Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Katedra Elektrotechniki

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej

Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego

Częstochowa 2004

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie własności szeregowego i równoległego obwodu rezonansowego złożonego z elementów rzeczywistych RLC.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Rezonans

Rezonans - stan układu fizycznego, w którym pulsacja drgań wymuszonych jest równa pulsacji drgań swobodnych rozpatrywanego układu. W odniesieniu do obwodów elektrycznych powyższy warunek rezonansu implikuje następujące równoważne warunki:

• kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem zasilania jest równy zeru,

• reaktancja wypadkowa jest równa zeru,

• susceptancja wypadkowa jest równa zeru.

Nie są to jednak warunki wystarczające. Obwód zawierający tylko rezystory zawsze spełnia te warunki, ale rezonans w nim nie zachodzi. Rezonans może zajść tylko wtedy, gdy w danym obwodzie istnieje możliwość wzbudzenia drgań swobodnych, a to jest możliwe tylko w obwodach zawierających co najmniej jedną cewkę i co najmniej jeden kondensator.

2.1. Rezonans w obwodzie szeregowym (rezonans napięć)

W szeregowej gałęzi złożonej z idealnych elementów RLC z rysunku 1 prąd wyraża się wzorem Napięcia na poszczególnych elementach są równe

Rys. 1. Szeregowa gałąź RLC

Napięcia U_L oraz U_C są przesunięte w fazie o 180°, wobec czego kompensują się one częściowo lub całkowicie, zależnie od wartości L i 1/C. Aby kompensacja była całkowita, powinien być spełniony warunek

Układ znajduje się wtedy w rezonansie napięć, moduł impedancji osiąga minimalną wartość

a prąd - maksymalną:

Szeregowa gałąź złożona z rzeczywistych elementów RLC może zostać przedstawiona za pomocą schematu zastępczego z rysunku 2.

Rys. 2. Schemat zastępczy rzeczywistej gałęzi RLC

W praktyce konduktancja kondensatora G jest tak mała w porównaniu z jego susceptancją C, że, nie popełniając większego błędu, można ją pominąć. Dzięki temu układ sprowadza się do szeregowej gałęzi złożonej z idealnych elementów R+R_L, L, C.

Pulsacja, przy której występuje rezonans, a więc maksimum prądu, wynosi

Rezystancja R + R_L nie ma wpływu na częstotliwość rezonansową f₀, wpływa jednak na kształt charakterystyk częstotliwościowych - prądowej i napięciowej, przez które rozumiemy zależności prądu I oraz napięć U_L i U_C od częstotliwości (rys. 3)

Prąd osiąga maksymalną wartość dla  = ₀, podobnie napięcie U_R, natomiast napięcie U_L - dla
 = _L > ₀, a U_C dla  = _C < ₀:

przy czym Q jest dobrocią układu, określoną w przypadku rezonansu napięć jako

Rys. 3. Charakterystyki częstotliwościowe szeregowej gałęzi RLC

Wartości skuteczne napięć na cewce i kondensatorze w stanie rezonansu wynoszą

Natomiast maksymalne wartości skuteczne są równe

Wraz ze wzrostem dobroci Q pulsacje _L i _C zbliżają się do ₀, a charakterystyki częstotliwościowe stają się coraz bardziej strzeliste (rys. 4).

Rys. 4. Charakterystyki częstotliwościowe dla różnych dobroci

Dobroć Q może być też wyznaczona z charakterystyki częstotliwościowej prądu I.
W tym celu należy wyznaczyć pasmo przepuszczania prądu. Jako granicę tego pasma przyjmuje się umownie takie częstotliwości f₁ < f₀ i f₂ > f₀, przy których prąd przepuszczany wynosi 1/√2 prądu rezonansowego (rys. 5). Można wykazać, że

Rys. 5. Pasmo przepuszczania

2.3. Rezonans w obwodzie równoległym (rezonans prądów)

Admitancje poszczególnych gałęzi dwójnika z rysunku 6 są równe

Rys. 6. Rozpatrywany dwójnik

Całkowita admitancja jest równa Y_L + Y_C. Aby zachodził rezonans, część urojona admitancji musi być równa 0. Prowadzi to do dwóch możliwości:

(1) Jeśli R_C² = R_L² = L/C, to rezonans wystąpi dla każdej pulsacji,

(2) W przeciwnym przypadku

przy czym

Jeśli nierówności te nie są spełnione, to rezonans nie zajdzie dla żadnej pulsacji.

W praktyce często R_C = 0 oraz R_L << L. Wtedy otrzymuje się

a wzór na impedancję zastępczą dwójnika przyjmuje postać

Analiza powyższego wyrażenia pozwala wyciągnąć następujące wnioski:

1. dla pulsacji  < ₀ wyrażenie 1 - ₀²/² < 0, wobec czego impedancja ma charakter rezystancyjno-indukcyjny,

2. w stanie rezonansu ( = ₀) impedancja ma charakter czysto rezystancyjny i wynosi

3. dla pulsacji  > ₀ impedancja ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy.

Spotyka się obwody, w których rozpatrywany dwójnik podłączony jest do źródła zasilania szeregowo przez rezystancję R_i (rys. 7).

Rys. 7.

