108b 4, nr ˙w.


nr ćw.

108

data

Dariusz Jafra

Wydział

Elektryczny

Semestr

II

grupa I-2

1930-2100

prowadzący mgr K.Łapsa

przygotowanie

wykonanie

ocena końcowa

0x01 graphic

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia

Wiadomo że gdy na podłużny pręt działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także zależy od wymiarów geometrycznych pręta, sposobu jego mocowania i rodzaju materiału z którego jest on wykonany. Pręt na rysunku pod działaniem siły ugina się w ten sposób że górne warstwy pręta są rozciągane a dolne ściskane. W środku wysokości istnieje warstwa, której długość nie ulega zmianie. Przekroje prostopadłe pręta, przy braku obciążenia są wzajemnie równoległe, tworzą natomiast kąt 0x01 graphic
po przyłożeniu siły.

0x01 graphic

Na rysunku obok zaznaczyłem rozpatrywane przekroje przez 1 i 2 oraz kąt 0x01 graphic
między 1 i 2 (1' jest równoległym przesunięciem przekroju 1 do linii przecięcia warstwy neutralnej N z przekrojem 2).

Jeśli zacznę rozpatrywać element pręta o długości 0x01 graphic
, grubości 0x01 graphic
i szerokości b znajdujący się w odległości x od krawędzi zamocowanej i na wysokości y powyżej warstwy środkowej to na skutek ugięcia belki badana warstwa ulega ugięciu o 0x01 graphic
.

Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju

0x01 graphic

gdzie E - moduł Younga, 0x01 graphic
- siła rozciągająca badaną warstwę elementarną.

Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N.

Moment siły 0x01 graphic
względem warstwy N wynosi

0x01 graphic

Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie względem y po całej grubości

(1)

Jeśli oznaczę

(2)

to równanie (1) mogę napisać w postaci

0x01 graphic
(3)

Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca. Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi lub zaniedbując wielkość 0x01 graphic
jako małą w porównaniu z x

(4)

Kąt 0x01 graphic
jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie rysunku mogę napisać następujący związek

0x01 graphic

Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia

Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta

Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać

0x01 graphic

Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku

0x01 graphic

Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje

0x01 graphic

Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia

0x01 graphic

Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te mogę łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku.

Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły 0x01 graphic
skierowane ku górze. Siła 0x01 graphic
działa wtedy na pręt o długości 0x01 graphic
.

Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów

0x01 graphic

dwustronnie podpartych

0x01 graphic

A z tych wzorów mogę już łatwo obliczyć moduł Younga. Po wykonaniu prostego przekształcenia mam moduł Younga dla przekroju prostokątnego

0x01 graphic

i dla przekroju kołowego

.

Przebieg doświadczenia

1. Zmierzyć wymiary poprzeczne pręta.

2. Zmierzyć odległości między krawędziami podpierającymi i wyznaczyć środek pręta.

3. Wypoziomować katetometr i przy jego pomocy wyznaczyć położenie górnej krawędzi pręta

nieobciążonego 0x01 graphic
.

4. Obciążając kolejno środek pręta ciężarkami (wg kolejności 1+2+3+4+5) odczytywać położenie

górnej krawędzi pręta.

5. Powtórzyć pomiary strzałki ugięcia przy zmniejszaniu obciążenia.

6. Narysować wykres strzałki ugięcia w funkcji obciążenia S=S(F).

7. Odczytać z wykresu strzałki ugięcia dla obciążeń 300g i 1600g Przeprowadzić obliczenia modułu

Younga dla tych obciążeń dla dwóch prętów.

8. Obliczyć wartości średnie modułu Younga E i oszacować błędy 0x01 graphic
.

Pomiary:

-Tabela pomiaru wymiar*w belek:

Pr*t mosi*żny

[mm]

Pr*t aluminiowy

[mm]

P*askownik aluminiowy

a [mm] b [mm]

1

7,86

7,9

7,86

7,84

2

7,85

7,9

7,86

7,84

3

7,84

7,88

7,88

7,86

4

7,86

7,9

7,88

7,86

5

7,88

7,92

7,86

7,86

6

7,86

7,9

7,88

7,86

7

7,87

7,88

7,9

7,88

8

7,86

7,9

7,9

7,88

9

7,88

7,88

7,9

7,88

10

7,88

7,92

7,9

7,88

srednia

7,864

7,898

7,882

7,864

-Tabela z pomiarmi strza*ek ugi*cia do wyznaczenia modu*u Younga dla

p*askownika aluminiowego:

m

[kg]

s

[mm]

Δs

[mm]

a

[mm]

b

[mm]

