NORMOWANIE NAKŁADÓW RZECZOWYCH W BUDOWNICTWIE

1. Ogólne zasady normowania technicznego

2. Normowanie pracy

3. Katalogi norm i normatywów w budownictwie

4. Przedmiarowanie robót

5. Analiza statystyczna systemu

1. OGÓLNE ZASADY NORMOWANIA TECHNICZNEGO

Ustawa z dnia 12 września 2002 roku o normalizacji

Dz.U. nr 169/2002, poz. 1386

Dyrektywa Rady UE nr 89/106/EWG z 21 grudnia 1988 roku w sprawie zbliżenia przepisów prawnych
i administracyjnych państw członkowskich dotyczących wyrobów budowlanych

• normalizacja

• działalność zmierzająca do uzyskania optymalnego, w danych okolicznościach, stopnia uporządkowania w określonym zakresie działań lub ich wyników;

• dolega na ustalaniu postanowień przeznaczonych do powszechnego i wielokrotnego stosowania;

• dotyczy istniejących lub mogących wystąpić problemów;

• normalizacja krajowa

• normalizacja prowadzona na szczeblu krajowym, nie obejmująca działań prowadzonych:

• w poszczególnych branżach lub sektorach gospodarki,

• na szczeblu lokalnym,

• na szczeblu stowarzyszeń lub przedsiębiorców i urzędów;

• dokument normalizacyjny

• dokument ustalający zasady, wytyczne lub charakterystyki odnoszące się do różnych rodzajów działalności lub ich wyników, niebędący aktem prawnym;

• podstawowym dokumentem normalizacyjnym jest norma;

• norma:

• dokument przyjęty na zasadzie konsensu, zatwierdzony przez upoważnioną jednostkę organizacyjną do:

• powszechnego i wielokrotnego stosowania;

• ustalający:

• zasady, wytyczne lub charakterystyki różnych rodzajów i wyników działalności;

• zmierzający:

• do uzyskania optymalnego stopnia uporządkowania działań;

• normatyw:

• wszelkie ustalenia i wielkości średnie, np.:

• ilość wyrobów budowlanych na placu budowy,

• dzienne zużycie wody przez pracownika;

• rodzaje normatywów:

• normatywy czasu;

• normatywy techniczne projektowania;

• normatywy technologiczne

• normatywy remontowe;

normatywy czasu - nakład pracy w jednostkach czasu - czas niezbędny do wykonania elementu

• procesu roboczego przez robotnika o określonych kwalifikacjach, w określonych warunkach technologiczno-organizacyjnych:

• normatyw elementarny, dotyczy ruchów elementarnych;

• normatyw czynności, dotyczy czynności roboczych;

• normatyw scalony, dotyczy zespołów czynności;

• np. normatywy czasu czynności:

• przygotowawczych i zakończeniowych,

• normatywy czasu na potrzeby naturalne,

• normatyw odpoczynku itp.;

• normatyw techniczny projektowania - przepis techniczno-budowlany ustalający układ funkcjonalny i warunki użytkowe obiektu budowlanego;

• normatywy remontowe - zalecane parametry organizacji, planowania i wykonania remontów;

• normatywy technologiczne - zalecane parametry procesu technologicznego;

• konsens:

• ogólne porozumienie:

• charakteryzujące się brakiem trwałego sprzeciwu znaczącej części zainteresowanych w odniesieniu do istotnych zagadnień,

• osiągnięte w procesie rozpatrywania poglądów wszystkich zainteresowanych;

• zbliżenie przeciwstawnych stanowisk.

• cel ogólny normowania:

• ustalenie rzeczywistej wielkości produkcji możliwej do osiągnięcia przez organizację i jej zasoby w danych warunkach techniczno-organizacyjnych i systemowych;

• oszczędne gospodarowanie zasobami pracy;

• powtarzalność i porównywalność czynności, operacji i procesów roboczych;

• zapewnienie najwyższej jakości wykonania robót;

• projektowanie organizacji pracy na stanowiskach, frontach robót i budowach;

• dokumenty normalizacyjne:

1. Polska Norma (PN) jest normą krajową:

• przyjętą w drodze konsensu;

• zatwierdzoną przez krajową jednostkę normalizacyjną;

• powszechnie dostępną;

• oznaczoną - na zasadzie wyłączności - symbolem PN.

