiam zależność okresu drgań podniesionego do kwadratu od długości wahadła dla obydwu kulek . Pominęłam słupki błędów wzdłuż osi, gdyż były mało widoczne.

Wykres 1. Zależność T² od l dla lżejszej kulki m_1. Współczynniki dopasowania wynoszą: a= 0,004±0,00015 [s²/mm] i b=0,012±0,08 [s²]. Funkcja przyjmuje postać y=0,004x+0,012.

Wykres 2. Zależność T² od l dla cięższej kulki m₂. Współczynniki dopasowania wynoszą: a= 0,004±0,000064 [s²/mm]

i b=0,01±0,03 [s²]. Funkcja przyjmuje postać y=0,004x+0,01.

Moje dane powinny spełniać zależność liniową opisaną wzorem (2), lecz nie jest tak w granicach błędów. Wyznaczone proste w granicach błędu przechodzą przez zero układu współrzędnych. Współczynnik b w granicach błędu jest równy zeru.

Ze wzoru nr 10 w dodatku wyliczam wartość przyspieszenia ziemskiego, a ze wzoru nr 11 w dodatku jego błędy. Wynosi ono g₁=10,054±0,4[m/s²] i g₂=9,93±1,16 [m/s²].

Masy kulek wynosiły: m₁=139,5±0,02[g], m₂=67±0,02[g]. Błąd pomiaru to masa najlżejszego odważnika. Wykres 3. przedstawia zależność okresu drgań od masy. W granicach błędu punkty układają się na linii prostej.

Wykres 3. Zależność okresu drgań od masy.

Dyskusja i wnioski

Kwadrat okresu drgań wahadła jest wprost proporcjonalny do długości wahadła. Niedopasowaniu zależności liniowej w granicach błędu być może winne jest nieuwzględnienie przeze mnie 0,2-sekundowego refleksu eksperymentatora i inne błędy systematyczne.

Wyliczona wartość przyspieszenia ziemskiego jest stała w granicach błędu dla obydwu zestawów doświadczalnych.

Okres drgań wahadła nie zależy od masy kulki.

Dodatek

Powyżej kolumn tabeli 1 umieściłam informacje, jakim wzorem z dodatku wartość została policzona. Analogicznie dla tabeli 2.

wzór 5 wzór 6 wzór 8 wzór 9 wzór 7

n	hi ­[mm]	t10 [s]					t10śr [s]	L [mm] (x)	T^2[s^2] (y)	dt10 [s]	dt10śr [s]	dT^2[s^2]
1	629	11,5	11,7	11,7	11,6	11,6	11,62	349	1,35	0,068	0,026	0,01
2	574	12,7	13	12,8	12,8	12,9	12,84	404	1,65	0,093	0,035	0,01
3	532	13,2	13,3	13,1	13	13,1	13,14	446	1,73	0,093	0,035	0,01
4	471	14,2	14,4	14,4	14,2	14,3	14,3	507	2,04	0,082	0,031	0,01
5	430	14,7	14,5	14,6	14,7	14,7	14,64	548	2,14	0,073	0,028	0,01
6	368	15,6	15,6	15,4	15,8	15,5	15,58	610	2,43	0,121	0,046	0,01
7	328	16	15,9	16	16	15,8	15,94	650	2,54	0,073	0,028	0,01

Tabela 1. Dane pomiarowe i wyniki obliczeń dla kulki m₁.

n	hi [mm]	t10 [s]					t10śr [s]	L [mm] (x)	T^2 [s^2] (y)	dt10 [s]	dt10śr [s]	dT^2[s^2]
1	667	11	11,1	11,2	11,1	10,9	11,06	311	1,22	0,093	0,035	0,01
2	627	11,9	12,1	11,9	12	12	11,98	351	1,44	0,068	0,026	0,01
3	556	13	12,9	12,9	12,9	13	12,94	422	1,67	0,045	0,017	0,00
4	489	14	13,9	14,1	13,9	14,2	14,02	489	1,97	0,106	0,040	0,01
5	429	14,8	14,9	14,8	14,7	14,7	14,78	549	2,18	0,068	0,026	0,01
6	387	15,5	15,3	15,5	15,5	15,3	15,42	591	2,38	0,089	0,034	0,01
7	288	16,6	16,6	16,4	16,6	16,6	16,56	690	2,74	0,073	0,028	0,01

Tabela 2. Dane pomiarowe i wyniki obliczeń dla kulki m₂.

Dostosowane do danych wzory:

3. l=h_o-h_i

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    

---