1. Linia geodezyjna (ortodroma)

1. definicja - krzywa na powierzchni, dla której normalna do powierzchni wystawiona w punkcie krzywej pokrywa się z normalną główną do krzywej (leży w płaszczyźnie ściśle stycznej tej krzywej).

2. Własności linii geodezyjnej:

• krzywizna geodezyjna ortodromy jest równa zero (krzywizna l.g. to krzywizna rzutu linii na płaszczyznę styczną do powierzchni)

• przez dwa punkty (lub przez każdy punkt ) przechodzi nieskończenie wiele linii geodezyjnych,

• najkrótsza odległość między dwoma punktami jest linią geodezyjną ale linia geodezyjna nie musi być najkrótszą odległością między dwoma punktami,

• na małych obszarach (fragment kuli, elipsoidy) połączenie ortodromą jest jednoznaczne,

• równanie linii geodezyjnej dla powierzchni obrotowej:

• 
  , r - odległość od osi obrotu w płaszczyźnie prostopadłej do osi,

• dla elipsoidy:
  

stąd

3. przykłady linii geodezyjnej:

• na powierzchni kulistej to koło wielkie (równik, południki),

• na walcu to linia śrubowa lub tworząca,

• na płaszczyźnie to prosta.

2. Przebieg linii geodezyjnej na elipsoidzie

Zadanie. Oblicz maksymalną szerokość geodezyjną, którą osiągnie linia geodezyjna jeśli linia ta przecina równik elipsoidy pod azymutem A₀ = 60°

Wychodząc z ównania linii geodezyjnej:

można dla naszej linii można napisać:
.

Promień równoleżnika r można przedstawić w funkcji szerokości zredukowanej:

a równanie linii geodezyjnej przyjmie wtedy postać:

W punkcie B azymut linii geodezyjnej wynosi
zatem

Korzystając z wzoru przybliżonego na różnicę B-ψ dla elipsoidy WGS-84 będzie:

3. Przebieg linii geodezyjnej względem przekroju normalnego

W przybliżeniu :

,

W przypadku gdy oba punkty P₁ i P₂ leżą na tym samym równoleżniku to dla α=90° pierwszy wyraz zanika, zaś drugi wyraz osiągnie maksimum dla B=45°. Wtedy przy długości σ≈130km azymut linii geodezyjnej będzie większy o 0.0002″.

Im bliżej równika (lub bieguna) różnice między przekrojem normalnym a ortodromą bąda malały.

A_max

P₀

A₀

P_max

ψ_max

P₁

ω

1/3ω

2/3ω

α'

α

A

σ

P₂

---