Trójkąt Odległość sferyczną między dwoma punktami A i B leżącymi na sferze nazywamy kąt środkowy ά oparty na łuku koła wielkiego AB przechodzącego przez te punkty

Kąt sferyczny to kąt między stycznymi do łuków kół wielkich w punkcie ich przecięcia się.

Jeżeli 3 dane punkty leżące na sferze połączymy łukami kół wielkich, to część sfery ograniczona tymi łukami będzie my nazywać trójkątem sferycznym. Elementy trójkąta sferycznego to 3 kąty (A,B,C) i 3 boki (a,b,c) takie,że bok a leży naprzeciwko kąta A.Miarą długości boku trójk.sfer.jest odległość sferyczna danych wierzchołków.3 łuki kół wielkich tworzą na sferze 8 trój.sfer.Suma kątów trój.sfer.jest zawsze większa od 180^o.

Trójkąt eulerowski jego wszystkie boki i kąty mniejsze od 180^o. RYS 1

Trójkąt biegunowy RYS 2 to trój.o bokach a^',b^',c^' względem danego trój.ABC jeżeli pkt.A jest biegunem boku a^',pkt.B jest biegunem boku b^',a pkt.C biegunem boku c^'.Wierzchołki tego trój.to A^',B^',C^'. Każdemu trój.sfer.odpowiada 8 trój.biegunowych.Z definicji trój.biegunowego wynika,że A^'B=90⁰ i A^'C=90⁰ co oznacza,że pkt.A^' jest biegunem boku a. Tak można udowodnić,że trój.ABC jest trój.biegunowym trój.A^',B^',C^',więc trójkąty ABC i A^',B^',C^' są wzajemnie biegunowe. RYS 3 Związki między ich bokami i kątami: B^'C^'=B^'E+DC^'-DE^' ponieważ B^'C^'=a, B^'E=90⁰, DC^'=90⁰, DE=A to a^'=180⁰-A, b^'=180⁰-B, c^'=180⁰-C,podobnie a=180^o-A^', b=180⁰-B^', c=180⁰-C^'.

Nadmiar sferyczny to suma kątów trój. sfer. pomniejszona o 180^o. ε = (A+B+C)-180^o.Nadmiar sfer.zawiera się w przedziale(0;360^o).

Elipsoidą odniesienia nazywamy elipsoidę obrotową o odpowiednio dobranych parametrach i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W układzie współrzędnych prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elipsoidy pokrywa się z początkiem ukl. współ.; oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukl.współ. RYS 7 Współ. każdego pkt leżącego na powierzchni elipsoidy obrotowej spełniają równanie X²/a²+Y²/a²+Z²/b²=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie α [α=(a-b)/a] Zamiast α można posługiwać się mimośrodem elipsoidy e²=(a²-b²)/a²=α(2-α) II mimośród elips. e'²=(a²-b²)/b²

Współ. elipsoidalne Równoleżnikiem punktu P jest ślad przecięcia powierzchni elipsoidy płaszczyzną przechodząca przez punkt P i równoległą do płaszczyzny równika

Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszczyzną przechodzącą przez punkt P i oś obrotu elipsoidy Wpowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ UZ. RYS 8 Równanie południka zawierającego pkt P w tym ukladzie to U²/a²+Z²/b²=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerokością elipsoidalną B (sz.geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną n do powierzchni elipsoidy w punkcie P i płaszczyzną równika Długością elipsoidalną L (dł.geodezyjna) punktu P jest kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P i płaszczyzną południka początkowego RYS 9 Dla U≥0 mamy : U=(acosB)/√(1-e²sin²B), a promień równoleżnika pkt P r=U Współ. X i Y punktu P oblicz. X=UcosL; Y=UsinL, a współ. Z=[a(1-e²)sinB]/ √(1-e²sin²B)Szerokość zredukowana Przyjmujemy, że środek sfery pokrywa się ze środ. elips. obrot. Jeżeli przez punkt P leżący na elipsoidzie poprowadzimy prostą równoległą do osi obrotu Z, to punkt P₁ będzie rzutem punktu P na sferę. Kąt ψ zawarty między promieniem OP₁ a płaszczyzną równika będzie szerokością zredukowaną punktu P. RYS 10 tgψ=[√(1-a²)]×tgB

