Rachunek wektorowy

Zad.1 Dany jest wektor a = −2i + 3j + 6k. Obliczyć jego długość oraz kąty, jakie tworzy on z osiami układu współrzędnych.

Zad.2 Wektor a = 3i − 4j + 5k ma początek w punkcie P(2,−2,−5). Znaleźć współrzędne końca wektora a.

Zad.3 Znaleźć długość rzutu wektora a = 2i+2j+4k na wektor b =i+2j−k.

Zad.4 Dane są wektory a = (3, 4, 5) i b = (−1, 0, 1) (względem pewnego ustalonego układu współrzędnych). Znaleźć sumę wektorów, ich iloczyn wektorowy oraz kat pomiędzy nimi.

Zad.5 Oblicz sumę, różnicę, iloczyny: A (B × C) i (A × D) × C oraz kąty pomiędzy wektorami

a) A = 3i − 2j i B = 4i − 4j;

b) C = 3i +j+2j i D = i − 2j+3k

Zad.6 Dwie cząstki zostały wyrzucone z początku układu współrzędnych. Po pewnym czasie ich położenia określone są wektorami: r₁ = 4i + 3j + 8k oraz r₂ = 2i + 10j + 5k. Obliczyć: a) wektor przemieszczenia r₁₂ cząstki drugiej względem pierwszej, b) długości wszystkich wektorów i kąty między nimi.

Zad.7 Stałe siły F₁ = i + 2j + 3k [N] i F₂ = 4i − 5j − 2k [N] spowodowały przemieszczenie cząstki z punktu A(20, 15, 10) [m] do punktu B(0, 0, 7) [m] po odcinku prostej. Jaka praca została przy tym wykonana?

Zad.8 Siła F =i+2j+3k [N] działa na punkt A(7, 3, 1) [m]. Jaki jest moment tej siły względem początku układu współrzędnych, a jaki względem punktu B(0, 10, 0) [m]?

Ruchy jednostajne, jednostajnie zmienne, zmienne, ruch w polu grawitacyjnym (rzuty)

1. Ile czasu potrzeba do przebycia drogi s = 100m ruchem jednostajnym z prędkością v = 100km/h?

2. Obliczyć drogę s, jaką przebyłoby ciało w ciągu czasu t = 2h, poruszając się ruchem jednostajnym, jeżeli drogę s₀ = 100m przebyło ono w czasie t₀ = 10,2s.

3. Samochód przebył od miasta A do miasta B drogę s, jadąc z prędkością v₁= 50km/h, a wracając z powrotem z prędkością v₂= 40km/h. Obliczyć prędkość średnią.

4. Krople deszczu poruszając się wskutek oporu powietrza ruchem jednostajnym padają pionowo na dół z prędkością v₁=70m/s. Opisać ten ruch względem pociągu, który porusza się ruchem jednostajnym po płaszczyźnie poziomej z prędkością v₂=30m/s.

5. Dwa okręty wyruszyły równocześnie w drogę w kierunkach do siebie prostopadłych, jeden z prędkością v₁=20km/h, drugi z prędkością v₂= 30km/h. Obliczyć prędkość wzajemnego oddalania się okrętów oraz ich odległość po upływie czasu t = 4h.

6. Łódź przepływa rzekę o szerokości l = 100m z prędkością v₁ = 2,5m/s w kierunku poprzecznym do brzegu rzeki płynącej z prędkością v₂ = 2m/s. O ile metrów zostanie zniesiona łódź w dół rzeki w chwili dotarcia do brzegu?

7. Statek porusza się w górę rzeki z prędkością v₁ = 3,8 km/h, w dół rzeki z prędkością v₂ = 6,2km/h. Określić prędkość v₃ statku w wodzie stojącej i prędkość v₄, z jaką płynie rzeka.

8. Samolot leci z prędkością v₁ = 108km/h, w czasie lotu wiatr „przesuwa” samolot w kierunku prostopadłym z prędkością v₂ = 16m/s. Obliczyć wypadkową prędkość samolotu v w m/s.

9. Kula toczy się w wagonie kolejowym, prostopadle do kierunku poruszania się wagonu, z prędkością v₁ = 8m/s względem wagonu, który porusza się z prędkością v₂ =60km/h. Jaka jest prędkość kuli względem Ziemi co do wielkości i co do kierunku?

10. Podróżny jadący pociągiem z prędkością v₁ = 50km/h mija pociąg towarowy o długości l = 200m, który porusza się z prędkością v₂ = 30km/h w kierunku przeciwnym. Jak długo pociąg towarowy będzie mijał podróżnego?

11. Samolot lecący z prędkością v₁ = 200km/h przebywa drogę z punktu A do punktu B i z powrotem w czasie t = 1h 50 min. W czasie lotu wieje wiatr z punktu A do B z prędkością v₂ = 40km/h. W jakim czasie t₁ przebędzie samolot powyższą drogę w czasie ciszy(bez wiatru)?

12. Kolumna wojska o długości l = 1,5 km przesuwa się wzdłuż drogi z prędkością v = 6km/h. Z czoła kolumny wysyła dowódca motocyklistę z rozkazem na tył kolumny. Motocyklista jedzie z prędkością v₁ = 20km/h, nie zatrzymując się przekazuje rozkaz i wraca. Jak długo był w drodze?

13. Motocyklista przejechał pierwszą ćwiartkę drogi z prędkością v₁ = 10m/s, drugą- z prędkoscią v₂ = 15m/s, trzecią- z prędkością v₃ = 20m/s i ostatnią z prędkością v₄ = 5m/s. Znaleźć średnią prędkość motocyklisty na całym odcinku drogi.

14. Pasażer pociągu elektrycznego, poruszającego się z szybkością 15m/s, zauważył, ze drugi pociąg o długości 210m(jadący w przeciwnym kierunku) minął go w ciągu 6s. Znaleźć szybkość drugiego pociągu.

15. Znaleźć czas przejazdu do góry piechura stojącego na schodach ruchomych, jeżeli wiadomo, że przy jednakowej szybkości piechura względem schodów wejdzie on na górę po schodach nieruchomych w ciągu t₁ = 120s, a po schodach ruchomych w ciągu t₂ = 30s.

16. Dwa autobusy wyruszyły jednocześnie z punktu A do B. Jeden z nich pierwszą połowę drogi przebył ze stałą prędkością v₁, a drugą połowę ze stałą v₂. Drugi autobus porusza się z prędkością v₁ przez połowę czasu jazdy na drodze od A do B, drugą połowę czasu z prędkością v₂. Wyznacz prędkość średnią ruchu każdego autobusu jeżeli v₁=30km/h, a v₂=50km/h.

17. Tramwaj wyrusza z przystanku ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 0,4m/s². W jakim czasie t i na jakim odcinku drogi s tramwaj uzyska potrzebną prędkość v = 16m/s?

18. Tramwaj wyrusza z przystanku ruchem jednostajnie przyspieszonym i po przebyciu drogi s = 28,5m uzyskuje prędkość v = 18km/h. Obliczyć przyspieszenie a oraz czas t, w którym tramwaj przebył drogę s.

19. W pierwsze sekundzie ruchu jednostajnie przyspieszonego (bez prędkości początkowej) ciało przebyło drogę 5cm. Jaką drogę przebędzie to ciało w trzeciej sekundzie ruchu?

20. W której sekundzie ruchu jednostajnie przyspieszonego (bez prędkości początkowej) ciało przebywa drogę 3 razy większą niż w poprzedniej?

21. Korzystając z wykresu znaleźć odległość od punktu startu w jakiej znajduje się ciało po 4s.

Ile wynosi średnia prędkość ciała w tym ruchu?

22. Z wykresu zależności prędkości klocka od czasu wynika, że przebył on w przedziale czasu Δt =(2s;4s) drogę równą?

23. Które z ciał przebyło największą, a które najmniejszą drogę w przedziale czasu od 0 do 3s?

24. Ruch punktu materialnego opisany jest układem równań parametrycznych x = rsinωt, y = rcosωt, przy czym r(t) = const., ω(t)=const. Wyznaczyć składowe prędkości i przyspieszenia; wykazać, że tor punktu jest kołem o promieniu r; oraz wyznaczyć wartość bezwzględną wektora prędkości i przyspieszenia.

25. Ruch punktu opisują równania parametryczne x = ct, y = a+bt², przy czym a, b, c są stałe. A) obliczyć składowe prędkości i przyspieszenia; b) wyznaczyć tor punktu przyjmując a = 0, b = g/2, c = v_o.

---