W uzupełnieniu tych rozważań teoretycznych zajmijmy się przykładową analizą ilościową - z konieczności fragmentaryczną - zjawiska ruchu cząsteczek.

Zadanie 1.

Obliczyć prędkość średnią kwadratową cząsteczek dwutlenku węgla (CO₂) w warunkach normalnych tzn. w temperaturze 0^oC i ciśnieniu 1 atm., przy założeniu że nasz gaz jest gazem doskonałym .

Dla przeprowadzeniu rachunku wygodnym jest operować pojęciem średniej energii kinetycznej cząsteczek rozważanego gazu (CO₂).

Ciśnienie (p) takiego gazu określa się wzorem:

p =

(1)

gdzie:

- ς - jest gęstością gazu, czyli masą przypadającą na jednostkę objętości;

- ν - jest średnią wartością prędkości cząsteczek gazu.

Nie wdając się w szczegóły wyprowadzania powyższego wzoru, można zauważyć, że intuicyjnie wydaje się on trafny, gdyż ciśnienie (p) jest wprost proporcjonalne do średniej energii kinetycznej cząsteczek (E _{k. ś.} =
), przekazywanej np. ściankom naczynia (pamiętając, że ς = ^masa / _objętość).

Trzeba też zauważyć, że dla każdej cząsteczki

v² = v_x² + v_y² + v_z²

gdzie:

- v_x, v_y, v_z - składowe wektora

Ponieważ mamy do czynienia z ogromną ilością cząsteczek poruszających się zupełnie bezwładnie, przy czym żaden z kierunków (v_x, v_y, v_z) nie jest statystycznie wyróżniony, więc całkowicie uprawnione jest założenie, że średnie wartości v_x, v_y, v_z są sobie równe, a zatem:

Stąd właśnie wynika współczynnik
we wzorze (1)

Na podstawie wzoru (1) zdefiniowano prędkość średnią kwadratową cząsteczek, będącą miarą przeciętnej prędkości cząsteczek:

v _{ś. kw.} =
(2)

Aby obliczyć żądaną w zadaniu wielkość pozostaje znaleźć gęstość CO₂ - ς (ciśnienie (p) mamy zadane), a następnie podstawić p i ς do wzoru (2).

Jak wiadomo - w warunkach normalnych 1 mol (gramocząsteczka) każdego gazu, czyli 6,022*10²³ (liczba Avogadro - N_A) cząsteczek, zajmuje objętość 22,4 dm³. Masa molowa (m) danego gazu jest wielkością masy przypadającej na 1 mol tego gazu ( m = m _cz.
N_A )

Cząsteczka CO₂ składa się z jednego atomu węgla i dwóch atomów tlenu. Znajdujemy w tablicy Mendelejewa masy atomowe naszych pierwiastków. Dla uproszczenia przyjmiemy wartości przybliżone:

- dla węgla (C) - 12

- dla tlenu (O) - 16

Stąd otrzymujemy masę molową CO₂.

m CO₂ = 44
= 44
10^-3

Możemy więc wyznaczyć gęstość naszego gazu (CO₂)

Podstawiamy do wzoru (2), przyjmując p=1,013
10⁵

Wynik:

v _{ś. kw.} = 393

Jak widać jest to bardzo duża prędkość.

Zadanie 2.

Obliczyć długość średniej drogi swobodnej metalowych kulek, znajdujących się w energicznie potrząsanej "grzechotce" w kształcie kuli o średnicy 10 cm, przyjmując średnicę każdej z 15 kulek d = 1 cm.

Mamy tu do czynienia z "modelem" cząsteczek gazu, poruszających się ruchem bezładnym w zadanej objętości.

Skądinąd wiemy (pomijamy tu dowód), że długość średniej drogi swobodnej cząsteczki, tzn. takiej, na której nie dochodzi do zderzenia z inną cząsteczką, określa się wzorem:

(3)

gdzie:

- n_v - liczba cząsteczek na jednostkę objętości;

- d - średnica każdej z cząsteczek.

W naszym "modelu", potrząsając energicznie "grzechotką" we wszystkich kierunkach otrzymamy - w dużym przybliżeniu - bezwładny ruch kulek ("cząsteczek") we wszystkich kierunkach. (Zauważmy przy tym, że wielkość
we wzorze (3) nie zależy od prędkości cząstek) W naszym "modelu" możemy też przyjąć, że kulki ("cząsteczki") znajdują się w "próżni" z uwagi na olbrzymią wielokrotność masy kulki w porównaniu z masą cząsteczki powietrza wpływ zderzeń kulek z cząsteczkami powietrza można całkowicie pominąć.

Pozostaje jeszcze ustalić "gęstość" zbioru 15 kulek - liczbę kulek, przypadającą na jednostkę objętości.

n_v =

gdzie:

- r_k = 5 cm.

Wstawiając do wzoru (3):

gdzie:

- r_k = 5 cm

- d = 1 cm

Tak więc średnia droga, na której kulka nie zderza się z inną wynosi prawie 8 cm. Zauważmy, że najdłuższy odcinek prosty, który może pomieścić się w naszej "grzechotce" wynosi niewiele więcej i jest równy średnicy kuli (10 cm). Gdybyśmy przyjęli, że mamy tylko 10 kulek, wówczas:

a więc jest większa niż średnica kuli, co wydaje się wynikiem absurdalnym, gdyż kulka nie może przebyć tak długiej drogi swobodnej; wcześniej zderzy się ze ścianką.

Jak zinterpretować tę sytuację? Oznacza ona, że założony model nie w każdych warunkach ma sens. Sprawdza się jednak w warunkach rzeczywistych gazów, gdzie n_v (we wzorze (3)) jest bardzo duże. Zauważmy także, że przy tej samej "gęstości" kulek n_v z naszego przykładu wystarczy 100krotnie zwiększyć objętość "grzechotki" oraz 100krotnie liczbę kulek i wówczas otrzymamy tę samą długość
, która jednak "nabierze" sensu, gdyż najdłuższy odcinek prosty, mieszczący się w tej powiększonej kuli (jej średnica) wzrośnie kilkukrotnie.

W warunkach laboratoryjnych znane są także sytuacje, gdzie długość średniej drogi swobodnej w bardzo ograniczonej przestrzeni (np. synchrotron protonowy) może by gigantyczną wielokrotnością wymiarów tej ograniczonej przestrzeni. ( W przypadku synchrotronu protonowego osiąga ona długość rzędu miliona kilometrów! Osiąga się to za pomocą pola magnetycznego, nadającego protonom, poruszającym się w wysokiej próżni, ruch po torze kołowym, dzięki czemu nie zderzają się z obudową.)

---