1. Cel i zakres wytrzymałości materiałów. Pręt i Jego charakterystyka geometryczna.

-Przedmiot badań wytrzymałości materiałów.

Mechanika ogólna zajmuje się ruchem i równowagą punktów materialnych i ich układów zakładając że wzajemna odległość dwu dowolnych punktów układu jest stała. W ten sposób ogranicza się mechanikę ogólną do mechaniki ciała stałego sztywnego. Ciało rzeczywiste jest ciałem odkształcalnym i pod wpływem działających nań sił zmienia swoje kształty i rozmiary. Mechanikę ciała sztywnego odkształcalnego przystosowaną do potrzeb techniki nazywa się tradycyjnie wytrzymałością materiałów.

-Momenty statyczne.

-MOMENTY BEZWŁADNOŚCI.

Moment bezwładności I_o figury płaskiej względem ustalonego punktu 0, zwanego biegunem, definiuje się jako

gdzie ρ jest odległością elementu powierzchni o polu dA od punktu 0 (biegunowy mom. bezw.).

Moment bezwł. I_l względem prostej l określamy wzorem gdzie r jest odległością elem. powierzchni dA od danej prostej czy osi.

Moment bezwładności biegunowy figury płaskiej względem początku układu prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi układu leżących w w płaszczyźnie figury I_o = I_x + I_y.

Wyrażenie określające moment bezwł. I_l można przedstawić w postaci iloczynu I_l = Ai², gdzie A pole figury płaskiej, zaś i wielkość nazwana promieniem bezwładności figury płaskiej .

-Momenty dewiacji (zboczenia)

W prostokątnym układzie współ. wprowadza się pojęcie momentu zboczenia (dewiacji)

(wartości mogą + lub - ).

Moment bezwł. lub moment zboczenia złożonej figury płaskiej równa się sumie momentów bezwł. lub momentów zboczenia figur składowych.

Moment zboczenia figury płaskiej względem układu osi o początku przesuniętym względem środka ciężkości figury o a i b jest równy momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku ciężkości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu składowych przesunięcia.

I_η = 1/2(I_x + I_y) + 1/2(I_x - I_y)cos2ϕ - I_xysin2ϕ

I_ξ = 1/2(I_x + I_y) - 1/2(I_x - I_y)cos2ϕ + I_xysin2ϕ

I_ξη = 1/2(I_x - I_y)sin2ϕ - I_xycos2ϕ

Wzory te pozwalają wyznaczyć momenty bezwł. i moment zboczenia dla układu obróconego o dowolny kąt.

2.Siły wewnętrzne w pręcie.

-Wektor główny i moment główny.

Wektor główny P_W sił wewnętrznych można rozłożyć na składową N o kierunku prostopadłym do przekroju i składową T o kierunku stycznym. Moment główny M_W rozkłada się również na kierunek normalny M_S i styczny M_G. Składową N nazywa się siłą podłużną lub osiową a składową T siłą poprzeczną tnącą.

-Wektor naprężeń.

ΔP_W - wypadkowa obciążenia działającego na przekrój dA

P- wektor naprężenia całkowitego.

-Podstawowe siły wewnętrzne w pręcie.

Moment gnący w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka tego przekroju wszystkich sił działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem. Siła podłużna lub poprzeczna w dowolnym przekroju równa się sumie odnośnych sił składowych obciążeń działających na część pręta oddzieloną tym przekrojem. Moment skręcający występuje jeżeli prosty pręt obciążymy w płaszczyźnie prostopadłej do osi parą sił o momencie K, wówczas siły wewnętrzne w pręcie zredukują się do momentu M_S = K o kierunku zgodnym z osią pręta.

Rozciąganie lub ściskanie-występuje wyłącznie siła osiowa N, ścinanie-występuje wyłącznie siła poprzeczna T, zginanie-występuje wyłącznie moment gnący M_G, skręcanie-występuje wyłącznie moment skręcający M_S

3.Rozciąganie i ściskanie pręta.

-Wykres rozciągania.

-Stan naprężeń i odkształceń w pręcie rozciąganym.

Wytrzymałość na rozciąganie R_m = F_m/S₀ . Granica plastyczności R_e = F_e /S₀ . Granica proporcjonalności R_H , wydłużenie A = (L_U- L₀)/L₀ *100%, przewężenie Z = (S₀ - S_U)/S₀ * 100%

-Wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie.

Naprężenia odpowiadające maksymalnej wartości siły F_m nazywa się wytrzymałością na rozciąganie R_m = F_m/S₀ (S₀ - przekrój początkowy próbki, F_m - max. siła działająca na próbkę).

-Równanie różniczkowe przemieszczeń dla pręta rozciąganego.

Wydłużenie jakie przybiera jednostka długości pręta nazywamy wydłużeniem jednostkowym lub wydłużeniem względnym ε - ε = λ /l.

Wydłużenie względne ε jest równe ε_X = du/dx.

Wydłużenie poprzeczne ε_Y = ε_Z = (d'-d)/d

W przypadku rozciągania d >d' a więc ε'<0. Wydłużenie całego pręta

-Odkształcenia i naprężenia wywołane temperaturą.

