[25] Środek obrotu i twierdzenie Eulera

Rys. 5.3. Przemieszczenie odcinka AB w położenie
w płaszczyźnie i środek obrotu 0

Najpierw przemieszczamy figurę z odcinkiem AB równolegle do punktu A₁. Następnie otrzymany odcinek A₁B₁ obracamy o kąt ϕ otrzymując odcinek
. Zauważmy, że również można przesunąć odcinek AB do punktu
, a następnie obrócić też o kąt ϕ.

Pokażemy teraz, że odcinek AB może być przekształcony w położenie
jedynie poprzez obrót wokół punktu osi przechodzącej przez punkt 0 i prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Taki punkt nosi nazwę środka obrotu.

Poprowadzone symetralne
i
odpowiednio odcinków
i
dzielą je na połowy, tzn.
,
. Zauważmy, że
oraz
i
, czyli trójkąty 0AB i
są przystające, i pierwszy z nich możemy obrócić wokół punktu 0 o kąt ϕ w celu otrzymania trójkąta
.

Obserwacje powyższe prowadzą do następującego twierdzenia.

I twierdzenie Eulera

Dowolne przemieszczenie figury płaskiej może być realizowane poprzez obrót wokół pewnego punktu zwanego środkiem obrotu leżącego w płaszczyźnie tej figury.

Podsumowując, ruch płaski ciała sztywnego może być zastąpiony ruchem pewnej figury płaskiej.

---