Wykład KCh3.

3. Równanie ruchu układu napędowego- część III

3.1. Człony M₀ oraz M_e występujące w równaniu ruchu układu napędowego

3.2. Równanie (3.1) - statyczna charakterystyka silnika

3.3. Równanie (3.1) - moment oporowy zależny od kąta obrotu silnika

3.4. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego

3.5. Uwagi wstępne dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody

3.1. Człony M₀ oraz M_e występujące w równaniu ruchu układu napędowego

Z poprzedniego wykładu wiadomo, że symbol M₀ występujący w równaniu ruchu
(3.1)

oznacza moment oporowy maszyny roboczej. Pod tą nazwą kryje się zarówno moment użyteczny (niezbędny do wykonania procesu technologicznego) jak i suma momentów niepożądanych wynikających z tarcia w maszynie roboczej oraz w silniku. Typowe charakterystyki maszyn roboczych pokazano w sposób jakościowy na rys.3.1. Linia 1

odpowiada maszynom, w których moment oporowy jest stały (np pompom o stałej wydajności, maszynom wyciągowym, walcarkom). Linia 2 charakteryzuje wentylatory, pompy odśrodkowe i inne maszyny, w których opory ruchu są wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości obrotowej. Linia 3 odpowiada - przykładowo - urządzeniom odwijającym, w których jest zachowana stała siła naciągu oraz stała prędkość liniowa taśmy lub drutu; maszyny takie są stosowane między innymi w przemyśle papierniczym.

Wyróżnia się bierne i czynne momenty (siły) oporowe. Momenty (siły) oporowe bierne są związane z wykonywaniem procesu technologicznego i pokonywaniem tarcia. Mówiąc inaczej: praca momentu (siły) oporowego biernego jest pracą użyteczną lub pracą tarcia. Moment (siła) oporowy bierny ma zawsze zwrot przeciwny do zwrotu prędkości. Obrazują to na rys.3.2 linie A1 i A2.

Czynny moment (siła) oporowy jest niezależny od zwrotu prędkości. Obrazuje to linia B na rys.3.2. W przypadku czynnego momentu (siły) oporowego należy wyróżnić dwie sytuacje, które łatwo wyjaśnić na przykładzie windy. Jeżeli winda porusza się do góry, to moment oporowy przeciwdziała ruchowi. Jeżeli natomiast winda zjeżdża w dół, to moment oporowy staje się momentem czynnym; „pomaga” temu ruchowi, a silnik może oddawać energię do źródła. Innym przykładem jest siła spowodowana odkształceniem sprężystym elementu maszyny. W obydwu tych przypadkach mamy do czynienia z energią potencjalną. W przypadku windy - z energią potencjalną związaną z polem grawitacyjnym, w przypadku elementu maszyny - z energią potencjalną odkształceń sprężystych. Energia ta jest najpierw akumulowana, a następnie może być oddana.

Dyskusję na temat członu M_e występującego w równaniu ruchu układu napędowego należy rozpocząć od wyróżnienia statycznych i dynamicznych charakterystyk silnika elektrycznego. Charakterystyka statyczna silnika to taka, którą uzyskano na hamowni zmieniając bardzo wolno obciążenie silnika. „Bardzo wolno” oznacza, że zmiana obciążenia nie powoduje ani zauważalnych momentów dynamicznych (przyspieszeń), ani procesów przejściowych w silniku. Charakterystykę statyczną silnika indukcyjnego pokazano schematycznie na rys.3.3. W przybliżeniu jest ona

opisana tzw. wzorem Klossa

(3.2)

gdzie s oznacza tak zwany poślizg, równy

(3.3)

- prędkość kątowa,

- prędkość kątowa synchroniczna.