1)Średni wsp. rozszerzalności liniowej:

α_1,2 =(1/l_o)[(l₂ - l₁)/(t₂ - t₁)]

l_o -dł.w temp. 0^oC; t₂,t₁ -temp.; l₂,l₁ -dł.prętów

w poszczególnych temp.,

Δl = l₂ - l₁, Δt = t₂ - t₁, α_1,2 =(1/l_o)( Δl /Δt)

2)Wsp.rozszerzalności liniowej w temp. t:

d_t = (1/l_o)lim(Δl /Δt) = (1/l_o)(dl /dt) [1/K]

zakł. d_t =α, α=12⋅10^-6 [1/K] -dla stali

l₂ - l₁ = αl_o(t₂ - t₁)

-Wpływ ciężaru własnego.

Wpływ ciężaru na stan naprężenia jest zależny od wymiarów konstrukcji. W budowie maszyn jest on często pomijany natomist w konstrukcjach budowlanych, dźwigowych, mostowych jest czasem dominujący i jego uwzględnienie jest konieczne. Dobrym wskaźnikiem przydatności materiału pod względem wytrzymałości do lekkiej konstrukcji jest jego długość zerwania. Długość pręta przy którym max. naprężenie wywołane wyłącznie własnym ciężarem osiągnie wartość równą wytrzymałości danego materiału R_m nazywamy długością zerwania l_r .

Obliczając pręt o stałym przekroju z uwzględnieniem jego ciężaru trzeba dobrać rozmiar przekroju A z uwagi na przekrój w którym występuje największe naprężenie tak aby był spełniony warunek σ_MAX=σ_DOP .

-Układy prętowe statycznie niewyznaczalne.

a)Warunki równowagi:

wyznaczamy warunki równowagi - na tej podstawie mamy jedno równanie do wyznaczenia dwu wielkości więc zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.

b)Warunki geometryczne:

dzięki nim uzyskujemy dodatkowe równanie otrzymane przy uwzględnieniu geometrycznych zależności wynikających z odkształceń.

c)Warunki fizyczne:

zagadnienie rozwiązujemy w zakresie odkształceń sprężystych. Z prawa Hooke'a wynika że λ=Nl/EA. Na podstawie równań a, b i c rozwiązujemy zadanie.

4.Pręt skręcany.

-Stan naprężeń i odkształceń w prętach skręcanych o przekroju kołowym.

1)Związki geometryczne:

Zakładamy płaskość przekroju i że przemieszczenia są małe γ = ρ(dρ/dx), γ -odkształcenie poprzeczne

2)Związki fizyczne:

γ = τ /G, G -moduł sprężystości poprzecznej (Kirchoffa), τ /G = ρ(dρ/dx)

3)Warunek równowagi:

,,

τ = (M_S/I₀ )*ρ - wzór ten pozwala wyznaczyć naprężenie w skręcanym pręcie.

-Prawo Hooke'a dla prętów skręcanych.

Warunki fizyczne określa określa prawo Hooke'a.

występują w przekroju naprężenia styczne mające wartości proporcjonalne do promienia ρ i skierowane są do nich prostopadle.

-Wytrzymałość na skręcanie.

Warunek wytrzymałości: σ_red≤σ_dop

W celu wyznaczenia σ_red należy posłużyć się jedną z hipotez wytężenia, σ_red = τ*3^1/2 a stąd τ ≤τ_dop

ρ = r, τ = τ_max → τ_max = M_sr /I_o

W_o = I_o /r -wskażnik wytrz. na skręcanie

τ_max = M_s /W_o, τ_max = M_s /W_o ≤ τ_dop

-Równania różniczkowe przemieszczeń kątowych.

dϕ /dx = M_s /GI_o →dϕ = (M_s /Gi_o)dx →

→

Kąt skręcania: ϕ = M_sl/GI_o

Warunek sztywności: ϕ = M_sl /Gi_o<= ϕ_dop

ϕ^o = (180^o/Π)(M_sl /GI_o)

5.Pręt zginany.

-Stan naprężenia i odkształcenia pręta zginanego.

Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym.

T - siła poprzeczna

Mg - moment gn*cy

Warstwa obojętna składa się z włókien, które nie zmieniaj* swojej długości.

1.Zakładamy płaskość przekroju

2.Zakładamy że w tej belce wyst*pi warstwa obojetna i powierzchnia obojętna jest prostopadła do działania momentu gn*cego.

3.Kierunek wektora momentu gn*cego jest zgodny z kierunkiem osi obojętnej.

4.W przekrojach poprzecznych występuj* tylko naprężenia normalne.

1.Zwi*zki geometryczne

2.Zwi*zki fizyczne

3.Warunki równowagi

-Wytrzymałość na zginanie.

-zginanie prętów z materiału sprężysto-plastycznego

Mg' - uplastycznienie całego przekroju (moment graniczny)

W' - wskaźnik wytrzymałości na zginanie plastyczne σ'=^Mg'/_W'

-Równanie różniczkowe osi ugiętej.

-Belki statycznie niewyznaczalne.

