Pomiar pętli histerezy magnetycznej
CEL :
Poznanie metody oscylograficznej pomiaru pętli histerezy i zbadanie kształtu pętli w zależności
od wartości prądu magnesującego.
OPIS TEORETYCZNY :
W strukturze ciał stałych istnieją trwałe momenty magnetyczne, które pod wpływem zewnętrznego pola o natężeniu H ulegają uporządkowaniu. Zjawisko to nazywa się polaryzacją magnetyczną lub
→
namagnesowaniem. Miarą spolaryzowania ciała jest wektor polaryzacji magnetycznej I .
Polaryzacja magnetyczna ciała zależy od natężenia pola magnetycznego w następujący sposób :
→ → →
I = μo(μw - 1) H = μo ℵ H
Wartość wektora polaryzacji wiąże się z wartością wektora indukcji magnetycznej w próbce wg. zależności
→ → → → →
B = μo H + I , a po podstawieniu otrzymujemy B = μw μo H
W zależności od względnej przenikalności magnetycznej μw ciała dzielimy na :
- diamagnetyki - μw nieznacznie mniejsze od jednego
- paramagnetyki - μw nieznacznie większe od jednego
- ferromagnetyki - μw znacznie większe od jednego
W ferromagnetykach, w pewnym przedziale temperatur występuje polaryzacja spontaniczna
→ → → → → →
( H=0 i I=0) i zależność wyrażona liniowo równaniami B = μw μo H i I = μo(μw - 1) H jest silnie nieliniowa. Przenikalność magnetyczna tych materiałów osiąga duże wartości i jest silnie zależna od natężenia pola magnetycznego.
W ferromagnetykach momenty magnetyczne sąsiednich atomów na skutek tzw. spontanicznego namagnesowania ustawiają się równolegle wzdłuż jednego kierunku, tworząc obszar zwany domeną.
W ciele stałym tworzy się wiele domen o różnych kierunkach. Procesy przesuwania granic i obrotu domen wraz ze zmianą natężenia pola magnetycznego są procesami mikroskopowymi i przez to bardzo trudnymi do zbadania. Rzeczywistą krzywą namagnesowania wyznacza się przez równoczesny pomiar indukcji magnetycznej i pola wewnątrz ferromagnetyku.
Schemat ideowy układu pomiarowego :
Po podłączeniu zasilania U=Um sin(ωt) w uzwojeniu pierwotnym popłynie prąd I = Im sin(ωt+ϕ) ,
⌠ →
Z prawa Ampera wiadomo, że φ H dl = i . Jeśli konturem całkowania jest okrąg (współosiowy pierścień)
⌠ ⌡
to φ H dl = 2ΠrH = NmI ( I - prąd cewki pierwotnej ) , stąd
⌡
I Nm Nm
H = --------- ( r - średnia średnica pierścienia ) i jeżeli przyjąć k = --------- to możemy napisać H= k I
2Πr 2Πr
Aby sygnał dostarczony do płytek odchylenia poziomego był proporcjonalny do H w obwodzie umieszczono opornik R1 . Zgodnie z prawem Ohma, przepływający przez niego prąd spowoduje spadek
napięcia U1 = I R1 , stąd I = U1 / R1 i dalej H= k U1 / R1 , i stąd U1 = H R1 /k
wynika, że spadek napięcia na oporniku R1 jest proporcjonalny do natężenia pola magnetycznego H.
Można napisać H = k Im sin(ωt) = Hm sin(ωt)
Aby wyznaczyć sygnał proporcjonalny do sygnału na płytkach odchylenia pionowego rozpatrzmy uzwojenie wtórne. Zgodnie z prawem indukcji elektromotorycznej Faradaja siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wtórnym składającym się z Np zwojów ma postać
dφ → →
E = - Np ------ , ( φ - strumień indukcji obejmowany przez jeden zwój ) φ = B dn S
dt → → →
W rozpatrywanym przypadku cewki toroidalnej wektory B i dn są równoległe ( dn - wektor normalny do powierzchni S ) i S = h ( b - a ) ( h- wysokość , b - a - szerokość próbki ) , stąd
dB
φ = B h ( b - a ) i E = - Np h (b - a)------ indukcja ma stałą wartość w całym przekroju, czyli
dt
B = μo μr Hśr = const
Napięcie na zaciskach uzwojenia jest proporcjonalne do pochodnej B po czasie t . Ponieważ do płytek odchylenia pionowego oscyloskopu należy przyłożyć sygnał proporcjonalny do indukcji B w układzie pomiarowym zastosowano układ całkujący zbudowany na oporniku R2 i kondensatorze C.
