FIZYKA (S2 W1 prof. Lidia Maksymowicz)

1.) Statystyki kwantowe.

2.) Fale materii.

3.) Doświadczenie Davissona - Germera .

4.) Zasada komplementarności Nilsa Bohra .

Równanie Schrodingera . Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) .

Cząstka swobodna.

7.) Cząstka w studni nieskończonych potencjałów.

Ad 1.) Statystyki kwantowe.

1.) Rozkład Fermiego - Diraca .

Funkcja określająca prawdopodobieństwo rozkładu F. - D. :

(1)

gdzie ε - energia, którą posiada cząstka w danej temperaturze T,

- energia Fermiego (charakterystyczna dla danego rodzaju materiału i zależna od temperatury),

- stała Boltzmana .

Wzór (1) jest funkcją rozkładu, która określa prawdopodobieństwo znalezienia fermionu (cząstka podlegająca rozkładowi F. - D.) o energii ε w temperaturze T.

Rozkład F. - D. dotyczy cząstek, które spełniają następujące założenia:

• nierozróżnialne,

• nie oddziaływujące ze sobą,

• spełniające zakaz Pauliego - w danym stanie energetycznym, określonym przez zespół liczb kwantowych, może znajdować się tylko jedna cząstka. Liczby kwantowe dla konkretnego zjawiska, scharakteryzowanego przez potencjał, są wyznaczone z funkcji falowej przy zadanych warunkach brzegowych.

Przykład:

Badamy jak będzie się zachowywała funkcja rozkładu w temperaturze zera bezwzględnego.

T = 0 [°K], ,

T = 0 [°K], ,

Dla T = 0, dla wszystkich , prawdopodobieństwo obsadzenia przez fermiony równa się 1.

- poziom odcięcia dla T = 0.

Def. Energia Fermiego:

Dla jest to tzw. poziom odcięcia, tzn., że wszystkie stany energetyczne mniejsze od energii Fermiego są na pewno obsadzone przez fermion, a wszystkie większe od są nie obsadzone (puste), f(ε) = 0. Dla energia Fermiego jest zdefiniowana jako energia poziomu, którego prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi .

2.)Rozkład Bosego - Einsteina .

(2)

gdzie μ - potencjał chemiczny

ε - energia bozonu w temperaturze T.

Wzór (2) określa prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu ε w temperaturze T przez bozony.

Rozkład B. - E. dotyczy cząstek, które spełniają następujące założenia:

• nierozróżnialne,

• nie oddziaływujące ze sobą,

• nie podlegają zakazowi Pauliego, tzn., że w danym stanie energetycznym może znajdować się nieskończenie wiele bozonów.

Rozkładowi B. - E. podlegają (fermiony):

• fotony (kwant energii fali elektromagnetycznej),

• fotony (kwant energii fali sprężystej w krysztale),

• hel - 4

Spin zgodnie ze wskazówkami zegara, przeciwnie.

Ad 2.) Fale materii.

1924 r. - hipoteza de'Broglie (29 Nobel), że z ruchem cząstek materii jest stowarzyszony ruch falowy, czyli, że korpuskularno - falowe zachowanie się jest również cechą materii.

Z ruchem cząstki o pędzie jest stowarzyszona fala o długości , będąca w następującej relacji z pędem :

gdzie h - stała Plancka

(3)

Energia cząstki będzie związana z częstotliwością stowarzyszoną z ruchem cząstki fali :

(4)

Przykład:

Piłka o masie 1 [kg] porusza się z prędkością 10 . Zgodnie z hipotezą (3) liczymy długość fali związanej z ruchem piłki.

Elektron o energii 100 [eV] i masie

Ad 3.) Doświadczenie Davissona - Germera .

Zarejestrowano zjawisko wzmocnienia wskutek naładowania sił fal stowarzyszonych z ruchem wiązki elektronów emitowanych. Cechy falowe wykazują również wiązki atomów wodoru i helu, gdzie zjawiska dyfrakcji i interferencji obserwuje się podczas rozproszenia tych związków. Zaobserwowano również fale stowarzyszone z ruchem powolnych elektronów w zjawisku rozproszenia chlorku sodu. Cechy korpuskularne stają się bardzo wyraźne gdy badamy zjawiska emisji lub absorpcji (efekt fotoelektryczny) natomiast cechy falowe stają się dominujące gdy badamy procesy rozchodzenia się (propagacji) materii i promieniowania.