Warunki brzegowe

1.Koniec jest sztywno utwierdzony

y=0 ; v=0

2.Podpora stała przegubowa

y=0

3.Podpora przegubowa poprzeczna

y^L=0 ; y^P=0 ; v^L=v^P

4.Przegub v^L=v^P

Miejsce przyłożenia siły skupionej, momentu skupionego, granica obciążenia ci*głego

y^L=y^P v^L=v^P

Eiy₁”=-Mg₁

Uproszczenia całkowania równania różniczkowego osi ugiętej - metoda Clebscha

Warunki: 1.EI = const

2.Belka nie może mieć przegubów

Reguły:

1.Układ współrzędnych musi być taki sam dla wszystkich przedziałów

2.Moment gn*cy dla wszystkich przedziałów belki wyrażony przez siły działaj*ce po tej stronie przekroju przy czym wszystkie wyrazy w tym równaniu momentu gn*cego poprzedniego przedziału musz* się powtarzać w równaniu dla następnego przedziału. Przy obci*żeniu ci*głym kończ*cym się w określonym punkcie belki wymaga się doprowadzenia tego obci*zenia ci*głego do końca belki z jednoczesnym dodaniem na tym odcinku równoważnego mu obci*żenia o zwrocie przeciwnym.

3.Wszystkie nowe wyrazy wchodz*ce do równania momentów gn*cych muszą zawierać mnożnik (x-a_i)

4.Całkowanie wyrazów zawieraj*cych dwumiany (x-a_i) należy wykonać względem zmiennej (x-a_i) bez otwierania nawiasów

Zastosowanie zasady superpozycji do wyznaczania przemieszczeń

y(x)=y₁(x)+y₂(x)

6.Pręt ścinany.

-Stan naprężeń przy ścinaniu.

Uproszczone obliczenia na ścinanie:

-Techniczne obliczenia wytrzymałości na ścinanie.

-Naprężenia styczne przy zginaniu nierównomiernym (wzór Żurawskiego).

Naprężenia normalne w dowolnym przekroju wyznacza się jak w prostym zginaniu równomiernym

W przekroju przesuniętym względem poprzedniego o dx moment gnący wzrośnie o dM_g a naprężenie normalne o dσ.

Wzór Żurawskiego pozwala obliczyć w sposób przybliżony wartość jednej składowej τ_XY naprężeń stycznych w przekroju pręta zginanego nierównomiernie.

-Środek ścinania.

K - środek ścinania (jeżeli w punkcie k przyłożymy siłę skupion* to nastąpi tylko zginanie bez skręcania)

-Wpływ sił poprzecznych na przemieszczenie osi pręta.

Na osi pręta przemieszczenie υ jest równe ugięciu y zależnemu tylko od x

różniczkując jednokrotnie wzgl. x mamy:

Równania te można uważać za równania różniczkowe osi odkształconej działaniem sił poprzecznych. Takie ujęcie pozwala nam wnieść poprawkę do równania różniczkowego osi ugiętej, które po uwzględnieniu działania sił poprzecznych przybiera postać:

7.Metoda elementów skończonych dla prętów.

-Dyskretyzacja pręta za pomocą elementów skończonych.

MES jest to metoda ogólnie stosowanej mechaniki ośrodków odkształcalnych. Punktem wyjścia metody jest koncepcja zastąpienia ośrodka ciągłego układem dyskretnych elementów skończonych. Relacje jakie w układzie takim powinny być spełnione zapisuje się w postaci równań macierzowych a ich rozwiązanie jest możliwe jedynie za pomocą komputera. Podstawą rozwiązania zagadnienia układu liniowo sprężystego metodą MES jest równanie macierzowe: P=AU formułujące związki liniowe między przemieszczeniami U, a siłami P zdeterminowane przez macierz sztywności A.

-Aproksymacja przemieszczeń za pomocą funkcji interpolacyjnych (f. Kształtu), całka ważona, sformułowanie słabe.

W metodzie elem. skończ. w ujęci Raybigha - Ridsa podstawowe równania metody wyprowadzamy ze sformułowania słabego przyjmując przybliżenie oraz zakładając że funkcja ważona w(e) wyrażona jest przez funkcję kształtu: W=N^e₁ , W=N^e₂ , W=N^e₃ , W=N^e₄ . Otrzymuje się:

-Macierz sztywności elementu skończonego.

Macierz [K^e] jest macierzą sztywności elementu belkowego, natomiast macierz [F^e] jest macierzą kolumnową sił.

-Agregacja elementów skończonych (warunki zgodności przemieszczeń i równowagi sił).

Jeżeli rozważany element skończony Ω^e wstawimy do jego pierwotnego miejsca w pręcie to powinny być spełnione dwa następujące warunki: warunek zgodności przemieszczeń w węźle u^e₂ = u^e+1₁ = u_e+1 , warunek równowagi sił w węźle a^e₂ ÷ a^e+1₁ ={0 gdy w węźle nie działają siły zewnętrzne, a₀ gdy w węźle działa siła skupiona o wartości a₀}.

-Równanie przemieszczeniowe MES dla całego pręta.

dla 0<x<l

które należy uzupełnić warunkami brzegowymi u(0)=u₀ ; (adu/dx)_x=l = a₀ gdzie a=a(x)=A(x)*E jest sztywnością na rozciąganie.

-MES dla prętów rozciąganych, skręcanych i zginanych.

Dla prętów zginanych.

dla 0<x<l

Warunki brzegowe:

ν(0)= ν₀ a=(dν/dx)_x=0 = a₀ -b(d²ν/dx²)_x=l = M_o

-b(d²ν/dx²)_x=1 = F_o

Dla prętów ściskanych i rozciąganych.

dla 0<x<l

które należy uzupełnić warunkami brzegowymi u(0)=u₀ ; (adu/dx)_x=l = a₀ gdzie a=a(x)=A(x)*E jest sztywnością na rozciąganie.

8.Wyboczenie pręta.

Wyboczenie to wyginanie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej.

