26.a) Zasada argumentu i twierdzenie Rouche.

Jeżeli funkcje f i g są holomorficzne w obszarze D, ciągłe w obszarze D i na jego brzegu oraz dla każdego z na brzegu obszaru D ma miejsce nierówność
, to suma krotności miejsc zerowych sumy f(z)+g(z) w obszarze D jest dokładnie taka sama jak suma krotności miejsc zerowych funkcji f(z) w obszarze D.

26.b) Określić ilość miejsc zerowych leżących w kole K°(0;1)={z∈C:|z|≤1} wielomianu:

• z⁹-2z⁶+z²-8z-2.

• z⁷-5z⁴+z²-2.

K°(0;1)={z∈C :|z|≤1}

g(z)=z⁹-2z⁶+z²-2

f(z)=-8z

|g(z)|<|f(z)|, gdyż |z⁹-2z⁶+z²-2|≤|z⁹|+|-2z⁶|+|z²|+|-2|=(na brzegu D)=1+2+1+2=6

|-8z|=8 ⇒ 6<8 Wobec tego f(z)+g(z)= z⁹-2z⁶+z²-8z-2 ma jedno miejsce zerowe leżące w

tym kole, ponieważ f(z)=-8z ma także jedno miejsce zerowe w tym kole.

Analogicznie:

g(z)=z⁷+z²-2

f(z)=-5z⁴

|g(z)|<|f(z)|, gdyż | z⁷+z²-2|≤|z⁷|+|z²|+|-z|=4

|-5z⁴|=5 ⇒ 4<5 ⇒ cztery miejsca zerowe.

---