Symbole ω_k , s_k , M_k oznaczają krytyczna prędkość kątową, krytyczny poślizg i krytyczny (maksymalny) moment silnika. Poślizg krytyczny można obliczyć ze wzoru

gdzie M_n oznacza moment znamionowy. Dla poślizgów znacznie mniejszych od poślizgu krytycznego zachodzi zależność s_k/s >>s/s_k , dzięki czemu wzór Klossa można napisać w postaci

. (3.4)

Podstawiając (3.3) do (3.2) a następnie do (3.4) otrzymuje się

(3.2a)

oraz

(3.4a)

Charakterystyka statyczna silnika innego niż indukcyjny ma oczywiście odmienną postać, jednak jest to zawsze zależność algebraiczna wiążąca moment M_e z prędkością kątową silnika.

3.2. Równanie (3.1) - statyczna charakterystyka silnika

Rozpatrzmy najpierw najprostszy przypadek równania ruchu. Odpowiada on założeniu, że obydwa momenty, M_e i M₀, mają wartości stałe. Zastosujmy to założenie do oszacowania czasu rozruchu silnika indukcyjnego. Przyjmijmy, że moment M₀ jest znany i mniejszy od momentu rozruchowego M_r (rys.3.3). W czasie rozruchu prędkość kątowa wzrasta od
do
, gdzie
oznacza prędkość ruchu ustalonego, czyli sytuację, w której M_e = M₀. Korzystając z charakterystyki silnika można powiedzieć, że rozruch rozpoczyna się od punktu (0, M_r) i kończy w punkcie (
, M₀). Symbol M_r oznacza moment rozruchowy silnika. Przyjmijmy, i jest to istota uproszczenia, że w czasie rozruchu moment silnika jest stały i wynosi

.

Równanie (3.1) przyjmuje postać

Zauważmy, że równanie to umieją (ściśle: powinni umieć) rozwiązać uczniowie szkół średnich, gdyż opisuje ono ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony. My rozwiążemy to równanie nieco „mądrzej”, czyli, jak niżej

gdzie C jest stałą, która należy obliczyć z warunku początkowego: dla t = 0 jest ω = 0. Uzyskuje się

Rozruch, którego czas wynosi t_r , kończy się gdy prędkość osiągnie wartość
. Stąd wynika czas rozruchu

(3.5)

Zadanie

O jaki kąt obróci się w czasie rozruchu wał silnika?

Uzyskanemu rozwiązaniu można zarzucić, że w rzeczywistości moment silnika nie jest stały, a więc przyspieszenie też nie jest stałe. Rozwiązanie to ma jednak ogromną zaletę: jest proste. W technice bardzo często przedkłada się prostotę rozwiązania nad jego dokładność.

Zastosujmy dokładniejszy opis analityczny silnika indukcyjnego, czyli równanie (3.4a), do rozwiązania problemu zdefiniowanego poniżej. Niech w układzie napędowym, który znajduje się w stanie ustalonym zmieni się, w chwili t = 0, moment oporowy z M₀₁ na M₀₂. Z równania (3.4a) wynika, że momentowi M₀₁ odpowiada prędkość kątowa

gdzie

Równanie ruchu ma więc postać

czyli

Oznaczając

otrzymujemy równanie

którego rozwiązaniem jest

Korzystając z warunków początkowych (dla t = 0 jest ω = ω₁) otrzymuje się

czyli

Zauważmy, że gdy
to
, co pozwala uzyskać rozwiązanie końcowe w postaci

(3.6)

Zadanie

Silnik indukcyjny ma następujące parametry: Moc znamionowa 17 kW, obroty znamionowe 1460 obr/min, moment rozruchowy 128 Nm, moment krytyczny 220 Nm. Silnik jest początkowo obciążony momentem 50 Nm. W pewnej chwili obciążenie wzrasta gwałtownie do wartości 125 Nm. Narysować wykres obrazujący zależność prędkości kątowej od czasu aż do chwili, w której osiągnięta prędkość będzie wynosić 99,5% prędkości ω₂. Jakie wnioski wynikają z rozwiązania?