Przekroje normalne Przez punkt P leżący na danej, regularnej powierzchni można poprowadzić tylko jedną prostą prostopadłą do tej powierzchni zwaną normalną n. Wszystkie płaszczyzny zawierające normalną n przecinają daną powierzchnię wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi w punkcie P. Krzywizny z reguły są zmienne. Spośród wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie wyróżniamy 2 przekroje głównej. Jeden ma krzywiznę największą spośród krzywizn wszystkich przekrojów normalnych w danym punkcie, drugi zaś ma krzywiznę najmniejszą. Płaszczyzny przekrojów głównych przecinają się pod kątem prostym. RYS 11 Jednym z przekrojów głównych elipsoidy obrotowej jest przekrój płaszczyzną południka, zwany przekrojem południkowym, a drugim - przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszcz. południka zwany przekrojem poprzecznym Długość promienia M krzywizny przekroju południkowego to M=[a(1-e²)]/(1-e²sin²B)^3/2. RYS 12 Długość promienia N krzywizny przekroju poprzecznego to N=a/(1-e²sin²B)^1/2 Zależność tę można wykorzystać do uproszczenia wzorów określające współ. prostokątne punktu leżącego na powierz. elipsoidy: X=NcosBcosL; Y=NcosBsinL; Z=N(1-e²)sinB. Porównanie promieni M i N wskazuje, że pro. M jest najmniejszym a N największym promieniem krzywizny przekrojów normalnych w danym punkcie. Promień krzywizny dowolnego przekroju normalnego (wzór Eulera) 1/R_A=cos²A/M+sin²A/N. Średni promień krzywizny Q w danym punkcie elipsoidy definiujemy jako Q=1/2π₀∫^2πR_AdA. Obliczamy ze wzoru Q=√MN=(a√1-e²)/(1-e²sin²B)

Skale długości w kierunkach głównych.

Kwadrat skali długości można wyrazić wzorem:m²=ds²/ds²=(EdB²+2F dBdL+GdL²)/(M²dB²+r²dL²) , dzielimy licznik i mianownik przez dL² mamy: m²=E(dB/dL)²+2F(dB/dL)+G/M²(dB/dL)²+r² (#). Stosunek dB/dL zależny od azymutu A elementu ds obl.: dB/dL=r/M ctgA ,podstawiając to do wz.(#) mamy:

m²=[E*r²/M²ctg²A+2F*r/MctgA+G]/[r²ctg²A+r²] , ponieważ r²ctg²A+r²=r²(ctg²A+1)=r²/sin²A ,

ostatecznie otrzymujemy:m²=E/M²cos²A+F/Mr sin2A+G/r²sin²A ,z wz.wynika że skala dł. m zależy od E,F,G i azym.A . Skala dł. w kierunku południków:m_B=√E/M , Skala dł. w kier. równoleżników: m_L=√G/r . II tw Tissota „Obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych”

Odwzorowanie quasi-stereograficzne

-równokątne elipsoidy obrotowej siatka kwadratów podobna do odwz. stereograficznego

-niewielkie zniekształcenia w pobliżu pkt.gł.odwz. który odpowiada pkt.styczności pł. i kuli w odwz. stereograficznym

-przydatne do odwz.obszarówo regularnych granicach

-pkt.gł.P₀(B₀,L₀)odwz. powinien znajdować się w pobliżu pkt. Środkowego odwzorowanego obszaru

-południk przechodzący przez pkt.gł.to południk środkowy,który odwzorowuje się jako linia prosta

Ukł.wsp.X,Y

-początek ukł. w obrazie pkt.gł.

-os X pokrywa się z obrazem południka środkowego skierowana w stronę biegunaN

-oś Y prostopadła doX i tworzy ukł.prawoskrętny

odcięte X pkt. leżących na południku środkowym oblicza się: x_m=2R₀tg*s/2R₀

R₀-śr. promień krzywizny pow.elipsoidy obrotowej w pkt.gł.odwz.

s.-dł.łuku południka od pkt.gł.P₀do równoleżnika pkt. P

Odwzorowanie Gaussa-Krugera

-równokątne pow. elipsoidy na pł.