E

[N/m2]

E*r

[N/m2]

ΔE*r

[N/m2]

EK

[N/m2]

0

627,48

0

7,864

7,882

0,2

627,05

0,43

7,864

7,882

8,135E+10

0,4

626,64

0,84

7,864

7,882

8,329E+10

0,5

626,37

1,11

7,864

7,882

7,878E+10

0,7

625,83

1,65

7,864

7,882

7,42E+10

0,9

625,42

2,06

7,864

7,882

7,641E+10

1

625,17

2,31

7,864

7,882

7,572E+10

1,2

624,68

2,8

7,864

7,882

7,496E+10

1,4

624,23

3,25

7,864

7,882

7,534E+10

1,5

624,02

3,46

7,864

7,882

7,582E+10

1,7

623,49

3,99

7,864

7,882

7,452E+10

1,9

623,23

4,25

7,864

7,882

7,819E+10

7,343E+10

4,361E+09

(7,34±0,34)E10

1,7

623,51

4,37

7,864

7,882

6,804E+10

1,5

624,03

3,85

7,864

7,882

6,814E+10

1,4

624,23

3,65

7,864

7,882

6,709E+10

1,2

624,66

3,22

7,864

7,882

6,518E+10

1

625,16

2,72

7,864

7,882

6,43E+10

0,9

625,41

2,47

7,864

7,882

6,373E+10

0,7

626,12

1,76

7,864

7,882

6,956E+10

0,5

626,69

1,19

7,864

7,882

7,349E+10

0,4

626,94

0,94

7,864

7,882

7,443E+10

0,2

627,44

0,44

7,864

7,882

7,95E+10

627,88

0

7,864

7,882

-Tabela z pomiarmi strza*ek ugi*cia do wyznaczenia modu*u Younga dla

p*askownika aluminiowego:

m

[kg]

s

[mm]

Δs

[mm]

r

[mm]

E

[N/m2]

E*r

[N/m2]

ΔE*r

[N/m2]

EK

[N/m2]

0

626,16

0

7,864

0,2

625,52

0,64

7,864

5,84E+09

0,4

624,95

1,21

7,864

6,18E+09

0,5

624,59

1,57

7,864

5,95E+09

0,7

623,98

2,18

7,864

6E+09

0,9

623,49

2,67

7,864

6,3E+09

1

623,12

3,04

7,864

6,15E+09

1,2

622,62

3,54

7,864

6,34E+09

1,4

622,11

4,05

7,864

6,46E+09

1,5

621,85

4,31

7,864

6,51E+09

1,7

621,32

4,84

7,864

6,57E+09

6,44E+09

2,93E+08

(6,4±0.3)E+9

1,9

620,86

5,3

7,864

6,7E+09

1,7

621,42

4,87

7,864

6,53E+09

1,5

621,54

4,75

7,864

5,9E+09

1,4

622,25

4,04

7,864

6,48E+09

1,2

622,99

3,3

7,864

6,8E+09

1

623,41

2,88

7,864

6,49E+09

0,9

623,75

2,54

7,864

6,62E+09

0,7

624,19

2,1

7,864

6,23E+09

0,5

624,95

1,34

7,864

6,98E+09

0,4

625,21

1,08

7,864

6,92E+09

0,2

625,78

0,51

7,864

7,33E+09

0

626,29

0

7,864

-Opis tabel

m - masa obci*żnik*w zawieszanych na belce

s - odleg*o*ć punktu pomiarowego od punktu odniesienia

Δs - strza*ka ugi*cia ( r*żnica s-pocz*tkowego i s z danego pomiaru)

a,b,r- *rednie warto*ci wymiar*w belek

E - modu* Younga dla danego pomiaru

*) dla p*askownika aluminiowego

*) dla pr*ta mosi*żnego

`

E*r - *rednia wrto*ć modu*u Younga dla wszystkich pomiar*w

ΔE*r - odchlenie standardowe *redniej

-Odleg*o*ć mi*dzy podporami:

l = (650 ± 1 ) [mm]

Wnioski:

Wyniki przeprowadzonych pomiar*w s*



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
108EDDDDDDDD, nr ?w
208 01, Nr ˙w.
208 3, Nr ˙w.:208
104-07, Nr ˙w.
105 02, Nr ˙w.
108 12, Nr ˙w.
120 06, Nr ˙w.
208-02, Nr ?w.
MATEOO~1(3), Nr ˙w.
MATEOO~1(3), Nr ˙w.
201-03, Nr ˙w.
100 9, Nr ˙w.
209-07, Nr ˙w.

więcej podobnych podstron