Rozdział 1. ELEMENTY FORMALNEJ TEORII GRUP

§ 1. GRUPA.

Określenie. Zbiór G elementów jest grupą, jeżeli w G jest oznaczone działanie dwójkowe, które każdej parze elementów g, h z G stawi w odpowiedniość element f, też należący G. Ta operacja (ona jeszcze ma nazwę mnożenie) musi mieć trzy następne właściwości - aksjomaty grupowe:

1. Mnożenie łączne, jeżeli

(g^.f)^.h = g^.(f^.h) ∀g,f,h∈G.

2. W zbiorze G istnieje element - element jednostkowy (lub jedynka), który ma właściwość:

e∈G:ge=eg=g∈G.

3. U każdego elementu g istnieje element odwrotny, taki, że

∀f∈Gg: fg=gf =e.

Element odwrotny oznacza się tak: f = g^-1.

Jeżeli, oprócz trzech aksjomatów, mnożenie ma również właściwość przemienności, to znaczy,

∀g
∀f∈G: gf =fg,

to grupa nazywa się abelowej albo przemiennej.

Jeżeli zbiór elementów grup jest końcowym, to grupa nazywa się grupą końcowa, a ilość ej elementów n - ej rządem; w przeciwnym wypadku grupa będzie nieskończoną. Ważnym przykładem grup nieskończonych są grupy ciągłe, których elementy zależą od jednego lub kilka parametrów, przebiegających ciągły szereg wartości. Tacy grupy mają nazwę grup Lee.

§2. WŁAŚCIWOŚCI NAJPROSTSZE GRUP.

1.Wskutek właściwości łączności działania (g^.f)^.h = g^.(f^.h), dła tego można, opuszczając nawiasy, pisać gfh.

2.Element jednostkowy jest jedynym w grupie. Przypuścimy, że istnieje jeszcze jena jedynka, e', przy czym e
e', wtedy e = ee' = e', co i dowodzi twierdzenie.

3.Element odwrotny jest jedynym w grupie. Rzeczywiście, jeżeli istnieje jeszcze jeden element odwrotny
, a więc

g^-1:g
=e,

wtedy g^-1 = eg^-1 =
gg^-1 =
e =
, a to znaczy, że g^-1 =
.

4. Elementem odwrotnym do elementu f = gh będzie element h^-1g^-1. Na dowód trzeba rozpatrzyć relację ff^-1 = e lub inaczej, gh(gh)^-1 = e. Pomnożymy z lewej strony przez g^-1, a potem przez h^-1, wtedy otrzymamy:

h^-1[g^-1gh(gh)^-1] = h^-1g^-1e,

z innej strony, h^-1eh(gh)^-1 = (gh)^-1, skąd (gh)^-1 = h^-1g^-1. W razie ogólnym (ghf)^-1 = f^-1h^-1g^-1.

§3. PRZYKŁADY GRUP.

1.Zbiór, zawierający liczby
1, będzie grupą, jeżeli działaniem dwójkowym jest zwykłe mnożenie liczb. Naprawdę,

(+1)(+1) =(+1); (-1)(-1) =(+1); (+1)(-1) = (-1)(+1) = (-1).

Elementem jednostkowym tej grupy jest (+1). Łatwo sprawdzić, że (+1)^-1 = (+1) и (-1)^-1 = (-1), to znaczy, że elementem odwrotnym do każdego elementu tej grupy jest on sam. Ta grupa jest abelową i ma rząd 2.

2.Zbiór wszystkich liczb całych jest grupą, jeżeli działaniem dwójkowym będzie sumowanie liczb. Rzeczywiście, sumą dwóch całych liczb jest też liczba cała; elementem jednostkowym jest zero: a+0 = a (porównać: ge = g), a elementem odwrotnym jest liczba (-a), a+(-a) = 0.

Łatwo się upewnić, że zbiór wszystkich całych liczb dodatnich nie jest grupą.

