Sprawozdanie z laboratorium mechaniki płynów

Opory ruchu w przewodach pod ciśnieniem

SPRAWOZDANIE ZALICZONE. OCENA.3.5

1. Cel

Celem ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie wartości współczynników liniowych λ w funkcji liczby Reynoldsa.

2. Wprowadzenie

Ciecz jako lepka podczas przepływu przez przewód musi pokonać opory tarcia. Lepkość definiowana jest jako zdolność płynu do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu jego elementów z różnymi prędkościami. Powstające przy tym siły są styczne do kierunku ruchu i noszą nazwę sił stycznych dla oporów tarcia. W związku z oporami tarcia ciecz traci energię mechaniczną, która zmienia się na inną postać energii (ciepło, dźwięk). Ubytek energii mechanicznej można zauważyć obserwując straty ciśnienia między dwoma rozpatrywanymi przekrojami poprzecznymi strumienia cieczy. Straty te mogą być miejscowe lub liniowe. W naszym doświadczeniu zajęliśmy się tymi drugimi, które są proporcjonalne do długości przewodu.

Opory liniowe w przewodach pod ciśnieniem oblicza się ze wzoru Darcy'ego-Weisbacha:

gdzie:

Δp - różnica ciśnienia między dwoma przekrojami poprzecznymi strumienia [Pa],

- ciężar objętościowy przepływającej cieczy

λ - współczynnik oporów liniowych [-]

L- długość badanego odcinka przewodu [m]

R_h - promień hydrauliczny
[m]

Gdzie:

A - pole przekroju poprzecznego strumienia [m²],

U - obwód zwilżony przewodu (dla przewodu o przekroju kołowym
)

v - średnia prędkość przepływu cieczy w poprzecznym przekroju przewodu za przeszkodą

D - średnica wewnętrzna przewodu [m]

Wartość współczynnika oporów liniowych λ zależy od rodzaju ruchu. Jego rodzaj możemy określić na podstawie liczby Reynoldsa. Współczynnik λ uzależniony jest od:

• w ruchu laminarnym λ = λ (Re)

• w ruchu turbulentnym:

1. strefa gwałtownego wzrostu oporów liniowych - strefa niedostatecznie przebadana,

2. strefa rur hydraulicznie gładkich λ = λ (Re),

3. strefa przejściowa λ = λ (Re, ε),

4. strefa kwadratowej zależności oporów λ = λ (ε), gdzie
   .

Re - liczba Reynoldsa [-],

ε - chropowatość względna [-],

k - bezwzględna chropowatość przewodu [-].

By obliczyć liczbę Reynoldsa należy skorzystać ze wzoru:

Gdzie:

v - średnia prędkość przepływu cieczy w poprzecznym przekroju przewodu za przeszkodą
,

D - średnica wewnętrzna przewodu [m],

ρ - gęstość płynu
,

μ - dynamiczny współczynnik lepkości płynu
,

- kinematyczny współczynnik lepkości płynu
,

Q - objętościowe natężenie przepływu
.

Średnią prędkość przepływu obliczyliśmy ze wzoru:

Współczynnik oporów liniowych wyznacza się ze wzoru:

Gdzie:

L - długość badanego odcinka przewodu [m]

3. Opis stanowiska

Stanowisko składa sie z:

a) zaworów Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8,

b) manometru pudełkowego M1 do pomiaru ciśnienia w instalacji,

c) manometrów różnicowych 2, 5,

d) rotametru do pomiaru przepływu,

e) przewodów: plastikowy nr 2 oraz stalowy nr 5.

Zanim uruchomiliśmy instalacje, trzeba było ją przygotować, aby zapobiec jej ewentualnemu uszkodzeniu. W tym celu otworzyliśmy zawory Z1, Z5, Z6, Z7. Zaworem Z2 regulowaliśmy przepływ, który można było odczytać z rotametru. W pierwszym etapie mierzyliśmy Δh₅ z manometru różnicowego nr 5, dla zmierzenia różnicy ciśnienia w przewodzie stalowym nr 5. Dokonaliśmy 12 odczytów z manometru różnicowego dla 12 różnych przepływów wahających się w przedziale od 5 do 35
. W drugim etapie dokonywaliśmy podobne pomiary dla przewodu z tworzywa sztucznego nr 2. W tym celu zamknęliśmy zawory Z2, Z5, Z6 oraz otworzyliśmy zawory Z3, Z4. Dalej postępowaliśmy analogicznie jak w etapie 1, przy czym odczytów różnicy ciśnień dokonywaliśmy z manometru nr 2.

