15. SZEREGI

Szeregi liczbowe

Nieskończonym szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie:

(15.1)

W celu zdefiniowania zbieżności szeregu wprowadzamy pojęcie ciągu
sum częściowych:

(15.2)

Jeżeli ciąg
jest zbieżny do liczby S, tzn.
, to szereg (15.1) nazywamy zbieżnym i ma on sumę S, co zapisujemy
.

PRZYKŁAD 1. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

N-ta suma częściowa:

=

Ponieważ:
=
, mamy:

=
=

227

Zatem:

Dany szereg jest więc zbieżny do sumy 1, czyli:

PRZYKŁAD 2. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

N-ta suma częściowa:

=
=
=

A więc:

Zatem dany szereg jest rozbieżny do
.

Warunek konieczny zbieżności szeregu. Jeżeli szereg
jest zbieżny, to
. Warunek ten eliminuje z rozważań szeregi, które nie spełniają warunku koniecznego, np.

jest szeregiem rozbieżnym, ponieważ
.

Także szereg
jest rozbieżny, ponieważ
.

Natomiast w przypadku szeregu harmonicznego
, mimo że jest spełniony warunek konieczny zbieżności
, to jednak, jak to wykazano w przykładzie 4, szereg ten jest rozbieżny.

Szereg postaci:

(zwany szeregiem geometrycznym) jest zbieżny do sumy
dla
(warunek zbieżności).

Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich

I Kryteria porównawcze

Jeżeli wyrazy dwóch szeregów
i
spełniają warunki
dla
, to:

228

1) jeżeli
jest zbieżny, to szereg
jest również zbieżny,

2) jeżeli
jest rozbieżny, to szereg
jest również rozbieżny.

II Kryterium d'Alemberta

Szereg
o wyrazach dodatnich, spełniający warunek:

,

dla
jest zbieżny, dla
jest rozbieżny.

III Kryterium Cauchy'ego

Szereg
o wyrazach nieujemnych, spełniający warunek:

,

dla
jest zbieżny, dla
jest rozbieżny.

IV Kryterium całkowe

Niech k oznacza dowolną liczbę naturalną. Jeżeli funkcja
jest nierosnąca i nieujemna w przedziale
, to całka
oraz szereg
, gdzie
, są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Uwaga

Jeżeli w kryterium II
, ewentualnie w kryterium III
, to wówczas kryteria zawodzą, szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. Jeżeli w kryterium IV całka I jest zbieżna i
, to
.

PRZYKŁAD 3. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Zauważmy, ze zgodnie z przykładem 1 szereg zbieżny

ma dla wszystkich
wyrazy większe od wyrazów szeregu
, tzn.
,a więc na mocy kryterium I jest zbieżny szereg
a także szereg
. Zbieżny jest również dany szereg
.

PRZYKŁAD 4. Zbadać zbieżność szeregu:

229

ROZWIĄZANIE.

Korzystając z nierówności
dla
mamy następującą nierówność:

Ale zgodnie z przykładem 2 szereg
jest rozbieżny, zatem na podstawie kryterium I rozbieżny jest także szereg
.

PRZYKŁAD 5. Zbadać zbieżność szeregu harmonicznego rzędu
:

ROZWIĄZANIE.

Skorzystamy z kryterium IV. Weźmy całkę
.

Całka ta na podstawie (11.13) jest zbieżna dla
, a rozbieżna dla
. Ponieważ spełnione są założenia kryterium IV, możemy więc stwierdzić, że szereg
jest zbieżny dla
, a rozbieżny dla
.

PRZYKŁAD 6. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Jest to szereg o wyrazach dodatnich

=

Zauważmy, że ogólny wyraz tego szeregu po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez
ma postać:

=
=
=
=
=

Szereg
jest zbieżny zgodnie z przykładem 5
, a więc rozpatrywany szereg
jest na mocy kryterium I także zbieżny.

230

PRZYKŁAD 7. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Stosując kryterium II mamy:

=
=
=
=
=
=
=
,

zatem dany szereg
jest zbieżny.

PRZYKŁAD 8. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Stosując kryterium II mamy:

=
=
=
=
=
=

zatem dany szereg
jest rozbieżny.

PRZYKŁAD 9. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Stosując kryterium III mamy:

=
=
=
=
,

a więc dany szereg
jest zbieżny (wykorzystano twierdzenie
)

231

V. Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szereg
nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg
.

Szereg
, który jest zbieżny, a nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy zbieżnym warunkowo.

PRZYKŁAD 10. Zbadać zbieżność szeregu:

ROZWIĄZANIE.

Ponieważ dany szereg jest szeregiem o wyrazach dowolnych znaków, badamy jego zbieżność bezwzględną, czyli badamy szereg
. Ponieważ
, zatem
, a szereg
jest szeregiem zbieżnym zgodnie z przykładem 5. Zatem szereg
zbieżny bezwzględnie.

VI. Kryterium Leibniza zbieżności szeregu przemiennego

Jeżeli w szeregu
wszystkie
są dodatnie oraz:

1)
,

2)
,

to szereg
jest zbieżny.