3.Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, nie zawierający zera, tworzy grupą z działaniem grupowym - mnożeniem liczb. Element jednostkowy - (+1). Odwrotnym do elementu a jest element a^-1.

4.Zbiór wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej tworzy grupą, jeżeli działaniem grupowym jest sumowanie wektorów. Element jednostkowy - wektor zerowy, element odwrotny - wektor, który ma kierunek przeciwny do wektora
.

5.Całokształt działań symetrii, które łączą układ punktów sam z sobą, twory grupę, jeżeli jak mnożenie działań symetrii rozumieć należy ich kolejne stosowanie. Na przykład, jeżeli obrać system współrzędnych tak, jak na rys. 1.1 (płaszczyzna molekuły H₂O zbiega się z płaszczyzną yz), to można wydzielić trzy działania symetrii, które przetwarzają molekułę H₂O samą w siebie:

1. Rotacja odnośnie osi z na kąt π,

2. odbicie w płaszczyźnie yz - σ^(yz),

3. odbicie w płaszczyźnie xz - σ^(xz).

Rys. 1.1. Symetria molekuły Н₂О

Łatwo się upewnić, że element C₂^{(z) .} C₂^(z) = e ≡ E, gdzie elementem jednostkowym jest przemiana tożsamości, przy którym molekuła nie podlega zmianom, również jak i σ_v^{(xz) .} σ_v^(xz) = σ_v^{(yz) .} σ_v^(yz) = E. Stad wynika, ze każdy element tej grupy jest odwrotnym do siebie. To jest słuszne i dla elementu jednostkowego: Е^.Е = Е. Dalej, C₂^{(z) .} σ_v^(xz) = σ_v^(yz) = σ_v^{(xz) .} C₂^(z) i C₂^{(z) .} σ_v^(yz) = σ_v^(xz) = σ_v^{(yz) .} C₂^(z). To znaczy, że grupa ta abelowa. Jej rząd jest równy 4. Ona jest zaznaczona przez symbol C_2v (v - pion, zaznacza położenie płaszczyzny symetrii odnośnie osi głównej).

Właściwości elementów grupy można krótko pokazać w wyglądzie tabliczki mnożenia, w której element, znajdujący na skrzyżowaniu wierszu i kolumny, jest iloczynem elementów odpowiednich.

Tabliczka mnożenia grupy C_2v

C2v	E	C2^(z)	σv^(xz)	σv^(yz)
E	E	C2^(z)	σv^(xz)	σv^(yz)
C2^(z)	C2^(z)	E	σv^(yz)	σv^(xz)
σv^(xz)	σv^(xz)	σv^(yz)	E	C2^(z)
σv^(yz)	σv^(yz)	σv^(^xz)	C2^(z)	E

§ 4. PODGRUPA

Definicja. Podgrupa jest zbiorem elementów H
G, który sam jest grupą. Rozpatrzymy przykłady podgrup.

1. Każda grupa zawiera podgrupy trywialne Е и G.

2. Zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych tworzy podgrupę wszystkich liczb rzeczywistych za mnożeniem. Łatwo się przekonać, że zbiór wszystkich liczb ujemnych nie jest podgrupą, bo iloczyn dwóch ujemnych liczb jest liczbą dodatnią.

3. W grupie C_2v każdy element razem z Е tworzy podgrupę, na przykład, {Е, C₂^(z)} ≡ C₂
   C_2v. Jeżeli H - podgrupa grupy G, to zbiór G\ H nie jest podgrupą, ponieważ Е
   G\ H.

Dla podgrupy można dowieść następujące bardzo ogólne twierdzenie, wiadome jak twierdzenie Lagrange'a: rząd podgrupy jest dzielnikiem rządu grupy.