Zawór Z8 służy do odpowietrzania instalacji badawczej, zawór Z7 to spust wody z modelu badawczego do kanalizacji.

4. Wyniki pomiarów, obliczenia wielkości hydraulicznych

W celu wyznaczenia wartości współczynnika strat na długości λ dla przewodu o średnicy wewnętrznej D = 16 mm dokonano pomiaru odczytu wysokości manometru różnicowego przy różnych wartościach natężenia przepływu wskazywanego przez rotametr. Podczas pomiarów dodatkowo pomierzono:

• Temperaturę otoczenia T_OT = 21˚C

• Temperaturę wody T_Wody = 10˚C

Dla podanych wartości temperatury odczytano z tabeli wartości gęstości wody:

• Gęstość wody w przewodzie ρ = 999,7
  ,

• Gęstość wody w manometrze ρ' = 997,948
  ,

• Gęstość cieczy manometrycznej ρ_cm = 13543,3
  .

Dla temperatury wody odczytaliśmy kinematyczny współczynnik lepkości

Dodatkowo w temacie ćwiczenia podano długość odcinka pomiarowego wynoszącą L = 7,20 m.

Zestawienie pomiarów dla przewodu stalowego:

Nr pomiaru	Q [l/min]	Qśr [l/min]	Manometr
						L	P	ΔH (P-L) [mm Hg]	Średnia [mm Hg]
	1		34,2	34,1	- 489	486	975	976
			34		- 490	487	977
	2		31,5	31,4	- 422	410	832		831,5
			31,3		- 419	412	831
	3		29	29,2	- 370	355	725		723,5
			29,4		- 369	353	722
	4		26,6	26,7	- 312	293	605		602
			26,8		- 308	291	599
	5		24	24,05	- 261	236	497		495
			24,1		- 259	234	493
	6		21,5	21,5	- 210	184	394		392
			21,5		- 208	182	390
	7		19	19	- 172	141	313		314,5
			19		- 174	142	316
	8		16,5	16,45	- 134	101	235		234,5
			16,4		- 132	102	234
	9		13,9	13,9	- 109	68	177		179
			13,9		- 112	69	181
	10		11,4	11,4	- 78	41	119		120,5
			11,4		- 80	42	122
	11		9,1	9,1	- 61	21	82		82
			9,1		- 61	21	82
	12		6,5	6,5	- 48	2	50		51
			6,5		- 49	3	52

Zestawienie pomiarów dla przewodu plastikowego:

Nr pomiaru	Q [l/min]	Qśr [l/min]	Manometr
						L	P	ΔH (P-L) [mm Hg]	Średnia [mm Hg]
	1		46	46,1	- 286	313	599	601,5
			46,2		- 288	316	604
	2		43	42,95	- 253	278	531		531
			42,9		- 255	276	531
	3		40	40,1	- 222	245	467		465
			40,2		- 220	243	463
	4		37	36,95	- 188	207	395		395
			36,9		- 186	209	395
	5		34,1	34,05	- 161	179	340		340,5
			34		- 164	177	341
	6		31	30,95	- 136	152	288		289
			30,9		- 137	153	290
	7		28,1	28,15	- 115	127	242		243,5
			28,2		- 117	128	245
	8		25,2	25,25	- 94	104	198		198
			25,3		- 93	105	198
	9		21,9	21,9	- 74	81	155		156
			21,9		- 75	82	157
	10		18,9	18,95	- 57	64	121		121
			19		- 58	63	121
	11		16	15,95	- 42	46	88		90
			15,9		- 44	48	92
	12		13	13,05	- 29	33	62		63,5
			13,1		- 31	34	65

Sposób obliczania został pokazany dla wartości pierwszego pomiaru przy przewodzie stalowym.