Uwaga. Biorąc w szeregu
zamiast sumy szeregu S jego sumę częściową
, mamy następującą ocenę błędu:

.

Reszta jest więc zawsze mniejsza od wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego wyrazu.

PRZYKŁAD 11. Zbadać zbieżność szeregu przemiennego:

.

ROZWIĄZANIE.

Szereg ten nie jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ jest rozbieżny szereg
(przykład 4). Natomiast szereg
jest zbieżny warunkowo, ponieważ zgodnie z kryterium Leibniza (VI) mamy
oraz:

1)
,

2)
, ponieważ
dla wszystkich naturalnych n.

232

PRZYKŁAD 12. Zbadać zbieżność szeregu:

.

ROZWIĄZANIE.

Dany szereg nie jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ rozbieżny jest szereg
. Mamy bowiem
dla wszystkich
, a szereg
jest rozbieżny. Ale szereg
jest zbieżny warunkowo, ponieważ zgodnie z kryterium VI
:

1)
,

2)
, ponieważ
dla wszystkich naturalnych n.

Ostatnia nierówność wynika z tego, że
, a w przedziale
tangens jest funkcją rosnącą, zatem większym argumentom odpowiadają większe wartości funkcji.

Szeregi potęgowe

Szeregiem potęgowym o środku
nazywamy szereg:

(15.3)

Dla
mamy

(15.4)

Szereg potęgowy jest szczególnym przypadkiem szeregu, funkcyjnego
, gdzie funkcje
.

Promień zbieżności szeregu

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (15.3) nazywamy taką liczbę,
, że dla każdego
dany szereg jest zbieżny, a dla każdego
szereg jest rozbieżny (dla
i
szereg może być zbieżny lub rozbieżny).

Przedział zbieżności szeregu

Przedział
nazywa się przedziałem zbieżności szeregu. Na przykład szereg geometryczny
ma promień zbieżności
, a przedział zbieżności
.

233

Jeżeli dla danego szeregu potęgowego
istnieje
, to promień zbieżności tego szeregu
.

Jeżeli zaś
, to
(wtedy szereg jest zbieżny dla każdej wartości x), a gdy
to
(wtedy szereg jest zbieżny tylko dla
).

Własności szeregów potęgowych:

1. Suma szeregu potęgowego
jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności, tj. dla
.

2. Szereg potęgowy jest wewnątrz swego przedziału zbieżności zbieżny bezwzględnie.

3. Szereg potęgowy
wolno różniczkować wyraz po wyrazie, tzn.

i szereg pochodny ma ten sam przedział zbieżności, co szereg pierwotny.

4. Szereg potęgowy można także całkować wyraz po wyrazie wewnątrz przedziału zbieżności.

PRZYKŁAD 13. Zbadać zbieżność szeregu potęgowego:

ROZWIĄZANIE.

Obliczamy promień zbieżności szeregu
.

Mamy:

=
=
=
=
=
=

Ponieważ
, wobec tego przedziałem zbieżności jest
.

Dla
mamy
szereg liczbowy zbieżny (przykład 11).

Dla
mamy
szereg liczbowy rozbieżny (przykład 4).

Zatem badany szereg potęgowy
jest zbieżny dla
.

234

Szeregi Taylora i Maclaurina

Niech funkcja
ma wszystkie pochodne w pewnym otoczeniu punktu
. W rozdziale siódmym podano wzór Taylora:

gdzie n-ta reszta
,
.

Dla
był to wzór Maclaurina.

Jeżeli dla każdego x z otoczenia punktu
,
, to funkcja
jest w otoczeniu punktu
sumą następującego szeregu potęgowego, zwanego szeregiem Taylora:

=

=
=
(15.5)

gdzie:
oraz
.

Jeżeli we wzorze (15.5) podstawimy
otrzymamy szereg Maclaurina:

gdzie
.

PRZYKŁAD 14. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:

.

ROZWIĄZANIE.

=
=
=
,

dla
.

235

Podstawowe rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina:

=
=
, x dowolne, (15.7)

=
=
, x dowolne, (15.8)

=
=
, x dowolne, (15.9)

=
=
=
,
, (15.10)

=
,
, (15.11)

W ostatnim rozwiązaniu, jeżeli
, to mamy wzór Newtona prawdziwy dla każdego x.

PRZYKŁAD 15. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:

ROZWIĄZANIE.

=
=
=
=
,

Gdzie:
, czyli
.

Zastosowano tu wzór na sumę szeregu geometrycznego
,
.

PRZYKŁAD 16. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:

,

gdzie
.

236

ROZWIĄZANIE.

Zgodnie z rozwinięciem (15.11) mamy:

=
=

Biorąc z tego rozwinięcia dwa wyrazy dla
, popełniamy błąd mniejszy od wartości trzeciego wyrazu dla danego x.

PRZYKŁAD 17. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:

.

ROZWIĄZANIE.

Zamiast rozwijać tę funkcję zwykłą metodą zauważmy, że:

=
=
, dla
.