Zależność (3.5) dotycząca rozruchu została wyprowadzona przy założeniu, że moment silnika jest stały, a zależność (3.6) dotycząca skokowej zmiany momentu oporowego - przy założeniu, że moment silnika jest liniową funkcją jego poślizgu. Można byłoby zamiast tych założeń próbować wprowadzić do równania ruchu równanie Klossa, czyli wzór (3.2). Jednak zauważmy, że zgodnie z równaniem Klossa moment silnika jest nieliniową funkcja poślizgu, a więc nieliniową funkcją prędkości kątowej. Jest to poważne utrudnienie, gdyż równanie ruchu przestaje być równaniem liniowym. Większość równań nieliniowych nie ma rozwiązań, które można by było - tak jak (3.5) i (3.6) zapisać w postaci wzoru analitycznego. Nieliniowe równanie różniczkowe można rozwiązać, ale tylko numerycznie, a rozwiązanie numeryczne dotyczy konkretnego przypadku. Z tego powodu - jeżeli to tylko nie jest niezbędne - należy unikać założeń, które prowadzą do nieliniowych równań ruchu. Zalecenie to dotyczy nie tylko napędu elektrycznego.

Zadanie

Przyjmijmy, że ktoś „uparł się” wprowadzić wzór Klossa w postaci (3.2) lub (3.2a) do równania ruchu i oceńmy to postępowanie w przypadku analizy skokowej zmiany momentu oporowego.

Zadanie

Ocenić celowość wprowadzenia wzoru Klossa do analizy rozruchu silnika.

3.3 Równanie (3.1) - moment oporowy zależny od kąta obrotu silnika

W niektórych maszynach moment oporowy zależy od kata obrotu wału wejściowego. Są to najczęściej maszyny, których element roboczy jest napędzany mechanizmem

dźwigniowym, przykładowo, mechanizmem korbowym (rys.3.4). Typowymi przykładami są sprężarka tłokowa, prasa korbowa, itp. Łatwo zauważyć, że moment M₁ niezbędny do pokonania siły F działającej na tłok (w prasie - na suwak) zależy od kąta α określającego położenie kątowe korby, czyli

Równanie ruchu należy w tym przypadku napisać

wprowadzając po lewej stronie
zamiast
. Jeżeli funkcja M₁(α) ma postać jak na rys.3.5, to silnik przez cały czas pracuje w warunkach przejściowych. Złagodzenie warunków pracy silnika osiąga się stosując pomiędzy silnikiem i napędzaną maszyną koło zamachowe. Zwiększa się w ten sposób moment bezwładności J, a więc zmniejsza ujemne przyspieszenie (opóźnienie) kątowe
. W przypadku zmian momentu M₀ jak na rys.3.5, powyższe równanie jest równaniem nieliniowym. Można je zlinearyzować zastępując, w dość żmudny sposób, krzywe odcinkami prostych.

3.4. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego

Stabilny układ (niekoniecznie napędowy) to taki, w którym małe odchylenie od stanu, w którym znajduje się układ, jest samoczynnie likwidowane i układ wraca do stanu wyjściowego. Bardzo często pojęcie stabilności wyjaśnia się rozpatrując zachowanie kulki na powierzchni wklęsłej (stabilne położenie kulki) oraz na powierzchni wypukłej (położenie niestabilne). Stabilność układu napędowego można natomiast wyjaśnić posługując się wykresami momentów (silnika M_e i oporowego M₀) w funkcji prędkości kątowej. Rozpatrzmy

dwie różne sytuacje pokazane na rys.3.6a i 3.6b i przeanalizujmy odchylenia układu od punktu równowagi, czyli od punktu S (rys.3.6a) przecięcia charakterystyk M_e(ω) i M₀(ω). Załóżmy że moment oporowy wzrósł o ΔM₀ . Zgodnie z charakterystyką M₀(ω), wzrostowi temu odpowiada wzrost prędkości kątowej. Powinien mu towarzyszyć wzrost momentu silnika M_e. Tak jednak nie jest, gdyż wraz ze wzrostem prędkości kątowej moment silnika zmniejsza się. Oznacza to, że w punkcie P układ napędowy nie może pracować i powróci do stabilnego punktu pracy S. Inaczej jest w sytuacji pokazanej na rys.3.6b. Jeżeli moment oporowy na chwilę by się zmniejszył, to układ powinien przejść do punktu R. Praca układu w tym punkcie nie jest jednak możliwa, ponieważ zwiększonej prędkości kątowej towarzyszy większy moment silnika. Nadwyżka momentu silnika w porównaniu z momentem oporowym spowoduje wzrost obrotów i dalsze zmniejszenie momentu oporowego. Oznacza to, że punkt N jest niestabilnym punktem pracy silnika.