Niech mamy H
G i n₁ < n. Trzeba dowieść, że n/n₁ - liczba cała. Obierzemy element g₁ ∈ G

H i rozpatrzymy wszystkie możliwe iloczyny g₁f∀f ∈ H. W skrócie to można określić jak g₁H. Ta populacja zawiera n₁ elementów. Wybierzemy inny element g₂
H

g₁H i utworzymy populację g₂H. Będziemy kontynuować tace konstrukcje, dopóki nie wyczerpujemy całą grupą. Populacje elementów g_iH mają nazwę populacji sprzężonych z lewa po podgrupie lub lewych klas przyległości. Udowodnimy, że populacje g_iH nie krzyżujące, a więc, g_iH
g_jH = 0 jeżeli i ≠ j. Jeżeli te populacje mają element wspólny g₁f₁ = g₂f₂, to

g₂ = g₁f₁f₂^-1 = g₁f₃∈ g₁H.

To jest sprzecznie umowie konstrukcji, bo g₂
g₁H. To znaczy, że populacje sprzężone g_iH są rozkładaniem grupy G na zbiory populacji nie skrzyżowanych i dlatego n = kn₁, gdzie k - liczba cała. Złączenie tych populacji tworzy grupą G: G =
.

Rozpatrzymy na przykład grupę liczb całych za mnożeniem i wyodrębnimy podgrupę wszystkich liczb parzystych. Wszystkie liczby typu q + a, gdzie a - dowolna liczba parzysta, tworzą klas przyległości odnośnie tej podgrupy. Jeżeli q parzyste, to klas przyległości zawiera liczby parzyste, jeżeli q nieparzyste, klas przyległości zawiera liczbę nieparzyste. A więc, istnieje dwa klasy przyległości grupy liczb całych odnośnie podgrupy liczb parzystych.

§ 5. RZĄD ELEMENTU. GRUPY CYKLICZNE

Jeżeli rozglądać dowolny element g_i∈ G (G jest grupą skończoną) i potęgi kolejne tego elementu g_i^r (r = 1, 2..), to ten ciąg na pewno zawiera elementy powtarzalne. Niech, na przykład,
=
, przy czym k₂ > k₁. Pomnożymy te relacje przez
, otrzymamy
= e. Najmniejsza liczba z tych s, która zadowoli relacji
= e, ma nazwę rządu elementu g_i, a populacja elementów g_i, g_i², g_i³,…
= e - okresu lub cyklu elementu. Oczywiste, że cykl jest podgrupą grupy G, w szczególności, cykl może pokrywać sie z całą grupą G. Tacy grupy mają nazwę grup cyklicznych. Grupy cykliczne - grupy abelowe, dla tego że są zbudowane z potęg jednego elementu. Elementem odwrotnym do elementu g_i jest element
. Na przykład, grupa rotacji trójkąta jest grupą cykliczną rządu trzeciego.

§ 6. ELEMENTY SPRZĘŻONE I KLASY

Obierzemy niektóry element g∈G. Element f nazywa się sprzężonym do g, jeżeli
g_i: g_i g g_i^-1 = f. Krótko kontyngencja oznacza się tak: f ~ g. Właściwości najprostsze kontyngencji:

1. g ~ g. Dowód jest oczywiste, wystarczy wziąć ege = g, skąd g ~ g.

2. Jeżeli g ~ h, to h ~ g. Rzeczywiście, z g ~ h wynika, że w G
   g_i: g = g_ihg_i^-1. Mnożąc z lewej strony przez g_i^-1, a z prawej przez g_i, otrzymamy g_i^-1gg_i = h

3. Jeżeli g ~ h, a h ~ f, to g ~ f. Na prawdę, g = g_ihg_i^-1, a h = g_jfg_j^-1. Wtedy, podstawiając h, wyrażone przez f, otrzymamy g = g_ig_jfg_j^-1g_i^-1 = g_ig_jf(g_ig_j)^-1 = g_kfg_k^-1, gdzie g_k = g_ig_j, g_k^-1 = (g_ig_j)^-1, a więc g ~ f.