2. PN może być wprowadzeniem normy europejskiej lub międzynarodowej. Może to nastąpić w języku oryginału.

3. Stosowanie Polskich Norm jest dobrowolne.

4. PN mogą być powoływane w przepisach prawnych po ich opublikowaniu w języku polskim.

5. PN korzystają z ochrony jak utwory literackie, a autorskie prawa majątkowe do nich przysługują krajowej jednostce normalizacyjnej.

6. Normy europejskie i międzynarodowe korzystają z ochrony jak utwory literackie, z zachowaniem porozumień międzynarodowych.

• podstawowe rodzaje norm:

• Polskie Normy (PN) - nadawane przez PKN;

• Normy własne - opracowywane od podstaw przez specjalistyczne komitety techniczne w PKN np. Polskie Normy Budowlane: PN-89/B-06258, po 1.01.94: PN-B-06050:1999;

• Normy wprowadzające normy europejskie i międzynarodowe: PN-EN 206-1:2003; PN-ISO 6935-2:1998;

• inne akty normatywne:

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY

z dnia 14 października 2004 r.

w sprawie europejskich aprobat technicznych oraz polskich jednostek organizacyjnych upoważnionych do ich wydawania

(Dz. U. Nr 237, poz. 2375)

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY

z dnia 11 sierpnia 2004 r.

w sprawie sposobów deklarowania zgodności wyrobów budowlanych oraz sposobu znakowania ich znakiem budowlanym

(Dz. U. Nr 198, poz. 2041)

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY

z dnia 11 sierpnia 2004 r.

w sprawie systemów oceny zgodności, wymagań, jakie powinny spełniać notyfikowane jednostki uczestniczące w ocenie zgodności, oraz sposobu oznaczania wyrobów budowlanych oznakowaniem CE

(Dz. U. Nr 195, poz. 2011)

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY

z dnia 29 lipca 2004 r.

w sprawie sposobu prowadzenia Krajowego Wykazu Zakwestionowanych Wyrobów Budowlanych

(Dz. U. Nr 180, poz. 1861)

• rodzaje norm:

• normy jakościowe;

• normy ilościowe;

• aprobaty techniczne;

• normy jakościowe, czyli standardy:

• przedmiotowe - określają cechy i wymagania techniczne materiałów i wyrobów np.:

• wymiary,

• gatunki,

• sposób wykonania itp.;

• czynnościowe - jednolite metody badań jakości materiałów i wyrobów masowych:

• liczba próbek;

• miejsce i sposób ich pobierania;

• sposób przechowywania itp.;

• znaczeniowe i klasyfikacyjne - zawierają ustalenia dotyczące:

• nazewnictwa,

• jednostek technicznych,

• oznaczeń literowych,

• symboli wyrobów itp.;

• normy ilościowe, czyli normy nakładów, jakie trzeba ponieść na wytworzenie jednostki produkcji na stanowisku roboczym:

• normy pracy ludzi - pracy ręcznej, czyli normy pracy lub normy nakładów pracy;

• normy pracy maszyn;

• normy materiałów:

• zużycia;

• odzysku;

• wielokrotności użycia;

• uzysku;

aprobaty techniczne - pozytywna ocena techniczna wyrobu, stwierdzająca:

• przydatność do stosowania w budownictwie;

• dokonywana na wniosek zainteresowanego producenta lub importera,

• przez specjalnie do tego upoważnione jednostki organizacyjne,

• na podstawie:

• badań;

• obliczeń;

oględzin lub opinii ekspertów itp.;

2. NORMOWANIE PRACY

• norma pracy:

• niezbędny nakład czasu pracy na wykonanie określonych zadań w danych warunkach technologicznych i organizacyjnych;

• funkcje norm pracy:

• planistyczno-rozliczeniowa;

• organizacyjna;

• motywacyjna

• funkcja planistyczno-rozliczeniowa:

• planowanie produkcji przydanym poziomie zatrudnienia;

• planowanie wielkości zatrudnienia przy danym poziomie produkcji;

• planowanie osobowego funduszu płac;

• planowanie poziomu kosztów robocizny przy ustalaniu cen;

• ocena wydajności pracy;

• funkcja organizacyjna:

• norma umożliwia ocenę i dobór kwalifikacji i wyposażenia technicznego wykonawcy;

• funkcja motywacyjna:

