WYKŁAD VI

Mechanika płynów

Spis treści

1 Płyn lepki

WYKŁAD VI

• Płyn lepki

Płynem lepkim nazywamy płyn, w którym występują naprężenia styczne, a naprężenia normalne dla różnie zorientowanych elementów powierzchni w danym miejscu nie są w ogólnym przypadku sobie równe.

Istotnym jest również warunek przylegania płynu do ścianek ciał stałych. Chodzi o siły apchezji ,które powodują, że elementy płynu będące w kontakcie z ciałem stałym przylegają do niego. W miejscach przylegania prędkość płynu jest równa zero.

Jednym z przypadków przepływu, w którym naprężenia styczne odgrywają największą rolę jest ruch płynu w warstwie znajdującej się między dwoma płaskimi równoległymi płytami, które przesuwają się względem siebie( jedna nieruchoma druga porusza się z prędkością V.

Naprężenia styczne są wprost proporcjonalne do współczynnika lepkości dynamicznej i prędkości względnej tych dwóch płyt, a odwrotnie proporcjonalne do odległości między nimi.

gdzie:   współczynnik lepkości dynamicznej charakteryzuje własności danego płynu.

Wzór, który wyprowadził Newton jest wzorem doświadczalnym. Ponieważ jedynym czynnikiem wywołującym ruch płynu jest ruch jednej płyty, to rozkład prędkości powinien być liniowy. Natomiast naprężenia styczne powinny być jednakowe. Nasuwa się więc hipoteza : że naprężenia styczne są proporcjonalne do pochodnej prędkości .

Zależność, którą wyprowadził Newton można więc zapisać w bardziej ogólnej postaci:

gdzie: n - kierunek normalny do płyty

Wszystkie płyny, które podlegają prawu Newtona nazywamy płynami newtonowskimi. Natomiast te płyny gdzie naprężeń stycznych nie można opisać tą zależnością nazywamy płynami nie newtonowskimi.

Lepkość dynamiczna występująca w równaniu jest funkcją temperatury, ciśnienia, oraz zależy od rodzaju płynu.

W gazach ze wzrostem temperatury gęstość wzrasta. W cieczach jest natomiast na odwrót.

Jeśli chodzi o ciecze, to ze wzrostem temperatury zwiększa się odległość między cząsteczkami. Jest więc mniejsze oddziaływanie między nimi - stąd spada lepkość.

Jeżeli chodzi o gazy, to ze wzrostem temperatury również zwiększa się odległość, ale wzrasta ruch (chodzi tu o ruchy Brauna). Wzrost temperatury powoduje bardziej chaotyczny ruch, cząstki pokonują większą drogę w krótszym czasie. A jeżeli tak , to mają większą zdolność przekazania swego pędu innym cząstkom, ponieważ pokonują

większą drogę pokonują w krótszym czasie, a na swej drodze spotykają więcej cząstek.

• Równanie Naviera - Stokesa

Suma wszystkich sił powierzchniowych działających na element płynu w kierunku poszczególnych osi się sumuje. Zacznijmy od osi X dodatkowo uwzględniając siły masowe i siły bezwładno9ści :

Tak samo rozpisuje się bilans tych sił na pozostałe osie.

Jeżeli teraz rozważymy momenty sił działających na elementarny prostopadłościan względem osi równoległej do osi Y i przechodzącej przez środek C prostopadłościanu to możemy wykazać, że 9 zmiennych niezależnych sprowadzić do bilansu 6 sił niezależnych.

W wyniku analizy momentów otrzymujemy :

Jeżeli teraz zaniedbamy małe wielkości ( czwartego rzędu), to równanie można sprowadzić do bardzo prostej postaci:

stąd wynika

analogicznie analizując momenty względem osi X i Z

Tak więc stan naprężenia w płynie w dowolnym jego punkcie określają trzy naprężenia normalne i trzy naprężenia styczne.

Na podstawie wzoru Newtona

Możemy określić wielkość naprężeń stycznych jako proporcjonalny do odpowiednich prędkości odkształceń kątowych elementów płynu.

Prędkość przemieszczania się boku górnego względem dolnego wynosi
natomiast gradient prędkości jest to

Naprężenia normalne P_xx P_yy P_zz pod wpływem sił lepkości nie są sobie równe (jest to płyn lepki a nie doskonały).

jeżeli teraz podstawimy do równań ruch elementu płynu zależności określające naprężenia styczne i naprężenia normalne po przekształceniach otrzymamy :

- współczynnik lepkości kinematycznej

RÓWNANIE Naviera - Stokesa

postać wektorowa

3

Mechanika płynów Semestr 4

- 2 -

POLITECHNIKA

WARSZAWSKA

T

gaz

ciecz



newtonowskie

n

V

X

Y

Z

Z

P_YY

P_ZZ

X

---