EAIiE	Krzysztof Jasek Piotr Jóźwik		rok I	grupa III	zespół 12
Pracownia fizyczna I	Moduł sztywności				ćwiczenie 12
data wykonania 16.03.2001	data oddania	zwrot do popr.	data oddania	data zaliczenia	ocena

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu sztywności kilku metali metodą dynamiczną za pomocą pomiaru okresu drgań skrętnych.

Wprowadzenie teoretyczne

Moduł sztywności G, jest to stosunek naprężenia stycznego τ do wywoływanego przez nie odkształcenia postaci γ :

.

Aby wyznaczyć moduł sztywności wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, którego podatność na skręcenia zależy wyłącznie od szukanego G i wymiarów geometrycznych.

Skręcenie jest odkształceniem spowodowanym przez parę sił przyłożoną do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta o promieniu r i długości l. Podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się wokół osi pręta, a on sam nie zmienia przy tym ani swojej długości l, ani promienia r.

Całkowity moment siły można obliczyć poprzez całkowanie przyczynków pochodzących od pierścieni o promieniu r i grubości dx. Odkształcenie postaci materiału wynosi:

Wartości naprężeń, zgodnie z prawem Hooke'a wynoszą natomiast:

Siła, działająca na pierścień jest dana wzorem:

przez co pierścień daje przyczynek do momentu równy:

Całkowity moment działający na pręt wynosi zatem:

Aby wyznaczyć teraz G, można zastosować metodę statyczną. Wygodniejszym sposobem jest natomiast metoda dynamiczna i z niej właśnie skorzystamy w ćwiczeniu. Polega ona na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora w postaci pręta, obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀. Metoda ta pozwala wyeliminować trudny do wykonania pomiar sił czy kąta skręcenia.

Pomiar momentu bezwładności I_x wahadła, możemy ominąć poprzez pomiary okresów drgań wahadła samego lub obciążonego ciałem geometrycznie prostym, mającym łatwy do policzenia moment bezwładności I₀.

Odpowiednie okresy wynoszą tu: ;

gdzie D jest stałą skręcenia i wynosi:

Moduł sztywności możemy wyznaczyć teraz ze wzoru: .

Wykonanie ćwiczenia

1. Zmierzyć długość l badanego drutu za pomocą przymiaru liniowego, jego średnicę 2r śrubą mikrometryczną (średnicę trzeba zmierzyć 10 razy w różnych miejscach)

2. Zmierzyć czas 20 pełnych drgań wibratora. Pomiary wykonać pięciokrotnie, kąt wychylenia wibratora z położenia równowagi powinien być mały.

3. Zmierzyć masę i promienie pierścienia obciążającego.

4. Obciążyć wibrator pierścieniem i powtórzyć pkt. 2

5. Zmierzyć masę krążków obciążających oraz odległość ich zamocowania od osi wibratora.

6. Obciążyć wibrator krążkami, powtórzyć pkt. 2

Wyniki pomiarów oraz obliczenia:

Pomiary przeprowadzone dla drutu wykonanego z mosiądzu oraz wyniki obliczeń zostały umieszczone w podanych niżej tabelach:

średnica pręta		czas wahnięć 15 okresów: 15T [s]
[mm]		bez obciążenia	+ pierścień	+ odważniki
1,97		39,31	58,50	60,75
1,97		39,47	58,16	60,69
1,96		39,47	58,12	60,44
1,97		39,28	58,16	59,97
1,98		39,34	58,38	60,32
1,99		39,41	58,26	60,00
1,97		39,31	58,07	60,72
1,96		39,28	57,97	60,16
1,98
1,96
		jeden okres: T [s]
średnia [mm]:		bez obciążenia	+ pierścień	+ odważniki
1,971		2,62	3,90	4,05
SI:		2,63	3,88	4,05
0,001971		2,63	3,87	4,03
		2,62	3,88	4,00
delta średniej:		2,62	3,89	4,02
3,14*10^-^6		2,63	3,88	4,00
		2,62	3,87	4,05
		2,62	3,86	4,01
		wartość średnia okresu T [s]
		2,62	3,88	4,03
		błąd standardowy średniej okresu T [s]
		0,0019	0,0040	0,0075

masa pierścienia m [g]:	1318	(+) (-) 1
średnica zewn. Rz [mm]:	283	(+) (-) 1
średnica wewn. Rw [mm]:	253	(+) (-) 1
masy ciężarków [g]: m1:	140	(+) (-) 1
m2:	142	(+) (-) 1
m3:	138	(+) (-) 1
m4:	139	(+) (-) 1
odległość od osi d [mm]:	75	(+) (-) 1
długość pręta l [mm]:	546	(+) (-) 1
średnica ciężarka rc [mm]:	30	(+) (-) 1
moment bezwł obręczy Iob:	0,023666	kg*m^2
moment bezwł ciężarków Ic:	0,003207	kg*m^2
suma momentów Iob+c:	0,026873	kg*m^2
moduł sztywności G1 (dla Iob):	42,14	GPa
moduł sztywności G2 (dla Iob+c):	41,95	GPa
moduł sztywności G3 (dla Ic):	40,63	GPa
średni moduł sztywności G:	41,57	GPa
delta G1:	0,10	GPa
delta G2:	0,17	GPa
delta G3:	0,19	GPa
delta średniej G:	0,11	GPa

Pomiary okresów można przeprowadzić dla wibratora nieobciążonego, obciążonego pierścieniem lub pierścieniem i ciężarkami, co daje nam trzy możliwości wyznaczenia szukanej wartości stałej sprężystości G. Obliczając G korzystamy ze wzoru:

