• zamiana indeksów indywidualnych łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe:

zamiany tej dokonujemy:

• dla okresów wcześniejszych od przyjętego za podstawę porównania - dzieląc dany indeks jednopodstawowy przez odpowiadający mu indeks łańcuchowy i mnożąc przez 100

• dla okresów późniejszych od przyjętego za podstawę porównania - mnożąc dany indeks jednopodstawowy przez indeks łańcuchowy z okresu następnego i dzieląc przez 100

Lata	Indeks: rok poprzedni = 100	Działania	Indeks: 1994 = 100
1990	⋅	(78,4÷130,0)⋅100	60,4
1991	130,0	(77,7÷99,0)⋅100	78,4
1992	99,0	(88,2÷113,5)⋅100	77,7
1993	113,5	(100,0÷113,4)⋅100	88,2
1994	113,4	100,0	100,0
1995	109,7	(100,0⋅109,7) ÷100	109,7
1996	104,6	(109,7⋅104,6) ÷100	114,7
1997	103,9	(114,7⋅103,9) ÷100	119,2
1998	114,3	(119,2⋅114,3) ÷100	136,2
1999	112,5	(136,2⋅112,5) ÷100	153,2

30-04-2001

INDEKSY AGRAGATOWE (WIELKOŚCI ABSOLUTNYCH)

Indeksy agregatowe są narzędziem wykorzystywanym przy analizie zjawisk niejednorodnych.

• Indeksy wartości

wartość = ilość × cena

p - cena

q - ilość

Indeks wartości jednopodstawowy: Indeks wartości łańcuchowy:

gdzie: q_n - ilość w okresie badanym

q₀ - ilość w okresie podstawowym

p_n - cena w okresie badanym

p₀ - cena w okresie podstawowym

q_n-1 - ilość w okresie poprzedzającym okres badany

p_n-1 - cena w okresie poprzedzającym okres badany

• Indeksy ilości

Indeks ilości Laspeyres'a: Indeks ilości Paasche'go:

określa zmiany ilości przy założeniu określa zmiany ilości przy założeniu

stabilizacji cen z okresu podstawowego stabilizacji cen z okresu badanego

Indywidualny indeks ilości:

Formuła zastępcza indeksu ilości Laspeyres'a (w postaci średniej arytmetycznej):

Formuła zastępcza indeksu ilości Paasche'go (w postaci średniej harmonicznej):

• Indeksy cen

Indeks cen Laspeyres'a: Indeks cen Paasche'go:

określa zmiany cen przy założeniu określa zmiany cen przy założeniu

stabilizacji ilości z okresu podst. stabilizacji ilości z okresu badanego

Indywidualny indeks cen:

Formuła zastępcza indeksu cen Laspeyres'a (w postaci średniej arytmetycznej):

Formuła zastępcza indeksu cen Paasche'go (w postaci średniej harmonicznej):

• Związki między indeksami

Przykład 1

Wartość obrotów towarowych w przedsiębiorstwie Z w 1990r. była następująca: towaru A - 120 mln zł, towaru B - 80 mln zł, towaru C - 100 mln zł. Poza tym wiadomo, że cena towaru A w 1990r. w porównaniu z 1985r. wzrosła o 10%, towaru B - zmalała o 5%, a towaru C - wzrosła o 20%. Łączna wartość obrotów w 1985r. wynosiła 240 mln zł. Scharakteryzuj dynamikę obrotów przedsiębiorstwa Z obliczając właściwe indeksy agregatowe.

Artykuł	Wartość obrotów 1990r. [mln zł] - pnqn	Zmiany cen w 1990r. (w stos. do 1985r.)	ip
A	120	wzrosła o 10%	1,10	109,09
B	80	zmalała o 5%	0,95	84,21
C	100	wzrosła o 20%	1,20	83,33
Σ	300			276,63

Σ p₀ q₀ = 240

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość obrotów towarowych w roku 1990 była o 25% wyższa od wartości obrotów w 1985r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen.

Indeks cen:

Obliczamy indywidualne indeksy cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Paasche'go informuje, że ceny badanych artykułów wzrosły w roku 1990 w porównaniu z rokiem 1985 o 8,45%, przy założeniu, że ilość artykułów w 1985r. była taka sama, jak w roku 1990.