Ad 4.) Zasada komplementarności Nilsa Bohra .

Modele falowe i korpuskularne wzajemnie się uzupełniają. Jeśli dany pomiar dostarcza dowodu falowego to w tym samym pomiarze nie da się wykryć cech korpuskularnych i na odwrót.

W obrazie falowym natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, średnią wartością wektora Poytinga :

dla ruchu falowego (fali elektromagnetycznej)

W obrazie fotonowym fali :

gdzie N - średnia liczba fotonów przechodzących w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku ruchu fotonu.

Einstein zasugerował, że średnią , która w teorii elektromagnetyzmu jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości (wektor Poytinga), można interpretować jako miarę średniej liczby fotonów na jednostkę objętości.

Ad 5.) Równanie Schrodingera . Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) .

lub

- wektor falowy,

• czy można określić w tym samym momencie przeprowadzając odpowiedni pomiar zarówno pęd jak i położenie cząstki materialnej lub promieniowania ?

• nie można określić ich dokładniej niż na to pozwala zasada Heisenberga

• nie wynika z metody pomiarowej i nie wynika z niedokładności przyrządów - wynika z natury zjawiska

Przykład:

Rozważamy pocisk o masie 50 [g] i elektron o masie [g] poruszające się z prędkością 300 . Szukamy : błąd względny

Poszukujemy równanie falowe, którego rozwiązaniem ma być fala ψ i które musi spełniać założenia:

• musi uwzględniać postulaty de'Broglie i Einsteina ,

• równanie to musi być zgodne ze związkiem , gdzie V - energia potencjalna,

• równanie musi być liniowe, tzn., że jeśli oraz jest rozwiązaniem tego równania, to także rozwiązaniem musi być , gdzie - kombinacja liniowa. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe, czyli będą zachodzić interferencje.

• energia potencjalna V jest funkcją czasu .

Równanie falowe Schrodingera zależne od czasu :

Dla trzech wymiarów :

- operator energii.

Funkcja musi spełniać następujące warunki :

• musi być ciągłą z pierwszą pochodną,

• musi być jednoznaczna,

• iloczyn musi dawać gęstość prawdopodobieństwa spotkania cząstki w jednostce objętości.

W przypadku gdy potencjał V jest niezależny od czasu możemy :

; V = V(x)

gdy podstawimy :

gdzie E - energia cząstki (wartość własna równania)

- równanie bezczasowe Schrodingera

(1)

(2)

z (1) i (2)

Z powyższych równań otrzymujemy :

- funkcja własna równania.

Wartości własne rozwiązania równania Schrodingera są to te wielkości fizyczne, które obserwujemy w doświadczeniu.

Ad 6.) Cząstka swobodna (V(x) = 0 - potencjał).

Korzystamy z równania bezczasowego Schrodingera :

Rozwiązanie będzie mieć postać (postulujemy) :

- równanie fali bieżącej (nałożenie dwóch fal o różnych amplitudach)

Przykład :

Ad 7.) Cząstka w studni nieskończonych potencjałów.

dla

dla

Postulujemy, że fala stowarzyszona z cząstką w studni potencjałów będzie miała postać :

- fala stojąca, funkcja musi być klasy

gdzie ,

dla i

i aby była ciągła :

; - brak cząstki

Możliwości :

i

i

lub

gdzie n - określa dozwolone stany pędu cząstki

Liczbę n nazywamy główną liczbą kwantową, wynika to z ograniczenia obszaru i założenia ciągłości funkcji falowej (klasa )

- rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia cząstki

Cząstka wrzucona do studni potencjałów nie może mieć wartości zerowej. Minimalna wartość energii takiej cząstki wynosi (dla n = 1). Wynika to z zasady nieoznaczoności Heisenberga .

i

musi być większa od

Podsumowanie :

- funkcje własne

E - wartości własne

Konkretny przypadek :

warunki brzegowe (opisują prawdopodobieństwo znalezienia cząstki poza rozważanym obszarem)

równanie i (w pewnych przypadkach pojawiają się liczby kwantowe)

dozwolone wartości (wartości falowe na wektor falowy)

relacja pomiędzy k i E (relacja dyspersji)

warunki na dozwolone wartości

W przypadku wielowymiarowym (elektron w atomie) mamy więcej liczb kwantowych (dla elektronu w atomie równa 4), więcej energii skwantowanych .

---