ELEMENTY ALGEBRY

1. Pojęcia podstawowe

W teorii kodów liniowych znajdują zastosowania takie struktury algebraiczne jak grupa, pierścień, ciało, przestrzenie i podprzestrzenie liniowe. Omówię najważniejsze właściwości tych struktur.

Grupa Q jest zbiorem elementów, w którym jest określone pewne jednowartościowe dwuargumentowe działanie, umownie zwane dodawaniem "+", oraz są spełnione cztery aksjomaty. Niech a, b, c będą dowolnymi elementami grupy Q, wówczas:

(1) suma dowolnych elementów jest elementem grupy (zamkniętość)

a + b Q; (1a)

(2) wynik sumowania nie zależy od kolejności składników sumy (łączność)

a + (b + c) = (a + b) + c; (1b)

(3) istnieje element neutralny e (prawo identyczności)

a + e = e + a = a, e Q; (1c)

(4) istnieją elementy odwrotne (prawo odwrotności):

. (1d)

Przykłady: Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (łącznie z zerem) stanowi grupę względem operacji zwyczajnego dodawania. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera stanowi grupę względem operacji zwyczajnego mnożenia.

Grupa jest grupą przemienną lub abelową, jeśli zachodzi równość

a + b = b + a. (2)

Przykladem grupy nieprzemiennej względem operacji mnożenia macierzowego jest zbiór macierzy stopnia n, których wyrazami są dowolne liczby rzeczywiste.

Pierścień R jest zbiorem elementów, dla których są zdefiniowane dwa działania: a + b - zwane umownie dodawaniem oraz ab - zwane umownie mnożeniem, przy czym
a, b
R. Zbiór R jest pierścieniem, jeśli są spełnione następujące aksjomaty:

(1) zbiór R jest grupą abelową ze względu na dodawanie

a + b = b + a; (3a)

(2) zbiór R jest zamknięty ze względu na operację mnożenia

ab R; (3b)

(3) mnożenie jest łączne, to znaczy dla dowolnych a, b, c R zachodzi

a(bc) = (ab)c; (3c)

(4) obowiązuje prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia, to znaczy

a(b + c) = ab + ac. (3d)

Pierścień jest przemienny, jeśli

(3e)

Przykład: Zbiór liczb stanowiących klasy reszt modulo dowolna liczba całkowita m jest pierścieniem względem operacji dodawania modulo m i operacji mnożenia modulo m. Dla m = 4 reguły dodawania i mnożenia są następujące:

+	0	1	2	3				0	1	2	3
0	0	1	2	3			0	0	0	0	0
1	1	2	3	0			1	0	1	2	3
2	2	3	0	1			2	0	2	0	2
3	3	0	1	2			3	0	3	2	1

Można sprawdzić, że omawiany pierścień jest przemienny. Innym pierścieniem przemiennym, względem operacji zwykłego dodawania i zwykłego mnożenia, jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Przykładem pierścienia nieprzemiennego, względem operacji dodawania macierzowego i mnożenia macierzowego, jest zbiór wszystkich macierzy stopnia n, zbudowanych z liczb całkowitych.

Ciało C jest to pierścień przemienny, w którym istnieje element neutralny względem mnożenia , spełniający prawo identyczności

C, a = a = a, (4a)

a każdy niezerowy element ma swój element odwrotny względem mnożenia

(4b)

Przykładem ciała jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2. Ciało skończone

Niech q oznacza liczbę elementów ciała. Jeśli q , to takie ciało nazywamy ciałem skończonym lub ciałem Galoisa i oznaczamy symbolem CG(q). Wielkość q jest nazywana rzędem ciała. Na przykład CG(5) oznacza ciało skończone utworzone przez zbiór pięciu elementów całkowitych {0,1,2,3,4}, w którym są określone operacje dodawania i mnożenia modulo 5. Tablice dodawania i mnożenia mają w tym przypadku postać

+	0	1	2	3	4				0	1	2	3	4
0 1 2 3 4	0 1 2 3 4	1 2 3 4 0	2 3 4 0 1	3 4 0 1 2	4 0 1 2 3			0 1 2 3 4	0 0 0 0 0	0 1 2 3 4	0 2 4 1 3	0 3 1 4 2	0 4 3 2 1

Zauważmy, że CG(5) zawiera element neutralny względem dodawania 0 i element neutralny względem mnożenia 1. Zauważmy także, że dla każdego elementu istnieje w ciele element odwrotny względem dodawania oraz - z wyjątkiem zera - element odwrotny względem mnożenia. Tak więc dodanie elementu odwrotnego implikuje odejmowanie, np. 2 - 3 =2 + (-3) = 2 + 2 = 4, i podobnie mnożenie przez element odwrotny implikuje dzielenie, np. 2/3 = 23^-1 = 22 = 4.

Jeżeli q = p, przy czym p jest liczbą pierwszą, to takie ciało nazywamy prostym lub podstawowym ciałem Galoisa i oznaczamy symbolem CG(p). Ciało to tworzy zbiór wszystkich elementów całkowitych o wartościach od zera do p - 1. W ciele CG(p) operacje dodawania i mnożenia są operacjami modulo p. Najmniejsze proste ciało Galois CG(2) zawiera tylko dwa elementy:

0 - spełniające rolę elementu neutralnego względem operacji dodawania i

1 - spełniającą rolę elementu neutralnego względem operacji mnożenia.

Operacje dodawania i mnożenia w CG(2) ilustrują tablice:

+	0	1				0	1
0 1	0 1	1 0			0 1	0 0	0 1

Jeżeli
, przy czym m jest liczbą naturalną, to takie ciało nazywamy rozszerzonym ciałem Galoisa i oznaczamy symbolem
. Na przykład
jest rozszerzeniem ciała
, podobnie
jest rozszerzeniem ciała
. Konstrukcję rozszerzonych ciał Galoisa przedstawię później.

7

---