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres'a informuje, że ilość badanych artykułów wzrosła w 1990r. w porównaniu z rokiem 1985 o 15,26%, przy założeniu, że ceny artykułów w 1990r. były takie same, jak w roku 1985.

Przykład 2

Wartość sprzedaży niektórych towarów niekonsumpcyjnych w handlu detalicznym w Polsce w 1989r. wynosiła 21555 mln zł, natomiast wartość sprzedaży tych artykułów w 1986r. oraz indywidualne indeksy cen tych towarów w omawianym okresie przedstawia poniższa tabela:

Artykuły	Wartość sprzedaży 1986r. [mln zł] - p0q0	ip
maszyny i urządzenia rolnicze	2274	1,021	2321,75
nawozy sztuczne	2806	0,996	2794,78
pasze	2396	1,216	2913,54
Σ	7476		8030,07

Scharakteryzuj dynamikę zmian wartości, ilości i cen badanych artykułów w latach 1986 i 1989.

Σ p_nq_n = 21555

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość sprzedaży tych artykułów w roku 1989 była o 188,32% wyższa od wartości obrotów w 1986r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen badanych artykułów.

Indeks cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Laspeyres'a informuje, że ceny badanych artykułów wzrosły w roku 1989 w porównaniu z rokiem 1986 o 7,42%, przy założeniu, że ilość artykułów w 1989r. była taka sama, jak w roku 1985.

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Paasche'go informuje, że ilość badanych artykułów wzrosła w 1989r. w porównaniu z rokiem 1986 o 168,4%, przy założeniu, że ceny artykułów w 1986r. były takie same, jak w roku 1989.

Przykład 3

Obroty materiałami budowlanymi w pewnym sklepie w 1989r. kształtowały się następująco:

Materiał	Obroty 1989r. [mln zł] - p0q0	ip
A	0,4	0,95	0,42
B	0,8	1,20	0,67
C	0,2	1,00	0,20
Σ	1,4		1,29

Wiadomo ponadto, że ceny materiału A w 1989r. w porównaniu z 1987r. zmalały o 5%, materiału B wzrosły o 20%, a materiału C pozostały bez zmian. Łączne obroty w 1987r. wynosiły 1 mld zł. Jaki wpływ na dynamikę wartości sprzedaży tych materiałów miały ceny, a jaki zmiany ilości zakupów?

Σ q₀p₀ = 1

Indeks wartości:

Odp. Łączna wartość obrotów w roku 1989 w porównaniu z 1987r. wzrosła o 40%. Wzrost ten był spowodowany zmianami ilości i cen.

Indeks cen:

Korzystamy z formuły zastępczej:

Odp. Agregatowy indeks cen Paasche'go informuje, że ceny materiałów budowlanych w 1989r. w porównaniu z 1987r. wzrosły o 8,5%, przy założeniu, że ilość materiałów w 1987r. była taka sama, jak w 1989r..

Indeks ilości:

Korzystamy ze związków między indeksami:

Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres'a informuje, że ilość materiałów budowlanych w 1989r. w porównaniu z rokiem 1987 o 29%, przy założeniu, że ceny materiałów w 1989r. były takie same, jak w roku 1987.

07-05-2001

Badanie tendencji rozwojowych

Tendencje rozwojowe pozwalają prognozować stan gospodarczy. Badanie szeregów czasowych pozwala stwierdzić, że występują w nich pewne zmiany.

Zmiany te można podzielić na:

1. Wahania przypadkowe - są to nieregularne, nieperiodyczne zmiany w działalności gospodarczej wynikające z nieustannego występowania różnego rodzaju zjawisk przypadkowych.

• Wahania przypadkowe trudno jest analizować i ująć w określony schemat. Wynikają one z działania przyczyn nie związanych z istotą badanego zjawiska; np. urodzaj spowodowany pogodą.

• Zbliżone do wahań przypadkowych są wahania katastroficzne, spowodowane kataklizmami, np. wojną, trzęsieniem ziemi, powodzią. Wywołują one silne i trwałe zmiany w rozwoju gospodarki narodowej.

2. Wahania cykliczne - zwane też wahaniami koniunkturalnymi - cechą charakterystyczną jest tu pewna periodyczność ich faz rozwojowych - mogą zachodzić powtarzające się fazy wzrostu i zmniejszania się rozmiarów zjawiska pod wpływem istniejących stale powtarzających się przyczyn.