Rozpatrzymy relację g' = g_ig g_i^-1. Jeżeli element g jest ustalonym, a g_i przebiega całą grupą, otrzymamy n elementów, z których, jednak, nie wszystkie są różnymi. Niech elementów różnych będzie k. Wtedy zbiór g, g₁, …g_k elementów zawiera wszystkie elementy, sprężone do elementu g. Nazwiemy ten zbiór klasą elementu g - К(g). Dla klasy jest słusznym następujące twierdzenie: każdą grupą G można przedstawić jak połączenie nie skrzyżowanych klas elementów sprzężonych, to znaczy G =
, gdzie р - ilość klas w grupie, przy czym K_i∩K_j = 0.

Dowiedziemy z początku kontyngencję wzajemną elementów klasy K(g). Rozpatrzymy g₁∈K(g)
g₂∈K(g). Zgodnie z określeniem klasy g₁ ~ g и g₂ ~ g. Wtedy z właściwości 2 kontyngencji wynika, że g ~ g₂. Wykorzystując właściwość 3, otrzymamy g₁ ~ g₂.

Dowiedziemy dalej właściwość nie skrzyżowania klas. Obierzemy element g₁ i utworzymy kłas K(g₁) = K₁. Obierzemy dalej dowolny element g₂
K₁ i utworzymy kłas К₂. Przedłużymy ten proces, dopóki nie wyczerpujemy całą grupą. Przypuśćmy teraz, że K_i∩K_j ≠ 0. To znaczy, że
f: f ~ g₁
f ~ g₂. Stąd wynika, że g₁ ~ g₂, co jest przeciwne utworzeniu klas. Twierdzenie jest udowodniona.

Ilość elementów klasy ma nazwę rządu klasy. Element jednostkowy sam tworzy klasę. W grupach abelowych ilość klas jest równa rządu grupy, bo każdy element sam tworzy klasę.

Rząd elementów należących do jednej klasy jest jednakowym. Jeżeli g^h = e, to, ponieważ f = g_igg_i^-1 dla f∈K(g), można zapisać:

f^h = g_igg_i^-1g_igg_i^-1 ....= g_ig^hg_i^-1 = g_ieg_i^-1 =e.

Jeżeli rozpatrzyć zbiór iloczynów parami g_ig_j, z których g_i∈K_i, a g_j∈K_j, to otrzymany zbiór składa sie z całej liczby kłas. W skrócie to można zapisać jak K_iK_j =
, gdzie m_ijk - liczby całe.

§ 7. PODGRUPA NIEZMIENNA

Rozpatrzymy podgrupą H
G i zestaw g_i∈G. Dla ustalonego g_i urządzimy populację g_iHg_i^-1. Łatwo sprawdzić, że ta populacja też będzie podgrupą grupy G. Podobna podgrupa ma nazwę podgrupy podobnej podgrupie H. Jeżeli g_i∈H, to, oczywiste, g_iHg_i^-1 = H, ale jeżeli g_i
H, to, nawiasom mówiąc, g_iHg_i^-1 będzie podgrupą, odmienną od H. Podgrupy, zbiegające ze wszystkimi własnymi podobnymi podgrupami, mają nazwę podgrup niezmiennych, albo dzielnikami normalnymi. Tacy podgrupy mają oznaczenie specjalne N. Jeżeli g_i∈N, to, jak wynika z definicji N, K(g_i)
N, dla tego podgrupa niezmienna składa sie z całej liczby klas grupy. Z definicji N wynika również g_iN = Ng_i∀g_i∈G, to znaczy, że lewe i prawe klasy przyległości odnośnie podgrupy niezmiennej zbiegają się.

Każda grupa ma dwie niezmienne podgrupy trywialne - G i Е. Grupy, które nie maja innych podgrup niezmiennych, maja nazwę grup prostych.

