Wykład 4

DYNAMIKA

Równania ruchu punktu materialnego

4.1 Wprowadzenie:

Dynamika - bada ogólne prawa ruchu obiektów materialnych z uwzględnieniem przyczyn powodujących ten ruch

Przyczyny ruchu: wzajemne oddziaływanie danego obiektu z innymi obiektami (ciałami), które przedstawiamy za pomocą sił i więzów.

Siła - wektor ślizgający się związany z prostą.

Więzy - ograniczenia nałożone na ruch danego obiektu przez inne obiekty.

Postulat reakcji: więzy możemy zastąpić siłami i odwrotnie.

4.2 Prawa dynamiki Newtona (prawa ruchu):

I prawo (bezwładności):

Istnieje układ odniesienia, w którym punkt materialny porusza się bez przyspieszenia (tzn. jednostajnie i prostoliniowo), gdy z zewnątrz nic na niego nie działa.

Wniosek: Siła jest jedyną przyczyną zmiany ruchu punktu materialnego.

Układ inercjalny - układ odniesienia, w którym można stwierdzić I prawo dynamiki.

Jeżeli
oraz
są w czasie ruchu stale równe zeru to układ 0xiyizi jest układem inercjalnym.

II prawo (podstawowe):

W inercjalnym układzie współrzędnych wektor siły działającej na punkt materialny jest proporcjonalny do wektora przyspieszenia.

m-masa bezwładna (jest równoważna masie grawitacyjnej)

Bezwładność - właściwość obiektu polegająca na przeciwstawianiu się zmianom ruchu tego obiektu.

Dynamiczne równania ruchu w postaci skalarnej mają postać:

W układzie inercjalnym Oxyz:

W układzie naturalnym (Freneta):

III prawo (akcji i reakcji):

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości, mają przeciwne zwroty i wspólną linię działania.

III prawo jest słuszne w układach inercjalnych i nieinercjalnych ponieważ nie zawiera ono pojęć kinematycznych takich jak prędkość lub przyspieszenie.

Zgodnie z II prawem Newtona warunkiem powstania siły jest występowanie co najmniej dwóch ciał.

4.3 Zadanie proste i odwrotne dynamiki:

Zadanie proste: Dane są równania ruchu np.: x = x(t), y = y(t), z = z(t) (tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu). Wyznaczamy współrzędne siły: Fx, Fy, Fz (tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu).

Zadanie odwrotne: Dane są siły (współrzędne siły): Fx, Fy, Fz (tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu)

oraz warunki początkowe ruchu (dla t=0).

Wyznaczamy równania ruchu: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu).

4.4 Równania ruchu punktu materialnego w układzie nieinercjalnym:

Wprowadzamy: - stały układ odniesienia Oxyz,

- nieinercjalny układ odniesienia O₁x₁y₁z₁, dla którego
;

Na punkt A o masie m działa siła
.

Równanie ruchu punktu A w układzie stałym (inercjalnym):

Wektorowe równanie ruchu punktu A w układzie nieinercjalnym O₁x₁y₁z_1:

lub

Wprowadzono oznaczenia:

siła bezwładności unoszenia

siła bezwładności Coriolisa.

- nazywamy siłami fikcyjnymi (pozornymi), ponieważ nie są one wynikiem oddziaływań z innymi obiektami w takim znaczeniu jak siły
.

4.5 Siła bezwładności i zasada d'Alamberta:

Siła bezwładności:

Z II prawa dynamiki Newtona:

Jeżeli wektor
potraktujemy jako pomyślaną siłę, to równanie powyżej możemy rozpatrywać jako warunek równowagi siły
działającej na punkt materialny i siły
.

- siła bezwładności (tzw. siła fikcyjna);

II prawo dynamiki można przedstawić jako równanie równowagi wypadkowej sił rzeczywistych
i siły bezwładności
w czasie ruchu punktu.

- wypadkowa sił rzeczywistych (akcji i reakcji);
- siła bezwładności.

Zasada d'Alamberta:

Jeżeli w inercjalnym układzie współrzędnych do wszystkich sił rzeczywistych F₁, F₂,..., Fn

dołączymy siły bezwładności B₁, B₂,..., Bn to otrzymany układ sił spełnia formalnie statyczne warunki równowagi.

Wypadkowa sił rzeczywistych działających na punkt materialny równoważy się w każdej chwili siłą bezwładności tego punktu.

---