1. Wyznaczenie wartości współczynnika strat liniowych λ dla przewodu stalowego czystego o średnicy wewnętrznej D = 16 mm.

Obliczenie wysokości strat liniowych:

ΔH₂ - różnica wskazań manometru różnicowego [m Hg]

Obliczenie średniej prędkości przepływu cieczy:

Obliczenie współczynnika oporów liniowych:

Obliczenie liczby Reynoldsa:

Wszystkie wyniki zestawiliśmy w tabelce:

Nr pomiaru	Qśr		[mm Hg]	[m Hg]	hl [m H2O]	v	[-]	Re [-]
1	34,1	5,6833	976	0,976	12,2479	2,8267	0,066835	34630
2	31,4	5,2333	831,5	0,8315	10,4346	2,6028	0,067153	31888
3	29,2	4,8667	723,5	0,7235	9,0793	2,4205	0,067567	29654
4	26,7	4,4500	602	0,602	7,5546	2,2132	0,067241	27115
5	24,05	4,0083	495	0,495	6,2118	1,9936	0,068145	24424
6	21,5	3,5833	392	0,392	4,9193	1,7822	0,067526	21834
7	19	3,1667	314,5	0,3145	3,9467	1,5750	0,069371	19295
8	16,45	2,7417	234,5	0,2345	2,9428	1,3636	0,069004	16706
9	13,9	2,3167	179	0,179	2,2463	1,1522	0,073771	14116
10	11,4	1,9000	120,5	0,1205	1,5122	0,9450	0,073831	11577
11	9,1	1,5167	82	0,082	1,0290	0,7543	0,078848	9241
12	6,5	1,0833	51	0,051	0,6400	0,5388	0,096118	6601

2. Wyznaczenie wartości współczynnika strat liniowych λ dla przewodu plastikowego o średnicy wewnętrznej D = 16 mm.

Wszystkie obliczenia zostały przeprowadzone analogicznie do obliczeń dla przewodu stalowego czystego.

Wszystkie wyniki zestawiliśmy w tabelce:

Nr pomiaru	Qśr		[mm Hg]	[m Hg]	hl [m H2O]	v	[-]	Re [-]
1	46,1	7,6833	601,5	0,6015	7,5483	3,8214	0,022537	46816
2	42,95	7,1583	531	0,531	6,6636	3,5603	0,022921	43617
3	40,1	6,6833	465	0,465	5,8353	3,3240	0,023026	40723
4	36,95	6,1583	395	0,395	4,9569	3,0629	0,023037	37524
5	34,05	5,6750	340,5	0,3405	4,2730	2,8225	0,023385	34579
6	30,95	5,1583	289	0,289	3,6267	2,5655	0,024024	31431
7	28,15	4,6917	243,5	0,2435	3,0557	2,3334	0,024468	28587
8	25,25	4,2083	198	0,198	2,4847	2,0931	0,024729	25642
9	21,9	3,6500	156	0,156	1,9577	1,8154	0,0259	22240
10	18,95	3,1583	121	0,121	1,5184	1,5708	0,026831	19244
11	15,95	2,6583	90	0,09	1,1294	1,3221	0,02817	16198
12	13,05	2,1750	63,5	0,0635	0,7969	1,0818	0,02969	13253

Obliczone wartości λ przedstawiliśmy w funkcji wartości liczby Reynoldsa w podwójnie logarytmicznym układzie współrzędnych:

5. Analiza otrzymanych wyników, rachunek błędów

Określono błędy związane z odczytami dokonywanymi na urządzeniach pomiarowych:

-rotametrze, gdzie *Q=*1
,

-manometrze różnicowym, gdzie *H=*5 [mm];

Błędy odczytu maja wpływ na dokładność następnych obliczeń wykonywanych w obydwu wariantach ćwiczenia.

Obliczono błąd wysokości oporów liniowych korzystając ze wzoru:

Wartość ta związana jest wyłącznie z błędem odczytu wskazań manometru i jest stała dla wszystkich przewodów.