-Siła krytyczna Eulera:

P_kr = n²Π²EI / l² (Wyboczenie sprężyste)

Dla n=1 P_kr = Π²EI / l². EI -sztywność pręta;

n -ilość półfal sinusoidy krzywej ugięcia pręta

Siła krytyczna -najmniejsza siła po przekroczeniu której pręt utraci stateczność.

Końcowy wzór Eulera:

P_kr = Π²EI / l_r² [l_r=αl, α-wsp. zależny od sposobu zamocowania (0,5do2).

Krzywa ugięcia pręta: y=Asin(πx/2), dla P=P_kr jest półfalą sinusoidy.

α=2 - P_kr/min, α=1/2 - P_kr/max

Naprężenie krytyczne:

σ_kr=P_kr /A → σ_kr=Π²EI / l_r²A

Promień bezwładności: i²=I /A,

Smukłość pręta: λ=l_r /i

Ostateczny wzór w zakresie wyboczenia sprężystego na napr. krytyczne (w zakresie stosowania prawa Hooke'a): σ_kr=Π²E /λ²

Graniczna wartość smukłości:

σ_kr=δ_H →Π²E /λ²=δ_H →λ_gr= Π

-Wyboczenie niesprężyste.

Naprężenia krytyczne wyznaczamy.

Dla λ<λ_gr ze wzorów empirycznych:

a) - (Tetmajera-Jasińskiego: σ_kr = a-bλ,

b) - Johnsona-Ostanfelda: σ_kr = A-Bλ²,

a,b,A,B-stałe materiałowe.

-Obliczenia wytrzymałościowe na wyboczenie:

P_dop = P_kr /n_w [n_w liczba bezpieczeństwa(1,5-9).

Podczas obliczeń najpierw stosujemy wzór Eulera, wyznaczamy I=P_krl_r²n_w /Π²E, znając I wyznaczamy λ, sprawdzamy czy λ>λ_gr i ewentualnie stosujemy wzory empiryczne.

Uproszczony sposób wyznaczania napr. dop:

σ_dop = k_cβ (k_c -nap.dop. przy ściskaniu,

β -wspoł. zależny od materiału i smukłości)

Metoda energetyczna wyznaczania siły krytycznej:

Porównujemy pracę siły ściskającej z przyrostem energii sprężystej pręta podczas ugięcia przy założonej y=f(x) [ΔL=ΔV]

1)

(y''-krzywa ugięcia)

2) ΔL=Pu (u-przemieszczenie), rozpatrujemy przemieszczenie odcinka pręta o dł. dx

du = dx-dx cosα=(1-cosα)dx, (1-cosα) = y'²/2 →du = y'²dx/2

9.Złożone przypadki wytrzymałości pręta.

-Zginanie ukośne.

Kierunek momentu gnącego jest różny od kierunku osi głównej, centralnych osi bezwładności

Kierunek osi obojętnej nie zależy od wartości momentu gnącego a zależy od kierunku momentu głównego oraz od głównych kierunków momentu bezwładności Iz, Iy. Największe naprężenia występuj* w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej.

Przemieszczenia

t - przemieszczenie

a-współczynnik- funkc. położenia przekroju a=F(x)

-Zginanie wraz z rozciąganiem (ściskaniem).

Rozciąganie mimośrodowe

Dokonujemy przekroju

Szukamy y₀ aby naprężenia =0

Zginanie i ściskanie proste

-Równanie osi obojętnej

WNIOSEK : przesuwanie się punktu przyłożenia siły po linii prostej odpowiada obrót linii obojętnej wokół jednego punktu

-Skręcanie ze zginaniem.

Jeżeli wał jest okrągły to największe wytężenie występuje w punktach najbardziej odległych od osi obojętnej zginania. Naprężenia w tym punkcie wynoszą:

τ_MAX = M_S/w_o σ_MAX = M_g/w

dla przekroju okrągłego stosunek wskaźników wytrzymałości wynosi (w_o/w)=2 stąd w_o = 2w.

Wyrażenie to nazywamy momentem zredukowanym.

Warunek wytrzymałości dla wału zginanego i skręcanego wyraża się jak dla wału zginanego z tym że zamiast momentu gnącego występuje moment zredukowany.

(M_red/w)≤σ_dop

Opierając się na hipotezie największych naprężeń stycznych na moment zredukowany otrzymujemy wzór:

10.Pręty krzywe.

-Siły wewnętrzne w prętach krzywych.

Jeśli oś pręta jest krzywą to pręt taki określa się jako krzywy. Rozróżnić tu należy pręty zakrzywione przestrzennie lub płasko, o zmiennej lub stałej krzywiźnie Wyznaczenie sił wewnętrznych w prętach krzywych nie różni się w ogólnych zasadach od analogicznego zadania dla prętów prostych. Podstawowym założeniem jest przyjęcie że przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje nadal płaski po odkształceniu.

-Stan naprężeń w prętach krzywych.

Warunki geometryczne:

Warunki równowagi:

Warunki fizyczne: σ = Eε

Po uwzględnieniu wszystkich warunków wyznaczamy naprężenia.

Równanie to charakteryzuje rozkład naprężeń w przekroju.

-Przemieszczenia prętów krzywych.

