Akademia Górniczo - Hutnicza

im. Stanisława Staszica

w Krakowie

PROJEKT

Obliczenia statyczne dla belki przy pomocy programu Cosmosm

Sęp Justyna

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii

Budownictwo IV

Geotechnika w rewaloryzacji zabytków

WSTĘP

Model numeryczny dla zadanej belki przedstawionej na poniższym rysunku wykonany został na przykładzie czterech różnych modeli. W pierwszym z nich zadana belka została zastąpiona linią jednowymiarową, kolejne dwa wykonano w układzie płaskim 2D, przy czym dla jednego przyjęto płaski stan naprężenia a dla drugiego płaski stan odkształcenia, ostatni natomiast zamodelowano w przestrzeni 3D. Dla wszystkich przykładów zostały sporządzone wykresy ugięcia belki, deformacji, oraz wykresy przesunięcia wzdłuż osi OY. Oprócz tego dla belek 2D i 3D wykonano rozkłady naprężeń odpowiednio wzdłuż osi OX i OY.

TEMAT PROJEKTU

D=0,5[m] d=0,3 [m] l=5 [m]

ρ=2300 [kg/m³] E=5 [Gpa] ν=0,25

q= 30 [kN/m] M=10 [kNm]

oraz model projektu w programie RMWIN, którego użyłam do sprawdzenia wyników

MODEL 1D

W pierwszym etapie sporządzony został model geometryczny. Następnie nałożono na niego siatkę elementów skończonych. Kolejny etap to nadanie właściwości materiałowych i warunków brzegowych. Przekrój kołowy belki zastąpiono przekrojem prostokątnym o takich wymiarach aby moment bezwładności był taki sam jak belki kołowej. Uzyskano to dzięki użyciu polecenia Beam Section wprowadzając wymiary przekroju - program automatycznie obliczył momenty bezwładności. Cała geometria opiera się na dwóch prostych, można zatem szybko ją zbudować i w ten sposób uzyskać potrzebny nam wynik.

Model 1d gotowy do analizy:

W taki oto sposób wykonaną belkę poddano analizie statycznej którą program sam wybrał. Ze względu na to że grubość belki nie jest widoczna wykres przesunięcia belki względem osi OY został przedstawiony jako wykres.

Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że w tym przypadku warunki brzegowe zostały zadane w sposób prawidłowy (w miejscu utwierdzenia przemieszczenia są równe zero).

Aby lepiej było widać przedstawiłam za pomocą wektorów:

Wykres deformacji belki:

Jak widać z wykresu linia ugięcia belki ma charakter krzywej.

Reakcje:

MODEL PŁASKI 2D

W przypadku modelu płaskiego najpierw tak jak w poprzednim przypadku wykonano model geometryczny a następnie na jego powierzchni wygenerowana została siatka elementów skończonych. Zadanie rozwiązane zostało dla płaskiego stanu odkształcenia. Następnie utworzonej w ten sposób belce nadano cechy materiałowe oraz zadano odpowiednie warunki brzegowe. Gotowy do obliczeń statycznych model przedstawiony jest na rysunku poniżej:

Tak zamodelowaną belkę poddano analizie statycznej.

Płaski stan naprężenia

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Analizując wyniki przemieszczeń wzdłuż osi OY widzimy, że belka ma zerowe przemieszczenia w miejscu podpór, a największe na końcu belki. Największy wpływ na wartość przemieszczeń ma obciążenie ciągłe oraz moment M.

Wykres deformacji belki.

Wykres deformacji belki jest analogiczny do wykresu przesunięcia wzdłuż osi OY-zerowe deformacje występują w miejscu podpór a największe na końcu belki.

Reakcje:

Płaski stan odkształcenia

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Wykres deformacji belki.

Dla wszystkich powyższych wykresów możemy zauważyć podobieństwo z odpowiednimi wykresami dla płaskiego stanu naprężenia, dla tego przykładu największe ugięcie też obserwujemy na końcu belki. Wykres deformacji w tym przypadku ma nieco łagodniejszy charakter.

MODEL PRZESTRZENNY 3D

W modelu przestrzennym rozpoczęto od wykonania modelu geometrycznego. Do wykonania modelu geometrycznego w 3D musiałam utworzyć dodatkowe układ współrzędnych (2) i skopiować do niego obraz przekroju belki a następnie utworzyć objętości między powierzchniami.

Następnym krokiem było wygenerowanie na jego powierzchni siatka elementów skończonych. Utworzonej w ten sposób belce nadano cechy materiałowe oraz zadano odpowiednie warunki brzegowe:

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Tak jak w przypadku płaskim belka ma zerowe przemieszczenia w miejscu utwierdzenia. Moment i obciążenie ciągłe mają największy wpływ na wartość przemieszczeń.

ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE

Strzałka ugięcia dla belki jednowymiarowej została wyznaczona w sposób analityczny metodą Clebscha. Dla zadanej belki wyróżniamy dwa przedziały, pierwszy z nich od 0 do l/2, a następny od l/2 do l. Równania według metody Clebscha:

Wartości reakcji :

Ray= 55,35kN

Rb=49,64kN

Warunki brzegowe:

Y(x=0)=0

Y(x=l/2)=0

Z warunków brzegowych obliczone zostały stałe C i D które wyniosły odpowiednio:

C=-85058,33332

D=146484,375

I=2,669·10^-3

Wartości zostały ustawione od najmniejszych do największych i zestawione w tabeli tak aby można je było porównać z wartościami uzyskanymi za pomocą programu:

1	0,2247
2	0,19
3	0,16
4	0,12
5	0,09
6	0,049
7	0,02
8	-0,013
9	-0,034
10	-0,57

Dla sprawdzenia wykonałam także wykres ugięcia belki w programie RMWIN. Jak widać linia ugięcia belki jest taka sama jak dla modelu jednowymiarowego:

Wartości reakcji i przemieszczeń uzyskane przeze mnie w metodzie analitycznej i za pomocą programu RMWIN są zbliżone do otrzymanych za pomocą programu.

WNIOSKI

Projekt miał na celu nauczyć posługiwania się programem Cosmosm oraz poprawnej interpretacji otrzymanych wyników.

Wszystkie cztery przypadki wygenerowały zbliżone wyniki. Analizując wykresy strzałek ugięcia dla poszczególnych belek zauważamy że krzywe je opisujące mają podobny charakter, jedynie dla płaskiego stanu odkształcenia strzałka jest mniej wypukła. Różnice wartości ugięć są efektem różnych geometrii. Jeżeli teraz wyniki otrzymane w programie cosmos porównamy z wynikami otrzymanymi w wyniku obliczeń analitycznych, możemy zauważyć że z trzech belek obliczanych w kosmosie najbardziej praktycznie identyczne wyniki ma belka 1d. Na tej podstawie można stwierdzić, że belki zostały zrobione w sposób prawidłowy. Wykonanie każdego modelu wiązało się z innym nakładem pracy, wykorzystaniem różnych funkcji programu a także czasem wykonania.

Załączniki:

1. Pliki sesyjne poszczególnych modeli:

- 1D

-2D PSN

-2D PSO

-3D

Zestawienie naprężeń w kierunku osi y dla PSO, PSN i modelu 3D:

PSN

PSO

Model 3D

---