-obrazem południka środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej a obrazami pozostałych połud.sąlinie krzywe symetrycznie rozłożone wzgl.obrazu połud. Środkowego

-połud.środk.odwzorowuje się bez zniekształceń m₀=1

-inaczej odwzorowanie walcowe poprzeczne równokątne

niewielkie zniekształcenia w wybranym wąskim pasie południkowym

-szerokość pasa południkowego ΔL zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceńdł.lub pól

-od1952r.elipsoida odniesienia elips.Krasowskiego

-wykorzystywane nadal do oprac.map topogr.(1:10000-1:500000)w pasoch 6-cio stopniowych

Funkcje odwzorowawcze w postaci funkcji B,L ukł.wsp.

-ośX pokrywa się z obrazem południka środkowego L₀ i skierowana na N

-ośY pokrywa się z prostoliniowym obrazem równika i skierowana E

F-cje odwzorowawcze: X=F₁(B,L) ; Y=F₂(B,L) ; l=L-L₀

Transformacja równokątna wsp.prostokątnych płaskich

Jeżeli dwa układy współrzędnych płaskich powstały w wyniku zastosowania odwz. równokątnych elipsoidy,to powinniśmy zastosować taką transformację,która nie deformuje kątów.Ta transformacja może być rozważona jako odwz.równokątne płaszczyzny na płaszczyznę.Przyjmujemy oznaczenia U,W-ukł.pierwotny,X,Y-ukł.wtórny,są to wsp.izometryczne.Zapisujemy f-cję odwzorowawczą, która zapewni równokątność odwzorowania,w postaci szeregu potęgowego X+iY=(a_o+ib_o)+(a₁+ib₁)(U+iW)+(a₂+ib₂)(U+iW)²+(a₃+ib₃)(U+iW)³+...+(a_n+ib_n)(U+iW)ⁿgdzie a_o,b_o,a₁,b₁,a₂,b₂...współczynniki liczbowe,n - najwyższy wykładnik potęgi, czyli stopień transformacji.Oddzielamy część urojoną od rzeczywistej.W celu uniknięcia trudności w obliczeniach na podst. tych funkcji wprowadzamy dwa ukł. wsp.:u,w i x,y ; u=(U-U₀)/k w=(W-W₀)/k

U₀,W₀-wsp.wybranego pkt.w ukł.pierwotnym,leżącego w pobliżu środka ciężkości trasformowanego zbioru punktów ; k-współcz. liczbowy dobrany tak aby średnia wartość |u| i |w| była zbliżona do 1

x=X-X₀ y=Y-Y₀ - wsp. x,y

X₀,Y₀-wsp.wybranego pkt.w ukł.wtórnym nie muszą być odpowiednikiem U₀ i W₀.

Związek wsp.x,y i u,w ma postać macierzową.Współczynniki w macierzy a₀,b₀,a'₁,b₁,... obl.na podstawie pkt.łącznych,czyli tych które mają wsp.w ukł pierwotnym (U,W) i w ukł wtórnym (X,Y).Obliczenia współczynników przeprowadzamy metodą najmiejszych kwadratów.Układamy równania poprawek dla każdego pkt łącznego.

Stopień transformacji dobieramy doświadczalnie na podstawie m₀(bł.śr.pojedyńczej”obserwacji”) Stopień transformacji jest tym większy im większy jest obszar na którym są rozrzucone transformowane pkt.

Klasyfikacja odwz. kartograficznych

I kryterium-charakter występujących zniekształceń odwzorowawczych

-odwz.równokątne,-odwz. Równopolowe,-odwz.równoodległościowe w jednym z kierunków głuwnych,-odwz.dowolne

II kryterim-kształt siatki kartograf,czyli kształt obrazu siatki geograficznej

-odwz.azymutalne,-walcowe,-stożkowe

III kryterium-ze względu na sposób przyłożenia powierzchni rzutowania

-normalne,-ukośne,-poprzeczne

1.Odwz.azymutalne.