Dla prętów krzywych o niezbyt dużej krzywiźnie początkowej wyłącznie zginanych(N=0) można przyjąć: du/ds << v/r i w konsekwencji ε_o = v/r

Podstawiając to do równania charakteryzującego rozkład naprężeń uzyskujemy:

jest to równanie różniczkowe osi ugiętej pręta o pierwotnej stałej krzywiźnie.

11.Układy liniowo - sprężyste.

-Układ Clapeyrona.

- materiał liniowo-sprężysty,

- siły w równowadze,

- brak tarcia,

- niewielkie przemieszczenie układu.

u­­₁=δ₁₁P_1­+δ₁₂P_2­+ ... + δ_1iP_i + ... δ_1nP_n

u­­₂=δ₂₁P_2­+δ₂₂P_2­+ ... + δ_2iP_i + ... δ_2nP_n

u­­_n=δ_n1P_1­+δ_n2P_2­+ ... + δ_niP_i + ... δ_nnP_n

u_i=Σδ_ikP_k=_­δ_ikP_k

U=D⋅P /D^-1

D^-1⋅U=P

D^-1=A

A⋅U=P

P_i=a_i1U₁+a_i2U₂+ ... a_inUn

P_i=Σa­_ikU_k

-Energia sprężysta układu Clapeyrona

L_i=1/2 P_iu_i

L=1/2Σ P_iu_i

Energia sprężysta ukł. liniowo-sprężystego będącego w równowadze jest równa połowie sumy iloczynów sił zewnętrznych i odpowiadających im przemieszczeń.

u_i=Σσ­_ikP_k P_i=Σa­_iku_k L=1/2Σ Σ a­_iku_k u_i

-Macierz sztywności i podatności układu.

Współczynniki niewiadomych (liczby wpływowe) w układzie równań kanonicznych tworzą macierz kwadratową (podatności układu):

, U = DP,

Macierz odwrotna do macierzy D jest macierzą A sztywności układu.

, P = AU,

-Energia sprężysta układu liniowo - sprężystego.

L - praca wykonywana przez sily rozciągajace,

V - energia sprężysta.

dl=P⋅dλ dλ - wydłużenie

- Właściwa energia sprężysta - energia przypadająca na jedn.obj. - φ

- Energia sprężysta powstała w wyniku ścinania.

τ = G⋅γ - prawo Hooke'a

-Twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń.

-Tw. Bettiego o wzajemności prac.

Suma prac sił układu pierwszego (P­_i) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu drugiego (P_k) jest równa sumie prac sil układu drugiego (P_k) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego (P_i).

-Tw. Maxwella o wzajemności przemieszczeń.

Jeżeli na układ liniowo-sprężysty działają równe co do modułu uogólnione siły to przemieszczenie odpowiadające pierwszej lecz wywołane przez drugą równe jest przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej lecz spowodowane siłą pierwszą.

u_ik=u_ki

13.Twierdzenie Castigliano i Maxwella - Mohra.

-Tw. Castigliano i jego zast. w obliczaniu przemieszczeń.

Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu liniowo - sprężystego względem jednej z niezależnie działających sil jest równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu.

-Twierdzenie Maxwella-Mohra i jego zastosowanie.

Zakładamy fikcyjną siłę (jeżeli wyznzczamy ugięcie w punkcie gdzie nie ma sił)

Układ obciążamy dodatkową siłą F w punkcie, gdzie chcemy wyznaczyć przemieszczenie a innych sił nie uwzględniamy.

14.Twierdzenie Menabre'a - Castigliano. Metoda sił.

-Zasada Menabrea - Castigliano i jej zastosowanie.

Pochodna energii potencjalnej (sprężystej) względem wielkości statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.

-Równania kanoniczne metody sił i ich zatosowanie.

Metodę sił stosuje się do układów statycznie niewyznaczalnych.

Układ równań kanonicznych metody sił:

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ₁₃X₃ + ...... + δ_1nX_n + Δ_1P = 0

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ₂₃X₃ + ...... + δ_2nX_n + Δ_2P = 0

..............................................................................

δ_n1X₁ + δ_n2X₂ + δ_n3X₃ + ...... + δ_nnX_n + Δ_nP = 0

Operacją wstępną w metodzie sił jest przyjęcie układu podstawowego (z reguły statycznie wyznaczalnego).

Układ taki uzyskuje się przez uwolnienie układu rzeczywistego od więzów nadliczbowych.

W przypadku więzów zewnętrznych odrzuca się dodatkowe podpory, w przypadku więzów wewnętrznych usuwa się nadliczbowe więzy dokonując odpowiednich przecięć lub wprowadzając stosowne przeguby. Pozwala to na ułożenie układu równań kanonicznych.

Następnie wyznaczamy przemieszczenia jakie powstały w układzie podstawowym pod działaniem znanych sił zewnętrznych.

Metoda sił staje się uciążliwa dla kilkakrotnej statycznej niewyznaczalności. Z tego powodu stosuje się obecnie specjalne programy komputerowe.

15.Teoria stanu naprężeń.

-Naprężenia w punkcie zależne od orientacji punktu.

Wartość napr. w punkcie dowolnego przekroju ( równanie w postaci wektorowej) wynosi:

Pu = Px l + Py m + Pz n

l, m, n- cosinusy kierunkowe normalnej n

Składowe naprężenia:

Naprężenie normalne wynosi

-Tensor stanu naprężenia.

S=S_K+S_D S_K- tensor kulisty

S_D- dewiator

-Kierunki główne i naprężenia główne.