Następnie wyznaczono błędy średniej prędkości przepływu. Dla średnicy D = 16mm błąd ten wynosi:

Sposób obliczania został pokazany dla wartości pierwszego pomiaru przy przewodzie stalowym.

Ostatecznie korzystając z metody różniczki zupełnej obliczono błędy współczynnika strat λ na długości L:

W analogiczny sposób dokonano obliczeń pozostałych błędów w seriach pomiarowych. Wyniki dla przewodu stalowego czystego otrzymane podczas obliczeń zestawiono w tabeli:

Nr pomiaru	[-]	[-]
1	0,06683	0,004262
2	0,06715	0,004681
3	0,06757	0,005095
4	0,06724	0,005595
5	0,06815	0,006355
6	0,06753	0,007143
7	0,06937	0,008405
8	0,06900	0,009861
9	0,07377	0,012675
10	0,07383	0,016016
11	0,07885	0,022137
12	0,09612	0,038998

Wyniki dla przewodu plastikowego:

Nr pomiaru	[-]	[-]
1	0,02254	0,001165
2	0,02292	0,001283
3	0,02303	0,001396
4	0,02304	0,001539
5	0,02339	0,001717
6	0,02402	0,001968
7	0,02447	0,002241
8	0,02473	0,002583
9	0,02590	0,003195
10	0,02683	0,003940
11	0,02817	0,005097
12	0,02969	0,006888

6.Wnioski

Analizując otrzymane wyniki (
, Re), oraz otrzymane wykresy w zestawieniu z monogramem Moody'ego wysnuto następujące wnioski dla przewodu z polipropylenu i stalowego:

1. Przewód stalowy - wykres dla przewodu stalowego mieści się w strefie kwadratowej zależności oporów, dla której
   zależy tylko od ε, początek wykresu mieści sie w strefie przejściowej.

2. Przewód z polipropylenu - wykres dla przewodu z polipropylenu w całości mieści się w strefie przejściowej na wykresie Moody'ego, blisko strefy rur hydraulicznie gładkich.

Kształt krzywych w obu przypadkach jest zbliżony. Jednakże biorąc pod uwagę jedynie położenie krzywych na wykresie Moody'ego można zauważyć, jak duży wpływ na charakter przepływu ma rodzaj materiału, z jakiego wykonane są rury. Przeprowadzone ćwiczenie potwierdza fakt, że charakterystyka rur wykonanych z plastiku jest bardzo zbliżona do rur hydraulicznie gładkich, czyli mają one o wiele mniejsze opory liniowe od rur stalowych, czego powodem jest o dużo mniejsza chropowatość.

W podsumowaniu można stwierdzić, że wybór materiału, z którego wykonujemy instalacje ma kluczowy wpływ na panujący w niej charakter przepływu.

Dodatkowo dołączamy wykres Moody'ego z naniesionymi wykresami dla rury stalowej oraz z polipropylenu:

TERAZ MOŻE BYĆ..

Własności filtracyjne ośrodków porowatych

1. Wprowadzenie teoretyczne:

Filtracją cieczy nazywamy ruch wód gruntowych przez ośrodek porowaty. Jest on szczególnym przypadkiem przepływu cieczy przez ośrodek porowaty. Możemy wyróżnić dwie przyczyny jego powstawania: różnica ciśnień oraz siła ciężkości (dla odpowiedniej wielkości porów gdy woda je wszystkie wypełnia). Filtrację traktujemy jako ruch laminarny. Ponieważ nie jest możliwe zbadanie filtracji w taki sposób jak to ma miejsce w przypadku przewodów hydraulicznych (z uwagi na skomplikowany układ porów, kanalików i szczelin którymi odbywa się ten ruch), należy przyjąć uproszczenie. Uproszczeniem tym jest prędkość filtracji, która jest średnią umowną prędkością przepływu:

gdzie:

Q - natężenie objętościowe przepływu rzeczywistego przez wszystkie kanaliki gruntowe
,

A - całkowite pole powierzchni przekroju próbki (obejmujące powierzchnię przekroju ziaren gruntu) [m²],

v - prędkość filtracji

Warunek liniowej zależności spadku piezometrycznej linii ciśnień i prędkości filtracji wyraża prawo Darcy`ego:

gdzie:

v - prędkość filtracji
,

k - współczynnik filtracji (zależy od wielkości ziaren, rodzaju gruntu, porowatości i lepkości cieczy)
,

I - spadek piezometrycznej linii ciśnień [m H₂O].

