Nr ćw. 108	10.10 1995	Krzysztof Misiewicz	Wydział Elektryczny	Semestr II	Grupa nr 1
mgr Ewa Chrzumnicka			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena ost.

„Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia”

Wprowadzenie

W czasie działania siły na podłużny pręt w kierunku prostopadłym do jego długości, doznaje on ugięcia. Ugięcie to oznaczamy przy pomocy tzw. strzałki ugięcia S, która jest proporcjonalna do działającej siły F, jak również zależy ona do wymiarów geometrycznych pręta, sposobu mocowania i materiału z którego go wykonano.

Gdy na umocowany jednostronnie pręt działa siła to górne jego warstwy ulegają wydłużeniu, natomiast dolne - skróceniu (są ściskane).Jeżeli nie działają żadne siły przekroje prostopadłe pręta są równoległe, natomiast po przyłożeniu siły tworzą pewien kąt ϕ. Jeżeli weźmiemy pod uwagę element pręta o długości Δx, grubości Δy i szerokości b, znajdujący się w odległości x od krawędzi mocowania pręta i na wysokości y powyżej jego warstwy środkowej, to zauważymy, że na skutek ugięcia pręta badana warstwa uległa wydłużeniu o Δϕ. Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju.

(1)

,gdzie:

działająca siła

moduł Younga

Taka sama siła jak , lecz o przeciwnym zwrocie działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N .Moment siły względem warstwy N wynosi:

(2)

Całkowity moment siły działający na wszystkie warstwy obliczymy całkując równanie (1) względem y po całej grubości pręta

(3)

Oznaczmy

(4)

to otrzymamy:

(5)

Powyższe wyrażenie otrzymaliśmy rozpatrując odkształcenie pręta. Bezpośrednia przyczyna tego ugięcia jest siła F. Moment tej siły wynosi względem przekroju 2 F(l-(x+Δx)) w ogólności przy zaniechaniu Δx :

Μ = ( l - x )F (6)

Kąt ϕ jest również zawarty pomiędzy stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Możemy więc napisać

(7)

Gdy uwzględnimy powyższy wniosek w równaniu (5) oraz porównamy równania (5) i (6) otrzymamy elementarną strzałkę ugięcia

A całkowita strzałkę ugięcia otrzymamy całkując to wyrażenia dla wszystkich Δx

(8)

Jeżeli teraz, że przekrój naszego pręta jest prostokątem o wysokości h i szerokości b to H po scałkowaniu równania (4) daje:

natomiast, gdy przekrój pręta jest kołem otrzymujemy:

Podstawiając odpowiednio H do otrzymanego wzoru (8), otrzymamy równania na strzałkę całkowitą dla pręta jednostronnie umocowanego (o przekroju prostokąta i koła):

Po odpowiednim przekształceniu powyższych równań otrzymamy odpowiadające im wzory na strzałkę całkowitą dla pręta podpartego dwustronnie i obciążonego na środku. Następnie przekształcimy je do postaci nam potrzebnej. W ostateczności otrzymamy następujące wzory na dzięki którym będziemy mogli wyznaczyć moduł Younga:

Doświadczanie

Pomiary strzałki ugięcia dokonywane będą za pomocą katetometru , z dokładnością 0.01mm

Wymiary prętów (okrągłego i kwadratowego) zostaną zmierzone przy pomocy mikromierza.

Długość l mierzona pomiędzy punktami podparcia pręta przy pomocy miary z podziałką milimetrową

Tabele pomiarów

Długość pręta pomiędzy krawędziami podparcia

l = 650 mm

Tabela pomiarów rozmiarów dla pręta prostokątnego (wymiary w [mm]):

szer.	7.93	7.94	7.94	7.94	7.94	7.94	7.94	7.94	7.95	7.95
wys.	7.92	7.92	7.93	7.93	7.93	7.93	7.93	7.94	7.93	7.94

Tabela pomiarów strzałki ugięcia dla ww. pręta przy odpowiednim obciążeniu:

615.24 mm

	200g	400g	900g	1400g	1900g
h - przy obciążaniu 615,24	614.65	614.17	613.06	611.98	610.84
h - przy odciążaniu 615.16	614.70	614.16	613.10	611.94	610.84

Tabela pomiarów jw. ale dla pręta odwróconego o

	200g	400g	900g	1500g	1900g
h - przy obciążaniu 613.96	613.96	613.03	611.91	610.86	609.65
h - przy odciążaniu 613.95	613.24	612.80	611.74	610.72	609.65

Tabela rozmiaru pręta o przekroju koła (wymiary w [mm]):

ϕ pręta [mm]

7.90

7.87

7.91

7.91

7.90

7.89

7.87

7.90

7.90

7.90

Tabela pomiarów strzałki ugięcia dla pręta okrągłego przy odpowiednim obciążeniu:

	200g	700g	1500g
h - przy obciążaniu 615,00	614.41	613.18	611.31
h - przy odciążaniu 614.95	614.25	613.13	611.31

Tabela pomiarów jw. ale dla pręta odwróconego o :

	200g	700g	1500g
h - przy obciążaniu 615.21	614.60	613.40	611.39
h - przy odciążaniu 615.15	614.58	613.38	611.39

Obliczenia:

---