Kierunki główne: określone przez oś u dla którego naprężenie styczne jest równe 0. Wtedy napr. normalne jest napr. całkowitym i nazywamy je napr. głównym

Płaszczyzna główna: pł. na której występuje naprężenie główne.

Na kierunku głównym zachodzi zależność

Pux = σ l ; Puy = σ m ; Puz = σ n

Równanie sekularne : σ³-σ²s₁+σs₂-s₃ = 0 ; do wyznacznia naprężeń głównych σ₁>σ₂> σ₃

Niezmienniki stanu naprężenia: kier. główne, napr. główne, współczynniki s₁, s₂ , s₃

-Równania równowagi stanu naprężenia.

Układając równania równowagi rozpatrujemy punkt obciążony siłami zewnętrznymi o wartościach x,y,z, oraz punkt w odległości nieskończenie małej od poprzedniego. Naprężenia składowe rozwijamy w szereg Taylora i po uproszczeniu otrzymamy:

-Rodzaje stanu naprężenia.

Odwzorowanie stanu napręż. kołami Mohra

Koła Mohra pozwalają na graficzne znalezienie kier. naprężeń głównych.

Znamy naprężenia główne

zakładamy

szukamy : l, m, n - cosinusy kierunkowe

gdy :

Płaski stan naprężenia: gdy σ₁≠0, σ₂≠0, σ₃=0

Płaski stan napr. opisany jest 3 składowymi

σ_x , σ_y , τ_xy=τ_yx

Równanie sekularne (jest funkcją kwadratową)

-Szczególne przypadki stanu naprężenia.

1.Przestrzenne nierównomierne rozciąganie:

σ_u=σ -> naprężenie normalne na dowolnej płaszczyźnie niezależne od orientacji.

Naprężenie całkowite Pu=σ , wtedy τ_u=0 napr styczne

Koła Mohra to punkty.

2.Płaskie równomierne rozci*ganie

zał. σ₁=σ₂=σ>0 σ₃=0

σ_u=σ - napr. normalne

τ_u=0 - napr. styczne

3.Jednoosiowe rozci*ganie

σ₁=σ>0 σ₂=σ₃=0 σ_x=σ σ_y=0 τ_xy=0

Naprężenia dla dowolnie zorientowanej płaszczyzny wynosz*:

gdy: α=45° wtedy σ_ρ=σ_η=¹/₂σ

τ_ρη=τ_ρηmax=-¹/₂σ

4.Ścinanie

σ₁=σ σ₂=-σ σ₃=0

Napr. dla dowolnej płaszczyzny

σ_ρ=σ cos2α

σ_η=-σ cos2α

τ_ρη=-σ sin2α

Dla α=45°⇒ τ_ρη=τ_ρηmax=-σ oraz σ_n=σ_ρ=0

16.Tepria stanu odkształcenia.

-Pole przemieszczeń.

Pręt obci*żony ulega przemieszczeniu (jego końce)

Przemieszczenia końców pręta rozwijamy w szereg Taylora:

u, u' przemieszczenie względem OX

v, v' przemieszczenie wzgledem OY

-Tensor stanu odkształcenia

T=T_K+T_D

T_K - tensor kulisty

T_D - dewiator

-Kierunki główne i odkształcenia główne.

Kierunki główne - kierunki w których odkształcenia postaciowe s* równe 0 ( γ=0)

Dla każdego stanu odkształcenia można wyznaczyć 3 wzajemnie prostopadłe osie o kierunkach zwanych głównymi kierunkami stanu odkształcenia, dla których posunięcia będą równe zero.

Odkształcenia główne - odkształcenia ε_x, ε_y, ε_z na kierunkach głównych.

Niezmienniki stanu odkształcenia e₁, e₂, e₃

ε³ - ε²e₁ + e₂ - e₃ = 0

e₁ = ε_x + ε_y + ε_z

e₂ = ε_x ε_y + ε_yε_z + ε_zε_x - (1/4)(γ²_xy + γ²_yz + γ²_zx )

e₃ = ε_xε_yε_z + (1/4)( γ_xyγ_yzγ_zx ) - (1/4)( ε_xγ²_yz + ε_yγ²_zx + ε_zγ²_xy)

-Warunki nierozdzielności (ciągłości odkształceń).

T=T_K + T_D

T_K = {1/3(e _ααδ_ij)} T_D = {e_ij - 1/3(e _ααδ_ij)}

gdzie δ_ij - symbol Kroneckera określony równościami

δ_ij = {1 gdy i = j, 0 gdy i ≠ j}

-Rodzaje stanu odkształcenia.

Dla dwukierunkowego stanu odkształcenia:

1.Wydłużenie właściwe (jednostkowe) względem OX i OY

3.Dla małych kątów i przemieszczeń

3.Odkształcenie poprzeczne ( postaciowe)

Dla przestrzennego stanu odkształcenia mamy 6 składowych charakteryzuj*cych stan odkształcenia:

-wydłużenie właściwe ( jednostkowe)

u, v, w - przemieszczenia wzg. OX, OY, OZ,

Odkształcenie poprzeczne ( postaciowe)

17.Uogólnione prawo Hooke'a.

-Uogólniony związek pomiędzy stanem naprężenia i odkształcenia.

Określamy związki pomiędzy E, G i υ

-Stała materiałowa dla ciała izotropowego.