§ 8. CZYNNIK-GRUPA

Rozpatrzymy G i N
G. Przedstawimy G w wyglądzie rozłożenia za klasami przyległymi N: N, g₁N, g₂N,…g_k-1N, gdzie liczba k, równa stosunkowi rządu grupy G do rządu podgrupy N, nazywa się indeksem podgrupy niezmiennej k = n_G/n_N. Zbudujemy populację (g_iN)(g_jN) - ona zawiera wszystkie iloczyny możliwe g_in_αg_jn_β, gdzie n_α∧n_β∈N. Oczywiste, ze (g_iN)(g_jN) =
= g_ig_jN = g_kN, gdzie g_k = g_ig_j, a NN - to populacja elementów, należących do N, a więc, iloczyn klas przyległych daje inną klasę przyległości.

Mnożenie dowolnej klasy przyległości g_iN przez podgrupę niezmienną N nie zmienia tą klasę: N(g_iN) =
= g_iNN = g_iN. Dalej, dla każdej klasy przyległości można znaleźć taki, że ich iloczyn będzie równy podgrupie niezmiennej: (g_iN)(g_i^-1N) = NN = N, to znaczy, że klasy przyległe można traktować jak elementy takiej grupy, w której rolą elementu jednostkowego gra podgrupa niezmienna. Taka grupa nazywa się czynnik-grupą za N, jej rząd jest równym indeksowi N i oznacza się G/N.

§ 9. HOMOMORFIZM I IZOMORFIZM GRUP

Grupa
nazywa się grupą homomorficzną do G, lub G →
, jeżeli każdemu elementowi g∈G odpowiada pewny element
∈
(przy czym jedyny), g →
. Taka odpowiedniość nie lama iloczynu grupowego: jeżeli g_ig_j = g_k, a g_i →
i g_j →
, to g_k →
. Można powiedzieć, że w grupie jest określona pewna funkcja L(g), gdzie g∈G, która ma właściwość L(g₁g₂) = L(g₁)L(g₂). Ta funkcja i jest homomorfizmem. Ona jest określoną w grupie G ze znaczeniami w grupie
.

Homomorfizm - to jest odpowiedniość jednoznaczna między elementami grup. To znaczy, że jednemu elementowi
∈
może odpowiadać kilka elementów g∈G. Jest możliwej również jedno-jednoznaczna odpowiedniość, kiedy każdemu elementowi g∈G odpowiada jedyny element
∈
, i każdemu
∈
- jedyny element g∈G. W tym razie odpowiedniość ma nazwę izomorfizmu i oznacza się G

dla grup lub g

- dla elementów. Oczywiste, że izomorfizm jest możliwy tylko miedzy grupami tego samego rządu.

Przykłady.

1. Homomorfizm trywialny: G →
   , gdzie
   ∈
   - pojedynczy element grupy
   .

2. Grupa macierzy ortogonalnych rządu n - O(n) odwzoruje do grupy {1, -1}: O(n) → {1, -1}. Ten homomorfizm zestawia każdej macierzy jej wyznacznik.

3. Wszystkie grupy rządu drugiego są izomorficzne jedna do drugiej. Naprawdę, niech mamy G = {e, g} i
   = {
   ,
   }. Wtedy zawsze można ustawić odpowiedniość e →
   и g →
   ; gg = e →
   
   =
   .

Istnienie izomorfizmu daje możliwość zwieść badanie wszystkich grup izomorficznych do badań tylko jednej z nich.

§10. WŁAŚCIWOSCI HOMOMORFIZMU

1.Jeżeli G →
, to e →
. Rzeczywiste, ∀g ∈G: eg = ge = g. Niech, dalej, g →
, a e →
. Wtedy, za regułami homomorfizmu,

=

=
, a to i znaczy, że
jest elementem pojedynczym grupy
.

2.Przeciwległym elementy grupy G odpowiadają w homomorfizmie elementy przeciwległe grupy
. Naprawdę, niech g_ig_k = e. Wtedy w wyniku właściwości L(g_ig_k) = L(g_i)L(g_k) można zapisać:
=
.

