FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Definicja

Niech X,Y są dowolnymi, niepustymi zbiorami. Relację ρ ∈ X×Y nazywamy funkcja określona na zbiorze X i o wartościach ze zbioru Y, jeżeli spełniony jest warunek

( ٨ V x ρ y ) ^ [ ٨ ٨ (x ρ y₁ ^ x ρ y₂ ) _=> ( y₁₌ y₂ ) ]

x∈X y∈Y x∈X y_1,y₂∈Y

Zatem funkcja przyporządkowuje jednoznacznie elementowi zbioru X element zbioru Y. Gdy X∈ Rⁿ oraz Y∈R to odwzorowanie f: X→Y nazywamy funkcja wielu zmiennych rzeczywistych.

Dziedziną funkcji wielu zmiennych jest zbiór wszystkich takich elementów przestrzeni Rⁿ, jeśli spełniony jest warunek

(x₁,x₂,...,x_n) ჎ Rⁿ : V z = f(x₁,x₂,...,x_n)

z჎Y

Szczególnym przypadkiem jest funkcja dwóch zmiennych

z = f(x,y) , gdzie (x,y) ჎R²

Definicja

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f: R^m → R określonej w pewnym sąsiedztwie punktu P₀ = (
)jeżeli dla każdego ciągu punktów { P_k} należących do dziedziny funkcji i różnych od P₀, dążącego do P₀, odpowiedni ciąg wartości funkcji {f (P_k) } dąży do liczby g . Piszemy wtedy

lim f (P_k) = g

P_k→ P₀

Definicja

Funkcja wielu zmiennych f (P) = f (x₁,x₂,...,x_n) jest ciągła w punkcie P₀ =(
), jeżeli ma ona granice w tym punkcie i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli zachodzi lim f (P) = f (P₀)

P→ P₀

Definicja

Dana jest funkcja wielu zmiennych określona w otoczeniu punktu P₀ =(
) .Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f (x₁,x₂,...,x_n) względem zmiennej x_i w punkcie P₀ nazywamy granicę ilorazu różnicowego

...............

................

i oznaczamy ..............

Definicja

Pochodne cząstkowe pochodnych f '(x,y) nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego i oznaczamy f''xx, f''yy

Definicja

Gradient funkcji f w punkcie P=(x₀,y₀,z₀)jest to wektor f(P)= I f'x(P₀),f'y(P₀),f'z(P₀)I

Jeżeli prosta wyznaczona jest przez wektor jednostkowy e₁, to pochodna kierunkowa funkcji f jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu przez wektor e₁, czyli

gdzie δ jest katem miedzy gradientem i kierunkiem różniczkowania l .

Definicja

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P₀, to różniczką zupełną df(P₀) jest wyrażenie

a₁Δx₁ + ... +a_nΔx_n

Wartości przybliżone

Niech punkty P₀ P₁ należą do dziedziny funkcji f (x₁,x₂,...,x_n). Całkowity przyrost funkcji f od punktu P₀ do punktu P₁ możemy zastąpić różniczką zupełną funkcji f obliczoną w punkcie P₀ , czyli

.........

.........

Po przekształceniu otrzymujemy przybliżoną wartość funkcji f w punkcie P₁

F(P₁)≈f(P₀)+df(P₀)

---