Dla materiałów izotropowych uogólnione prawo Hooke'a wygl*da następuj*co:

Kierunki główne stanu odkształcenia pokrywaj* się z kierunkami głównymi stanu naprężenia.

Stała Lame'go:

ν - liczba Poissona

G - moduł Kirchoffa

18.Zadania brzegowe teorii sprężystości.

-Podstawowe równania teorii sprężystości.

1. Warunki równowagi:

Równania ciągłości odkształceń (nierozdzielności odkształceń)

Wyrażenia określające związki geometryczne różniczkujemy obustronnie wzgl. x,y,z, sumujemy i otrzymujemy 6 równań nierozdzielności odkształceń

-Równania przemieszczeniowe teorii sprężystości (Naviera-Lamego).

Wyrażając naprężenia za pomocą składowych stanu odkształcenia, równania równowagi wyrażamy za pomocą przemieszczeń. Równania takie nazywamy równaniami Lamego:

-Równania naprężeniowe (Beltromiego - Michela).

Rozpatrujemy w płaskim stanie naprężenia element w kształcie pierścienia.

Pa,Pb - ciśnienie, które powoduje, że element przemieszcza się.

Rozpatrujemy nieskończenie mały wycinek pierścienia

r-promień, σ_r -naprężenie obwodowe, A', B', C' - punkty wycinka po przemieszczeniu

Rozpatrując siły na oś y otrzymujemy:

Równanie osi pionowej możemy przedstawić za pomocą przemieszczeń

19.MES dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości.

-Podział obszaru na trójkątne lub czworokątne elementy skończone.

Na przykładzie trójkąta.

Zakładamy że przemieszczenie jest w x i y liniowe

C_1,2,3 - stałe przemieszczenia

Przemieszczenie u = C₁ + C₂x + C₃y

węzły: I) u₁ = C₁ +C₂x₁ + C₃y₁

II) u₂ = C₁ +C₂x₂ + C₃y₂

III) u₃ = C₁ +C₂x₃ + C₃y₃

C₁ = 1/2A^e (α₁u₁ + α₂u₂ +α₃u₃)

C₂ = 1/2A^e (β₁u₁ + β₂u₂ +β₃u₃)

C₃ = 1/2A^e (γ₁u₁ + γ₂u₂ +γ₃u₃)

e - pole powierzchni trójkąta

-Aproksymacja pola przemieszczeń za pomocą wartości węzłowych, całka ważona i ujęci Ridsa.

W metodzie elem. skończ. w ujęci Raybigha - Ridsa podstawowe równania metody wyprowadzamy ze sformułowania słabego przyjmując przybliżenie oraz zakładając że funkcja ważona w(e) wyrażona jest przez funkcję kształtu: W=N^e₁ , W=N^e₂ , W=N^e₃ , W=N^e₄ . Otrzymuje się:

-Macierz sztywności elementu skończonego.

Macierz [K^e] jest macierzą sztywności elementu belkowego, natomiast macierz [F^e] jest macierzą kolumnową sił.

20.Wytężenie materiałów.

-Pojęcie wytężenia materiału.

Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania trwałych odkształceń i zniszczenia spójności określono jako wytężenie. Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem są składowe stanu ośrodka ciągłego w danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia σ_X , ..., τ_XY , ...) i parametry charakteryzujące materiał (C₁,...)

W=F(σ_X , ..., τ_XY ,...,C₁ ,...)

-Naprężenie redukowane.

Naprężenie zredukowane odpowiada danemu stanowi naprężenia i jest porównywalne z jednokierunkowym stanem naprężenia.

Wytężenie to zagadnienie odpowiedności trój- lub dwukierunkowego stanu naprężenia z jednokierunkowym stanem naprężenia.

-Hipotezy wytężenia.

1)Hipoteza największego naprężenia normalnego (Galileusz i Leibnitz). O wytężeniu decyduje max. naprężenie normalne (rozciągające lub ściskające)

a) Przestrzenny stan naprężenia.

σ₁ <= σ_zr , σ₂ <= σ_zr , σ₃ <= σ_zr

σ_zc <= σ₁ <= σ_zr , σ_zc <= σ₂ <= σ_{zr ,}

σ_zc <= σ₃ <= σ_zr

b)Płaski stan naprężenia σ₃ = 0

σ_zc <= σ₁ <= σ_{zr ,}

σ_zc <= σ₂ <= σ_zr

c)Ścinanie

τ_max = σ

σ_zc <= τ_max <= σ_zr

2)Hipoteza najwiekszych odkształceń właściwych (de Saint-Vermont)

O wytężeniu decydują odkształcenia (wydłużenie właściwe)

ε₁ <= ε_zr , ε₂ <= ε_zr , ε₃ <= ε_zr , ε_zc <= ε₁ <= ε_zr

3)Hipoteza największych naprężeń stycznych

O wytężeniu decyduje

max. naprężenie

styczne

τ_max = (σ_max - σ_min) /2

a)Rozciąganie osiowe - τ_max = σ_red /2

b)Ogólny stan naprężenia - σ_red = σ_max - σ_min

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

-σ_zr <= σ₁ - σ₂ <= σ_zr

-σ_zr <= σ₂ - σ₃ <= σ_zr

c)Płaski stan naprężenia - σ₃ = 0

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

- różne znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y <= τ_xy²

- te same znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y > τ_xy²

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ →

II)Ścinanie

τ_xy = τ , σ_x = 0 , σ_y = 0 →

4)Hipoteza energetyczna

a)Miara wytężenia - całkowita energia sprężysta (Huber,Beltrami)

b)Miara wytężenia - energia odkształcenia postaciowego (Huber,Ses)

Dla dowolnego stanu naprężenia spowodowanego rozciąganiem:

Φ_f = (1+ν) /6E [(σ_x -σ_y)²+(σ_y -σ_z)²+(σ_z -σ_x)²+

+6(τ_xy² +τ_yz² +τ_zx²)]-energia odkszt.postac.