Z definicji pojemności mamy C = q/U2 i dq dU2
------ = C -------- = i
dt dt (q - ładunek zgromadzony na kondensatorze )
Na podstawie prawa Ohma otrzymujemy Uw = R2 i + 1/C ∫ i dt , ale zakładając, że R2 i C są odpowiednio duże równanie to możemy uprościć do postaci Uw = R2 i , z czego i = Uw / R2 .
Ponieważ w obwodzie wtórnym prąd nie zmienia się , więc
Uw/R2 = C dU2 /dt , czyli U2 = 1/R2 C ∫Uw dt
i ponieważ Uw = E to
U2 = -- B Np h (b - a) / R2 C
Widać stąd, że U2 jest proporcjonalne do indukcji B i może być podłączone do płytek odchylenia pionowego.
1.Obliczam maksymalną względną przenikalność magnetyczną dla permalloju.
Ponieważ trudne jest jednoznaczne określenie dla jakiej warości napięcia zasilającego układ pomiarowy uzyskałem ową poszukiwaną wartość, tworzę sztuczną funkcję przypisującą warościom napięć obliczone dla uzyskanych eksperymentalnie dla tych napięć wartości względnej przenikalności magnetycznej obliczane ze wzoru :
Dla punktów pomiarowych otrzymałem wartości :
Lp |
Utrans |
μ |
B |
H |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
90 80 70 60 50 40 30 20 |
38670 43310 45810 43560 36780 46120 32220 24290 |
0.322 0.514
0.707 0.900 1.340 1.501 |
6.617 9.453
12.289 16.449 33.087 49.157 |
Dwa spośród powyższych wyników, dla wartości napięcia 60V oraz 70V pozwoliłem sobie odrzucić w dalszych obliczeniach, gdyż na pomiary dla nich prowadzone były na granicy zakresu miernika i powstały zbyt wielkie przekłamania. Pozostałe sześć punktów aproksymowałem metodą najmniejszych kwadratów, za pomocą programu MATHCAD krzywą
u = 0.1 Utrans
μ(u)=42.848*u3 -- 1669*u2 + 11900*u + 21370
i otrzymałem średnie odchylenie kwadratowe równe δs=616.172
Z analizy wykresu funkcji μ(u) w przedziale <2;9> otrzymałem jej największą w nim wartość, odpowiadającą maksymalnej względnej przenikalności magnetycznej permalloju :
μm = 45100
Następnie aproksymowałem krzywe H(u)= 0.225*x3 --2.827*x2+14.025*x -- 14.409
B(u)= 0.166*x + 0.024
dla odpowiadających sobie wartości Utrans oraz H i B , liczonych ze wzorów :
średnie odchylenia kwadratowe aproksymacji wynosiły odpowiednio
δHm = 0.886 δBm = 0.029
Żdane wartości Hm oraz Bm otrzymałem podstawiając do funkcji H(u) oraz B(u) wartość u otrzymaną z analizy funkcji μ(u).
Hm = 13.422 Bm = 0.731
Rachumek błędów :
Błąd bezwzględny dla elektrucznych mierników wskazówkowych określa zależność :
gdzie k=2.5% - klasa dokładności miernika , xn - zakres pomiarowy
ΔE=0.025*6V=0.15V
ΔI =0.025*15mA=0.000375A
ΔHm=0.709+0.886=1.595 [H]
ΔBm=0.032+0.029=0.061 [T]
Procentowy względny błąd pomiaru :
δEs=0.15/4.75=0.032=3.2%
δIs =0.000375/0.0109=0.034=3.4%
δBm=0.061/0.731=0.083 =8.3%
δHm=0.709/13.422=0.053=5.3%
=0.084=8.4%
Δμ =μm*δμ=3788
Wyniki pomiarów dla permalloju:
Bm =( 0.731 ± 0.061 )T
Hm =( 13.4 ± 1.6 ) H
μ =( 45100 ± 3800 )
2.Obliczam szacunkową wartość Br oraz Hc dla permalloju.
Wartość Br i Hc liczyć będę na podstawie proporcji z tabelki, uśredniając odpowiednie wartości.