Z powyższego rozumowania wynika, że aby punkt pracy układu napędowego był stabilny, musi być spełniony warunek

.

Powyższy warunek pozwala stwierdzić, że w przypadku silnika indukcyjnego (rys.3.7) punkt S₁ jest punktem pracy stabilnej. Podobnie stabilnym punktem pracy jest punkt S₂ jednak w punkcie tym długotrwała praca silnika nie jest możliwa z uwagi na duży prąd płynący w uzwojeniach silnika, który spowodowałby niedopuszczalny wzrost temperatury tych uzwojeń.

Przeanalizujmy jeszcze jedną sytuację zakładając, że na silnik, pracujący stabilnie w punkcie S₁, zaczyna działać zwiększony moment oporowy; pokazuje to w sposób umowny strzałka skierowana od punktu S₁ w górę. Na rys.3.7 widać, że silnik odpowiadając spadkiem prędkości i zwiększeniem momentu przechodzi do nowego punktu stabilnej pracy. Dzieje się tak aż do osiągnięcia momentu maksymalnego (krytycznego). Jeżeli moment oporowy nadal wzrasta, to silnik po prostu się zatrzymuje. W analizie tej pominęliśmy nagrzewanie się silnika. W rzeczywistości silnik nie może długo pracować obciążony momentem większym od momentu znamionowego (nominalnego).

3.5. Uwagi wstępne dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody

Rozpocznijmy od definicji: „Stopień swobody jest to liczba niezależnych zmiennych opisujących jednoznacznie stan modelu układu fizycznego.” Z definicji wynika, że wszystkie analizowane dotychczas modele układów napędowych miały jeden stopień swobody. Oscylator harmoniczny, którego model pokazano na rys.1.1 (Wykład KCh1), ma też jeden stopień swobody.

W przytoczonej powyżej definicji warte omówienia jest bardzo często używane w nauce (i nie tylko) pojęcie „model”. Zacznijmy od pytania - żartu: Co przedstawia rys.3.8?

Odpowiedź „kota” jest błędna. Odpowiedzią prawidłową jest: „Na rys.3.8 przedstawiono model graficzny kota”. Żart ten można uznać za wprowadzenie do rys. 3.9, który przedstawia klasyfikację modeli. Wszystkie rozpatrywane dotychczas modele należały do kategorii „symboliczny” i pod-kategorii „matematyczny”, zarówno modele statyczne jak i dynamiczne. Definicja modelu jest następująca: „A model is a simplified representation of a system (or process, or theory) intended enhance our ability to understand, predict, and possibly control the behavior of the system”. Zdanie to zaczerpnięto z ksiażki F.Neelamkavil'a “Computer simulation and modeling” celowo bez tłumaczenia.

Ważne jest podkreślenie, że „najlepszy” model nie istnieje. Model powinien być najprostszy z możliwych a jednocześnie wystarczający do opisania zjawisk, które dzięki modelowi mają być zrozumiane lub przewidziane. Jest to wskazówka bardzo ogólna, ale trudno podać lepszą. Ogólność powyższej wskazówki jest właśnie powodem, że w budowie modeli, szczególnie matematycznych, gra doświadczenie. Do tworzenia modeli o prostej strukturze „zmusza” niepełna znajomość wartości liczbowych wielkości występujących w równaniach opisujących model. Istotnie. Stosunkowo łatwo można zmierzyć masę, trudniej

moment bezwładności i sprężystość, jeszcze trudniej cechy tłumiące elementu układu podobnie jak wartości liczbowe wielkości występujących w schematach zastępczych silników elektrycznych.

Pamiętając o powyższych uwagach, wróćmy do układów o więcej niż jeden stopniach swobody rozpatrując układ pokazany na rys.3.10. W skład układu wchodzą dwie masy: m₁ i m₂. Są one połączone sprężyną k₂: sprężyna k₁ łączy masę m₁ z nieruchomą ścianą. Zachowanie

układu będzie znane jeżeli w każdej chwili znane będą położenia mas m₁ i m₂. Położenia te określone są dwoma współrzędnymi x₁ i x₂, co oznacza, ze układ ma dwa stopnie swobody. Na rys.3.10 narysowane zostały siły działające na obydwie masy. Chcąc uzyskać równania ruchu wystarczy zsumować „narysowane' siły i sumę przyrównać do zera.

Układ o dwóch stopniach swobody jest opisany układem dwóch równań różniczkowych i wymaga znajomości położeń i prędkości obydwu mas w chwili uznanej za początkową, czyli

Podobnie, dwa stopnie swobody ma układ pokazany na rys.3.11 składający się z dwóch obracających się elementów (1 i 2) połączonych elastycznym wałem. Niech elementy 1 i 2 cechują się momentami bezwładności J₁ i J₂. Wał łączący elementy ma sztywność kątowa k₁₂ (sztywność skrętna mierzona jest w Nm/rad). Odkształcenie sprężyste wału powoduje, że na elementy 1 i 2 działają momenty skręcające k₁₂(α₁-α₂). równe co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowane.

Na element 1 działa także moment M_S, zaś na element 2 - moment oporowy M₀₂. Stan układu wymaga znajomości dla dowolnej chwili t zarówno kąta obrotu α₁ elementu 1 jak i kąta obrotu α₂ elementu 2.

Zadanie

Napisać równania ruchu dla układu pokazanego na rys.3.11. Podać, w ogólnej postaci, warunki początkowe.

Trzy masy połączone elementami sprężystymi lub tłumiącymi maja trzy stopnie swobody, cztery masy - cztery, itd. Bryła (np. pręt, płyta, układ prętów, itp.) wykonana z rzeczywistego, sprężystego materiału ma nieskończenie wiele stopni swobody.

9

ω

A1

Rys.3.2

B

M_e

M_k

A2

M₀

ω

Rys.3.1

Rys.3.11

J₁d²α₁/dt²

M_S

k₁₂(α₁-α₂)

J₂d²ω₂/dt²

2

J₂

0

3

2

1

0

ω

M₀

1

J₁

ω₁

ω₂

k₁₂

M₀₂

ω_S

0

ω<0

ω>0

0

s

1

Rys.3.3.

ω_k

s_k

M_r

ω

M_e

α

Rys.3.5.

6π

4π

2π

0

M₁ (=-M₀)

α

Rys.3.4

M₁

F

ω

M₀

ω

M₀

M_e

Rys.3.6

(a)

(b)

ΔM₀

ΔM₀

S

N

P

R

Rys.3.8

ω

M_e

0

ω_S

M₀₂

Model

S₂

M₀₁

S₁

Rys.3.7

Fizyczny

Symboliczny

Mentalny

Składa się z elementów, które można dotknąć.

Zależności matematyczne, symboliczne lub logiczne, mapy, wykresy, rysunki, itp.

Istnieje tylko w umyśle; niemożliwy do przekazania.

Matematyczny

Niematematyczny

Statyczny

Dynamiczny

Równania algebraiczne

Równania różniczkowe

Rys.3.9

F

m₂ (d²x₂/dt²)

k₂(x₂-x₁)

m₁ (d²x₁/dt²)

k₁x₁

F₂

m₂

m₁

k₁

x₁

+x₁, + dx₁/dt, +d²x₁/dt² +x₂, +dx₂/dt, +d²x₂/dt²

k₂

x₂

k₂(x₂-x₁)

Rys.3.10

---