Dla płaskiego stanu naprężeń: σ_z = τ_yz = τ_zx = 0

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

II) Ścinanie: σ_x ,σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

21.Elementy teorii płyt.

-Podstawowe założenia teorii płyt cienkich.

Płyty cienkie mogą być o stałej i zmiennej grubości.

1. Na płycie, normalna jest ⊥ do warstwy środkowej. Po odkształceniu także ⊥ do warstwy normalnej.

2. Odkształcenie podłużne i poprzeczne w warstwie środkowej jest równe 0.

3. W kierunku ⊥ do płyty naprężenie normalne jest równe 0.

-Stan naprężenia i odkształcenia w płycie cienkiej.

Dowolny punkt B płyty położony w odległości z od warstwy środkowej doznaje oprócz pionowego przemieszczenia w, również składowych przemieszczeń u i v, równoległych do osi x i y przy założeniu małych ugięć i prostoliniowości normalnej odpowiednio równych:

kąt odkształcenia postaciowego γ_XY dla warstwy położonej w odległości z od warstwy środkowej wyraża się wzorem:

Odkształceniu kątowemu odpowiada naprężenie styczne:

Układ sił odpowiadających naprężeniu stycznemu τ_XY , działających na pasmo poprzecznego przekroju prostopadłego do osi x sprowadza się do momentu skręcającego.

-Równanie różniczkowe ugięcia płyty.

Znajomość ugięcia w jako funkcji zmiennych x i y umożliwia wyznaczenie momentów zginających i sił poprzecznych oraz naprężeń.

22.Elementy teorii powłok.

-Błonowa teoria powłok osiowo symetrycznych.

Jeżeli przy przyjętych założeniach rozpatrywany stan naprężenia jest zbliżony do stanu, który panuje w cienkiej błonie obciążonej z jednej strony niewielkim ciśnieniem to teorię obliczeń powłok opartą na tym założeniu nazywa się teorią błonową lub teorią bezmomentową obliczeń powłok. Równanie z teorii powłok:

gdzie g - grubość ścianki,

ρ₁ - promień krzywizny ścianki w przekroju normalnym do ścianki i przechodzącym przez obrany punkt prostopadle do południka,

ρ₂ - - promień krzywizny ścianki w obranym punkcie w płaszczyźnie odpowiedniego przekroju południkowego.

-Zbiornik kulisty.

W przypadku powłoki kulistej, stosowanej często w konstrukcjach zbiorników na gaz sprężony do nadciśnienia p., można łatwo określić stan naprężenia w ściance biorąc pod uwagę następujące zależności:

σ₁ = σ₂ = σ

ρ₁ = ρ₂ = D/2

D - średnica zbiornika

2(2σ/D) = p/g oraz σ = pD/4g

W ściankach tego zbiornika w przypadku regularnej powłoki kulistej występuje zatem dwuosiowe równomierne rozciąganie. Ze wzgl. konstrukcyjnych zbiorniki tego typu składają się z wypukłych segmentów łączonych spawaniem. Występują tu zatem dodatkowe naprężenia wywołane spawaniem oraz różnymi lokalnymi odstępstwami rzeczywistego kształtu ścianki zbiornika od kształtu idealnie kulistej powłoki.

-Zbiornik walcowy.

Biorąc pod uwagę cienkościenny, dostatecznie długi zbiornik walcowy o średnicy D, poddany wewnętrznemu równomiernemu nadciśnieniu p. W punktach cylindrycznej części powłoki zbiornika, z dala od zamykających go dennic, można wyznaczyć naprężenia główne w powłoce na podstawie równania:

przyjmując następujące wartości występujących tam zmiennych:

ρ₁ = D/2,

ρ₂ = ∞, p_h = p, α = 0, Q = 0

stąd naprężenia główne wynoszą: σ₁ = (pD)/(2g), σ₂ = (pD/4g). Z powyższych wzorów widać że w cylindrycznej części ścianki zbiornika walcowego naprężenie główne σ₁ występujące w przekroju osiowym jest 2 razy większe od naprężenia głównego σ₂ w przekroju prostopadłym do osi zbiornika.

-Zbiornik stożkowy.

Biorąc pod uwagę powłokę w kształcie powierzchni stożkowej o kącie między tworzącą a osią równym α. Zbiornik ten jest wypełniony płynem o ciężarze właściwym γ i utrzymywany w pionowym położeniu równowagi równomiernie rozłożonymi siłami, działającymi na górne obrzeże zbiornika i mającymi kierunki zgodne z kierunkami tworzących powierzchni stożkowej powłoki zbiornika

R = ytgα

ρ₁ = R/cosα = ytgα/cosα

ρ₂ = ∞

Przyrównując pochodną σ₂ względem y do 0 okazuje się, że naprężenie σ₂ osiąga największą wartość dla y = 3/4H równą:

Największa wartość naprężenia σ₁ występuje przy y = H/2 i wynosi:

---