W naszym przypadku, za każdym razem obliczając G1, G2 i G3 podstawiamy za I₀, T2 i T1 odpowiednie wartości. I tak:

• w przypadku G1: I₀=I_ob obręczy, T2 jest okresem wahań wibratora obciążonego obręczą, T1 jest okresem wahań wibratora nieobciążonego;

• w przypadku G2: I₀= I_ob +c (moment bezwładności obręczy + moment bezwładności ciężarków), T2 jest okresem wibratora obciążonego obręczą i ciężarkami, T2 jest okresem dla wibratora nieobciążonego;

• w przypadku G3 I₀=I_c (moment bezwładności ciężarków), T2 to okres wibratora obciążonego obręczą i ciężarkami, T2 to okres wahań wibratora obciążonego pierścieniem;

W naszych obliczeniach największą trudność sprawiło nam znalezienie momentu bezwładności dla każdego przypadku, a potem policzenie jego błędu. I tak:

• dla momentu bezwładności obręczy otrzymujemy:

gdzie m- masa obręczy, Rśr - promień średni jednorodnej obręczy, której oś obrotu umieszczona jest w jej środku;

• 
  dla momentu bezwładności ciężarków:

gdzie I_c - moment bezwładności i-tego ciężarka, mi- masa i-tego ciężarka, r_c- średnica ciężarka, d- odległość osi ciężarka od osi wibratora;

We wzorze na I_c skorzystaliśmy ze wzoru na moment bezwładności dla walca i skorzystaliśmy z prawa Steinera;

• dla momentu bezwładności obręczy i ciężarków:

Iob+c= I_ob +I I_c

momentu bezwładności obręczy i ciężarków jest sumą odpowiednich momentów bezwładności;

Dla obliczenia błędu  I₀ dla poszczególnych momentów bezwładności skorzystaliśmy z prawa przenoszenia błędów, wykorzystując błędy systematyczne ze względu na pomiary:

m=±1g

mi=±1g

Rśr=±1 mm

 r_c =±1mm

d=±1mm

Przy obliczaniu błędu pojedynczego okresu dla każdego z przypadków, za T_i wstawiamy błąd standardowy średniej okresu T_i.

Aby sprawdzić, która z wartości mierzonych wnosi największy przyczynek do końcowego błędu obliczamy kolejne przyczynki dla przykładowo wybranej konfiguracji odpowiadającej G₂:

=
Pa

=

=

=

=

Dla każdego wyznaczonego G_i obliczamy odchyłkę z prawa przenoszenia błędów,(obliczamy pierwiastek z sumy kwadratów z wyżej wymienionych wyrażeń na przyczynki, analogicznie postępując dla G₁ i G₃).

Następnie obliczamy wartość średnią wyznaczonych modułów, otrzymując ostatecznie moduł sztywności dla miedzi G=41,57GPa, przyjmując jej odchyłkę obliczoną z wzoru na odchylenie standardowe średniej (podstawiając odpowiednie odchyłki)ΔG=0,11GPa

Rozkład Gaussa:

Dodatkowo wykonaliśmy serię stu pomiarów czasu trzech wahnięć nieobciążonego wibratora (dane w tabeli z zajęć). Wyniki przedstawiliśmy na wykresie przyrównując je do unormowanego rozkładu Gaussa.

(tabela ,wykres)

	tśr	7,9041
	s	0,130
	tśr-2s	tśr-s	tśr	tśr+s	tśr+2s
	7,643	7,774	7,904	8,035	8,165
przedziały	poniżej tśr-2s	<tśr-2s;tśr-s>	<tśr-s;t>	<tśr;tśr+s>	<tśr+s;tśr+2s>	powyzej tśr+2s
N dośw (ilość wyników)	3	8	46	29	10	4
prawdop teoret.	0,023	0,136	0,341	0,341	0,136	0,023
Nt = N * prawd teor.	2,3	13,6	34,1	34,1	13,6	2,3
(Nd - Nt)^2/Nt	0,213	2,306	4,153	0,763	0,953	1,257
	X2 :	9,644
	Xkryt2 :	12,592

Test χ².

Obliczona wartość χ² jest mniejsza od odpowiadającej jej wartości tablicowej dla tej samej liczby stopni swobody na poziomie ufności 0.95, stąd wniosek, iż, ściśle mówiąc, nie możemy odrzucić hipotezy, że badana populacja wyników pomiarów czasów podlega rozkładowi normalnemu. Stąd otrzymujemy, że przyjęta metoda pomiarowa jest poprawna.

wykres rozkładu Gaussa

Wnioski:

Obliczony przez nas moduł sztywności dla miedzi odbiega nieco od wartości tablicowej. Po obliczeniu przykładowych przyczynków można wysnuć wniosek, że największy wpływ na błąd liczonej przez nas stałej miała niepewność pomiaru czasu, błąd wyznaczenia momentu bezwładności (wynikający zapewne z pomiaru odległości) oraz błąd pomiaru średnicy pręta. Mimo, że średnicę mierzyliśmy dziesięciokrotnie za pomocą śruby mikrometrycznej, jej pomiar wniósł wysoki przyczynek do błędu, ponieważ występuje we wzorze w czwartej potędze.

Na odchylenie od wartości tablicowej mogło także wpłynąć zmęczeni materiału samego druta, który dodatkowo nie był całkiem jednorodny (wskutek wielu przeprowadzonych na nim doświadczeń pojawiły się wygięcia).

1

7

---