KSZTAŁTOWANIE POJĘĆ PORÓWNYWANIA RÓŻNICOWEGO
I ILORAZOWEGO PRZY WYKORZYSTANIU ZADAŃ TEKSTOWYCH
Dwa wymienione w tytule tematy są jednym z najbardziej wyrazistych przykładów niepowodzeń dydaktyki tradycyjnej, nakazującej dzielenie materiału na drobne porcje i wyuczanie każdej z osobna. Porównywanie różnicowe realizuje się w klasie II, a ilorazowe w klasie III. Tematy te uchodziły za szczególnie trudne, pomimo poświęcania im dużej ilości czasu. Efekty były niezadowalające: uczniowie robili liczne błędy przy rozwiązywaniu nawet prostych zadań tekstowych, a przede wszystkim mylili porównywanie różnicowe
z ilorazowym, np. „o 2 więcej” z „2 razy więcej”.
Postulat przerabiania tych tematów w izolacji według Semadeniego jest błędny. Powinno się stosować psychologiczną zasadę kontrastowania. Aby uczeń rozróżnił dwie podobne sytuacje, powinno się zestawić
je razem, by mógł zaobserwować podobieństwa i różnice.
Zgodnie z zasadą spiralnego układu materiału, pojęcia te należy przerabiać kilkakrotnie, wracając
do nich przy różnych okazjach. Porównywanie różnicowe pojawia się po raz pierwszy w klasie I, przy przerabianiu pierwszej dziesiątki w realizacji tematu: Porównywanie liczebności danych zbiorów i stwierdzanie, o ile się różnią (o 2 więcej , o 2 mniej itp.) W klasie II należy starannie wyjaśnić oba pojęcia i przerabiać przykłady stosowania ich w łatwych przypadkach. W klasie III powtarzamy je i stosujemy w bardziej złożonych zadaniach tekstowych.
Główne trudności, jakie napotyka uczeń, można podzielić na pojęciowe i językowe. Należy zaznaczyć, iż część błędów językowych ma swoje głębokie podłoże psychologiczne i wiąże się z niepełnym
lub niewłaściwym rozumieniem pojęć.
Trudności pojęciowe mają charakter matematyczno - psychologiczny. Omówimy je na przykładzie porównywania różnicowego; w przypadku porównywania ilorazowego trudności są podobne, ale poważniejsze, gdyż mnożenie jako działanie jest pojęciem bardziej zaawansowanym od dodawania, ponadto uczniowie mylą jedno działanie z drugim.
Główna trudność polega na tym, że w porównywaniu różnicowym mowa jest nie o czynnościach, lecz
o relacji, o związku między wielkościami. W zadaniu: W ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem rośnie jeszcze
6 jabłoni. Ile jest ich razem? sytuacja jest dla ucznia bardziej zrozumiała niż przy sformułowaniu równoważnym:
W ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem o 2 więcej niż w ogrodzie. Ile jest razem jabłoni?
Z tego powodu pożądane jest, by w okresie zaznajamiania się z porównywaniem różnicowym uczniowie przedstawiali schematycznie daną sytuacje i wyjaśniali, że o 2 więcej - to tyle samo i jeszcze 2. W razie zauważenia trudności pojęciowych należy dać dzieciom łatwiejsze zadania, w których jest wyraźne następstwo czasowe, np.
W ogrodzie posadzono 4 jabłonie, a za płotem posadzono najpierw tyle samo jabłoni,
co w ogrodzie, a potem jeszcze dwie dalsze.
Druga trudność polega na tym, że zadania dotyczące porównywania różnicowego wymagają nieraz odwracania relacji, co wiąże się z odwracalnością operacji umysłowej. Uczeń powinien zrozumieć, że jeżeli
za płotem jest o 2 jabłonie więcej, to w ogrodzie jest o 2 jabłonie mniej. Zauważmy, że nie można w tym przykładzie odwołać się bezpośrednio do ubywania, gdyż mówiło się o sadzeniu jabłoni, a nie o wycinaniu jabłoni. Uczeń musi więc odwrócić sytuację w myśli. Można mu to ułatwić zmieniając fabułę:
Za płotem było 6 jabłoni, a w ogrodzie tyle samo, ale potem dwie jabłonie w ogrodzie wymarzły w czasie zimy.