• norma umożliwia ocenę wielkości wykonanej pracy i ustalenie cen jednostkowych pracy;

• podstawowe założenia normowania pracy - nakład pracy robotnika, zespołu, brygady:

• o przeciętnych umiejętnościach;

• przy normalnym wysiłku;

• w przeciętnych warunkach;

• według ustalonej metody;

• zgodnie z określonymi wymogami jakościowymi;

• potrzebny do wykonania jednostki produkcji ściśle określonego zadania;

• zasady normowania stanowiska pracy

• podstawowe formy norm pracy:

• norma czasu (pracochłonność);

• norma ilości (wydajność);

• norma obsługi;

• norma obsady stanowiska pracy

• norma czasu (pracochłonność):

niezbędny nakład czasu pracy na wykonanie określonych zadań w danych warunkach technologicznych i organizacyjnych

• bilans czasu pracy:

=
+
+

• czas produkcyjny
  :

• czynności podstawowe;

• czynności pomocnicze;

• czas uzupełniający
  :

• odpoczynki i potrzeby fizjologiczne;

• przerwy technologiczne;

• obsługa stanowiska pracy;

• zmiana stanowiska;

• przygotowanie i zakończenie;

• przestoje
  :

• przestoje niezależne;

• organizacyjne;

• zawinione przez pracownika;

• prace zbędne i wadliwie wykonane (strata czasu);

• pracochłonność:

• norma ilości (wydajność):

• liczba jednostek zadania możliwa do wykonania w jednostce czasu;

• wydajność
  :

lub

- czas zmiany roboczej;

• wydajność maszyn:

wydajność teoretyczna:

• określana na podstawie geometrycznej wielkości części roboczych maszyn i maksymalnej szybkości bez przerw;

• wydajność techniczna:

• maksymalna wydajność maszyny uzyskiwana w określonych warunkach pracy, wynikających z właściwości przerabianego materiału i podczas pracy bez przerw;

• wydajność eksploatacyjna:

• wydajność maszyny z uwzględnieniem wykorzystania czasu pracy;

• norma obsługi:

• liczba stanowisk pracy lub liczba jednostek produkcyjnych bądź pomocniczych w ramach danego stanowiska pracy (maszyny, urządzenia, powierzchnia itp.), które powinien obsłużyć jeden robotnik lub zespół o określonych kwalifikacjach;

• norma obsługi
  :

- normowany czas pracy robotnika związany z obsługą danej jednostki produkcyjnej lub pomocniczej (maszyny, urządzenia itp.)

- czas potrzebny na potrzeby fizjologiczne w ciągu zmiany roboczej;

- współczynnik zespołowej obsługi, który uwzględnia stopień synchronizacji, lub rozdrobnienia czynności, jednoczesności obsługi itp., zwykle

• norma obsady stanowiska pracy

• liczba i kwalifikacje robotników przydzielonych do obsługi stanowiska pracy lub jednostki produkcyjnej bądź pomocniczej (maszyny, urządzenia, powierzchnia itp.) realizujących lub nadzorujących proces produkcyjny na danym stanowisku pracy;

• norma obsady stanowiska
  :

- suma czasu niezbędnego do wykonania wszystkich czynności angażujących robotników na stanowisku pracy;

- pozostałe oznaczenia jak wyżej;

• układ podstawowych norm pracy:

• normowanie zużycia materiałów:

• normy materiałów:

• zużycia;

• odzysku;

• wielokrotności użycia;

• uzysku;

• norma zużycia materiałów
  - ilość
  -tych materiałów niezbędna do wykonania jednostki
  -tej produkcji lub elementu budowli, zgodnie z wymaganiami technicznymi w warunkach racjonalnej i oszczędnej gospodarki;

• odzysku - ilości, gatunek i jakość odzyskiwanych materiałów na jednostkę obmiaru budowli lub jej elementu;

• wielokrotności użycia, np. drewna, śrub, łączników itp.;

• uzysku - normy wydobycia i przeróbki itp.;

• odpady, ubytki i starty materiałów:

• zmniejszenie ilości materiału podczas obróbki, transportu i przechowywania, np. stal zbrojeniowa, drewno na deskowania, pozostałość mieszanki betonowej lub zapraw na ścianach pojemników itp.;

• organizacja pracy zespołu złożonego:

• technologiczne uwarunkowania konstrukcyjne - modele technologii konstrukcji:

- unigraf spójny, acykliczny, z jednym wierzchołkiem początkowym i jednym końcowym, który opisuje podział obiektu na elementy, układy lub moduły konstrukcyjne, czyli strukturę oraz technicznie i technologicznie wymaganą kolejność robót, gdzie:

- zbiór wierzchołków grafu
, które reprezentują zdarzenia rozpoczęcia i zakończenia robót
;

- zbiór łuków grafu
, które reprezentują wyróżnione, przewidywane do wykonania pozycje przedmiaru robót;

- relacja trójczłonowa, która przyporządkowuje każdemu łukowi grafu
wierzchołek początkowy i końcowy
- zależność robót
.

- funkcja określona na zbiorze
wierzchołków grafu
, która charakteryzuje stany
robót budowlanych w wierzchołku
, czyli po wykonaniu wszystkich poprzedzających ten wierzchołek robót
,
,
;

- funkcja określona na zbiorze
łuków grafu
, która opisuje wielkość robót -
lub
,

- zbiór dodatnich liczb rzeczywistych.

• technologiczne uwarunkowania realizacji robót - modele technologii robót:

- zbiór potencjalnych wykonawców
robót
modelu
:

- wykonawca, który może realizować podzbiór
robót
modelu
i charakteryzuje się
lub
,
lub
,
lub
pracy;

- funkcja, która każdemu wykonawcy
przypisuje czas wykonania robót
modelu
- ustalony
w warunkach deterministycznych i oczekiwany
w warunkach stochastycznych;

- funkcja, która każdemu wykonawcy
przypisuje koszty wykonania robót
modelu
- ustalone
w warunkach deterministycznych i oczekiwane
w warunkach stochastycznych;

• struktura zespołu złożonego
  :

• powinna odpowiadać pojemności
  frontu robót
  dla zespołu
  :

• 
  maksymalna liczba zasobów elementarnych
  , która może być w pełni i równomiernie wykorzystana podczas wykonywania robót
  ;

• wyznaczanie zasobu wiodącego
  :

• w zależności od jednostkowej elementarnej pracochłonności
  lub
  :

lub

• w zależności od elementarnej wydajności
  lub
  :

lub

• liczba zasobów elementarnych
  , która zapewnia pracę równomierną tych zasobów z zasobem wiodącym
  ,
  :

• w zależności pracochłonności
  lub
  :

• w zależności wydajności
  lub
  :

• 
  pracochłonność zespołu złożonego:

lub

• wydajność zespołu złożonego:

lub

• czas pracy zespołu złożonego:

lub

lub
;

• koszty pracy zespołu złożonego:

lub

3. Katalogi norm i normatywów dla robót
budowlanych

• baza norm pracy

• katalogi nakładów rzeczowych, robocizny, sprzętu i materiałów;

• katalogi norm pracy;

• katalogi nakładów rzeczowych, robocizny, materiałów i sprzętu:

• KNR - Katalogi Nakładów Rzeczowych;

• KNKRB - Katalogi Norm Kosztorysowych Robót Budowlanych;

• KSNR - Katalogi Scalonych Nakładów Rzeczowych;

• KNNR - Kosztorysowe Normy Nakładów Rzeczowych;

• KNR, KNKRB, KSNR:

• mogą służyć jako normy zakładowe do sporządzania kosztorysów na roboty budowlane i do organizacji robót;

• nie mogą być wykorzystywane do sporządzania kosztorysów inwestorskich finansowanych ze środków publicznych

• KNNR:

• stanowią podstawę sporządzania kosztorysów inwestorskich;

• KNR:

• KNKRB- pierwszy etap scalania norm;

• KSNK:

• rodzaje robót:

• KSNR 1 - Roboty ziemne;

• KSNR 2 - Konstrukcje budowlane budownictwa ogólnego;

• KSNR 3 Roboty remontowe i ogólnobuowlane;

• KSNR 4 - Instalacje sanitarne i sieci wewnętrzne;

• KSNR 5 - Instalacje elektryczne i sieci zewnętrzne;

• KSNR 6 - Nawierzchnie na drogach i ulicach;

• KSNR 7 - Konstrukcje metalowe;

• KSNR 8 - Remonty instalacji sanitarnych;

• KSNR 9 - Remonty instalacji elektrycznych;

