Maciej Grabarczyk

IS gr. 1, gr. lab 13.

Ćw. nr 3: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną Gaussa

1. Wstęp

• Przesunięcie proste

Moduł sztywności związany jest z tzw. odkształceniem przesunięcia prostego (ścinanie), które powstaje po przyłożeniu do ciała ścinającej sily stycznej F_t. W skali mikroskopowej odkształcenie przesunięcia prostego tłumaczy się skrzywieniem komórek siatki krystalicznej. Jony zajmują położenia wynikające z równowagi sił działających między nimi. Wskutek działania siły F_t między jonami działają siły, które po zaprzestaniu działania F_t pozwalają komórkom wrócić do położenia równowagi.

Prawo Hook'a - Przyrost długości Δl jakiego doznaje ciało sprężyste rozciągane z siłą F, jest wprost proporcjonalny do wielkości siły i do długości początkowej l0 ciała oraz odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju poprzecznego S, a ponadto jest on zależny od rodzaju materiału.

- naprężenie

gdzie E-moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej)

Czyli: wydłużenie przy rozciąganiu jest wprost proporcjonalne do wartości naprężenia.

gdzie P_t - naprężenie styczne, τ - moduł sztywności, ψ - odkształcenie względne

• Skręcenie

Pod wpływem momentu siły M' pręt ulega skręceniu o pewien kąt ϕ, tzn. dla wybranego elementu dV powierzchnia ds. przesuwa się z położenia A do A' a krawędzie równoległe do BA zajmują położenie równoległe do BA'. DV ulega względnemu przesunięciu
. Ponieważ AA'=ρϕ więc naprężenia styczne
, co odpowiada elementarnemu momentowi sił.

Całkowity moment M' wynosi:

gdzie
- powierzchniowy moment bezwładności pręta wzg. osi OO'

gdzie
- moduł skręcenia pręta.

Przy skręceniu pręta o kąt ϕ przyłożeniem zewn. momentu sił M' pojawia się moment wewn. sił M

Jeśli dolny koniec pręta obciążymy ciałem symetrycznym wzg. osi OO' to ruch tego ciała jest opisany zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

(Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła to ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnie zmiennym, z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły i odwrotnie proporcjonalnie do masy tego ciała)

- I moment bezwładności ciała

Równanie to określa ruch drgający prosty o częstości
, a więc okresie

2. Zasada i przebieg pomiaru

Wyznaczenie modułu sztywności τ metodą Gaussa polega na pomiarze okresów drgań: wibratora nieobciążonego, oraz obciążonego ciałem o prostych kształtach geometrycznych (w przeprowadzonym ćwiczeniu były to dwa ciała - metalowe obręcze). Na ogół kłopotliwą sprawą jest wyznaczenie momentu bezwładności wibratora np. z uwagi na jego kształt oraz zamocowania, dlatego w metodzie dynamicznej postępuje się tak, aby moment bezwładności wibratora nieobciążonego nie występował we wzorze na. Okres drgań dla wibratora nieobciążonego opisany jest zależnością:

dla wibratora obciążonego ciałem o znanym momencie bezwładności I₀:

Z powyższych wzorów na okresy drgań wyznaczamy:

a po uwzględnieniu zależności na moduł skręcenia danego pręta:

otrzymujemy:

W laboratorium pomiary wyznaczenia modułu sztywności przeprowadzano dla drutów metalowych, o przekroju kołowym, dla których powierzchniowy moment bezwładności oznacza się:

Ciałami o prostych kształtach są metalowe obręcze, których moment bezwładności wyraża się wzorem:

gdzie: m - masa obręczy,

D1, D2 - średnice: wewnętrzna i zewnętrzna jednej obręczy;

Ostatecznie wzór na moduł sztywności przyjmuje postać:

3. Obliczenia

Okresy drgań wibratora nieobciążonego T₀ oraz T₁ i T₂ wyliczamy z zależności:

T = czas wachnięć / ilość wachnięć

	okres drutu pierwszego [s]
	bez obręczy	z obręczą
1	7,33	16,65
2	7,33	17,15
3	7,00	16,70
	okres drutu drugiego [s]
	bez obręczy	z obręczą
1	7,75	13,80
2	7,70	13,75
3	7,70	13,70

średni okres drgań
nieobciążone T0	7,47	s
obciążony masą m1 T1	16,83	s
obciążony masą m2 T2	13,75	s

Wartość modułu sztywności materiału drutu dla różnych obciążeń wibratora obliczamy ze wzoru:
, przyjmując wartości średnie.

Drut pierwszy z obręczą cięższą:

Drut drugi z obręczą lżejszą:

4. Analiza błędów pomiarowych

τ obliczamy podstawiając do wzoru wartości średnie pomiarów cząstkowych (średnic, długości i okresów drgań), więc obliczając błąd pomiaru τ obliczamy błąd maksymalny. Ze wzoru, z którego obliczaliśmy moduł sztywności metodą różniczki zupełnej otrzymujemy :

gdzie :

Δd - potrójny błąd standardowy wartości średniej,

Δl , ΔD₁, ΔD₂, ΔT₁, ΔT₂ - błędy maksymalne wartości średnich.

Δl₁ = 0,001 m.,

Δl₂ = 0,001 m.,

ΔD_1w = 0,0001 m.,

ΔD_1z = 0,0001 m.,

ΔD_2w = 0,00001 m.,

ΔD_2z = 0,00001 m.,

ΔT₀ = 0,2 s,

ΔT₁ = 1 s,

ΔT₂ = 1 s.

5. Wnioski

Obliczony błąd pomiaru jest znikomy co w praktyce się nie zdarza. Jednakże moduł sztywności tego samego drutu różni się przy pomiarach dla różnych obciążeń. Różnica może wynikać z tego iż pod większym obciążeniem drut się bardziej rozciąga i jego sztywność się zmienia.

---