• Są to wahania wieloletnie.

• Wahania koniunkturalne - po okresie szczytowej produkcji (boomu) obserwuje się znaczny spadek produkcji, wzrost bezrobocia, zmniejszenie inwestycji - dopiero po tym okresie następuje okres ożywienia, itd.

3. Wahania sezonowe - dla tego rodzaju wahań charakterystyczna jest również periodyczność - wahania te są związane z określonymi sezonami.

• Mogą to być wahania krótkookresowe (np. tygodniowe, miesięczne) lub zmiany w rocznym okresie wahań powtarzających się w określonych porach roku (np. półroczne - zużycie energii elektrycznej jest większe zimą, a mniejsze latem).

• Wahanie te nie przekraczają roku.

4. Trendy - to powolne, regularne i systematyczne zmiany okresowego zjawiska zaobserwowane w dostatecznie długim przedziale czasu i będące rezultatem działania przyczyn głównych.

• Zjawiska w szeregach czasowych mogą w przeciągu całego okres obserwacji wzrastać i to z różnym natężeniem, mogą też stale spadać lub pozostawać na niezmienionym poziomie.

• Uważa się, że do wyodrębnienia trendu powinien być wykorzystany okres co najmniej 10 lat.

Wyrównywanie (wygładzanie) szeregów czasowych - to wyodrębnienie tendencji rozwojowej przez eliminację wahań przypadkowych i okresowych.

Najczęstszymi metodami są:

• mechaniczna,

• analityczna.

• Metoda mechaniczna - opiera się na średnich ruchomych i polega na zastępowaniu danych empirycznych średnimi poziomami z okresu badanego i kilku okresów sąsiednich.

• Średnie ruchome mogą być obliczane z parzystej bądź nieparzystej liczby kolejnych wyrazów szeregu empirycznego.

• Wybór rodzaju średnich ruchomych uzależniony jest m.in. od celu badania:

• jeśli celem badania jest określenie siły i kierunku działania czynników okresowych - stosuje się średnie ruchome scentrowane (obliczane z parzystej liczby wyrazów),

• jeśli natomiast celem badania jest wyodrębnienie tendencji rozwojowej - średnie ruchome obliczane są z nieparzystej liczby kolejnych wyrazów szeregu czasowego.

y₁, y₂, ..., y_n - kolejne wyrazy szeregu

3-letni okres wygładzenia (szereg skraca się o dwie wartości: początek i koniec):

itd.

5-letni okres wygładzenia (szereg skróci się o 4 wyrazy: 2 na początku i 2 na końcu):

4-letni okres wygładzenia:

w przypadku parzystej liczby wyrazów stosujemy tzw. średnią chronologiczną, której postać ogólna wyraża się wzorem:

!!! Zaleca się, aby liczba okresów, z których oblicza się średnie ruchome k - okresowe nie przekraczały: k = 0,5n (gdy szereg zawiera parzystą liczbę obserwacji) oraz k = 0,5(n-1) (dla nieparzystej liczby wyrazów szeregu).

Przykład 1

Produkcja papieru w Polsce w latach 1981-1990 przedstawiała się następująco:

Lata	Produkcja [tys. ton]	Średnia ruchoma 3-letnia	Średnia ruchoma 5-letnia	Średnia ruchoma 4-letnia
1981	909	-	-	-
1982	965	966,7	-	-
1983	1026	1011,0	1002,6	1005,8
1984	1042	1046,3	1040,8	1042,9
1985	1071	1071,0	1079,4	1076,3
1986	1100	1109,7	1118,2	1115,0
1987	1158	1159,3	1146,6	1151,4
1988	1220	1187,3	1178,8	1181,5
1989	1184	1210,7	-	-
1990	1228	-	-	-

1. Przedstawić szereg graficznie.

2. Wyodrębnić tendencję rozwojową metodą mechaniczną.

ad. a)

! Gdy wygładzamy szereg zmienia się rozstęp:

R_e = 1228 - 909 = 319 (rozstęp empiryczny)

R_3l­ = 1210,7 - 966,7 = 244

R_5l = 1178 - 1002,6 = 175,4

• Metoda analityczna - polega na tym, że tendencję rozwojową szeregu dynamicznego wyrażamy za pomocą funkcji matematycznej.