• KSNR 10 - Melioracje ora regulacje rzek i potoków;

• katalogi norm pracy:

• KNP - Katalogi Norm Pracy

• KNK - Katalogi Norm Kosztorysowych - normatywy czasu pracy;

• KNR - Katalogi Nakładów Rzeczowych;

6. PRZEDMIAROWANIE ROBÓT

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY

z dnia 2 września 2004 r.

w sprawie szczegółowego zakresu i formy dokumentacji projektowej, specyfikacji technicznych wykonania i odbioru robót budowlanych oraz programu funkcjonalno-użytkowego

(Dz. U. Nr 202, poz. 2072)

§ 6

Przedmiar robót

• przedmiar robót - opracowanie zawierające:

1. zestawienie przewidywanych do wykonania robót w kolejności technologicznej ich wykonania,

2. szczegółowy opis robót lub wskazane podstawy ustalające szczegółowy opis,

3. miejsce wykonania,

4. wyliczenie i zestawienie ilości jednostek miar robót podstawowych,

5. wskazanie podstaw do ustalania cen jednostkowych robót lub jednostkowych nakładów rzeczowych;

1. Przedmiar robót powinien zawierać:

1. zestawienie przewidywanych do wykonania robót podstawowych w kolejności technologicznej ich wykonania;

2. szczegółowy opis lub wskazanie podstaw ustalających szczegółowy opis;

3. wskazanie właściwych specyfikacji technicznych wykonania i odbioru robót budowlanych;

4. wyliczenie i zestawienie ilości jednostek przedmiarowych robót podstawowych.

2. Opracowanie przedmiaru robót składa się z:

1. karty tytułowej;

2. spisu działów przedmiaru robót;

3. tabeli przedmiaru robót.

4. Karta tytułowa przedmiaru robót zawiera informacje:

  1)  nazwę nadaną zamówieniu przez zamawiającego;

  2)  w zależności od zakresu robót budowlanych objętych przedmiotem zamówienia - nazwy i kody:

a)  grup robót,

b)  klas robót,

c)  kategorii robót;

 3)  adres obiektu budowlanego;

  4)  nazwę i adres zamawiającego;

  5)  datę opracowania przedmiaru robót.

Spis działów przedmiaru robót powinien przedstawiać:

• podział wszystkich robót budowlanych w danym obiekcie na grupy robót wg Wspólnego Słownika Zamówień.

• Dalszy podział przedmiaru robót należy opracować według systematyki ustalonej:

• indywidualnie;

• na podstawie systematyki stosowanej w publikacjach zawierających kosztorysowe normy nakładów rzeczowych.

• W przypadku robót budowlanych na wielu obiektach, w spisie działów należy dodatkowo przedstawić:

• podział całej inwestycji na obiekty budowlane;

• jako oddzielny dział dla wszystkich obiektów grupę robót dotyczącą przygotowania terenu;

• Tabele przedmiaru robót:

1. powinny zawierać pozycje przedmiarowe odpowiadające robotom podstawowym;

2. nie powinny uwzględniać się robót tymczasowych, które:

1. są projektowane i wykonywane jako potrzebne do wykonania robót podstawowych;

2. nie są przekazywane zamawiającemu;

3. są usuwane po wykonaniu robót podstawowych,

4. z wyłączeniem przypadków, gdy istnieją uzasadnione podstawy do ich odrębnego rozliczania.

7. Dla każdej pozycji przedmiaru robót należy podać:

  1)  numer pozycji przedmiaru;

  2)  kod pozycji przedmiaru, określony zgodnie z ustaloną indywidualnie systematyką robót lub na podstawie wskazanych publikacji zawierających kosztorysowe normy nakładów rzeczowych;

  3)  numer specyfikacji technicznej wykonania i odbioru robót budowlanych, zawierającej wymagania dla danej pozycji przedmiaru;

  4)  nazwę i opis pozycji przedmiaru oraz obliczenia ilości jednostek miary dla pozycji przedmiarowej;

  5)  jednostkę miary, której dotyczy pozycja przedmiaru;

  6)  ilość jednostek miary pozycji przedmiaru.

• przedmiar robót sporządza się przed ich wykonaniem:

• na podstawie dokumentacji projektowej;

• specyfikacji technicznej wykonania i odbioru robót;

• założeń wyjściowych do kosztorysowania;

7. ANALIZA STATYSTYCZNA SYSTEMU

• Warunki początkowe:

1. istnieje model badanego fragmentu rzeczywistości;

2. należy dokonać estymacji wybranych parametrów tego modelu:

1. przeprowadzić n prób obserwowanej wielkości w celu uzyskania niezbędnych danych;

2. określić wartość i dokładność estymowanego parametru;

3. określić prawdziwość modelu ze względu na:

1. niepewność naturalną - samoistną, nie dająca się zredukować;

2. niepewność statystyczną - wynikającą z braku precyzji estymacji parametrów modelu i w tym sensie może być wyeliminowana kosztem bardo dużej liczności próby;

3. niepewność modelu - może w zasadzie być wyeliminowana przy wystarczających danych;
   statystyka opisowa:

• opis badanej sytuacji, który określa:

1. Podział parametrów na dyskretne i ciągłe

2. Oszacowanie obszarów zmienności parametrów

3. Określenie granic badanej populacji

4. Określenie, które z badanych populacji są skończone, a które nieskończone

5. Ustalenie struktury populacji ze względu na badaną cechę:

1. Czy badana cech jest rozłożona równomiernie?

2. Czy istnieją małe i bardzo duże wartości cechy?

6. Przybliżone oszacowanie liczbowe pewnych prostych wskaźników globalnych charakteryzujących badaną populację:

1. Wskaźniki struktury i natężenia,

2. Średnia klasyczna i pozycyjne,

3. Miary dyspersji, asymetrii, koncentracji;

7. Wnioski dotyczące dynamiki zmian badanej populacji ze względu na badaną cechę, liczność populacji itp.

źródła danych do obróbki statystycznej:

1. Wyniki specjalnych pomiarów dla celów statystycznych.

2. Dokumentacja prowadzona w innych celach.

• wskaźniki liczbowe:

1. Wskaźnik struktury (częstotliwość względna) - stosunek liczby jednostek odpowiadających populacji badanej cechy
   do ogólnej liczby jednostek populacji
   :




2. Średnia klasyczna
   :





-kolejne wartości cechy
;

3. Mediana - wyraz środkowy.

4. Dominanta lub tzw. moda - wartość występująca najczęściej.

5. Obszar zmienności cechy
   :




• pobieranie prób, wnioskowanie statystyczne:

• reprezentatywność próby:

1. Próba powinna posiadać własności podobne do własności całej populacji generalnej (PG).

2. Przykład:

1. Na placu budowy mamy pręty zbrojenia np. 1000 szt. (PG).

2. Celem zbadania wytrzymałości należy pobrać próbę np. 100 szt.

3. Określić wytrzymałość prętów.

4. Problem: jak pobrać próbę?

• pobieranie prób:

1. Losowe proste

2. Losowanie warstwowe;

3. Losowanie grupowe (zespołowe);

4. Losowanie systematyczne;

• pobieranie prób losowe proste:

1. Każdy z elementów populacji generalnej ma jednakowe szanse trafienia do próby.

2. Stosując np. generator liczb losowych o rozkładzie równomiernym wyznaczamy próbę losową o określonej liczności;

3. Estymator
   wartości średniej - średnia z próby:


;

4. Standardowy błąd średniej z próby:




5. Estymator
   wariancji
   - wariancja z próby:


;

• losowanie warstwowe:

1. Populację generalna dzielimy na warstwy odzwierciedlając jej obraz (przekrój) względem badanej cechy.

2. Liczba elementów losowanych z każdej warstwy zależy od liczności warstwy lub rozstępu badanej cechy w warstwie.

3. Podzielić populacje generalną
   -elementową na warstwy
   - elementowe i rozstępie
   ,
   :


np.:

• mamy dwie warstwy o liczności
  i
  oraz rozstępach
  i
  ;

• udział próbek w populacji:

I warstwa:
; II warstwa


4. Określić wagi warstw według zależności:




5. Pobieramy z każdej warstwy próbę o liczności
   , przy czym liczebność całej próby:




6. Obliczamy frakcję próby w
   -tej warstwie
   ;

7. Obliczamy wartości średnie:

• średnia podpróby w
  -tej warstwie:


,

• estymator wartości średniej populacji w losowaniu warstwowym:


;

8. Wariancja
   warstwowego estymatora wartości średniej populacji,
   :

• jeśli dobór próby z różnych warstw losujemy niezależnie dana jest wzorem:




• jeśli dobór we wszystkich warstwach jest losowy to również wzorem:




• losowanie grupowe (zespołowe) - ma zastosowanie, gdy populacja jest bardzo duża i rozmieszczona na dużym obszarze:

1. Do badania wybiera się grupę z populacji generalnej, której elementy posiadają identyczną pewną cechę, która nie jest skorelowana badaną cecha populacji generalnej.

2. Zakładamy, że populacja generalna składa się z
   zespołów.

3. Z listy
   zespołów wybieramy
   zespołów

• losowanie zespołowe jednostopniowe:

• pobieramy do próby każdy element z każdego z
  zespołów;

• 
  - liczba elementów w każdym z
  zespołów;

• 
  - wartości średnie w zespołach;

• nieobciążony estymator zespołowy wartości średniej populacji jest dany równaniem:




• estymator wariancji średniej populacji dany jest równaniem:





- średnia liczba elementów w pobranych do próby zespołach;

• zaletą jest zwykle mały koszt badań lecz często trudno jest uzasadnić wybór grupy, brak korelacji itp.

• losowanie dwustopniowe:

• gdy zespoły są bardzo duże lub elementy w każdym zespole są podobne lepiej wybrać
  zespołów i z każdego zespołu losować
  elementów;

• niestety wzory estymatorów i ich wariancji są bardziej skomplikowane;

• losowanie systematyczne:

1. Załóżmy, że elementy populacji znajdują się w pewnym porządku fizycznym np. towary w magazynach, podzespoły na taśmie montażowej;

2. Należy pobrać
   -elementową próbę z populacji jest
   -elementowej;

3. Określić stosunek
   lub
   ;

4. Podzielić populację generalną na
   grup po
   elementów;

5. Wybrać pewną liczbę
   z przedziału
   ;

6. Pobrać
   -elementową próbę przez wybranie elementów o następujących położeniach w ciągu:


;

7. Estymator wartości średniej populacji, dla losowania systematycznego:


;

8. Estymator wariancji wartości średniej:

• jeśli brak jakiegoś porządku ułożenia elementów w populacji:





- zwykła wariancja z próby
;

• jeśli wartość średnia jest stała w obrębie każdej
  -elementowej warstwy, ale różni się między warstwami:




• przedziały ufności:

• centralne twierdzenie graniczne - przy bardzo ogólnych założeniach, w miarę jak liczba zmiennych losowych będących składnikami sumy staje się wielka, rozkład sumy tych zmiennych przybliża się do rozkładu normalnego jeśli:

1. zmienne są niezależne;

2. mają jednakowy rozkład;

3. nie mają jednakowego rozkładu jednak każda zmienna składowa ma niewielki wpływ na sumę, a łączny ich rozkład ma tę własność, że korelacja między dowolną zmienną i każdą skończoną ilością pozostałych jest rzeczywiście równa zeru;

4. prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości:

w przedziale jedno-, dwu- i trzysigmowym wynosi odpowiednio~65%, ~95%, ~99,5%;

twierdzenie Czebyszewa - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa
przyjmie wartości z danego przedziału wynosi:


,

5. wartości
   dla przedziałów jedno-, dwu- i trzysigmowego są równe odpowiednio
   ;

6. przedziały ufności wartości średniej:

dla dowolnego przedziału - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość
z przedziału
:


,


- statystyka o rozkładzie
;

• dla przedziału symetrycznego względem zera:


,


→
;


- dystrybuanta rozkładu normalnego
;


- wartość , dla której
;


- poziom ufności - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa
przyjmie wartość
przedziału
;


- prawdopodobieństwo wystąpienia wartości poza przedziałem
;

• 95% przedział ufności dla wartości średniej populacji, gdy znane jest
  , a próba pochodzi z populacji normalnej lub jest „dużą” próbą, wyznacza wzór:




• w praktyce
  jest nieznane;

• jeśli rozkład populacji jest normalny, to standaryzowana statystyka




ma rozkład
o
stopniach swobody;

• 
  przedział ufności dla, gdy
  nie jest znane, a rozkład w populacji jest normalny wyznacza wzór





jest wartością z rozkładu o
stopniach swobody, która odcina pod „ogonem” krzywej gęstości rozkładu pole o mierze
z prawej strony;

Strona 15 z 20

---