Hm -- 4.25 Hc -- 2.75
Hc = 0.647 * Hm = ( 8.7 ± 1.0 ) H
Bm --- 10.0 Br -- 7.0
Br = 0.7 * Bm = ( 0.512 ± 0.043 ) T
3.Obliczam maksymalną względną przenikalność magnetyczną dla ferrytu.
Postępuję analogicznie, jak w przypadku permalloju. Wartość względnej prznikalności magnetycznej jest jednak w tym przypadku liczona na podstawie nieznacznie zmienionego wzoru :
Dla punktów pomiarowych otrzymałem wartości :
Lp |
Utrans |
μ |
B |
H |
1 2 3 4 5 6 |
130 120 110 100 90 80 |
137.007 164.916 189.653 197.899 197.899 183.240 |
0.084 0.078 0.072 0.066 0.056 0.047 |
490.261 377.124 301.699 263.987 226.274 203.647 |
Podane sześć punktów aproksymowałem metodą najmniejszych kwadratów, za pomocą programu MATHCAD krzywą
u = 0.1 Utrans
μ(u)=0.303*u3 -- 15.106*u2 + 205.872*u -- 652.114
i otrzymałem średnie odchylenie kwadratowe równe δs=1.073
Z analizy wykresu funkcji μ(u) w przedziale <8;13> otrzymałem jej największą w nim wartość, odpowiadającą maksymalnej względnej przenikalności magnetycznej ferrytu :
μm=200.028
Następnie aproksymowałem krzywe H(u)= 10.775*x2 -- 171.322*x -- 890.012
B(u)= 0.007*x -- 0.011
dla odpowiadających sobie wartości Utrans oraz H i B , liczonych ze wzorów :
średnie odchylenia kwadratowe aproksymacji wynosiły odpowiednio
δHm = 8.063 δBm = 0.001
Żdane wartości Hm oraz Bm otrzymałem podstawiając do funkcji H(u) oraz B(u) wartość u otrzymaną z analizy funkcji μ(u).
Hm = 237.268 Bm = 0.060
Rachumek błędów
Błąd bezwzględny dla elektrucznych mierników wskazówkowych określa zależność :
gdzie k=2.5% - klasa dokładności miernika , xn - zakres pomiarowy
ΔE=0.025*6V=0.15V
ΔI =0.025*15mA=0.000375A
ΔHm=14.0142+8.063=22.205 [H]
ΔBm=0.0009+0.001=0.002 [T]
Procentowy względny błąd pomiaru :
δEs=0.15/9.75=0.015=1.5%
δIs =0.000375/0.013=0.028=2.8%
δBm=0.002/0.060=0.033 =3.3 %
δHm=22.205/237.268=0.093=9.3%
δμ =0.033=3.3%
Δμ=μm*δμ=6.668
Wyniki pomiarów dla permalloju:
Bm =( 0.060 ± 0.002 )T
Hm=( 237 ± 22 ) H
μ =( 200 ± 6.7 )
4.Obliczam szacunkową wartość Br oraz Hc dla ferrytu.
Wartość Br i Hc liczyć będę na podstawie proporcji z tabelki, uśredniając odpowiednie wartości.
Hm -- 8.25 Hc -- 2.0
Hc = 0.242 * Hm = ( 57.5 ± 5.3 ) H
Bm --- 10.5 Br -- 3.75
Br = 0.357 * Bm = ( 0.0142 ± 0.0007 ) T
5. Wnioski
Wynik nie jest obarczony zbyt dużym błędem systematycznym. Na występujący błąd ma wpływ zużycie sprzętu, odczyty wartości z oscyloskopu są bardzo niedokładne i niejednakowe. Praktycznie na ich podstawie można określać jedynie związki między funkcjami, a nie dokładne wyniki.
Błędy są również uzależnione od wartości prądu i napięcia, a one z kolei są uwarunkowane niedokładnością połączeń i styków oraz zmianami, jakim podlega układ w czasie pracy (ogrzewanie się), dało to o sobie szczególnie znać w przypadku dwóch pomiarów dla permalloy`u.
Na błędy pomiarów nałożyły się dodatkowo, co prawda nie większe od tych pierwszych, ale tym niemniej mające swoje znaczenie, błędy aproksymacji.
Sumaryczny błąd utrzymany jest jednak na poziomie pozwalającym w dużym stopniu zaufać otrzymanym rezultatom.