• Pozwala na określenie parametrów funkcji, które w sposób syntetyczny określają prawidłowości rozwoju zjawiska..

Najprostszą postacią trendu jest linia prosta i odpowiadająca jej funkcja I-go stopnia.

Równanie trendu:

gdzie: y_t' - wartości teoretyczne trendu wyznaczone na podst. funkcji trendu w okresie t

a, b - parametry tendencji rozwojowej (trendu)

t - czas, który wyrażamy w postaci numerów okresu

Do estymacji parametrów w równaniach trendu stosujemy klasyczną metodę najmniejszych kwadratów - polega ona na wyznaczeniu takiej funkcji do danych empirycznych, aby suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od wartości funkcji była równa minimum:

Metody oznaczenia czasu:

• metoda klasyczna - gdy kolejnym okresom nadajemy kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, ...)

Kolejne okresy oznaczamy:

t

1

2

3

4

:

Wówczas parametry równania trendu obliczamy wg wzorów:

b - określa średnie zmiany z roku na rok: ujemny znak oznacza tendencję malejącą, znak dodatni - tendencję rosnącą

a - określa poziom badanego zjawiska w okresie zerowym

• metoda uproszczona - przy założeniu, że suma oznaczeń okresów: Σ t = 0

Kolejne okresy oznaczamy w zależności od tego, ile szereg liczy wyrazów:

• przy nieparzystej liczbie:

środkowy okres - 0

↑ - liczby ujemne (co jednostkę)

↓ - liczby dodatnie (co jednostkę)

t'

-2

-1

0

1

2

Σ t' = 0

• przy parzystej liczbie:

I sposób: II sposób:

2 środkowe okresy - -1 i 1 2 środkowe okresy - -0,5 i 0,5

↑ - liczby ujemne (co 2 jednostki) ↑ - liczby ujemne (co jednostkę)

↓ - liczby dodatnie (co 2 jednostki) ↓ - liczby dodatnie (co jednostkę)

t'
-5
-3
-1
1
3
5
Σ t' = 0
t'
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
Σ t' = 0

Wówczas parametry równania trendu obliczamy wg wzorów:

b - określa przeciętne zmiany z roku na rok

a - średnia arytmetyczna (przeciętny poziom zjawiska w badanych latach)

Odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji trendu - pozwala na określenie stopnia z jakim poszczególne obserwacje (wartości empiryczne) obiegają od funkcji trendu (od wartości teoretycznych)

gdzie: y_t - wartości empiryczne

y_t' - wartości teoretyczne

n - liczba obserwacji (okresów)

k - liczba parametrów w równaniu trendu

S_(t) - interpretacja: o ile przeciętnie można się pomylić szacując poziom zjawiska przy wyznaczonym równaniu trendu

Pozostałe miary dla funkcji trendu (m.in. miary dobroci dopasowania; test serii) wyznaczamy analogicznie do wzorów dla funkcji regresji.

14-05-2001

• Analiza sezonowości

• Wahania sezonowe są wahaniami okresowymi o cyklu rocznym - można je rozpatrywać w okresach miesięcznych lub kwartalnych.

• Dla tego rodzaju wahań charakterystyczna jest periodyczność - są one związane z określonymi sezonami.

• Nie wszystkie wahania sezonowe można usunąć, w wielu jednak przypadkach można oddziaływać na ich równomierniejszy rozkład w czasie.

• Wahania sezonowe mierzy się wskaźnikami sezonowości. Obliczanie wskaźników sezonowości można podzielić na następujące etapy:

1. Wyodrębnienie tendencji rozwojowej metodą mechaniczną lub analityczną.

2. Obliczenie surowych wskaźników sezonowości:

gdzie: y_t - wartość w okresie badanym

y_t' - wartość teoretyczna trendu

3. Obliczenie średniej surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych miesięcy lub kwartałów.

4. Obliczenie współczynnika korygującego:

gdzie: n - liczba okresów (gdy są to kwartały: n = 4; gdy są to miesiące: n = 12)

5. Obliczenie oczyszczonego wskaźnika sezonowości:

Przykład 1

Wielkość produkcji w mld zł w przedsiębiorstwie X w latach 1991-1995 wg kwartałów przedstawia poniższy szereg:

Lata i kwart.	Wartość produkcji - yt	t	yt ⋅ t	t^2	yt' = 25,6 + 0,2⋅ t	(yt - yt')^2
1991 1	15	-19	-285	361	21,8	46,24	68,8
2	20	-17	-340	289	22,2	4,84	90,1
3	19	-15	-285	225	22,6	12,96	84,1
4	23	-13	-299	169	23,0	0,00	100,0
1992 1	23	-11	-253	121	23,4	0,16	98,3
2	36	-9	-324	81	23,8	148,84	151,3
3	35	-7	-245	49	24,2	116,64	144,6
4	28	-5	-140	25	24,6	11,56	113,8
1993 1	18	-3	-54	9	25,0	49,00	72,0
2	29	-1	-29	1	25,4	12,96	114,2
3	28	1	28	1	25,8	4,84	108,5
4	27	3	81	9	26,2	0,64	103,1
1994 1	17	5	85	25	26,6	92,16	63,9
2	28	7	196	49	27,0	1,00	103,7
3	26	9	234	81	27,4	1,96	94,9
4	22	11	242	121	27,8	33,64	79,1
1995 1	20	13	260	169	28,2	67,24	70,9
2	29	15	435	225	28,6	0,16	101,4
3	34	17	578	289	29,0	25,00	117,2
4	35	19	665	361	29,4	31,36	119,1
Σ	512	0	550	2660		661,2

1. Wyodrębniamy tendencję rozwojową metodą analityczną (uproszczoną):

y_t' = a + b ⋅ t

wartość produkcji w każdym z kwartałów wartość produkcji wzrastała co pół roku

wynosiła przeciętnie 25,6 mld zł przeciętnie o 0,2 mld zł

y_t' = 25,6 + 0,2⋅ t

Obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji trendu:

szacując wartość produkcji na podstawie równania trendu można się przeciętnie pomylić o 6,06 mld zł

2. Wyznaczamy surowe wskaźniki sezonowości:

i porządkujemy je w następującej tabeli:

Lata	I	II	III	IV
1991	68,8	90,1	84,1	100,0
1992	98,3	151,3	144,6	113,8
1993	72,0	114,2	108,5	103,1
1994	63,9	103,7	94,9	79,1
1995	70,9	101,4	117,2	119,1
	74,78	112,14	109,86	103,2
S0	74,85	112,25	110,0	103,1

Σ
= 399,8 ≠ 400

gdzie:
- średnia z surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych kwartałów

S₀ - oczyszczone wskaźniki sezonowości dla jednoimiennych kwartałów

3. Obliczamy średnią surowych wskaźników sezonowości dla jednoimiennych kwartałów (patrz: tabela).

4. Wyznaczamy współczynnik korygujący:

• jeżeli suma z
  dla czterech kwartałów jest różna od 4 (lub od 400), to trzeba obliczyć współczynnik korygujący k i następnie oczyszczone wskaźniki sezonowości S₀

• jeżeli suma ta jest równa 4 (lub 400), to nie trzeba obliczać k - bo
  jest wówczas równe S₀

5. Obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości:

(patrz: tabela)

Interpretacja:

_I S₀ = 74,85% co oznacza, że na skutek działania wahań sezonowych w każdym pierwszym kwartale wartość produkcji była niższa średnio o 25,15%. Z tych samych powodów wartość produkcji w każdym II-im kwartale kształtowała się na poziomie wyższym o 12,25% (_II S₀ = 112,25%), w każdym III-im kwartale - o 10% (_III S₀ = 110%), natomiast w każdym IV-tym - o 3,1% (_IV S₀ = 103,1%).

Do pełnego rozwiązania należałoby jeszcze obliczyć dla funkcji trendu: ϕ², d, V_r.

Przykład 2

Plan zakładów mięsnych przewiduje, że w III-im kwartale 1994r. produkcja konserw mięsnych wyniesie 165 ton. Jakie są perspektywy realizacji tego planu, jeśli wiadomo, że w latach 1989-1993 przeciętna produkcja kwartalna w tych zakładach wynosiła 130 ton, a kwartalny przyrost produkcji wynosił średnio 4 tony. Ponadto wiadomo, że kwartalne surowe wskaźniki sezonowości były następujące:

_I S_S = 1,2 _II S_S =0,8 _III S_S =0,9 _IV S_S =1,0

Nie ma również podstaw, by przewidywać zmiany w dotychczasowym trendzie i sezonowości.