Średnicę odpowiadającą 10% na krzywej przesiewu przyjmuje się średnicę ziaren miarodajną dla danego gruntu.

Współczynnik porowatości określa porowatość gruntu i dany jest zależnością:

gdzie:

V_p - całkowita objętość porów w próbce [m³],

V - objętość próbki badanego gruntu [m³],

A_p - pole przekroju porów [m²],

A - całkowite pole przekroju próbki [m²],

p - współczynnik porowatości gruntu (0<p<1) [-] , dany w procentach.

Przekształcając wzór Darcy`ego korzystając z zależności:

gdzie:

ΔH - różnica wysokości ciśnień na piezometrach [m H₂O],

ΔL - odległość między podłączeniami piezometrów do modelu gleby [m],

I - spadek piezometrycznej linii ciśnień [m H₂O],

otrzymuje się wzór na współczynnik filtracji:

Wielkość przepływu Q otrzymuje się ze wzoru:

gdzie:

Q - natężenie objętościowe przepływu
,

V - objętość o jaką w danym czasie t napełniamy naczynie (menzurkę) [m²],

t - czas napełniania naczynia [s]

Ostatecznie otrzymujemy wzór:

Pole przekroju próbki oblicza się ze średnicy walcowego modelu D [m], która jak pozostałe wielkości: ΔL [m], t [s] , p [-] (porowatość gruntu) są dane w temacie zadania i podane są w tabelce poniżej (podana przy obliczeniach).

Do badania współczynnika filtracji stosuje się model gleby. Jest to naczynie pionowe o kształcie walca i stałym przekroju A wypełnione badanym gruntem (żwirem). Próbka gruntu umieszczona jest miedzy dwiema siatkami. Przez model przepuszczana jest woda. Ruch wody umożliwia różnica ciśnień między zbiornikiem, z którego woda wypływa, a wysokością gruntu. Wysokości ciśnienia w gruncie wskazują piezometry zaopatrzone w noniusz. Do pomiaru przepływu służy stoper oraz naczynie do pomiaru objętości V (menzurka).

Mając obliczony współczynnik filtracji k, zmierzoną temperaturę wody T oraz podaną porowatość p, po uprzednim przeliczeniu wartości współczynnika k otrzymuje się średnicę miarodajną ziaren d₁₀ [mm] próbki. Przeliczenie to jest niezbędne do odczytania wartości średnicy miarodajnej ziaren gdyż wartości współczynnika filtracji podane są tylko dla temperatury T = 283 [K]. Przy przeliczaniu korzysta się z następującej zależności:

[-]

więc:

gdzie:

k_x - współczynnik filtracji wyliczony dla danej temperatury wody T_x [K], wyrażony w
,

k₂₈₃ - współczynnik filtracji dla temperatury T = 283 [K], wyrażony w
,

- kinematyczny współczynnik lepkości dla danej temperatury wody T_x [K], wyrażony w
,

- kinematyczny współczynnik lepkości dla temperatury T = 283 [K], wyrażony w
,

- poprawka do współczynnika filtracji k_x w zależności danej temperatury wody T_x [K], bezwymiarowa [-],

Ruch wody w próbce powinien być ruchem laminarnym, liczba Reynoldsa powinna spełniać zależność:

gdzie

- kinematyczny współczynnik lepkości
,

m - współczynnik porowatości [-],

d₁₀ - średnica miarodajna ziaren [mm]

2. Obliczenia:

Pierwszym krokiem w obliczeniach jest obliczenie średniej z dwóch pomiarów nadciśnienia w każdej serii dla obu piezometrów oraz średniej z dwóch pomiarów objętości.