Funkcja ta jest pochodną funkcji:

Zachodzi więc równość
. Podstawiając
otrzymamy
, czyli:

=
=
, dla
.

Szereg ten jest nadto zbieżny dla
, zatem podstawiając
mamy:

=
=

Obliczenie z tego związku
jest jednak niewygodne, ponieważ szereg ten jest wolnozbieżny.

PRZYKŁAD 18. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:

.

ROZWIĄZANIE.

Rozwijamy w szereg Maclaurina funkcję:

=

237

Ponieważ, zgodnie z (15.8),
=
,
, zatem po podstawieniu
otrzymamy
.

Całkując obie strony otrzymamy:

=
=
=

Podstawiając
otrzymujemy
(ponieważ
). Zatem:

=
.

PRZYKŁAD 19. Obliczyć
z dokładnością do
.

ROZWIĄZANIE.

Zgodnie z (15.7)
=
. Zatem podstawiając
mamy:

=
,

=
=
=
=

Uwaga:

Biorąc w rozwinięciu szeregu przemiennego
pierwszych wyrazów popełniamy błąd nie większy niż wartość bezwzględna k-tego wyrazu rozwinięcia.

W rozważanym powyżej przykładzie
, zatem wartość całki
obliczana z dokładnością do 0,0002 wynosi:

238

.

Szereg Fouriera

Niech dana będzie funkcja
określona i całkowalna w przedziale
. Szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji
nazywamy szereg:

, (15.12)

Gdzie:

,
,
, (15.13)

Warunki Dirichleta

Funkcja
jest równa swemu szeregowi Fouriera w przedziale
, jeżeli spełnia w tym przedziale tzw. warunki Dirichleta:

1. Funkcja
jest przedziałami monotoniczna w przedziale
, tzn. że przedział ten można podzielić na skończoną liczbę przedziałów częściowych, wewnątrz których funkcja
jest monotoniczna.

2. Funkcja
jest ciągła w przedziale
, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. W każdym punkcie nieciągłości
istnieją skończone granice lewostronna i prawostronna i wartość funkcji w punkcie
równa się:
gdzie oznaczono
oraz
.

3. Na końcach przedziału
funkcja ta ma skończone granice
i
i jej wartość wynosi
.

Uwaga:

Jeżeli ponadto funkcja jest okresowa, o okresie
, to jest ona równa swemu szeregowi Fouriera na całej osi rzeczywistej.

Jeśli funkcja
jest parzysta, to
, dla
i wówczas:

, dla
. (15.14)

Jeżeli funkcja
jest nieparzysta, to
, dla
i wówczas:

, dla
. (15.15)

239

Jeżeli funkcja
określona w przedziale
spełnia dwa pierwsze warunki Dirichleta i posiada skończone granice jednostronne
i
, to funkcję tę można przedstawić w przedziale
za pomocą szeregu Fouriera samych sinusów lub cosinusów, przedłużając je na przedział
do funkcji nieparzystej lub parzystej.

W przypadku przedłużenia nieparzystego:

gdzie
określa wzór (15.15),

natomiast w przypadku przedłużenia parzystego:

gdzie
określa wzór (15.14).

PRZYKŁAD 20. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
określoną następująco:

.

ROZWIĄZANIE.

Zauważmy, że funkcja
spełnia warunki Dirichleta, ponieważ jest rosnąca w przedziale
, jest ciągła w przedziale
oraz

Ponadto funkcja
jest nieparzysta, zatem
, dla

Zgodnie z (I5.15)
=
. Oznaczamy:

i całkujemy przez części:

=
=

Ponieważ
, mamy więc:

Zatem:

.

ĆWICZENIA

15.1. Zbadać zbieżność szeregów:

Odp. Zbieżny.

Odp. Zbieżny.

Odp. Zbieżny (skorzystać z nierówności
).

Odp. Zbieżny.

Odp. Rozbieżny.

Odp. Rozbieżny.

Odp. Zbieżny.

Odp. Rozbieżny.

Odp. Zbieżny.

t parametr Odp. Zbieżny bezwzględnie.

Odp. Zbieżny warunkowo.

15.2. Wyznaczyć sumę
szeregu:

,

Odp.
.

15.3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu:

Odp.
.

15.4. Obliczyć promień zbieżności szeregu:

Odp.
.

15.5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu:

Odp.
.

Odp.
.

Odp.
.

Odp.
.

Odp.
.

15.6. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:

Odp.
.

Odp.
.

Odp.
.

15.7. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:

Odp.
=
.

Odp.
=
.

Odp.

.

Odp.

.

Odp.

.

Odp.

.

15.8. Obliczyć
, biorąc pod uwagę trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia funkcji podcałkowej w szereg.

Odp.
.

15.9. Obliczyć
biorąc trzy wyrazy rozwinięcia funkcji
w szereg potęgowy.

Odp.
z dokładnością do sześciu cyfr po przecinku.

15.10. Przedstawić szeregiem Fouriera funkcje:

Odp.
.

dla
Odp.
.

Odp.
.

---