EAI i E	Imię i Nazwisko: 1. Kmiotek Paweł 2. Janocha Marcin			Rok I	Grupa 3	Zespół 5
Pracownia fizyczna I	Rezonans drgań mechanicznych							Nr ćwiczenia: 4
Data wykonania: 1999-02-02	Data oddania:	Zwrot do pop:	Data oddania:	Data zalicz:	Ocena:

Cel ćwiczenia:

Zbadanie drgań wymuszonych oscylatora harmonicznego oraz pomiar rodziny krzywych rezonansowych.

Wprowadzenie:

Najprostszym, wyidealizowanym rodzajem drgań są drgania harmoniczne swobodne. Układ wykonujący tego rodzaju drgania to oscylator harmoniczny prosty. Przykładem takiego drgania jest ruch masy zawieszonej na sprężynie, gdzie siła działająca na ciężarek jest wprost proporcjonalny do wychylenia, lecz przeciwnie skierowana

F=-kx

gdzie x to wychylenie. Powyższy wzór jest prawidłowy tylko dla małych x.

Korzystając z drugiej zasady dynamiki możemy zapisać:

F=-kx=md²x/dt²

Jeżeli obie strony równania podzielimy przez m, a za k/m podstawimy ω_o² otrzymamy:

d²x/dt² + ω_o²=0

Rozwiązaniem tego równania jest :

x=A₀cos(ω_ot+ϕ),

A₀-amplituda.

Z rozwiązania wynika, że wychylony z położenia równowagi ciężarek będzie drgał przez czas nieskończenie długi. W praktyce jednak na układ działają siły tłumienia np. opór powietrza lub tarcie. Siły tłumiące są zwykle proporcjonalne do prędkości ruchu.

Jeżeli w układzie występuje tłumienie możemy zapisać:

md²x/dt²=-kx-bdx/dt

podstawiamy: b/m=2β

k/m=ω₀²

i otrzymujemy

d²x/dt²+2βdx/dt+ω₀²x=0

Rozwiązanie tego równania przyjmuje postać

x=A_oe^-βtcos(ωt+ϕ)

β-współczynnik tłumienia

ω-częstość kołowa drgań tłumionych

ω=√(ω_o²-β²)

Amplituda A₀e^-βt maleje wykładniczo z czasem.

Jeżeli oprócz sił tłumienia istnieje siła zewnętrzna przyłożona do oscylatora postaci

F_w=F_ocosΩt

wtedy równanie ruchu ma postać:

d²x/dt²+2βdx/dt+ω₀²x=F₀cosΩt

z rozwiązaniem

x=F₀/{m√[(ω₀²-Ω²)²+4β²Ω²]}cos[Ωt+arctg(-2βΩ/ω₀²-Ω²)]

ω₀-częstośc kołowa własna układu

Gdy układ jest zasilany częstością ω różną od częstości własnej drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej, a nie z częstością własną. Skutek działania siły zewnętrznej może być bardzo duży, jeżeli występuje rezonans.

Amplituda drgań osiąga wówczas maksimum, a Ω=Ω_rez.

Ω_rez=√(ω₀²-2β²)

A_rez=F₀/[2βm√(ω₀²-β²)

Gdyby nie było tłumienia amplituda rezonansowa byłaby nieskończenie wielka. W rzeczywistości w układach zawsze działają siły tłumiące, więc amplituda rezonansowa jest skończona.

Obliczenia:

Częstotliwość drgań wymuszających obliczamy ze wzoru:

Gdzie x jest odczytywane ze skali potencjometru.