Lp.	HL1 [cm H2O]	HL2 [cm H2O]	HP1 [cm H2O]	HP2 [cm H2O]	V1 [cm^3]	V2 [cm^3]
1	14,9	14,9	54,49	54,48	169	169
2	45,16	45,16	64,34	64,34	96	96
3	70,82	70,89	76,74	76,74	37	38

[m H₂O]

[m H₂O]

[m³]

Następnie oblicza się ΔH - różnice wskazań piezometrów:

[m H₂O]

Lp.	HLśr [m H2O]	HPśr [m H2O]	ΔH [m H2O]	Vśr [m^3]
1	0,14900	0,54485	0,39585	0,000169
2	0,45160	0,64340	0,19180	0,000096
3	0,70855	0,76740	0,05885	0,0000375

Całkowite pole powierzchni przekroju próbki A oblicza się na podstawie danej średnicy D tego przekroju:

D [m]	A [m^2]	ΔL [m]	t [s]	p [-]	Tx [K]
0,14	0,015386	0,6	60	0,33	290,15

Znając napełnienie naczynia V oraz czas napełniania można obliczyć natężenie objętościowe przepływu Q:

oraz obliczyć wartość współczynnika filtracji k z przekształconego wzoru Darcy`ego:

Lp.	ΔH [m H2O]	Q	kx
1	0,39585	0,0000028167	0,00027748
2	0,19180	0,0000016000	0,00032531
3	0,05885	0,0000006250	0,00041415

Do obliczenia średnicy miarodajnej ziaren wymagane jest przeliczenie wartości współczynnika k_x na k₂₈₃ . Poprawkę
odczytuje się z tablic.

Lp.	ΔH [m H2O]	Q	kx	k283
1	0,39585	0,0000028167	0,00027748	0,00022970
2	0,19180	0,0000016000	0,00032531	0,00026930
3	0,05885	0,0000006250	0,00041415	0,00034284

Mając daną porowatość gruntu p wraz z przeliczonym współczynnikiem filtracji k₂₈₃ z tablic Slichtera odczytuje się średnicę miarodajną ziaren d₁₀. Otrzymane wartości współczynnika k wychodzą jednak poza zakres podany w tablicach (rząd wielkości 10^-4). Wiedząc, że przy średnicy ziarna 10-krotnie większej wartość k zwiększa się 100-krotnie można otrzymać wartość d₁₀ dla współczynnika k 100 razy mniejszego (rząd wielkości 10^-6), a następnie zwiększyć sczytaną wartość d₁₀ 10 razy aby odpowiadała naszemu współczynnikowi k₂₈₃ :

dla

wartość

, to

dla

wartość

Analogicznie postępuje się dla pozostałych wartości k₂₈₃.

Lp.	k283	d10 [mm]
1	0,00022970	0,32
2	0,00026930	0,37
3	0,00034284	0,41

Ruch wody w próbce powinien być ruchem laminarnym. Należy więc dla sprawdzić każdorazowo zależność :

Lp.	v		Re [-]
1	0,00018307	0,000001006	0,084267
2	0,00010399	0,000001006	0,055347
3	0,00004062	0,000001006	0,023957

3. Wnioski

Wszystkie pomiary spełniają warunki ruchu laminarnego, co jest zgodne z teorią dotyczącą zjawiska filtracji. Powodem tego jest opisana na wstępie niewielka wartość przepływu cieczy [Q] oraz małe przekroje kanalików w gruncie. Samo ćwiczenie miało charakter bardziej poglądowy na badane zjawisko filtracji. Duży wpływ na poprawność wyników miały błędy: zarówno błędy grube (przy odczycie wartości współczynnika k z tablic Slichtera), jak i błędy spowodowane przez wahanie poziomu cieczy manometrycznej w piezometrach. Badany grunt był dość jednorodnie uwarstwiony, co w rzeczywistych warunkach rzadko kiedy ma miejsce. Grupa nie miała możliwości odniesienia i porównania osiągniętych wyników z innym rodzajem gruntu, przez co nie było możliwości zbadania np. wpływu grubości ziaren, rodzaju gruntu na prędkość przepływu i współczynnik filtracji. Wnioski ograniczają się jedynie do potwierdzenia założenia przyjętego na wstępie. Przeprowadzone ćwiczenie pomogło bardziej przybliżyć grupie zjawisko filtracji.

---