AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział: Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Laboratorium: PODSTAW AUTOMATYKI
Prowadzący: Mgr. inż. Sławomir Skrzyniarz
Student: Łukasz Kafel Wojciech Kochański	Kierunek: Mechatronika	Ocena:
			Grupa: 25
			Rok: D

TEMAT ĆWICZENIA:

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

1. Cele ćwiczenia

Celem naszego ćwiczenia jest zapoznanie się z różnymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych w MATLAB'ie: metodami analitycznymi realizowanymi przez m-funkcję oraz przez wykorzystanie SIMULINK'a jako pakietu w którym zamodelujemy układ rozwiązujący równania różniczkowe.

2. Zadanie: Rozwiązać poniższe równania różniczkowe:

2.1 -

przy następujących warunkach początkowych:
,

2.2 -

przy następujących warunkach początkowych:
,

Obydwa równania rozwiązaliśmy analitycznie wykorzystując funkcję ode45 oraz modelowanie w simulinku. Następnie porównliśmy otrzymane wyniki.

Zajmijmy się równaniem 2.1

Rozwiązanie analityczne rozpoczęliśmy od stworzenia m-pliku o nazwie funkcja_blasqcyber1.m w którym wpisaliśmy następujący kod:

function xdot=funkcja_blasqcyber1(t,x)

xdot=zeros(2,1);

xdot(1)=x(2);

xdot(2)=(-22*x(1)-2*x(2));

W drugim etapie rozwiązywania stworzyliśmy drugi m-plik o nazwie rozwiązanie blasqcyber1.m w którym, wprowadziliśmy (podany poniżej kod) parametry wejściowe, wywołaliśmy funkcję ode45 i narysowaliśmy zamieszczony poniżej wykres rozwiązania:

function rozwiazanie_blasqcyber1

t0=0;

clc

disp('funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda ');

disp('rudego kutego i podaje jego interpretacje graficzna: ');

disp(' ');

disp('postac rownania: ');

disp(' ');

disp('x``+2*x`+22x=0');

x01=input('podaj wartosc x01 = ');

x02=input('podaj wartosc x02 = ');

tk=input('podaj czas symulacj tk= ');

x0=[x01,x02];

[t,x]=ode45('funkcja_blasqcyber1',t0,tk,x0,0.001,0);

plot(t,x(:,1),'r-');

xlabel('czas [s]');

ylabel('amplituda sygnalu');

title('wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

Po wpisaniu w command window MATLAB'a wywołania funkcji rozwiązanie_blasqcyber1 otrzymaliśmy następujący wykres:

Rozwiązanie powyższego równania w module SIMULINK rozpoczniemy od zamodelowania układu różniczkującego przedstawionego poniżej:

Ustalając odpowiednio warunki początkowe na obu integratorach oraz blokach gain, w wyniku symulacji otrzymujemy następujący wykres:

W którym tak jak dla metody analitycznej na osi x mamy czas w [s] natomiast na osi y mamy amplitudę sygnału

Przechodzimy do równania 2.2

Rozwiązanie analityczne rozpoczęliśmy jak poprzednio od stworzenia m-pliku o nazwie funkcja_blasqcyber2.m w którym wpisaliśmy następujący kod:

function ydot=funkcja_blasqcyber2(t,y)

ydot=zeros(2,1);

ydot(1)=y(2);

ydot(2)=(-5*y(1)-2*y(2));

W drugim etapie rozwiązywania stworzyliśmy drugi m-plik o nazwie rozwiązanie blasqcyber2.m w którym, podanym poniżej wprowadziliśmy parametry wejściowe, wywołaliśmy funkcję ode45 i narysowaliśmy zamieszczony poniżej wykres rozwiązania:

function rozwiazanie_blasqcyber2

t0=0;

clc

disp('funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda ');

disp('rudego kutego i podaje jego interpretacje graficzna: ');

disp(' ');

disp('postac rownania: ');

disp(' ');

disp('2y``+4*y`+10y=0');

y01=input('podaj wartosc y01 = ');

y02=input('podaj wartosc y02 = ');

tk=input('podaj czas symulacj tk= ');

y0=[y01,y02];

[t,y]=ode45('funkcja_blasqcyber2',t0,tk,y0,0.001,0);

plot(t,y(:,1),'r-');

xlabel('czas [s]');

ylabel('amplituda sygnalu');

title('wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

Po wpisaniu w command window MATLAB'a wywołania funkcji rozwiązanie_blasqcyber2 otrzymaliśmy następujący wykres:

Rozwiązanie powyższego równania w module SIMULINK rozpoczniemy od zamodelowania układu różniczkującego przedstawionego poniżej:

W którym tak jak dla metody analitycznej na osi x mamy czas w [s] natomiast na osi y mamy amplitudę sygnału