Obrazami południków są półproste zbiegające się w obrazie bieguna ziemskiego. Kąty między obrazami południków nie ulegają zniekształceniu i są równe różnicom długości geograficznych południków. RYS 31

Obrazem równoleżników są okręgi współśrodkowe, których środek jest na obrazie bieguna. Równania ogólne odwz. azymutalnych mają postać w ukł. wsp. biegunowych: ρ = ρ(φ), δ = λ.

2.Odwz.walcowe.

Obrazami południków są proste lub odcinki równoległe względem siebie i prostopadłe do prostoliniowego obrazu równika. Odległość między obrazami dwóch danych południków jest proporcjonalna do różnicy ich długości geograficznych. Obrazami równoleżników są odcinki równoległe do obrazu równika. RYS 32 Równanie tych odwz. w ukł. wsp. prostokątnych x,y utworzonym przez obrazy południka początkowego i równika: X = x(φ), Y = Cλ.

3.Odwz. stożkowe.

Obrazami równoleżników są łuki okręgów współśrodkowych, obrazami południków są odcinki lub półproste prostopadłe do obrazów równoleżników. Kąty między obrazami południków są proporcjonalne do różnicy długości geograficznych południków. RYS 33 Równanie ogólne: ρ = ρ(φ), δ = Cλ.

4.Odwz.pseudoazymutalne.

Obrazami równol. są okręgi współśrodkowe, których środkiem jest obraz bieguna ziemskiego. Obrazami połudn. są krzywe zbiegające się w obrazie bieguna, symetryczne względem prostoliniowego obrazu wybranego południka. Równanie ogólne: ρ = ρ(φ), δ = δ(λ,φ). RYS 34

5.Odwz.pseudowalcowe.

Obrazem równika i wybranego południka środkowego są wzajemnie prostopadłe odcinki linii prostych. RYS 35 Obrazami równoleż. są odcinki linii prostych, równoległe do obrazu równika. Obrazami połudn. są odcinki krzywych tworzące obraz symetryczny względem obrazu południka środkowego. Obrazem bieguna jest punkt lub odcinek. Równanie ogólne: x = x(φ), y = y(φ,λ).

6.Odwz.pseudostożkowe.

Obrazami połudn. są krzywe symetryczne względem prostoliniowego obrazu połudn. środkowego, zbiegające się w obrazie bieguna. Obrazami równol. są łuki okręgów współśrodkowych, których środek leży na tej prostej, na której leży obraz połudn. środkowego. RYS 36 Równanie ogólne: q = const, ρ = ρ(φ), δ = δ(φ,λ). Mogą być traktowane jako szczególne przypadki odwz. pseudostożkowych, występujących wtedy, gdy pkt.W jest w obrazie bieguna Pn.

7.Odwz.wielostożkowe.

Obrazami równol. są łuki okręgów niewspółśrodkowych. Środki tych okręgów leżą na prostej przechodzącej przez odcinek będący obrazem południka środkowego. Obrazem połudn. są łuki krzywych tworzące obraz symetryczny względem obrazu połudn. środkowego. RYS 37 Równanie ogólne: q = q(φ), ρ = ρ(φ), δ = δ(φ,λ).

8.Odwz.koliste.

Stosowane do przedstawienia w postaci koła obrazu całej powierzchni kuli ziemskiej lub obrazu powierzchni wybranej półkuli. Obrazem równika i południka środkowego są wzajemnie prostopadłe odcinki linii prostych. Obrazami południków są łuki okręgów tworzące obraz symetryczny względem obrazu obrazu południka środkowego. Obrazami równol. są łuki okręgów tworzące obraz symetryczny względem obrazu równika. Środki okręgów znajdują się na tych prostych, na których leżą obrazy południka środkowego i równika. RYS 38 Równanie ogólne: ρ_x = ρ_x(φ), q_x = q_x(φ), ρ_y = ρ_y(λ), q_y = q_y(λ).

---