UWAGA! Parametry trendu oszacowano przy założeniu, że Σ t = 0, gdzie t = ...,-3,-1,1,3,... .

Lata i kwart.	t
1989 1	-19
2	-17
3	-15
4	-13
1990 1	-11
2	-9
3	-7
4	-5
1991 1	-3
2	-1
3	1
4	3
1992 1	5
2	7
3	9
4	11
1993 1	13
2	15
3	17
4	19
Σ	0

Równanie trendu:

y_t' = 130 + 2⋅ t

a = 130 - obrazuje przeciętny poziom

b = 2 - obrazuje zmiany z okresu na okres (4:2 - bo technika oznaczania czasu jest co dwie jednostki)

Surowe wskaźniki sezonowości:

_I S_S = 1,2

_II S_S =0,8

_III S_S =0,9

_IV S_S =1,0

Σ = 3,9 ≠ 4

Obliczamy współczynnik korygujący:

Oczyszczone wskaźniki sezonowości:

_I S₀ = 1,2 ⋅ 1,026 = 1,2312

_II S₀ = 0,8 ⋅ 1,026 = 0,8208

_III S₀ = 0,9 ⋅ 1,026 = 0,9234

_IV S₀ = 1,0 ⋅ 1,026 = 1,026

Interesuje nas III kwartał 1994r., więc musimy przewidzieć co się stanie:

Lata i kwart.	t
1994 1	21
2	23
3	25

y'_{III / 94} = 130 + 2 ⋅ 25 = 180

Przypuszczalna wielkość produkcji w III-im kwartale będzie wynosić 180 ton (prognoza bez uwzględnienia sezonowości).

Produkcja wykazuje wahania sezonowe, zatem po ich uwzględnieniu:

y'_{III / 94} = 180 ⋅ 0,9234 = 166,21 ton > 165 ton

Odp. Przypuszczalna produkcja (165 ton) jest możliwa do zrealizowania.

Przykład 3

Dynamikę połowu ryb w gospodarstwie rybnym w poszczególnych kwartałach lat 1989-1991 opisuje liniowa funkcja:

y_t' = 14,5 + 0,2⋅ t , przy czym: t = ..., -3, -1, 1, 3, ... ;

a odchylenie standardowe składnika resztowego S_(y) = 2,8.

Dysponując informacjami dotyczącymi połowów ryb w badanym okresie, zawartymi w poniższej tabeli:

1. Przeprowadzić analizę wahań sezonowych połowów ryb każdym z kwartałów.

2. Określić przypuszczalny poziom połowów w III-im kwartale 1992r.

3. Czy założenie o liniowości funkcji trendu jest uzasadnione? (α = 0,05)

Lata i kwartały	Połowy ryb - yt [tona]	t	yt'	SS
1989 1	10	-11	12,3	81,3	b
2	12	-9	12,7	94,5	b
3	18	-7	13,1	137,4	a } 2
4	13	-5	13,5	96,3	b
1990 1	12	-3	13,9	86,3	b
2	15	-1	14,3	104,9	a
3	19	1	14,7	129,3	a
4	12	3	15,1	79,5	b
1991 1	13	5	15,5	83,9	b 5
2	14	7	15,9	88,1	b
3	21	9	16,3	128,8	a } 6
4	15	11	16,7	89,8	b } 7
1992 1		13
2		15
3		17

ad. a)

y_t' = 14,5 + 0,2⋅ t

S_(y) = 2,8

Lata	I	II	III	IV
1989	81,3	94,5	137,4	96,3
1990	86,3	104,9	129,3	79,5
1991	83,9	88,1	128,8	89,8
	83,83	95,83	131,83	88,53
S0 = k	83,83	95,83	131,83	88,53

Σ
= 400,02 ≠ 400

ad. b)

y'_{III / 92} = (14,5 + 0,2⋅ 17) ⋅ 1,3183 = 23,598 ton

ad. c)

H₀: y_t' = α + β ⋅ t (f. trendu jest liniowa)

H₁: y_t' ≠ α + β ⋅ t (f. trendu nie jest liniowa)

Liczba serii:

k = 7

n_a = 4

n_b = 8

Wartość krytyczna przy poziomie istotności α = 0,05:

k_α = 3

Ponieważ: k > k_α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o liniowości funkcji trendu.

71

1

³

⁴

---