Z rozwiązania powyższych równań obydwoma metodami możemy wysunąć następujące wnioski:

• MATLAB jest bardzo dobrym środowiskiem do rozwiązywania tego typu równań, umożliwiając ich wizualizację na różne sposoby

• Rozwiązanie metodą analityczną, chociaż wymaga więcej czasu, ponieważ musimy stworzyć odpowiednie m-pliki w których ręcznie wpisujemy kod programu daje w wyniku wykres zdecydowanie lepszej jakości w porównaniu do wykresu powstałego w modelowanym układzie w SIMULINKU

• SIMULINK daje ogromne możliwości szybkiego modelowania skomplikowanych równań różniczkowych kilku stopni w prosty intuicyjny sposób. W naszym przypadku rozwiązanie powyższych równań wymagało wstawienia kilku powiązanych ze sobą bloków, które po połączeniu ze sobą oraz wprowadzeniu do nich warunków początkowych natychmiast dają pożądane wyniki

3. Zadanie: Skonstruować w SIMULINK'u modele poniższych równań różniczkowych oraz zarejestrować i porównać odpowiedź skokową układu, gdy sygnałem wejściowym jest sygnał o amplitudzie równej jedności:

3.1

dla następujących warunków początkowych:
,

3.2

dla następujących warunków początkowych:
,

Rozpoczniemy od zamodelowania równania 3.1 przy użyciu bloku transmitancji operatorowej, oto nasz model:

Przyjmując odpowiednie parametry bloku transmitancji oraz skoku jednostkowego o amplitudzie równej jedności otrzymujemy następujący wykres:

Następnie modelujemy równania stanu i wyjścia, schemat przedstawiono poniżej:

Przyjmując odpowiednie parametry symulacji otrzymujemy poniższy wykres:

Następnym etapem jest zamodelowanie równania 3.2 przy użyciu bloku transmitancji operatorowej, oto nasz model:

Przyjmując odpowiednie parametry bloku transmitancji oraz skoku jednostkowego o amplitudzie równej jedności otrzymujemy następujący wykres:

Następnie modelujemy równania stanu i wyjścia, schemat przedstawiono poniżej:

Przyjmując odpowiednie parametry symulacji otrzymujemy poniższy wykres:

Wniosek:

Rozwiązania otrzymane obydwoma sposobami (równaniu z transmitancją operatorową jak i równaniem stanu i wyjścia) są identyczne

4. Zadanie: Dla równania z punktu 3.1 stworzyć schemat blokowy, wykres rozwiązania sporządzić korzystając z kodów ASCII

W przestrzeni roboczej została utworzona macierz o nazwie wynik, zawierająca trzy wektory zmiennych: czas symulacji, wymuszenie, oraz odpowiedź skokową układu.

Wykres z modułu scope wygląda następująco:

Po wpisaniu komendy save simeout -ascii nasza macierz wynikowa zostanie zapisana na dysku.

Następnie po wpisaniu następujących komend:

>> t=simout(:,1)

>> u=simout(:,2)

>> y=simout(:,3)

>> plot(t,u,'r',t,y,'g')

W wyniku uzyskujemy poniższy wykres:

Zadanie zostało wykonane stosując inny sposób wizualizacji wyniku

5. Rozwiązać równania różniczkowe wykorzystując funkcję ode45

5.1

dla następujących warunków początkowych:
,

5.2

dla następujących warunków początkowych:
,

Równanie 5.1

Rozwiązanie analityczne

przy danych warunkach początkowych
/

Równanie charakterystyczne będzie miało następującą postać:

Wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ przyjmie postać:

,

Pierwiastki następująco

,
,

Otrzymamy związki:

,

W naszym przypadku:

,

Całka ogólna równania jednorodnego przyjmie postać:

Po zróżniczkowaniu

Po wstawieniu do CORJ warunku początkowego
otrzymamy:

,

Po wstawieniu do różniczki CORJ warunku początkowego
otrzymujemy:

Stąd

Ostateczne rozwiązanie równania przyjmie postać następującą:

Rozwiązanie mfunkcją

Rozwiązanie modułem SIMULINK

Równanie 5.2

Rozwiązanie analityczne

przy danych warunkach początkowych
/

Równanie charakterystyczne będzie miało następującą postać:

Wyróżnik trójmianu kwadratowego Δ przyjmie postać:

,

Pierwiastki następująco

,

Otrzymamy związki:

,
,

W naszym przypadku:

,

Całka ogólna równania jednorodnego przyjmie postać:

Po zróżniczkowaniu

Po wstawieniu do CORJ warunku początkowego
otrzymamy:

,

Po wstawieniu do różniczki CORJ warunku początkowego
otrzymujemy:

,

Czyli

Stąd

Ostateczne rozwiązanie równania przyjmie postać następującą:

Rozwiązanie mfunkcją

Rozwiązanie modułem SIMULINK

---