Zależnie od wzajemnego stosunku R_i/Z wskaźnikiem rezonansu może być bądź zachowanie się prądu zasilającego obwód (R_i << Z), bądź napięcia U na zaciskach obwodu równoległego
(R_i >> Z). Poniżej rozpatrzono przypadek R_i >> Z. Wtedy prąd pobierany z generatora jest
w przybliżeniu stały i równy

a napięcie U na zaciskach dwójnika wynosi

Zależność modułu U od pulsacji przedstawiono na rysunku 8.

Rys. 8. Charakterystyka częstotliwościowa rozpatrywanego układu

W stanie rezonansu ( = ₀) wartość U jest największa i wynosi

Dobroć układu rezonansowego definiuje się w ogólności jako pomnożony przez 2 stosunek maksymalnej wartości energii zgromadzonej w polu elektrycznym lub magnetycznym (są one równe) do energii traconej podczas jednego okresu drgań, czyli w tym przypadku

gdzie skorzystano z tego, że I_L ≈ U/₀L (gdyż R_L << ₀L). Dobroć całego układu jest równa

gdzie f₁, f₂ - częstotliwości graniczne (rys. 8). Można pokazać, że prawdziwa jest zależność

3. Przebieg ćwiczenia

3.1. Wyznaczanie krzywej rezonansowej prądu w układzie szeregowym

• Zbudować układ wg schematu z rysunku 9 (woltomierz V zwykle znajduje się w generatorze
  i nie trzeba go dołączać, woltomierz V_R powinien być cyfrowy),

Rys. 9.

• Zanotować R = ........., L = .........., R_L = ..........., C = .............,

• Ustawić napięcie generatora na kilka woltów (np. U = 5 V),

• Nastawić częstotliwość generatora na taką częstotliwość, aby woltomierz U_R wskazywał wartość maksymalną, co odpowiada również maksimum prądu,

• Zanotować wskazanie woltomierza U_R oraz częstotliwość f₀ (tabela 1),

• Wykonać 10 pomiarów dla częstotliwości mniejszych od f₀ oraz 10 pomiarów dla częstotliwości większych od f₀ (w pobliżu f₀ zagęścić punkty pomiarowe).

Tabela 1

Lp.		1	2	3	4	....	19	20	21
Pomiary	f, Hz
		UR, V
Obliczenia	I, mA

Wzory do obliczeń:

3.2. Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej napięcia na cewce

• Woltomierz V_R z rysunku 9 przepiąć na cewkę,

• Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 2).

Tabela 2

Lp.	1	2	3	4	....	19	20	21
f, Hz
UL, V

3.3. Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej napięcia na kondensatorze

• Woltomierz V_R z rysunku 9 przepiąć na kondensator,

• Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 3).

Tabela 3

Lp.	1	2	3	4	....	19	20	21
f, Hz
UC, V

3.4. Wyznaczanie krzywej rezonansowej napięcia

• Zbudować układ wg schematu z rysunku 10

Rys. 10.

• Ustawić R_i = 10 k

• Na wyjściu generatora ustawić napięcie U_g = .........,

• Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 4).

Tabela 4

Lp.	1	2	3	4	....	19	20	21
f, Hz
U, V

3.5. Wyznaczanie rezystancji rezonansowej R₀

• Schemat połączeń jak w punkcie 3.4.

• Nastawić częstotliwość generatora na częstotliwość rezonansową f₀ układu równoległego,

• Na wyjściu generatora ustawić kolejno napięcie U_g o trzech różnych wartościach. Dla każdego napięcia U_g odczytać wartość napięcia U. Wyniki zanotować (tabela 5).

Tabela 5

Lp.	Pomiary		Obliczenia
		Ug	Umax	R0^(pomiary)	R0^(teoria)
		V	V		
1
2
3
wartość średnia R0

Wzory do obliczeń:

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schematy pomiarowe i tabele wyników.

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.

4. Przykłady obliczeń poszczególnych wartości podanych w tabelach.

5. Wykresy charakterystyk częstotliwościowych

6. Wyznaczyć pasmo przepuszczania szeregowego układu rezonansowego f₂ - f₁. Wyznaczyć dobroć układu szeregowego analitycznie i w sposób przybliżony - wartości porównać.

7. Wyznaczyć pasmo przenoszenia dla układu równoległego oraz R₀.

8. Wnioski

5. Pytania sprawdzające

1. Co to jest rezonans?

2. Rezonans związany jest z drganiami. Co drga w układach elektrycznych?

3. Czym charakteryzuje się rezonans w układach elektrycznych?

4. Jak można doprowadzić do rezonansu w szeregowej gałęzi RLC?

5. Jakie warunki muszą być spełnione, aby rezonans był możliwy w dwójniku zbudowanym
   z równolegle połączonych gałęzi RL i RC?

6. Jakie jest zastosowanie rezonansu?

7. Jakie są szkodliwe efekty występowania zjawiska rezonansu w układach elektrycznych oraz mechanicznych?

8. Co to jest dobroć i rezystancja falowa obwodu rezonansowego?

9. Narysować wykresy wskazowe dla rezonansu w szeregowej gałęzi RLC oraz w równoległym dwójniku RLC.

10. Co to są przepięcia i przetężenia? Kiedy mogą zachodzić?

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT,
W-wa 1986, ss. 24-35, 143-160.

[2] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I, WNT, W-wa 1970, ss. 401-448.

[3] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - obwody liniowe i nieliniowe, PWN, W-wa 1991, ss. 168-186.

Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego

2

Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki

---