SPRAWOZDANIE

Nr ćwiczenia 302	Data 22.12.1999	Imię i nazwisko ŁUKASZ WALOTKA		Wydział BM Mechatronika	Semestr I		Grupa MC-2 nr lab.
Prowadzący dr hab. M. KOZIELSKA			Przygotowanie	Wykonanie		Ocena

WYZNACZANIE STAŁEJ SIATKI DYFRAKCYJNEJ

1. Podstawy teoretyczne:

Siatka dyfrakcyjna - zbiór dużej liczby równoległych wąskich szczelin oddzielonych równymi nieprzezroczystymi przerwami nazywamy siatką dyfrakcyjną. Uzyskuje się ją przez np. zarysowanie równoległymi rowkami płytki szklanej lub na metalowej płycie za pomocą ostrza diamentowego.

Stała siatki dyfrakcyjnej - jest to odległość między środkami sąsiednich szczelin siatki dyfrakcyjnej.

Światło jest falą elektromagnetyczną - polega na rozchodzeniu się w przestrzeni zmian natężenia pola elektrycznego i magnetycznego. W zjawiskach optycznych decydującą rolę odgrywa wektor natężenia pola elektrycznego E. Opisanie tego wektora w funkcji czasu i współrzędnych przestrzennych wystarczy do określenia fali świetlnej. Jej równanie, gdy biegnie w osi x ma postać:

(1)

gdzie: λ i T odpowiednio okres i długość fali, a ϕ₀ jest fazą początkową.

Światło jako fala może ulegać dyfrakcji i interferencji. Zjawiska te wyjaśnia zasada Huyghensa mówiąca, że każdy punkt do którego dochodzi fala staje się źródłem nowej fali kulistej.

interferencja - nakładanie się dwóch lub większej liczby fal. W zależności od różnicy faz tych fal nastąpi wzmocnienie lub osłabienie ich amplitudy. Jeżeli fazy początkowe fal są jednakowe to różnica faz w punkcie nałożenia wynika z różnicy przebytych dróg.

Warunki interferencji można wyrazić zarówno przez różnicę faz Δϕ jak i różnicę dróg ΔS:

maksimum:

(2)

minimum:

(3)

k = 0,1,2,3...

Stały w czasie obraz interferencyjny obserwujemy tylko dla fal koherentnych (spójnych), których różnica faz nie zmienia się w czasie.

Dyfrakcja - zjawisko uginania się fal światła na krawędzi przeszkody wywołujące odstępstwo od prostoliniowego biegu promieni.

Dyfrakcja jest wyraźnie widoczna gdy szerokość szczeliny jest zbliżona do długości fali a * λ

Obraz dyfrakcyjny (na ogół układ szerokich ciemnych i jasnych prążków) jest wynikiem superpozycji fal elementarnych wychodzących z różnych fragmentów szczeliny. Centralne maksimum dla jednej szczeliny występuje dla kąta φ = 0⁰ natomiast położenie kolejnych minimów określa związek:

(4)

Maksima występują w przybliżeniu w połowie odległości między sąsiednimi minimami.

Przy dwóch szczelinach powstały na ekranie obraz jest wynikiem jednoczesnego wystąpienia dwóch zjawisk: dyfrakcji na każdej ze szczelin i interferencji fal wychodzących z sąsiednich szczelin. Położenie maksimów interferencyjnych określa związek:

(5)

gdzie: d - odległość między środkami sąsiednich szczelin

m = 1,2,3,4...

Podobne zjawiska zachodzą w siatce dyfrakcyjnej gdzie ilość szczelin jest większa. Zwiększenie liczby szczelin od dwóch do N nie zmienia położenia maksimów interferencyjnych, czyli równanie (5) jest prawdziwe. Zmianie ulega ich kształt - maleje szerokość maksimów głównych i pojawia się (N - 2) maksimów wtórnych o bardzo małym natężeniu.

W celu znalezienia stałej siatki dyfrakcyjnej wykorzystuje się wzór (5), który po przekształceniu przyjmuje postać:

(6)

aby wykonać doświadczenie musimy posłużyć się zestawem ćwiczeniowym jak na rysunku:

Światło sodowe (λ = 589,6 nm) z lampy Z wpada do kolimatora K składającego się ze szczeliny Sz i soczewki S₁. Wiązka wychodząca z kolimatora jest równoległa. Po przejściu przez siatkę dyfrakcyjną SD wiązka zostaje skupiona przez soczewkę S₂ lunetki L, dzięki czemu obserwujemy ostry obraz szczeliny. Kolimator jest na stałe połączony z podstawą spektrometru, lunetka natomiast jest połączona z kątomierzem i może być obracana wokół osi spektrometru. Położenie lunetki odczytujemy dzięki kątomierzowi zaopatrzonemu w noniusz.

Przebieg doświadczenia:

• po włączeniu lampy sodowej znajdujemy za pomocą lunetki obraz szczeliny bez siatki

• naprowadzamy obraz szczeliny na skrzyżowanie nitek pajęczych i notujemy położenie lunetki (położenie prążka zerowego rzędu)

• po ustawieniu siatki dyfrakcyjnej na stoliku spektrometru znajdujemy położenie prążków wyższych rzędów po prawej i lewej stronie φ _l ,φ _p. znajdujemy kąty ugięcia dla każdego rzędu

• obliczamy stałą siatki dla każdego pomiaru oraz wartość średnią

2. Wyniki pomiarów:

TABELA 1: Wyniki pomiarów położenia prążków po przejściu światła przez siatkę dyfrakcyjną

Lp.	Prążek zerowego rzędu	Prążki I rzędu		Prążki II rzędu
		Po lewej stronie φ l	Po prawej stronie φ p	Po lewej stronie φ l	Po prawej stronie φ p
1.	37^0 33'	30^0 54'	44^0 13'	24^0 11'	51^0 59'
2.		30^053'	44^0 10'	24^0 10'	51^0 59'
3.		30^0 52'	44^0 12'	24^09'	51^0 58'
4.		30^051'	44^0 11'	24^0 8'	51^059'
5.		30^053'	44^0 10'	24^0 9'	51^0 58'

3. Obliczenia:

TABELA 2: Kąty ugięcia dla prążków wyższych rzędów

Lp.	Prążki I rzędu		Prążki II rzędu
	Po lewej stronie φ	Po prawej stronie φ	Po lewej stronie φ	Po prawej stronie φ
1.	6^0 42'	6^0 40'	13^0 22'	14^0 26'
2.	6^0 40'	6^0 37'	13^0 23'	14^0 26'
3.	6^0 41'	6^0 39'	13^0 24'	14^0 25'
4.	6^0 42'	6^0 38'	13^0 25'	14^0 26'
5.	6^0 40'	6^0 37'	13^0 24'	14^0 25'

Śr.

6^0 41'

6^0 38'

13^0 24'

14^0 26'

Podstawiając do wzoru (6) wartości średnie kątów ugięcia oraz stałe (λ = 589,6 nm ; m = 1,2) możemy obliczyć stałą siatki dyfrakcyjnej.

(6)

TABELA 3: Obliczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Prążki		φ	sin φ	Długość fali λ [mm]	Prążek m rzędu	Stała siatki dyfrakcyjnej d [mm]
I rzędu	Po lewej stronie	6^0 41'	0,1164	589,6 ⋅10^-6	1	50,65 ⋅10^-4
		Po prawej stronie	6^0 38'			0,1155			51,04⋅10^-4
	II rzędu	Po lewej stronie	13^0 24'			0,2317		2	50,89⋅10^-4
		Po prawej stronie	14^0 26'			0,2493			47,3⋅10^-4

Wartość średnia stałej siatki dyfrakcyjnej

49,97⋅10^-4

4. dyskusja błędów:

Podczas wykonywania doświadczenia nie można uniknąć błędów. Pojawiają się tzw. błędy pomiaru wynikające najczęściej z niedokładności przyrządów pomiarowych. Błąd maksymalny wielkości złożonej jaką w tym przypadku jest stała siatki dyfrakcyjnej możemy obliczyć za pomocą metody różniczki zupełnej określonej wzorem:

gdzie: Δz - błąd maksymalny

Δx₁;Δx₂ - błędy pomiaru

błąd maksymalny dla pomiarów stałej siatki dyfrakcyjnej wynosi:

Δφ = ± 1' = ± 0,017⁰

TABELA 4: Obliczanie błędu maksymalnego pomiaru metodą różniczki zupełnej

Prążki		φ	sin φ	sin^2 φ	cos φ	Długość fali λ [mm]	Prążek m rzędu	Błąd maksymalny pomiaru [mm]
I rzędu	Po lewej stronie	6^0 41'	0,1164	0,0135	0,9932	589,6 ⋅10^-6	1	7,3⋅10^-4
		Po prawej stronie	6^0 38'	0,1155	0,0133			0,9933			7,5⋅10^-4
	II rzędu	Po lewej stronie	13^0 24'	0,2317	0,0537			0,9727		2	3,6⋅10^-4
		Po prawej stronie	14^0 26'	0,2493	0,0622			0,9684			3,1⋅10^-4

Błąd przeciętny serii pomiarów jeżeli odchylenia indywidualne są różne obliczamy ze wzoru:

Błąd przeciętny przy wyznaczaniu stałej siatki dyfrakcyjnej

5,4⋅10^-4

TABELA 5: Zestawienie wyników

Prążki		Stała siatki dyfrakcyjnej [mm]	Wartość średnia stałej siatki dyfrakcyjnej [mm]
I rzędu	Po lewej stronie	50,7 ⋅10^-4 ± 7,3⋅10^-^4	50⋅10^-4 ± 5,4⋅10^-4
		Po prawej stronie		51⋅10^-4 ± 7,5⋅10^-4
	II rzędu	Po lewej stronie		50,9⋅10^-4 ± 3,6⋅10^-4
		Po prawej stronie		47,3⋅10^-4 ± 3,1⋅10^-4

5. Wnioski:

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej przy użyciu stolika spektrometrycznego pozwala na dość dokładne wyznaczenie szukanej wartości. Metoda ta nie wymaga dużej liczby pomiarów, a co za tym idzie skraca się znacznie czas potrzebny na wykonanie doświadczenia. Kątomierz zamontowany w stoliku spektrometrycznym jest wyposażony w noniusz co znacznie zwiększa dokładność pomiarów.

7

φ

Sz

L

S₂

SD

S₁

K

Z

---