Dla natężenia prądu tłumiącego I=0A

X	Amplit.	Częstotli.	X	Amplit.	Częstotli.
0,00	1	14,7	2,68	24	16,0
0,50	1	14,9	2,70	24	16,0
1,00	2	15,2	2,72	23	16,0
1,50	2	15,4	2,74	21	16,0
2,00	3	15,6	2,75	21	16,0
2,20	5	15,7	2,76	19	16,0
2,40	8	15,8	2,80	19	16,0
2,45	10	15,8	2,85	13	16,1
2,50	12	15,9	2,90	10	16,1
2,55	15	15,9	2,95	8	16,1
2,60	18	15,9	3,00	8	16,1
2,62	23	15,9	3,20	5	16,2
2,64	23	15,9	3,70	3	16,5
2,65	23	15,9	4,20	2	16,8
2,66	24	16,0

Dla natężenia prądu tłumiącego I=0.15A

X	Amplit.	Częstotli.	X	Amplit.	Częstotli.
0,00	1	14,7	2,60	12	15,9
0,50	1	14,9	2,62	13	15,9
1,00	2	15,2	2,64	12	15,9
1,50	2	15,4	2,66	12	16,0
2,00	4	15,6	2,70	12	16,0
2,20	6	15,7	2,80	10	16,0
2,30	7	15,8	2,90	7	16,1
2,40	8	15,8	3,00	6	16,1
2,50	10	15,9	3,50	3	16,4
2,52	11	15,9	4,00	2	16,7
2,56	12	15,9

Dla natężenia prądu tłumiącego I=0.3A

X	Amplit.	Częstotli.	X	Amplit.	Częstotli.
0,00	1	14,7	2,57	8	15,9
0,50	1	14,9	2,60	8	15,9
1,00	1	15,2	2,62	8	15,9
1,50	2	15,4	2,65	8	15,9
2,00	4	15,6	2,68	7	16,0
2,20	5	15,7	2,70	7	16,0
2,40	7	15,8	2,80	6	16,0
2,50	7	15,9	3,00	5	16,1
2,50	7	15,9	3,50	3	16,4
2,55	8	15,9	4,00	2	16,7

Dla natężenia prądu tłumiącego I=0.45A

X	Amplit.	Częstotli.	X	Amplit.	Częstotli.
0,00	1	14,7059	2,50	5	15,8730
0,50	1	14,9254	2,53	5	15,8881
1,00	2	15,1515	2,55	5	15,8983
1,50	2	15,3846	2,60	5	15,9236
2,00	4	15,6250	2,65	5	15,9490
2,20	4	15,7233	2,80	4	16,0256
2,40	5	15,8228	3,00	4	16,1290
2,45	5	15,8479	3,50	2	16,3934
2,48	5	15,8629	4,00	2	16,6667

Błedy:

W doświadczeniu źródłem błędów jest przede wszystkim niedokładność odczytu danych z przyrządu pomiarowego, głównie amplitudy gdzie błąd wyniósł ok. 1 stopnia (wskazywany jako słupki błędów na wykresie).Błąd wynika także z niedokładności ustawienia częstotliwości drgań wymuszających, jednak z uwagi na nieznany charakter tego błędu zależny od układu generującego drgania pominięto go na wykresach , zakładając że jest on dużo mniejszy niż błąd odczytu amplitudy. Pomiar natężenia prądu w obwodzie tłumiącym miał charakter jedynie orientacyjny, z uwagi na niemożliwość określenia sił hamujących, dlatego tez nie brano pod uwagę możliwości wystąpienia błędu przy jego pomiarze.

Wykresy po uwzględnieniu błędów.

Wnioski:

Doświadczenie potwierdziło teoretyczna zależność częstotliwości rezonansowej od wartości współczynnika tłumienia. Otrzymane wykresy krzywych rezonansowych , zgodnie z założeniami teoretycznymi podanymi we wstępie charakteryzują się coraz to niższą częstotliwością rezonansową oraz coraz bardziej „płaskim” charakterem - wzrost amplitudy w miarę zbliżania się do częstotliwości rezonansowej okazywał się dla kolejnych pomiarów coraz mniejszy.

Zespół 5 - 2 - Środa 9:45

---