Rozumienie związków między pojęciami ,,o 2 więcej'', ,,o 2 mniej'' należy kształtować od początku nauki szkolnej w trakcie konkretnych manipulacji przedmiotami, a także przy nadarzających się okazjach, tak, aby później braki pojęciowe nie były przeszkodą w rozpatrywaniu bardziej złożonych sytuacji.
Nowy program dostarczył sugestywnych środków poglądowych ułatwiających opanowanie pojęciowe porównywania różnicowego i ilorazowego. Najważniejszymi są grafy, które mogą być wykorzystywane zarówno w sytuacji typu ,,o 2 więcej'', ,,o 2 mniej'', jak i sytuacji typu ,,o ile więcej?'', ,,o ile mniej?''. Analogiczną rolę mogą pełnić tabelki, ,,kwiatki'' itp.
Z drugiej strony nowe metody rozwiązywania zadań tekstowych zmniejszają rolę słowno - rozumowego rozwiązywania zadań, a tym samym maleje rola sprawności w operowaniu porównywaniem różnicowym i ilorazowym. Nie zmienia to faktu, że uczeń powinien pojęcia te dobrze rozumieć, wiążą się one bowiem z wieloma zagadnieniami arytmetycznymi.
U uczniów klas początkowych znaczna część błędów polega na myleniu znaczenia podobnie brzmiących zwrotów, np.:
Franek ma 7 lizaków, a Piotrek o 2 więcej oraz Franek ma 7 lizaków, a Ola 2 razy więcej.
Jedną z przyczyn takiego stanu jest odkładanie tematu: porównywanie ilorazowe (jako trudnego) do klasy III.
Uczeń spotyka się jednak ze zwrotami „2 razy więcej” w życiu codziennym; pamiętając, iż nauczycielka zwracała uwagę, że mówi się „o 2 więcej”, stosuje całkowicie błędny zwrot „o dwa razy więcej”, który często dziecko może, niestety, usłyszeć również z ust osób dorosłych.
Jedynym środkiem zaradczym jest możliwie wczesne, przy pierwszej nadarzającej się okazji (być może jeszcze w klasie I przy wprowadzaniu mnożenia, najpóźniej zaś w klasie II) przeciwstawienie obu tych zwrotów wraz z jednoczesnym wyjaśnieniem ich znaczenia na konkretach. Dzieci powinny przy tym pisać odpowiednie formuły, np.:
koło cukierków Pawła liczbę 5, koło cukierków Jasia 5+2 wraz ze słowami „o dwa więcej”; koło cukierków Emilki 2*5 ze słowami „2 razy więcej”.
Można też odpowiednie rysunki z formułami i poprawnymi zwrotami wywiesić na widocznym miejscu w klasie, by poprawne zwroty wdrukowały się dzieciom w pamięć. Na ogół tego rodzaju plansze są mało użyteczne w nauczaniu matematyki, ponieważ odwołują się do mechanicznej pamięci, a nie do pojęć; tu jednak chodzi o wyrobienie nawyku językowego, a więc właśnie czegoś odruchowego, o czym się nie myśli.
Należy zwrócić uwagę dzieciom na związek słowa „razy” w zwrocie „3 razy więcej” z tym słowem
w zwrocie „3 razy 5”. Powinno się też wyjaśnić znaczenie innych słów, w których chodzi o mnożenie, choć
nie ma tam słowa „razy”. Np.: „podwojony”, „potrojony”, „trzykrotny”, „czterokrotność”. Zdarza się, że uczeń słyszy te słowa w starszej klasie przy poznawaniu nowych pojęć, bez żadnego komentarza, jak gdyby nauczyciel zakładał ich znajomość. Mówi się „wspólna wielokrotność”, „podwójny iloczyn” przy wzorze:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .