Reguła falsi i metoda siecznych:
Reguła falsi
jest to metoda fałszywego założenia liniowości funkcji. Przyjmujemy założenia:
-w przedziale <a;b> równanie ma jeden pierwiastek
-f jest klasy C^2 i 1 oraz 2 pochodna maja staly znak na przedziale. Zalozenia te SA potrzebne do oszacowania bledu i umożliwiają ustalenie stalego punktu iteracji
Przez punkty A(a,f(a)) i B(bf(b) prowadzimy cieciwe o rownaiu y-f(a)=(f(b)-f(a)/ (b-a))(x-a) Odciętą x1 pkt w którym cieciwa AB przecina os OX przyjmujemy za pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka stad x1=(a- f(a)/(f(b)-f(a))*(b-a) jeśli x1=0 zad zakończone jeśli nie to kolejne wyrazy przybliżeń ciagu pierwiastka obliczamy ze wzoru

jest zbieżna dla dowolnej funkcji ciÄ…gÅ‚ej na przedziale <a;bb>(f(a)i f(b)<0) gdy pierwsza pochodna w otoczeniu pierwiastka jest ograniczona i różna od zera. Jeżeli druga pochodna nie zmienia znaku w rozpatrywanym przedziale to to ten koniec przedziali w którym f”f>0 nazywamy staÅ‚ym pkt. Iteracji-wszytkie ciÄ™ciwy przechodzÄ… przez ten pkt. Proces iteracyjny koÅ„czymy gdy dwa kolejne przybliżenia roznia siÄ™ o mniej niż zadane ε

metoda siecznych
jest ulepszoną wersja reguły falsi. Ulepszenie polega na zrezygnowania z żadania aby funkcja f(x) miała w punktach wytyczających następną cięciwie rózne znaki, natomiast do wyznaczenia (n+1) będziemy korzystali zawsze z pinktow xn i xn-1 mamy wówczas

Zaleta tej metody jest jej szybka zbieżność, niestety nie możemy jej stosować gdy początkowe przybliżenia nie leżą dostatecznie blisko pierwiastka. W metodzie tej znaczenie ma maksymalna graniczna dokładność, gdy roznica x_n+1 - x_n jest tego samego rzędu co oszacowanie błędu jakim jest obarczona to następne przybliżenie może być już całkowicie błedne
Twierdzenie o pierwiastkach:
jeżeli mamy przedział <a;b> taki, że:
f(a) i f(b) majÄ… przeciwne znaki
f”(x) jest ciÄ…gÅ‚a i nie zmienia znaku na przedziale
styczne do krzywej y=f(x) poprowadzone w pkt o odciętych a i b przecinają oś OX wewnątrz przedziału <a;b> , wówczas równanie f(x)=0 ma dokładnie jeden pierwiastek na przedziale <a;b>
Liczba k jest r-krotnym (r≥2) pierwiastkiem równania f(x)=0 wtedy i tylko wtedy gdy jest (r-1) krotnym pierwiastkiem równania f'(x)=0

---