3.Jeżeli
jest homomorficzną do G, to wszystkie g∈G, odpowiadające
∈
, tworzą podgrupę niezmienną N
G. Niech g₁, g₂,…g_s →
. Wtedy iloczynowi g_ig_j tej populacji odpowiada

=
. To znaczy, że populacja elementów g₁, g₂,…g_s tworzy podgrupę grupy G, bo oczywiste, że element jednostkowy i elementy, odwrotne do elementów g_i jest zawarte w tej populacji. Dalej, w wyniku właściwości homomorfizmu, iloczynowi gg_ig^-1 odpowiada element
=
, a więc, gg_ig^-1 = g_j. A zatem, populacja g₁, g₂,…g_s tworzy podgrupę niezmienną grupy G.

4.Tak samo można dowieść, że grupa
jest izomorficzna czynnik-grupie za podgrupą niezmienną N.

§ 11. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI GRUP

Niech mamy dwie grupy G⁽¹⁾ и G⁽²⁾ z elementami g_i⁽¹⁾ i g_j⁽²⁾ odpowiednio. Można zbudować nową grupę G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾, składającą z par elementów (g_i^{(1) .} g_j⁽²⁾), jeżeli założyć prawo mnożenia w wyglądzie (g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾)(g_l⁽¹⁾g_m⁽²⁾) = (g_r⁽¹⁾g_s⁽²⁾), gdzie g_r⁽¹⁾ = g_i⁽¹⁾g_l⁽¹⁾, a g_s⁽²⁾ = g_j⁽²⁾g_m⁽²⁾. Łączność tego działania jest oczywista, pojedynczym elementem grupy G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾ jest element e⁽¹⁾e⁽²⁾, elementem odwrotnym do elementu g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾ jest element (g_i⁽¹⁾)^-1(g_j⁽²⁾)^-1:

g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾ (g_i⁽¹⁾)^-1(g_j⁽²⁾)^-1 = (g_ig_i^-1)⁽¹⁾(g_jg_j^-1)⁽²⁾ = e⁽¹⁾e⁽²⁾.

Jeżeli G⁽¹⁾ и G⁽²⁾ - podgrupy niektórej grupy G, to ich iloczyn kartezjański można założyć tylko wtedy, kiedy oni są komutujący. W tym przypadku para g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾ jest prosto wynikiem mnożenia g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾ = g∈G. Z grup nie komutujących iloczyn kartezjański założyć nie można. Rzeczywiście, rozpatrzymy iloczyn:

(e⁽¹⁾g_j⁽²⁾)(g_i⁽¹⁾e⁽²⁾) = e⁽¹⁾ g_i⁽¹⁾ g_j⁽²⁾ e⁽²⁾ = g_i⁽¹⁾ g_j⁽²⁾
g_j⁽²⁾ g_i⁽¹⁾,

ale to jest słusznie tylko dla grup komutujących. Ilość klas grupy G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾ jest równe iloczynowi liczb klas grup G⁽¹⁾ и G⁽²⁾.

Rozpatrzymy populację tych elementów grupy G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾, z których jeden należy pewnej klasę grupy G⁽¹⁾, a drugi - pewnej klase grupy G⁽²⁾. Dowiedziemy, że te elementy tworzą klasę w G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾. Niech element g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾ należy populację wskazanej, a element g_r⁽¹⁾g_s⁽²⁾ - element dowolny G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾. Wtedy element (g_r⁽¹⁾g_s⁽²⁾)^-1(g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾)( g_r⁽¹⁾g_s⁽²⁾) = (g_r^(1)-1g_s^(2)-1) (g_i⁽¹⁾g_j⁽²⁾)( g_r⁽¹⁾g_s⁽²⁾) = g_r^(1)-1g_i⁽¹⁾g_r⁽¹⁾g_s^(2)-1g_j⁽²⁾g_s⁽²⁾ jest elementem, należącym do tej populacji. To znaczy, że wydzielona populacja elementów jest klasą w G⁽¹⁾ ⊗ G⁽²⁾.

12

---