Parametry rozkładu zmiennej losowej

Def.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej x

Przykład 1 Oblicz wartość oczekiwaną

xi	0	1	2	3
pi

Przykład 2

Def. 2 Wariancja zmiennej losowej

- odchylenie standardowe

Przykład

Rozkłady długości drutów (dostawca A i B)

Dostawca A

xi	9,5	9,8	10	10,2	10,5
p (xi)	0,05	0,15	0,60	0,15	0,05

Dostawca B

yi	9,5	9,8	10	10,2	10,5
p (yi)	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

Niektóre własności

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. Jeżeli
   

analogicznie

Przykład Oblicz wariancję dla zmiennej losowej o rozkładzie

Def.3 Stosunek odchylenia standardowego od wartości oczekiwanej nazywamy współczynnikiem zmienności i oznaczamy przez V

(miarę tę podaje się często w wyrażeniu procentowym tzn.

Niektóre własności wariancji

1. 
   

2. 
   

3. Jeżeli
   

Standaryzacja zmiennej losowej

Widać zatem, że standaryzacja zmiennej losowej jest przekształceniem którego głównym celem może być sprowadzanie różnych rozkładów zmiennych o różnym poziomie i stopniu zróżnicowania do porównywalności.

Wartość oczekiwana i wariancja należą do pewnej ogólniejszej grupy charakterystyk rozkładu zmiennej losowej, zwanych momentami.

Def. 4

Momentem zwykłym rzędu K (K=1, 2, ...) zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną K -tej potęgi zmiennej tzn.

Def. 5

Momentem centralnym rzędu K (K=1, 2, ...) zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną funkcji

Wariancja jest drugim momentem centralnym zmiennej losowej.

Parametry pozycyjne rozkładu zmiennej losowej

Def.6

Mediana Me zmiennej losowej X nazywamy wartość x spełniającą nierówność

lub

Przykład

xi	0	1	2	3
pi

Me=1 oraz Me=2

Dla zmiennej losowej typu ciągłego mediana jest wartością x spełniającą równość
.

Przykład

Dla zmiennej losowej ciągłej mediana jest wartością, która dzieli pole pod funkcją gęstości prawdopodobieństwa na dwie części o identycznej powierzchni.

Mediana jest szczególnym przypadkiem parametru z grupy parametrów zwanych kwantylami.

Def. 7

Kwantylem K_p rzędu p zmiennej losowej X nazywamy wartość x spełniającą nierówności:

dla zmiennej losowej ciągłej kwantylem rzędu p jest taka wartość x, dla której
.

Niektóre kwantyle, w zależności od rzędu, maja swoje nazwy

kwartyle

decyle

centyle

Def. 8

Dominantą zmiennej losowej X nazywamy wartość x zmiennej losowej , której odpowiada:
- największe prawdopodobieństwo (w przypadku zmiennej skokowej)

- maksimum lokalne funkcji gęstości prawdopodobieństwa (w przypadku zmiennej ciągłej)

Symetria, asymetria rozkładu zmiennej losowej

Def. 9

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeżeli istnieje taka wartość a, że

• w przypadku zmiennej skokowej każdemu punktowi skokowemu
  odpowiada punkt
  , taki że:
  oraz
  

• w przypadku zmiennej losowej o funkcji gęstości f(x)

Punkt a nosi nazwę środka symetrii, natomiast prosta x=a jest nazywana osią symetrii.

Jeżeli rozkład jest symetryczny, to środkiem symetrii jest wartość oczekiwana w tym rozkładzie.

Jeżeli nie istnieje taki punkt a to rozkład nazywamy asymetrycznym.

Def.

Współczynnikiem asymetrii (skośności) γ nazywamy wyrażenie

γ >0 asymetria dodatnia (prawostronna)

γ <0 asymetria ujemna (lewostronna)

Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej

Def.

Moment rzędu K+L

Def.

Momentem centralnym rzędu K+L zmiennej losowej (X,Y) nazywamy wyrażenie

/kowariancja

Niektóre własności:

1. Jeżeli zmienne X,Y są niezależne to kowariancja cov(X, Y) =0

2. 
   

3. Wielkość określona jako
   jest nazywana współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby
, jest aby zachodził związek

Wybrane typy rozkładów

1. Rozkład dwumianowy Bernoulliego

• Zmienna losowa skokowa (dyskretna)

• Zmienna losowa skończona (może przybierać dwie wartości):

sukces → p

porażka → q=1-p

Wprowadzamy nową zmienną losową X oznaczającą K sukcesów w ciągu n -eksperymentów

(*)

Def.

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości K=1,2 ... n z prawdopodobieństwem określonym wzorem (*). Liczbę doświadczeń - n - oraz prawdopodobieństwo sukcesu - p - nazywamy parametrami tego rozkładu.

Przykład

Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając osiem razy monetą wyrzucono trzy razy orła.

parametry rozkładu

K=3

---