4. RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI STRUMIENIA

Parametry strumienia jako funkcje gazodynamiczne

W badaniach i obliczeniach przepływów zachodzących w kanałach silników wygodnie jest w wielu przypadkach posługiwać się parametrami spiętrzenia strumienia, które nazywane są również parametrami całkowitymi.

Parametry spiętrzenia są to parametry strumienia przepływającego z prędkością c po jego wyhamowaniu do prędkości c = 0. Parametr spiętrzenia równy jest sumie statycznej wartości tego parametru (bez uwzględnienia faktu, że strumień posiada pewną prędkość) oraz dynamicznego przyrostu wartości tego parametru (można powiedzieć, że o tyle zwiększyłaby się wartość parametru statycznego gdyby strumień został wyhamowany). Najczęściej stosowane są następujące parametry spiętrzenia: temperatura, ciśnienie, entalpia oraz nieco rzadziej - gęstość.

Z definicji entalpii spiętrzenia (całkowitej) wynika, że:

(4.1)

Entalpia spiętrzenia jest sumą entalpii statycznej i dynamicznego przyrostu entalpii (energii kinetycznej)

Jednocześnie wiadomo, że dla gazów doskonałych entalpię oblicza się wg wzoru:

(4.2)

Po wyhamowaniu strumienia temperatura osiągnie wartość temperatury spiętrzenia a entalpia - entalpii spiętrzenia. Zatem:

(4.3)

Po podstawieniu (4.2) i (4.3) do (4.1) i prostym przekształceniu otrzymamy wzór:

(4.4)

Temperatura spiętrzenia jest sumą temperatury statycznej i dynamicznego przyrostu temperatury.

Zapisując uogólnione równanie Bernouliego dla przypadku przepływu energetycznie odosobnionego, izentropowego i nieściśliwego, otrzymamy (patrz równania (3.11) ÷(3.13)):

gdzie:

(4.5)

Ciśnienie spiętrzenia jest sumą ciśnienia statycznego i dynamicznego przyrostu ciśnienia (ciśnienia dynamicznego).

Parametry spiętrzenia można wyrazić jako funkcje gazodynamiczne liczby Macha i statycznej wartości danego parametru.

Wychodząc z wzoru (4.4) wykonajmy następujące przekształcenia:

gdzie:

jest prędkością rozchodzenia się dźwięku w gazie o danym wykładniku izentropy, stałej gazowej i temperaturze bezwzględnej.

Jeżeli skorzystamy z określenia liczby Macha:

to ostatecznie dostaniemy:

(4.6)

Jeżeli proces spiętrzania strumienia (wyhamowywania) potraktujemy jako izentropowy, to wówczas możemy skorzystać z zależności pomiędzy parametrami dla przemiany izentropowej:

i po wykorzystaniu wzoru (4.6) otrzymamy odpowiednie wyrażenia na ciśnienie spiętrzenia i gęstość spiętrzenia:

(4.7)

(4.8)

Parametry krytyczne

Parametry strumienia w przekroju, w którym gaz został wyhamowany lub rozpędzony do prędkości dźwięku nazywamy parametrami krytycznymi a przekrój - przekrojem krytycznym.

Z powyższej definicji wynika, że w przekroju krytycznym Ma = 1. Uwzględniając powyższe i korzystając z równań (4.6)÷(4.8) otrzymamy wyrażenia na parametry krytyczne:

(4.9)

Prędkość strumienia w przekroju krytycznym wynosi:

(4.10)

W niektórych równaniach, związanych z przepływami, wygodnie jest wprowadzić dodatkowa funkcję gazodynamiczną q, nazywaną względną gęstością masy strumienia, zdefiniowaną jako:

(4.11)

Korzystając z równań (4.9) oraz pamiętając, że:

oraz

względną gęstością masy strumienia można wyrazić zależnością:

(4.12)

Rys. 4.1 Zależność względnej gęstości strumienia od liczby Macha

Równanie ciągłości przepływu

Równanie ciągłości podaje związek pomiędzy powierzchnią przekroju kanału przepływowego, prędkością i gęstością strumienia oraz jego wydatkiem masowym (strumieniem masy) w dowolnym przekroju.

Rys. 4.2 Model przepływu dla równania ciągłości

Strumień masy definiowany jest jako stosunek masy strumienia przepływającej przez dowolny przekrój kontrolny do czasu trwania przepływu. W ogólnym przypadku możemy zapisać:

(4.13)

Zgodnie z zasadą zachowania masy można stwierdzić, że:

jeżeli przepływ ustalony strumienia gazu jest jednorodny w każdym przekroju prostopadłym do osi kanału, mającego tylko jedna drogę przepływu, to strumień masy nie zmienia się wzdłuż kanału (jest stały wzdłuż kanału):

(4.14)

Wydatek masowy i objętościowy

Różniczka masy strumienia o gęstości ρ przepływającego z prędkością c przez przekrój o polu powierzchni A wynosi:

gdzie:

V - objętość strumienia, jaka przepłynęła w czasie dt;

s - droga, jaką pokonał strumień w czasie dt.

Dzieląc obie strony równania przez dt oraz uwzględniając (4.13) otrzymamy:

(4.15)

Wydatek masowy strumienia w dowolnym przekroju (strumień masy) równy jest iloczynowi gęstości strumienia w tym przekroju, jego prędkości i pola powierzchni przekroju strumienia (płaszczyzną prostopadłą do osi kanału).

Równanie ciągłości strumienia (4.14) przy uwzględnieniu (4.15) przyjmie postać:

(4.16)

Wyprowadzając równanie (4.15) można zauważyć, że

(4.17)

gdzie:

- wydatek objętościowy strumienia

Warto zauważyć oczywisty związek pomiędzy wydatkiem masowym i objętościowym:

(4.18)

Zastosowanie równania ciągłości

Równanie ciągłości wiąże powierzchnię przekroju kanału z prędkości i gęstości a strumienia przepływającego przez ten przekrój.

Jeżeli rozpatrywany przekrój nie jest prostopadły do osi kanału, lecz tworzy z nią kąt α, to zamiast A należy w równaniu ciągłości wstawić: Asinα.

Jeżeli przepływ jest nieściśliwy (ρ = idem) to równanie ciągłości uprości się do postaci:

(4.19)

Zwykle można przyjąć, że przepływ jest nieściśliwy dla liczb Macha Ma<0,4. Powyżej tej wartości zmiany gęstości strumienia są już na tyle zauważalne, że pomijanie tego faktu prowadzi do dużych błędów, tym większych im większa jest wartość liczby Macha.

Z równania (4.19) wynika, że dla przepływów nieściśliwych prędkość strumienia zmienia się odwrotnie do pola powierzchni przekroju kanału.

W miarę wzrostu prędkości przepływu spada gęstość strumienia. Dalszy wzrost prędkości wymaga coraz mniejszych spadków pola powierzchni przekroju. Po przekroczeniu Ma = 1 spadek gęstości jest już tak silny, że dalszy wzrost prędkości wymaga zwiększania pola powierzchni przekroju.

Rys. 4.3 Przebieg zmian liczby Macha w zależności od pola powierzchni przekroju

5

2

A₁

dV₂

c₂

ds₂

ρ₂

1

ρ₁

A₂

c₁

2

dV₁

ds₁

1

fala uderzeniowa

A_kr

ρ= idem

---